河北省张家口市第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

张家口市第一中学高一年级下学期第一次月考数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知向量a=(1,2),五=（亿，-1），=4，-1)，若d+b/,则+μ=() A.-2 B.-1 C.0 D.1 2.将函数f(x)=sn2x-1的图像向右平移个单位长度后得到函数gx)的图像，则函数g(x)的递增区 间是：)】 A.号+km号+nk∈z B.匠+m受+，kk6之 C.k+k kEZ D.【是+km,8+kake2 3.若P(1,3),P2(4,0),且P是线段P1P2的一个三等分点（靠近点P),则点P的坐标为(） A.(2,2) B.(3,-1) C.(22)或(3，-1)D.(2,2)或(3,1) 4.定义：位×=··sin6,其中0为向量a与的夹角若1a=3,=4,ai=-6,则 a×=() A.6V3 B.-6V3 C.6 D.-6 5:设ae6引Bec,》-且ana=tanf=骨则a+2邛=（) A. B.5 c 6,在△ABC中，BA·BC=BC2,则AABC-定是() A真角千患形 B.等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 丛蜘远动亏21=3则a+1+a-乃的取值范围是() A.[4,2V13 B.[4,10] C.[6,2y13 D.[6,10] 8已知函数f(y)=sidc+写@>0)区间（年，2刘）内没有零点，则0的取值范围是( A(lau后利c(周G周 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 HE微将食，思·辩鐵区中雅的式诗 9.下列化简正确的是() ≥0.0gw,0<A)+(0+m)23A=() A.cos72cos12°-sin72sin12°=月 B.sin15"cos15= C.cost15-sin*15*=月 10.如图所示，点P是函数fx)=2sn(ωx+p)x∈R,ω>0)图象的最高点 点若M(-石0)，且网股Qd1.8,A恨谷M,M,S代政C娇t五俄，波.i 太骨小绿M石·mG做： AW停9g坐，A果n3r1,5AS,说阳是甲=号 11.如图，己知△ABC92g些叠AB丝B6=2+M是AC的电点，动点在以AC为直径的半网弧上 则() 、 A.2BM=BA+BC B.BF.BC最小值为-2 C.BM在B配上的投影向量为BC D.若配=x丽+x氏，泽+y的最大值为1+质成杂 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12伊丽莎白塔是联合王国国会大厦威斯敏斯特宫的附属钟塔，是世界上著名的哥特式建筑之一，是伦 敦乃至英国的标志性建筑钟楼上的钟也是世界上第二大的同时朝向四个方向的时钟，其中一个钟盘如 图所示，分针尖端到中心的距离为3.5米，尖端最低位置距地面约60米，若分针尖端从最高位置沿顺时 针方向绕中心匀速旋转一周，分针尖端与地面的距离（单位：米）与时间（单位：分）的函数关系式为 h()=Acos(wt+)+b(A>0,ω>0,0≤0<2π，0<t≤60)，则函数h(c)= 13.如图，正方形ABCD的边长为2，M,N分别为AB,BC边上的动点，若E为MN的中点，且满足B= 1,则D丽，D示的最小值为 14在角1、82、8g、…、03o的终边上分别有点乃1、P2、P3、…、P3o,如果点Pk的坐标为(si(15°- k另sm(75°+k)八1≤k≤30，kE则os81.+cos2+cos风3+“+c0s0g0员一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知函数fx)=2stn2x+3 Bsinxcosx+cos2(x+习+a (1)若x∈R,求函数f(x)的最小正周期和对称轴： (2)当x∈[0，时函数f)的最小值为2，求实数a的值. 16.(本小题15分) 已知锐角△ABC中的三个内角分别为A,B,C. (1)设BC.CA=CA,A正，判断△ABC的形状： (2)设向量3=(2sinC,-√3，t=(cos2C,2cos2-1),且377花，若sihA±争求sih(写-B)的植 17.(本小题15分) 如图所示，在△ABC中，AD是边BC边上中线，E为AD中点，过点E点直线交边AB,AC于M,N 两点，设A正=1AM,AC=uAN,(M,N与点B,C不重合) D (1)证明：入+4为定值： (②)求右+中的最小值，并求此时的，的值 18.(本小题17分) 如图，有一条宽为60m的笔直的河道（假设河道起够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中 △ABC)养殖观赏鱼，AB.山40,9项点A到河两岸的距离E=h1,AD=h2CrB两点分别在两岸 1,l2上，设LABD=a (1)若a=30°，求养殖区域面积的最大值： (2)现拟沿着养殖区域△ABC三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若h1=30m,求观赏长廊总长f(a)的 最小值。 hi D B 19.(本小题17分) 如图，设0x,0y是平面内相交成60角的两条数轴，，别是与轴、y轴正方向同向的单位向量. 若向量0=x可+y则把有序实数对(xy)叫做向D在坐标系0y中的坐标，记作O=(x,y). 