精品解析：广东省河源市河源中学2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题

2024-2025学年度高二年级3月联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 曲线在点处的切线斜率为（   ） A 2 B. 1 C. D. 2. 已知首项为1的数列满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 6. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 0 C. D. 或 7. 记为等差数列的前项和，且，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 8. 棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（ ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动位移方程满足，则（   ） A. 该玩具车位移的最大值为110 B. 该玩具车在内的平均速度为12.5 C. 该玩具车在时的瞬时速度为30 D. 该玩具车速度和时间的关系式是 10. 记为首项为2的数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 平行六面体的各棱长为1，且、、、分别为、、、中点．若、、两两垂直，则（ ） A. B. C. D. 四面体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在上的最大值为______． 13. 已知正项等比数列满足，，则______． 14. 曲线与曲线公切线斜率的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15 已知圆：，直线：． （1）若与仅有一个交点，求； （2）设为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围． 16. 已知数列的前项积为，为公差不为0的等差数列，且，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，记前项和为，证明：． 17. 已知曲线与曲线交于，两点． （1）求； （2）求的最小值． 18. 直椭圆柱体是指上下底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图，已知某直椭圆柱体的底面椭圆离心率为，高为椭圆短轴长的一半，上底面椭圆的长轴为，下底面椭圆的长轴为，点为上一点，过点作直线交椭圆于，两点，设线段与线段的长度之比为． （1）当点为底面椭圆的焦点时，求的值； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知双曲线：的左顶点为，且过点．的右支上有三点满足，． （1）求的方程； （2）求的面积； （3）求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二年级3月联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 曲线在点处的切线斜率为（   ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用商的导数来求切线斜率即可. 【详解】求导得：， 当时，切线斜率， 故选：A. 2. 已知首项为1的数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累乘法求解. 【详解】依题意，. 故选：A. 3. 已知函数，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数两边同时求导，再由赋值法代入计算可得结果. 【详解】由可得， 令可得，解得. 故选：C 4. 已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，得，从而抛物线方程为，即可求解. 【详解】由题知，解得，所以抛物线， 则的准线方程为， 故选：B. 5. 若函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在上单调递增，转化为在上恒成立，分离参数转化为求函数的最小值求解即可. 【详解】因为，所以， 由于在上单调递增， 所以在上恒成立， 在上恒成立，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 所以，故的最大值为， 故选：D 6. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 0 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求得，根据是函数的极小值点，求得，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极小值点，可得，解得或， 当时，，此时函数在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在上单调递增，在上点单调递减， 所以是函数的极小值点，符合题意， 所以，此时，所以. 故选：A. 7. 记为等差数列的前项和，且，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由等差中项的性质，结合求和公式，可得答案. 【详解】由，则，解得或， 由，显然，解得. 故选：C. 8. 棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（ ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的方程，点关于平面的对称点坐标，结合对称求出最小值. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，平面的截距式方程方程为， ，设的法向量，则， 令，得，令点关于平面的对称点为， 则，解得，即， 连接交平面于点，则在内，且， 因此的周长， 当且仅当与重合时取等号，所以周长的最小值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足，则（   ） A. 该玩具车位移的最大值为110 B. 该玩具车在内的平均速度为12.5 C. 该玩具车在时的瞬时速度为30 D. 该玩具车速度和时间的关系式是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二次函数性质可判断A正确，再由平均速度计算公式可得B错误，根据瞬时速度概念以及导数定义可得CD正确. 【详解】根据题意，由可得其导数， 对于A，由二次函数性质可知当时，位移取得最大值，其最大值为，即A正确； 对于B，该玩具车在内的平均速度为， 因此该玩具车在内的平均速度为，可得B错误； 对于C，由可知当时的瞬时速度为，即C正确； 对于D，由于，所以该玩具车的速度和时间的关系式是，所以D正确. 故选：ACD 10. 记为首项为2的数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列递推公式，求得数列的前几项，可得数列的周期性，从而可得答案. 