期中考前满分冲刺之解答题（42题）（十七种覆盖训练）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:二次根式的混合运算 1．计算： (1) (2)． 2．计算 (1) (2) 3．计算： (1) (2)． 覆盖训练02:解一元二次方程 4．解方程 (1) (2) 5．解下列方程： (1)； (2)． 6．解方程： (1)； (2)． 覆盖训练03:统计与数据分析 7．2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．我国机器人产业正处于高速发展的关键时期，某公司生产了一批机器人即将投入市场，为了解这批机器人的工作时长（充满电后能工作的时长），从这批机器人中随机抽取部分机器人进行测试，得到数据进行如下统计和分析． 【数据收集】对所抽取机器人工作时长进行统计（单位：）： 【数据整理】对所统计数据整理如下： 组别 工作时长 机器人数量（台） 组内工作总时长（h） A 2 4 6 5 3 【数据分析及问题解决】请你根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)所抽取机器人工作时长的中位数是 ，众数是 ； (2)求所抽取机器人工作时长的平均数； (3)若这批机器人共有2000台，请估计这批机器人工作时长不小于的有多少台？ 8．某校为弘扬雷锋精神，引导青少年厚植家国情怀、践行社会主义核心价值观，鼓励他们从身边小事做起，用实际行动传递爱心与正能量，开展了“学雷锋·文明实践我行动”主题活动，并对活动期间同学们所做的弘扬雷锋精神的事情数量进行了收集、整理和分析． 【收集数据】随机调查部分学生在活动期间所做弘扬雷锋精神的事情数量． 【整理数据】将得到的数据绘制成如下不完整的统计图：              【分析数据】请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取的学生中所做弘扬雷锋精神事情数量的众数是______件； (2)求所抽取的学生中平均每人做了几件弘扬雷锋精神的事情； (3)若该校共有1500名学生参加此次活动，请估计在此次活动期间做弘扬雷锋精神的事情不少于3件（含3件）的学生人数． 9．为了使青少年重视书写，明白汉字不仅是工具，更是民族文化的重要载体，语委会联合广播电视台每年会举办一次汉字听写大赛来激励同学们学习汉字的热情．某校七、八年级为选拔参赛选手，在校内举行了汉字听写初赛，现从该校七、八年级中各随机抽取15名学生的比赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 ．七年级15名学生的汉字听写比赛成绩 成绩 85 88 92 94 96 98 99 100 人数 1 3 2 1 3 2 1 2 整理数据 ．八年级15名学生的汉字听写比赛成绩扇形统计图 （A．，B． ，C． ，D． ） ．八年级15名学生的汉字听写比赛成绩在C组中的数据：92，91，94，90， 分析数据 ．七、八年级抽取的学生汉字听写比赛成绩统计表 平均数 中位数 众数 七年级 94 m 88，96 八年级 92 94 98 【得出结论】 根据以上信息，解答下列问题． (1)表中m的值为______． (2)七年级学生甲和八年级学生乙得分均为95分，根据以上数据，请判断两名学生在各自年级的排名谁更靠前？请说明理由． (3)若该校八年级有600名学生参加了汉字听写比赛，且参加此次比赛成绩不低于92分的学生都会获奖，请你估计八年级有多少名学生会获奖？ 覆盖训练04:网格作图 10．如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的；（要求：与，与，与相对应） (2)画出关于原点对称的；（要求：与，与，与相对应） (3)直接写出的面积_____． 11．如图，各顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于原点对称的； (2)写出点，，的坐标； (3)计算的面积． 12．如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)直接写出关于原点O的中心对称图形的对称点的坐标； (2)画出关于原点O的中心对称图形； (3)求的面积． 覆盖训练05:一元二次方程根与系数关系 13．已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的两个实数根为满足，求的值． 14．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 15．关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取得最大整数值时，方程的两个实数根分别为、，求的值． 覆盖训练06:三角形中位线的应用 16．如图，在中，平分交于点D，点F在上，连接，E为的中点，、交于点G，连接． (1)若，求的长； (2)若点F在直线上，当时，求的长． 17．（1）如图（1），在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． （2）如图（2），延长图（1）中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：． （3）如图（3），在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，试判断的形状．并进行证明． 18．如图，点、是两直角边、上的一点，连接，已知点、、分别是、、的中点． (1)若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由； (2)连，取中点，连接，若，，求的长． 覆盖训练07:平行四边形的性质与判定 19．如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若与交于点G，且，，，求的面积． 20．如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求点D到的距离． 21．如图，在四边形中，，连接，以为边作，使得，，过点C作交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积是10，，求的长． 覆盖训练08:一元二次方程的应用 22．某商店以每件40元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出180件商品： (1)求该商品价格的平均月增长率； (2)因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每降低1元，每个月多卖出10件，则商家在降价的同时，为保证每月的利润达到6000元，应将售价定为多少元？ 23．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是． (1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 24．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 覆盖训练09:配方法求最值 25．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 26．阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 覆盖训练10:平行四边形动点求t 27．如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 28．