精品解析：河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

南阳一中高一年级第二次月考数学学科试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 在内，使的的取值范围是（    ） A. B. C D. 5. 已知定义域是，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，点是线段的中点，点是线段上一点，，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ） A 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 8. 已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 为了得到函数的图象，只需将函数图象上的点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 10. 已知平面直角坐标系中三个点，点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 是锐角三角形 B. 在上的投影向量为 C. D. 若四边形为平行四边形，则点的坐标为 11. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则值为 B. 的最小值为1 C. 若，则的值为2 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是且 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_________. 13. 已知，且在单增，上单减，则_________ 14. 四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为______. 四、解答题（共77分） 15. 设两个非零向量与不共线． （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和反向共线． 16. 已知向量满足． （1）求与的夹角 （2）求 17. 如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. （1）用，表示； （2）求的最小值. 18. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在区间上有且只有两个实数解，求实数的取值范围. 19. 已知函数，. （1）若，恒成立，且，求函数的图象的对称轴； （2）已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是的一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围以及的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南阳一中高一年级第二次月考数学学科试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，进而分析象限角即可. 【详解】因为，且为第二象限角， 所以的终边在第二象限. 故选：B 2. 已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义和诱导公式即可判断. 【详解】由题意，得，， 则与终边相同的是. 故选：B 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】根据正弦定理，得，解得． 故选：A. 4. 在内，使的的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在同一坐标系作函数 以及 的图象即可求解. 详解】 以及 的图象如上图，由图可知，； 故选：A. 5. 已知的定义域是，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的定义域，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为的定义域是， 对于函数，有，可得， 解得， 因此，函数的定义域为. 故选：D. 6. 在中，点是线段的中点，点是线段上一点，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理求解即可. 【详解】因为，所以，即，又， 所以，因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：A 7. 已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用数量积的定义得到，从而得到点O在边AB的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断. 【详解】解：根据题意，，即， 所以，则向量在向量上的投影为的一半， 所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上， 所以点O为该三角形的外心． 故选：B． 8. 已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，然后由解方程组求出，再利用模长的定义求出即可. 【详解】设， 因为， 又，即， 解得， 所以，所以， 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 为了得到函数的图象，只需将函数图象上的点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】BD 【解析】 【分析】由，根据平移变换逐一验证即可. 【详解】解：因为 对于A：将函数图象上的点向右平移个单位长度， 得故A错误； 对于B：将函数图象上的点向右平移个单位长度， 得故B正确； 对于C：将函数图象上的点向左平移个单位长度， 得故C错误； 对于D：将函数图象上的点向向左平移个单位长度， 得故D正确. 故选：BD. 10. 已知平面直角坐标系中三个点，点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 是锐角三角形 B. 在上的投影向量为 C. D. 若四边形为平行四边形，则点的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量的模相等，即可判断A；根据投影向量的定义，即可判断B；根据中点坐标公式，平面向量数量积的定义即可判断C；根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合相等向量的定义，即可判断D. 【详解】由题意，，，， 则，即为等边三角形，则是锐角三角形，故A正确； 因为在上的投影向量为，故B正确； 对于C选项：因为点为线段中点，所以， 所以，又，所以，故C错误； 对于D选项：设，则， 若四边形为平行四边形，则，即， 即，解得，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 的最小值为1 C. 若，则的值为2 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是且 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项根据向量共线的条件可算出；B，C选项均利用模长公式可以解决；D选项利用两个向量的数量积小于零，注意两个向量不能反向共线. 【详解】选项A，，A选项错误；选项B， ，当时取等号，B选项正确； ，根据，解得，C选项正确；D选项，与的夹角为钝角，则，且两个向量不能反向共线，注意到A选项，时，，于是且. 故选: BCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用大边对大角确定最大角，再用余弦定理计算最大角即可. 【详解】不妨设，则c边对的角C最大，令， 得，而，故， 所以此三角形的最大角为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题. 13. 已知，且在单增，上单减，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据，求出，在单增，上单减求出. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，因为在单增，上单减， 所以是的最大值点，所以， 所以，因为在单增，上单减， 所以单调区间长度大于等于，所以， 且，所以，所以. 故答案为：. 14. 四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用数量积的运算律得，设出向量夹角，从而，利用余弦函数求解最值即可. 【详解】因为，，又点分别是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点分别是的中点，所以， 因为，所以， 即，设，，则，所以， 所以， 所以当即时，有最大值1，即有最大值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用. 四、解答题（共77分） 15. 设两个非零向量与不共线． （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和反向共线． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算表示出，即可得到，从而得到、共线，即可得证； （2）存在实数，使，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 ， ， 、共线， 又它们有公共点，、、三点共线． 【小问2详解】 与反向共线，存在实数，使， 即， ． 、是不共线的两个非零向量， ，，， ，． 16. 已知向量满足． （1）求与的夹角 （2）求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简可求得与的夹角， （2）由求解 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以 17. 如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. （1）用，表示； （2）求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得. （2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 18. 已知函数，将函数图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在区间上有且只有两个实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得. （2）根据在区间上的图象列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 将的图象向右平移个单位长度后， 得到的图象， 再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到的图象，所以. 【小问2详解】 因为，所以. ，即在区间上有且只有两个实数解， 于是函数与的图象在区间上有且只有两个交点， ， ，所以 画出在区间上的图象如下图所示， 所以，所以. 所以实数的取值范围是. 19. 已知函数，. （1）若，恒成立，且，求函数的图象的对称轴； （2）已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是的一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围以及的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定的信息可得的最小正周期为，由此求出，再利用正弦函数对称性求出对称轴. （2）求出，由给定的零点求出，换元转化为直线与函数图象有三个交战，借助图象求出的范围，再利用正弦函数对称性列式求得答案. 【小问1详解】 函数的最小正周期， 由，，，得函数的最小正周期， 则，而，解得，， 由，，得， 所以函数的图象的对称轴为. 【小问2详解】 依题意，， 由是的一个零点，得，即， 则，或，， 解得，或，，又，于是， 函数，当时，， 设，则，函数为，即， 依题意，函数在内的图象与直线的图象有3个不同的交点， 作出在上的图象如下图，则当，即时， 与恰有3个不同的交点，因此实数的取值范围为， 设与的3个不同的交点分别为，，， 则，，于是，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$