【详解】由题意可得，可得下表： 所以数列的最小正周期， ，故A正确，，故B错误， 由，则，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 11. 平行六面体的各棱长为1，且、、、分别为、、、中点．若、、两两垂直，则（ ） A. B. C. D. 四面体的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意作图，根据平行线的性质，可得A的正误；根据线面垂直的判定与性质，可得点的轨迹，结合反证法，可得BC的正误；根据四面体的体积公式，结合图形的几何性质，可得D的正误. 【详解】由题意可作图如下： 对于A，分别取的中点为，连接，如下图： 在平行六面体中，易知，，， 因为，所以，即，故A正确； 对于BC，连接，如下图： 在平行六面体中，易知，即共面， 因为，，，平面， 所以平面，易知，则平面， 因为平面，所以， 在中，，则，故C正确； ，易知的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 所以不是一个定值，若， 此时共面，显然不合题意，故B错误； 对于D，连接，如下图： 由题意可得四面体的体积， 在中，为定值1，易知上的高随着的位置变化而变化， 所以四面体的体积不是定值， 易知当时，上的高，此时取得最大值，为， 即四面体的体积也取得最大值为，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在上的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导并得出其在指定区间上的单调性，即可求得最大值. 【详解】由，求导得， 在上，恒成立， 因此在上单调递增，所以的最大值为. 故答案为： 13. 已知正项等比数列满足，，则______． 【答案】32 【解析】 【分析】根据等比数列定义及其通项公式列方程组即可求得结果. 【详解】设正项等比数列的公比为，可知； 因此可得，两式相除可得， 解得或； 可得或（舍）； 因此. 故答案为： 14. 曲线与曲线公切线斜率的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立关系，再利用导数求出最小值. 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 求导得，，则，且， 由，两边取对数整理得：，代入，可得， 令，求导得， 则当时，，当，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以斜率的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆：，直线：． （1）若与仅有一个交点，求； （2）设为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径求解. （2）利用求出点轨迹圆的方程，则问题转化为该圆与直线存在公共点，利用点到直线距离公式列式求解. 【小问1详解】 圆心，半径，因与仅有一个交点， 则圆心到直线的距离，所以. 【小问2详解】 设点，由，得， 化简得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 又点在直线上，则直线与圆存在公共点， 则，解得， 所以的取值范围为. 16. 已知数列的前项积为，为公差不为0的等差数列，且，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，记的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知可得，由递推关系，即可求解； （2）由已知可得，根据裂项相消法求和即可证明. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，，因为成等比数列，所以， 所以，解得，因为，所以， 所以， 当时，，当时上式成立， 所以； 【小问2详解】 ， ，得证. 17. 已知曲线与曲线交于，两点． （1）求； （2）求的最小值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据交点列式结合对数运算计算求值； （2）先根据交点坐标，参数分离再构造函数，应用导函数得出函数单调性即可求出最小值. 【小问1详解】 因为曲线与曲线交于两点， 所以，化简得， 即，所以，因为交点为，，所以或， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 设，所以， 当单调递减；当单调递增； 所以，所以. 18. 直椭圆柱体是指上下底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图，已知某直椭圆柱体的底面椭圆离心率为，高为椭圆短轴长的一半，上底面椭圆的长轴为，下底面椭圆的长轴为，点为上一点，过点作直线交椭圆于，两点，设线段与线段的长度之比为． （1）当点为底面椭圆的焦点时，求的值； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）令椭圆半焦距为c，利用椭圆的离心率，结合椭圆焦点与长圆两个端点的距离求出. （2）利用椭圆方程求出，由已知求出，借助对称性利用几何法求出夹角的余弦. 【小问1详解】 令椭圆半焦距为，由椭圆离心率为，得该椭圆的长半轴长，短半轴长， 点为底面椭圆的焦点，则，， 或，， 所以的值是或. 【小问2详解】 由（1）知底面椭圆对应的标准方程为，设，由， 得，解得，，由， 得直线，与椭圆方程联立，得，则， 由，平面平面，平面平面，平面， 得平面，则点关于平面对称，过作于，连接， 于是≌，，即，是二面角的平面角， 连接，由平面，平面，得，， 而，则，， 而，则，， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知双曲线：的左顶点为，且过点．的右支上有三点满足，． （1）求的方程； （2）求面积； （3）求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知点代入方程待定系数可得； （2）设出点，由平行关系分别求出坐标，求得直线方程，再由弦长公式与点线距离求解面积可得； （3）取弦中点，由几何关系探求出四边形的面积，再由为定值，借助方程有解求解点线距离最小值即可. 【小问1详解】 由左顶点为可得，则双曲线方程为， 将点代入得，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 设，其中，且， 因为，所以直线的斜率为，方程为， 与双曲线联立，解得， 同理可知直线的方程为， 与双曲线联立，解得， 则中点为， 故直线的方程为，由 即 则点到直线的距离， 而， 故. 【小问3详解】 设坐标原点，为弦的中点， 则由（2）知， 故为线段中点. 则点到直线的距离等于点到直线距离和的一半， 又， 由几何关系与面积公式可得，， 同理，由为中点， 可得， 所以， 因此，四边形的面积， 下面求的最小值. 由直线的方程为， 故点到直线的距离，而是定值， 所以取最小值当且仅当取到最小值. 记，与联立得， 关于的二次方程， 设， 函数开口向上，对称轴为， 由点在双曲线右支上，故方程在内有解， 故，解得，或. 当时，，且， 故方程在内无解，在不满足题意； 当时，，则方程在内恒有解. 综上，要使关于的二次方程在内有解， 则，且当时，等号成立， 所以当时，四边形面积取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$