在此坐标系0y中，若0A=(30),0元=(02)，0乎=（③），课P的中点，AF与0P交于T两点。 (1)求0： (2)求07的坐标： M (3)若过点P的直线分别与轴、y轴正方向交PM、W两点，求S4OMw的最小值. 张家口市第一中学高一年级下学期第一次月考数学试题 答案和解析 选摔思 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 11 答案 B D A A B C C BD BC ABD 填空题 12.【答案】3.5cos品t+63.5te[0,60 解：h()=Acos(ut+8)+b(A>0,u>0,0≤6<2,0<t660), 由题意可得A=35,b=63.5,T=60=否 可得w=磊当t=0时，h=67,可得h(0)=67, 即3.5c0s日+63.5=67，又0<9<2π，所以8=0， 所以函数的解折式为（因=35cos元t+63,5,t∈0,60. 故答案为：35cos0t+63.5,te0,60, 13.【答案】8-4V2 解：如图，以B为坐标原点，BC的方向为x轴的正方向， BA的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系， N.C 则D2,2,设M0,y,Nx,0,其中x∈[0,2yE0,2,则E(匠) 因为B=1,所以x2+y2=4, 又DM=(-2,y-2),DN=(x-2,-2), 所以DM.DN=8-2(x+y)>8-2√2√x2+y2=8-4W2, 当且仅当x=y=√2时等号成立 故答案为：8-4W2 解：由点Pk的坐标为(sin(15°-k),sin(75°+k),1≤k≤30，k∈N, 可得：8k=75°+k°，8k+00-k=75+k°+75+(30-k)°=180°， 8c0sk+c0s030-k=0. 则cos81+cos02+c0s03+…+c0s030=cos815+c0s030=cos90°+cos105°=0-cos75= -c0s80+45)=,放答案为：2- 解答题 15.【答案】解：(a)f网=1-6os2x+5in2x++oe2r2+a =sin2x-cosz+ta=V2s(2x-}+2ta,T=受=元 由2x-=北红+得x=受+晋keZ 5f)的对称轴为x=受+晋，kE么-6分 a0≤xs-0s2x≤π→-s2x-s,4-号s血(2x-月)s1, 当sin(2x-到=-受时，f有最小值为-1++a 由已知a+2,4a=3…l3分 16.【答案】解：(1)因为C.C=C,AE,所以c(C-A=0, 又A丽+配+c=0,“A=-AE+G, 所以-(AB+BC·⑧C-A=0, 所以丽2-C2=0, 所以A正P=B配？，即A丽=C, 故△ABC为等腰三角形.…6分 (2)3/i,2sinC(2cos2号-1)=-√3cos2C, asin2c=-√3cos2c,即an2c=-√3， C为锐角，2Ce(0,),+2G=受C=景 ÷A=受-B,4sin-)=sin[-)-到=sin(a- 又sinA=子且A为锐角， 4cosA=号，4stn(写-B=sin(A-争=sn4cos号-csA号=2-g平.…l5分 17.【答案】(1)因为AD是边BC边上中线，，所以A而=（丽+AC 又E是AD的中点，AB=1AM,AC=μAN, 所以E=而=丽+C=丽+孤 因为E,M,N三点共线，所以+发=1且入>0，以>0 所以1十以=4，即1+为定值：…7分 (2)由(1)1+4=4→1+1+4+2=7 所以姑+中2-Q+1+u+2)(品+) =北+器+糊)≥北2+2器×周-手 当且仅当线特=漫即入==时，等号成立 所以==时，本+中2的最小值的 …l5分 18.【答案】解，(1a=30时，AB=品=2h,AC=总=房， 所以SAARC=AB·AC=子Aih2 又因为h1+h2=60≥2√hh2(当且仅当h1=h2时等号成立)，所以h1h2≤900， 于是5aAc=方h4≤600W3,因此，养殖区域面积的最大值为600√3m2…6分 (②由题意，AB=品AC= COSa 所以Bc=J品+2=30 30 所以△ABC的周长f@=30(品a++nd=30(地o当， sinacosa 其中a∈(0，. 设t=slna+cosa,则t=sina+cosa=V2sin(a+孕e(1,V2, 所以如aa=学所y=30岁-号 于是当：=V2时，fo)am=铝=60W2+), 因此，观赏长廊总长的最小值为60(2+1)m…17分 19.【答案】解：()依题意可得G·=Gcos60°=1×1×=克 :0丽=(3,2)，÷0丽=3+2， 10丽2=(3+2动2=9可2+12G·G+42 =9+12×+4=19,101=V19: …4分 (2)×04=(3,0),0E=(0,2),0=(3,2), 0=3可，0丽=2肠，0丽=3+22,0丽=0A+0丽， 四边形0APB是平行四边形，即0A/BP,△PFT∽△OAT, ~F是P的中点，股-景=克开=证，' 又F=0丽-0-(0丽+0丽-0丽 =(2+3写+2动-3G=2吃- 0所=0丽+m=3可+2-动=2g+,ǎ07=(2：…10分 (3)设0m=(x,0),0N=0,y)x,y>0, 则OM=x可，O丽=y,:M,P,N三点共线， 则设MP=AM(0<1<1),0丽-0M=1(0N-0而 ÷(3耳+2功)-(x+0动=(0+y-(x可+0]， 仔-为可+2-0)或=0-刘可+0-0)，月-c, 2=y 4x=高y=0<A<.5aow=0M:0Nsn60-号y=9G可 3 ≥受空=6原.当且仅当1=别取等号.△5a0m的最小值为6厅。7分