如图，四边形中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿线段的方向向点运动，动点从点出发，以每秒2个单位长的速度沿射线的方向运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒． (1)当时，的面积为______； (2)若四边形为平行四边形，求运动时间t； (3)是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由． 覆盖训练11:一元二次方程的新定义 29．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 30．定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“特优方程”． 如：一元二次方程的两根为，，满足，所以一元二次方程为“特优方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“特优方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程是“特优方程”，且方程的两根，满足，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“特优方程”，求的取值范围． 覆盖训练12:平行四边形的折叠 31．如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形． (1)连结交于点O，连结． ①求证：． ②若，求的长． (2)若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值． 32．如图1，在中，，，．以为边，在外作等边，D是的中点，连接并延长，交于点E．      (1)直接写出边的长为______； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)将图1中的四边形折叠，折痕为，F在上，G在上： ①如图2，若使点C与点A重合，求的长； ②若使点C与的一边中点重合，直接写出的长是______． 覆盖训练13:一次函数的平行四边形 33．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)若点在轴上方，且的面积为18，求点坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．M是x轴上一点，在直线上是否存在点N，使四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在轴上，当最小时，求出点的坐标； (3)在（2）条件下，在平面内是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 覆盖训练14:中位线的性质求解 35．已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)如图2，点E、F 分别在、上，连接交于点K，，，，求：的值 (3)如图 3，在（2）的条件下，点P是下方一点，连接，，，G为中点，连接KG，若， ，求的值． 36．【问题初探】 （1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长． 【类比拓展】 （2）如图2，中，平分，于，．求证：； 【学以致用】 （3）如图3，在，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长． 覆盖训练15:探索解决任务 37．阅读下列材料，并完成相应的任务． 探究：一元二次方程的几何解法 通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求解的过程： 解：，如图①，分别以和为两边构造一个长方形；如图②，把长方形分成一个面积是的正方形和两个面积是的长方形；将图②分割、拼接成图③的图形，则图③阴影部分的面积是________，这样就将两条边长分别为和的长方形变成一个边长是的正方形． 根据图③可以得到：________； 所以，方程的正数解________． 几何法求解一元二次方程，只能得到正数解． 任务：根据上述材料，请你用几何方法求方程的正数解．要求如下： （1）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． （2）根据（1）所画图形直接写出方程的正数解是________． 拓展： 根据阅读探究，你能否用“立体图形的组合”，求特殊的一元三次方程的正根？ 如：求方程的正根： 类比平面图形的研究，可将此问题转化成正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块； 需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块； 需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的正根________． 38．阅读下列材料并完成相应的任务． 四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线，如图1，在四边形中，设，与不平行， E， F分别为，的中点，则有结论：． 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接，取的中点M，连接，． 点E，点M分别是和的中点， ，且（依据）． 同理：，且． ， ． 在中， 即． 方法二：如图3，连接并延长至点G，使，连接，． …… 任务： (1)填空：材料中的依据是指 ； (2)将方法二的证明过程补充完整； (3)如图4，在五边形中，，，，．若点F，G分别是边，的中点，则线段的长的取值范围是 ． 覆盖训练16:平行四边形的新定义 39．定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形． (1)已知四边形是对补四边形． ①若，则 ． ②如图①，的平分线分别与相交于点E、F，且，求证：； (2)如图②，在四边形中，对角线，交于点E，且平分，，平分，与交于点F，且于点G，则四边形是对补四边形吗？请说明理由； (3)已知四边形是对补四边形，其三个顶点A，B，D如图③所示，连接，．若平分，平分，且直线，交于点O（与点C不重合），请直接写出与之间的数量关系． 40．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【性质探究】 如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论 ， ； 【问题解决】 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点， （1）试探索与的数量关系，并说明理由． （2）若，则的最小值是 ． 覆盖训练17:二次根式分母有理化 41．观察下列一组等式，解答后面的问题： ，，，， (1)填空 ； ． (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． 42．阅读下面的材料，并解答后面的问题： ； ； ； … (1)观察上面的等式，请直接写出（为正整数）的结果　　　； (2)计算　　　； (3)请利用上面的规律及解法计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:二次根式的混合运算 1．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质，立方根、算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值，以及运算乘法，再合并同类项，即可作答． （2）先化简立方根，算术平方根，再运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式乘法法则计算，再合并同即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行合并同类二次根式； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 覆盖训练02:解一元二次方程 4．解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程方程的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用直接开方法运算求解即可； （2）利用求根公式进行求解即可． 【详解】（1） 解： ∴， （2） 解：由式子可得：，， ∴ ∴ ∴， 5．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法，公式法的计算是解题的关键． （1）运用因式分解法求一元二次方程的解即可； （2）先确定，再运用求根公式代入计算即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得，， ∴或， 解得，； （2）解：， ∴， ∴， 解得，． 6．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程－公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， ∴，． 覆盖训练03:统计与数据分析 7．2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．我国机器人产业正处于高速发展的关键时期，某公司生产了一批机器人即将投入市场，为了解这批机器人的工作时长（充满电后能工作的时长），从这批机器人中随机抽取部分机器人进行测试，得到数据进行如下统计和分析． 【数据收集】对所抽取机器人工作时长进行统计（单位：）： 【数据整理】对所统计数据整理如下： 组别 工作时长 机器人数量（台） 组内工作总时长（h） A 2 4 6 5 3 【数据分析及问题解决】请你根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)所抽取机器人工作时长的中位数是 ，众数是 ； (2)求所抽取机器人工作时长的平均数； (3)若这批机器人共有2000台，请估计这批机器人工作时长不小于的有多少台？ 【答案】(1)， (2)平均数是 (3)800台 【分析】（1）先排序，后根据中位数定义计算即可；确定出现次数最多的数据即可确定正数，解答即可； （2）根据加权平均数的公式解答即可； （3）根据样本估计总体的思想解答即可． 【详解】（1）解：数据排序如下： ， 中位数是第10个数据，第11个数据的平均数即，出现次数最多的数据是， 故答案为：，． （2）解：， 所抽取机器人工作时长的平均数是． （3）解：（台）， 估计这批机器人工作时长不小于的有800台． 【点睛】本题考查了加权平均数，中位数，众数，样本估计总体，熟练掌握加权平均数，中位数，众数的概念是解题的关键． 8．某校为弘扬雷锋精神，引导青少年厚植家国情怀、践行社会主义核心价值观，鼓励他们从身边小事做起，用实际行动传递爱心与正能量，开展了“学雷锋·文明实践我行动”主题活动，并对活动期间同学们所做的弘扬雷锋精神的事情数量进行了收集、整理和分析． 【收集数据】随机调查部分学生在活动期间所做弘扬雷锋精神的事情数量． 【整理数据】将得到的数据绘制成如下不完整的统计图：              【分析数据】请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取的学生中所做弘扬雷锋精神事情数量的众数是______件； (2)求所抽取的学生中平均每人做了几件弘扬雷锋精神的事情； (3)若该校共有1500名学生参加此次活动，请估计在此次活动期间做弘扬雷锋精神的事情不少于3件（含3件）的学生人数． 【答案】(1)见解析，3； (2)2.64件； (3)人 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，众数，正确理解题意是解题的关键： （1）先求出抽取的学生总数，再求出做了3件弘扬雷锋精神的事情的学生数，补全条形统计图即可； （2）根据加权平均数计算即可； （3）根据样本估计总体即可得出答案． 【详解】（1）解：抽取的学生总数为：人， 做了3件弘扬雷锋精神的事情的学生数为：人， 条形统计图如下： 因为做了3件弘扬雷锋精神的事情的学生数最多为40， 所以抽取的学生中所做弘扬雷锋精神事情数量的众数是3； （2）， 即所抽取的学生中平均每人做了2.64件弘扬雷锋精神的事情； （3）人． 答：此次活动期间做弘扬雷锋精神的事情不少于3件（含3件）的学生人数870人 9．为了使青少年重视书写，明白汉字不仅是工具，更是民族文化的重要载体，语委会联合广播电视台每年会举办一次汉字听写大赛来激励同学们学习汉字的热情．某校七、八年级为选拔参赛选手，在校内举行了汉字听写初赛，现从该校七、八年级中各随机抽取15名学生的比赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 ．七年级15名学生的汉字听写比赛成绩 成绩 85 88 92 94 96 98 99 100 人数 1 3 2 1 3 2 1 2 整理数据 ．八年级15名学生的汉字听写比赛成绩扇形统计图 （A．，B． ，C． ，D． ） ．八年级15名学生的汉字听写比赛成绩在C组中的数据：92，91，94，90， 分析数据 ．七、八年级抽取的学生汉字听写比赛成绩统计表 平均数 中位数 众数 七年级 94 m 88，96 八年级 92 94 98 【得出结论】 根据以上信息，解答下列问题． (1)表中m的值为______． (2)七年级学生甲和八年级学生乙得分均为95分，根据以上数据，请判断两名学生在各自年级的排名谁更靠前？请说明理由． (3)若该校八年级有600名学生参加了汉字听写比赛，且参加此次比赛成绩不低于92分的学生都会获奖，请你估计八年级有多少名学生会获奖？ 【答案】(1)96 (2)八年级学生乙在其年级的排名更靠前，理由见解析 (3)八年级约有360名学生会获奖 【分析】本题考查扇形图、用样本估计总体、中位数等知识点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据七年级15名学生的汉字听写比赛成绩表格，可以得到七年级成绩的中位数； （2）根据d表格中的中位数，可以判断出甲和乙谁更靠前； （3）由600乘以八年级成绩中不低于92分的百分比即可． 【详解】（1）解∶ 根据七年级15名学生的汉字听写比赛成绩可得其中位数为96， 故答案为：96； （2）解∶ 八年级学生乙排名更靠前， 八年级学生乙的成绩95分高于本年级中位数94， 而七年级学生甲的成绩低于本年级中位数96， 八年级学生乙在其年级的排名更靠前； （3）解∶ 八年级15名学生中会获奖的人数分布在C组和D组， 其中C组有3名，D组有（名），共计9名学生， 获奖的人数百分比， 八年级参加此次汉字听写比赛会获奖的学生约有（名）， 故八年级约有360名学生会获奖． 覆盖训练04:网格作图 10．如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的；（要求：与，与，与相对应） (2)画出关于原点对称的；（要求：与，与，与相对应） (3)直接写出的面积_____． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了作图：作轴对称图形及中心对称图形，割补法求图形面积；解题的关键是熟练掌握轴对称变换和中心对称变换的定义和性质． （1）作三个顶点、、关于轴对称的对应点，依次连接这三个点即可； （2）作三个顶点、、关于原点对称的点，依次连接这三个点即可； （3）正方形面积减去三个三角形面积即可得到的面积． 【详解】（1）解：关于轴对称的图形如下： （2）解：关于原点对称的如下图所示： （3）解：． 11．如图，各顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于原点对称的； (2)写出点，，的坐标； (3)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查了作图—中心对称，利用网格求三角形面积，熟练掌握中心对称的性质是解此题的关键． （1）利用中心对称的性质作出即可； （2）利用图形写出坐标即可； （3）利用三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：即为所作， （2）解：由图可得：，，； （3）解：的面积． 12．如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)直接写出关于原点O的中心对称图形的对称点的坐标； (2)画出关于原点O的中心对称图形； (3)求的面积． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图-中心对称变换，利用网格求面积，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （）根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解； （）根据（1）中结论作图即可； （）利用长方形面积减去三个直角三角形的面积即可； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，； （2）解：如图，即为所求， （3）解：的面积为． 覆盖训练05:一元二次方程根与系数关系 13．已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的两个实数根为满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，完全平方公式，熟练掌握概念和运算技巧即可解题． （1）根据根的判别式即可求证出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得与、的关系式，进一步可以求出答案． 【详解】（1）证明：∵ ， ∵无论为何实数，， ∴， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）由一元二次方程根与系数的关系得：，， ∵， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得或． 14．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． 【详解】（1）证明： ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解： 又 ． 15．关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取得最大整数值时，方程的两个实数根分别为、，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了求整式的值，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等； （1）由根的判别式得，即可求解； （2）由（1）可求出，据此求出原方程，由根与系数的关系进行求解即可； 能熟练利用根的判别式及根与系数的关系进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：一元二次方程有实数根， ， 解得：， k的取值范围为且； （2）解：且； k取得最大整数值为， 原方程为， ， ， ， ． 覆盖训练06:三角形中位线的应用 16．如图，在中，平分交于点D，点F在上，连接，E为的中点，、交于点G，连接． (1)若，求的长； (2)若点F在直线上，当时，求的长． 【答案】(1)6 (2)5或25 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的判定及其性质， 对于（1），先求出，再根据等腰三角形的性质得，然后说明是的中位线，可得答案； 对于（2），分三种情况：当F在线段上时，当F在线段CB延长线上时，当F在线段BC延长线上时，结合三角形中位线的性质得出答案. 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵，平分， ∴. ∵点E是中点， ∴是的中位线， （2）解：①当F在线段上时， 由（1）得， ∴； ②当F在线段延长线上时，如图1， 由(1)得， 此情况不成立； ③当F在线段延长线上时，如图2，由(1)得， ∴. 综上所述：的长为5或25． 17．（1）如图（1），在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． （2）如图（2），延长图（1）中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：． （3）如图（3），在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，试判断的形状．并进行证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，证明见解析． 【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明； （3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状. 【详解】证明：（1）是的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2）的中点，是的中点， ， . 同理，. 由（1）可知， . （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 18．如图，点、是两直角边、上的一点，连接，已知点、、分别是、、的中点． (1)若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由； (2)连，取中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)且．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线的性质、平行线的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． （1）根据中位线的性质得出，，，，根据得出，根据平行线的性质及直角三角形两锐角互余的性质得出即可得答案； （2）连接、，根据中位线的性质得出，根据平行线的性质，结合得出，根据中位线的性质求出，，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）解：（1）且．理由如下： ∵、、分别是、、的中点， ∴，，，， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴且． （2）解：如图所示：连接、， ∵、分别是和的中点， ∴，， 由（1）可知：，， ∴， ∵， ∴， ∵、、分别是、、的中点， ∴，， ∴． 覆盖训练07:平行四边形的性质与判定 19．如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若与交于点G，且，，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得，即，进而利用平行四边形的判定即可得证； （2）先求得，进而求得，，过G作于H，利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质求得、、，进而求得即可得所求面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵等边和等边， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 过G作于H， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，证得是解答 的关键． 20．如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求点D到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等． （1）由得，证明，推出， ，即可证明四边形是平行四边形； （2）设点D到的距离为h，根据求解． 【详解】（1）证明：点E和点F是直线上的两点且， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． （2）解：设点D到的距离为h， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点D到的距离是 21．如图，在四边形中，，连接，以为边作，使得，，过点C作交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积是10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，垂直平分线的判定与性质，平行线的判定等知识点．注意掌握数形结合思想的应用． （1）证明垂直平分，得出，结合，证出，结合即可证明． （2）由（1）可知，垂直平分，四边形是平行四边形，得出，．结合，即可求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）可知，垂直平分，四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 覆盖训练08:一元二次方程的应用 22．某商店以每件40元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出180件商品： (1)求该商品价格的平均月增长率； (2)因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每降低1元，每个月多卖出10件，则商家在降价的同时，为保证每月的利润达到6000元，应将售价定为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商品平均每月的价格增长率为m， ， 解得， (舍去)． 答∶该商品平均每月的价格增长率为 （2）解：依题意，得， 解得∶， ∵商家尽快将这批商品售出， ∴取60， 答∶x为60时该商品每月的利润可达到6000元． 23．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是． (1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价为元时，每天可获得最大利润为元 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数表达式是解题的关键． （1）设月平均增长率是，利用月份的水果销售量月份的水果销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价降低元，利润为，则水果的销售利润为元，每天的销售量为件，列出函数关系式解答即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故该平台月份到月份销售的月平均增长率是． （2）解：设售价降低元，利润为， 则水果的销售利润为元，每天的销售量为件， ∴， ∵， ∴降价元，即售价为元时，每天可获得最大利润为元． 24．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)宽为5米，长为米 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可． （2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 覆盖训练09:配方法求最值 25．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 26．阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，代数式求值，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式是解题的关键． （1）应用配方法将方程变形为，解方程得到，，代入计算即可； （2）为等腰三角形，理由：先将方程变形为，解方程得到，，进而得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，， . （2）解：为等腰三角形. 理由：， ， ， ，， ，， . 为等腰三角形. 覆盖训练10:平行四边形动点求t 27．如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)；；或 (2)当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； （2）解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 28．如图，四边形中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿线段的方向向点运动，动点从点出发，以每秒2个单位长的速度沿射线的方向运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒． (1)当时，的面积为______； (2)若四边形为平行四边形，求运动时间t； (3)是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，列出方程求解． （1）作，，证明，从而求得，进而求得和的长，进一步求得结果； （2）由列出方程求得结果； （3）作于，于，以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，即， 据此求解即可． 【详解】（1）如图1， 作于，作于， ， ， ， ，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 故答案为：； （2）， 当时，四边形是平行四边形， ， ； （3）如图，作于，于， 以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，即， ，， ， ， ， 覆盖训练11:一元二次方程的新定义 29．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 30．定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“特优方程”． 如：一元二次方程的两根为，，满足，所以一元二次方程为“特优方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“特优方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程是“特优方程”，且方程的两根，满足，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“特优方程”，求的取值范围． 【答案】(1)一元二次方程是“特优方程”，理由见解析 (2) (3)的取值范围是或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“特优方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“特优方程”的定义判断即可； （2）由可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求解； （3）解该一元二次方程，得出或，再根据此方程为“特优方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，分两种情况：当时，当时，根据可求出的取值范围． 【详解】（1）解：一元二次方程是“特优方程”，理由如下： ，，满足，， 一元二次方程是“特优方程”； （2）关于的一元二次方程为， ，， ， ， ， 整理得：， ， ， （不合题意，舍去），， 当时，原一元二次方程为， 解得：，， 满足，， ； （3） 或 解得：或， 是“特优方程”， ，， ， ，且， 当时，或， ， ， 解得：， 当时，或， ， ， 解得：， 综上所述，的取值范围是或． 覆盖训练12:平行四边形的折叠 31．如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形． (1)连结交于点O，连结． ①求证：． ②若，求的长． (2)若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）①根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到结论； ②过D作于H，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理得到，连接交于G，根据折叠的性质得到，，根据中位线定理得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到结论； （2）当在边上时，过D作，得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到；当C在边上时，如图，设，交于H，连接，根据折叠的性质得到，，，故是中位线，求得，根据等腰直角三角形 到现在得到；当点与点A重合时，过A作于H，求得，根据勾股定理得到． 【详解】（1）解：在中，，， ， 即， ， ，， ， ； ②过D做于H， ， ， ， 在中，， 连接交于G， 由折叠可知．， 又， 是的中位线， ， 是的中垂线， ； （2）解：或5或 当在边上时（图1）， 由折叠可知， 过D做， ， ． 由折叠，， 当在边上时（图2）， 由折叠，，． 又，故是中位线． 因此， 是等腰直角三角形， ． 当与A重合时（图3）， 过点A作， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 综上所述，或5或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 32．如图1，在中，，，．以为边，在外作等边，D是的中点，连接并延长，交于点E．      (1)直接写出边的长为______； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)将图1中的四边形折叠，折痕为，F在上，G在上： ①如图2，若使点C与点A重合，求的长； ②若使点C与的一边中点重合，直接写出的长是______． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)①，②4或或1 【分析】（1）根据含有角的直角三角形的边长关系，即可解答； （2）证明，求出，可得，再证明，即可解答； （3）①设，由折叠可得，在中，根据勾股定理，列方程即可解答； ②分类讨论：点C与的中点重合；点C与的中点重合；点C与的中点重合，依次画图解答即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴； （2）证明：∵中，D为的中点， ∴，， ∴， ∴，， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）①设，由折叠可得：， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ；   ②当点C与的中点D重合时，；   当点C与的中点重合时，连接（如图3－1中）.    可得，， 在中，有，即， ∴；   当点C与的中点重合时，连接，过点作于点J.    则，， 在中，， ∴， ∴.   综上所述，满足条件的的长为4或或1． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，含有角的直角三角形，应用分类讨论画出图形是解题的关键． 覆盖训练13:一次函数的平行四边形 33．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)若点在轴上方，且的面积为18，求点坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．M是x轴上一点，在直线上是否存在点N，使四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积，勾股定理，待定系数法，平行四边形的性质． （1）根据坐标轴上点的坐标特征求点和点坐标，再将点坐标代入一次函数即可求解； （2）过点作轴于，设点，则，根据可得的值，即可求解． （3）推导出，，，设点，根据四边形是平行四边形可以得到到与到的平移方式一致，据此求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴点坐标为； 当时，，则点坐标为； 将代入一次函数得：， 直线的表达式为， 当时，，解得，则点坐标为； （2）解：过点作轴于，如图1， 设点， ∵点在轴上方， ， 点坐标为，点坐标， ， ， ， ， 解得； 存在，点的坐标为； （3）解：当时，， ∵过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，， ， ∴向下移动3个单位长度到， 设点， 如图： ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴到与到平移方式一致， 即向下移动3个单位长度到， ∵M是x轴上一点， ∴，解得， 点的坐标为． 34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在轴上，当最小时，求出点的坐标； (3)在（2）条件下，在平面内是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)存在，的坐标为或或． 【分析】本题考查一次函数的综合应用，待定系数法，最短距离问题，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）用待定系数法可得直线的解析式为； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于，由，关于轴对称，得，，故当，，共线时，最小，最小值为的长度，求出，，用待定系数法得直线解析式为，令得的坐标为； （3）设，分三种情况：①当，为对角线时，，的中点重合，，②当，为对角线时，，的中点重合，，③当，为对角线时，，的中点重合，，分别解方程组可得答案． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：作关于轴的对称点，连接交轴于，如图： ，关于轴对称， ， ， 当，，共线时，最小，最小值为的长度， 在中，令得， ， ， 设直线解析式为，把，．代入得： ， 解得， 直线解析式为， 在中，令得， 的坐标为； （3）解：在平面内存在一点，使得以、、、四点为顶点的平行四边形，理由如下： 设， 又，，， ①当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， ； ②当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， ； ③当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， ； 综上所述，的坐标为或或． 覆盖训练14:中位线的性质求解 35．已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)如图2，点E、F 分别在、上，连接交于点K，，，，求：的值 (3)如图 3，在（2）的条件下，点P是下方一点，连接，，，G为中点，连接KG，若， ，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)8 【分析】（1）连接，证明即可得证； （2）过作，证明，在中，利用勾股定理可得，进而可得的值； （3）延长、交于，证出，再过作，取的中点，连接、、、，从而可证出，再证，，即可求出． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：过作，交于， ∵四边形 是平行四边形，， ∴，，，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中 ，， ， ， ∴． （3）解：延长、交于， ， ∵， ∴, ，， 由（2）得：， ， 即：， 是等边三角形， 设， ，， ， 在中 ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过作，取的中点，连接、、、， ， ，， 是的中点， ，， ， ，，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了考查了平行四边的判定与性质，等边三角形的判定及性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，中位线等，掌握相关判定定理及性质，根据题意作出辅助线，构建直角三角形是解题的关键． 36．【问题初探】 （1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长． 【类比拓展】 （2）如图2，中，平分，于，．求证：； 【学以致用】 （3）如图3，在，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）连接，交于点，易得，勾股定理求出的长，即可； （2）延长交的延长线于点，先证明，得到，取的中点，连接，利用中位线定理，得到，且，证明，得到，即可得出结论； （3）连接，取中点，连接，，利用中位线定理，得到是等边三角形，是等边三角形，设，进而利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的值，进一步求解即可． 【详解】解：（1）连接，交于点，如图， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，，， ， ； （2）证明：如图，延长交的延长线于点， 平分，， ，， 又， ， ， 取的中点，连接，则有，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图，连接，取中点，连接，， 、分别为和中点， 和分别为和的中位线， 且且， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 设，则，在中，由勾股定理得，， 解得， 即， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是构造中位线． 覆盖训练15:探索解决任务 37．阅读下列材料，并完成相应的任务． 探究：一元二次方程的几何解法 通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求解的过程： 解：，如图①，分别以和为两边构造一个长方形；如图②，把长方形分成一个面积是的正方形和两个面积是的长方形；将图②分割、拼接成图③的图形，则图③阴影部分的面积是________，这样就将两条边长分别为和的长方形变成一个边长是的正方形． 根据图③可以得到：________； 所以，方程的正数解________． 几何法求解一元二次方程，只能得到正数解． 任务：根据上述材料，请你用几何方法求方程的正数解．要求如下： （1）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． （2）根据（1）所画图形直接写出方程的正数解是________． 拓展： 根据阅读探究，你能否用“立体图形的组合”，求特殊的一元三次方程的正根？ 如：求方程的正根： 类比平面图形的研究，可将此问题转化成正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块； 需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块； 需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的正根________． 【答案】（1）图见解析；（2）4；（3）1，3，3，1，7 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，明确一元二次方程的几何解法是解题的关键 （1）由，作图即可； （2）由题意知，，即，进而可求正数解； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块；则，进而可求正数根． 【详解】（1）解：∵， ∴作图如下； （2）解：由题意知，，即， ∴方程的正数解是， 故答案为：4； （3）解：由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块； ∴， ∴方程的正根， 故答案为：1，3，3，1，7． 38．阅读下列材料并完成相应的任务． 四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线，如图1，在四边形中，设，与不平行， E， F分别为，的中点，则有结论：． 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接，取的中点M，连接，． 点E，点M分别是和的中点， ，且（依据）． 同理：，且． ， ． 在中， 即． 方法二：如图3，连接并延长至点G，使，连接，． …… 任务： (1)填空：材料中的依据是指 ； (2)将方法二的证明过程补充完整； (3)如图4，在五边形中，，，，．若点F，G分别是边，的中点，则线段的长的取值范围是 ． 【答案】(1)三角形中位线定理 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”解答即可； （2）证明，推出，在中，利用三角形中位线定理即可得解； （3）连接，作，利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求得，再利用（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：如图2，连接，取的中点M，连接，． 点E，点M分别是和的中点， ，且（三角形中位线定理）． 同理：，且． ， ． 在中， 即． 故答案为：三角形中位线定理； （2）如图3，连接并延长至点G，使，连接，． ∵点F是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴ ，且， ∵， ∴， 在中，， ∴，即； （3）连接，作，垂足为， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵分别是边的中点， 由（1）得，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 覆盖训练16:平行四边形的新定义 39．定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形． (1)已知四边形是对补四边形． ①若，则 ． ②如图①，的平分线分别与相交于点E、F，且，求证：； (2)如图②，在四边形中，对角线，交于点E，且平分，，平分，与交于点F，且于点G，则四边形是对补四边形吗？请说明理由； (3)已知四边形是对补四边形，其三个顶点A，B，D如图③所示，连接，．若平分，平分，且直线，交于点O（与点C不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①115；②见解答； (2)四边形是对补四边形，证明见解析； (3)或或 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和与外角性质是解题的关键． （1）①由对补四边形的定义：有一组对角互补，进行计算即可得到答案； ②由对补四边形的定义及角平分线的定义可得，由同角的余角相等可得，从而即可得证； （2）由角平分线的性质、三角形外角的定义以及同角的余角相等可求得，从而即可得到四边形是对补四边形； （3）根据题意画出图形，再根据对补四边形的定义、角平分线的性质、四边形的内角和为，以及三角形外角的定义，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①四边形是对补四边形，， ． 故答案为：； ②证明：， 又四边形是互补四边形， ， 分别平分， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：四边形是对补四边形 理由：是的外角， ， 又， ， ， ， ， 在中，， ， 又， ， 分别平分， ， ， 四边形是对补四边形． （3）解：第一种答案： 四边形是对补四边形， ， 为角平分线， ， 四边形内角和为， 在四边形中， 即， ， ， 即； 第二种答案： 四边形是对补四边形， ， 为角平分线， ， 在中，， 在中，， ， 即； 第三种答案： 四边形是对补四边形， ， 为角平分线， ， 在中，外角， 在中，， 即． 40．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【性质探究】 如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论 ， ； 【问题解决】 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点， （1）试探索与的数量关系，并说明理由． （2）若，则的最小值是 ． 【答案】性质探究：，；问题解决：证明见详解；拓展应用：（1），理由见详解；（2） 【分析】性质探究：由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且、、、分别是、、、的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：如图2，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（1）如图3，分别作、的中点、并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （2）如图4，分别作、的中点、并顺次连接、、、，连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，再结合（1）的结论即可求得答案． 【详解】性质探究：①，②； 理由如下：如图1， 四边形是“中方四边形”， 是正方形且、、、分别是、、、的中点， ，，，，，， ，， 故答案为：，； 问题解决：如图2，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于， 四边形各边中点分别为、、、， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ，，， 又， ， 即， 在和中， ， ， ，， 又，， ， 是菱形， ， ． 又，， ， ， 又，， ， 菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”； 拓展应用：（1），理由如下： 如图3，分别作、的中点、并顺次连接、、、， 四边形是“中方四边形”， ，分别是，的中点， 四边形是正方形， ，， ， ，分别是，的中点， ， ； （2）如图4，分别作、的中点、并顺次连接、、、， 连接交于，连接、， 当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长， ， 由性质探究②知：， 又，分别是，的中点， ，， ， ， 由拓展应用（1）知：； 又， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 覆盖训练17:二次根式分母有理化 41．观察下列一组等式，解答后面的问题： ，，，， (1)填空 ； ． (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算以及分母有理化，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）分子，分母同乘以有理化因式即可得到答案； （2）利用分母有理化得到，然后合并后利用平方差公式计算； （3）先分子有理化，再比较即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：，； （2）解： ； （3）∵， ， 又 ∴． 42．阅读下面的材料，并解答后面的问题： ； ； ； … (1)观察上面的等式，请直接写出（为正整数）的结果　　　； (2)计算　　　； (3)请利用上面的规律及解法计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查分母有理化，二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则． （1）分子，分母都乘以，再化简即可； （2）直接利用平方差公式计算即可； （3）先计算括号内的运算，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$