精品解析：2025年河南省驻马店市上蔡县九年级中考一模数学试卷

天宏大联考2025年河南省中招第一次模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．请将正确答案的序号填在括号内． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年8月29日华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟处理器， 这款处理器是华为首款采用 制程技术的手机芯片，，其中用科学记数法表示为( ) A. B. m C. m D. m 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理依据为( ) 因为， 所以(依据：______) A. 平角的定义 B. 同角的余角相等 C. 同角的补角相等 D. 同位角相等 5. 小明同学学习时善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则的度数为（ ） A B. C. D. 6. 将一个六角螺母按如图所示的方式摆放，则不属于它的三视图的是（ ） A. B. C. D. 7. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则的值为（ ）（） A. 0 B. 0.14 C. 0.5 D. 1 8. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随增大而增大．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③④⑤ 10. 如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是1/秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式无意义，则实数的取值范围是______． 12. 新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则______． 13. 如图，图1是一个边长为2，有一个内角为的菱形，我们称之为原始菱形，将图1中的菱形沿水平方向向右平移个单位，得到图2，将图2中的原始菱形沿水平方向平移个单位，得到图3，依此类推… 若经过若干次平移后，图的面积为，则______． 14. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫格点，格点的连线与格点的连线交于点，若经过点作圆，则图中阴影部分的面积为___________． 15. 如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点到、的距离分别记为，，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 先化简，再求值：，其中是方程的解． 17. 为提高居民防范电信网络诈骗意识，某社区举办相关知识比赛．现从该社区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名队员的比赛成绩（满分100分），并进行整理、描述和分析（分数用x表示，共分为四组：A． ，B． ，C． ，D． ），下面给出了部分信息： 甲队10名队员的比赛成绩：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100． 乙队10名队员的比赛成绩在D组中的所有数据为：92，92，97，99，99，99． 甲、乙代表队中抽取的队员比赛成绩统计表 代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比 甲 90 a 94 10% 乙 90 92 b 20% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）该社区甲代表队有200名队员、乙代表队有230名队员参加了此次比赛，估计此次比赛成绩在A组的队员共有多少名； （3）根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 18. 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点，，，在一条直线上），经测得： ，，求铁架台和点的水平距离的长度（结果精确到）．（参考数据： ，，） 19. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． （1）求的值并直接写出点的坐标； （2）点是轴上动点，连接，，求的最小值； （3）点是坐标轴上的一点，点是平面内一点，是否存在点、使得四边形是矩形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 【阅读材料】在学习完《24.2．2直线与圆位置关系》，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线，使与相切于点Q． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④连接，交于点D，则直线即为所求作直线． 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】 （1）完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合作图，说明是切线的理由； （3）若半径为3，，求的长． 21. 某商店看中暑假学生研学需要双肩包的商机，购进一批学生用双肩包进行销售，进货价和销售价如下表（注：利润销售价进货价） 类别价格 Ⅰ类学生用双肩包 Ⅱ类学生用双肩包 进货价（元/件） 50 40 销售价（元/件） 65 50 （1）商店用8600元购进Ⅰ，Ⅱ类两款双肩包共200件，求两款双肩包分别购进的件数； （2）研学过后，商店老板发现Ⅱ类学生用双肩包大量积压，于是降价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使Ⅱ类学生用双肩包平均每天销售利润最大？ 22. 掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求抛物线的表达式； （2）根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． （3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天宏大联考2025年河南省中招第一次模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．请将正确答案的序号填在括号内． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解， 故选：A． 2. 2023年8月29日华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟处理器， 这款处理器是华为首款采用 制程技术的手机芯片，，其中用科学记数法表示为( ) A. B. m C. m D. m 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法表示为m， 故选D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、分式的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、分式的乘方法则计算，判断即可． 【详解】解：A、，运算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算正确，符合题意； 故选：D． 4. 课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为( ) 因为， 所以(依据：______) A. 平角的定义 B. 同角的余角相等 C. 同角的补角相等 D. 同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查对顶角、邻补角，理解对顶角、邻补角的定义是正确判断的关键．根据“同角的补角相等”进行判断即可． 【详解】解：因为， 所以(依据：同角补角相等) 故选：C． 5. 小明同学学习时善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点E作，然后利用平行线的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 将一个六角螺母按如图所示的方式摆放，则不属于它的三视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了视图的知识；解题的关键是熟练掌握视图的性质，从而完成求解．根据立体图形视图的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：六角螺母的主视图是， 左视图是， 俯视图是， 因此C选项中的图不属于它的三视图， 故选：C． 7. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则的值为（ ）（） A. 0 B. 0.14 C. 0.5 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的面积公式得到⊙O的面积S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，即可得到结论． 【详解】∵⊙O的半径为1， ∴⊙O的面积S＝， ∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°， ∴过A作AC⊥OB， ∴AC＝OA＝， ∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×＝3， ∴则S−S1＝−3=0.14， 故选B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键． 8. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让红灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况， ∴能让红灯发光的概率为． 故选：A． 9. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随增大而增大．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，性质，增减性，对称性，顶点，熟练掌握二次函数的相关知识，灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据轴对称的性质求得抛物线与轴的另一个交点坐标为，可判断①正确；当时，值为正，可判断②正确；根据对称轴为直线，且抛物线过原点，求得，，可判断③错误；求出顶点坐标，判断④正确；利用二次函数的增减性，可判断⑤错误． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标， 抛物线与轴的另一个交点坐标为，结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， 当和时，值相同，且均为正， ，结论②正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线过原点， ，， ，， ，结论③错误； 当时，， 抛物线的顶点坐标为，结论④正确； 观察函数图象可知：当时，随增大而增大，结论⑤错误． 综上所述，正确的结论有：①②④． 故选：B． 10. 如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是1/秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象得到，结合矩形性质和三角形面积公式得到，利用勾股定理和函数图象得到，即可判断①；结合余弦定义，即可判断②，当时，设，利用待定系数法求出二次函数解析式，即可判断③，相似三角形判定定理证明，即可解题． 【详解】解：①由图（2）知，当时，， 由题知，当时，， 四边形为矩形， ， 与间距为， ， ， ， 故，即①正确； ②，故②错误； ③当时，设， 过点， ，解得， ，故③错误； ④当秒时，点在上，此时，则， ，，， ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，待定系数法求二次函数，相似三角形判定，锐角三角函数，矩形性质，解题的关键在于从函数图象获取需要的信息． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式无意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式和分式无意义的条件，根据二次根式和分式无意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式和分式无意义的条件． 【详解】解：∵代数式无意义， ∴，解得：， 故答案为：． 12. 新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键；通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【详解】解：解方程，可得， ∵是“倍根方程”， ∴当是6 的2倍时，即有， 当6是的 2 倍时，即有． 故答案为：或． 13. 如图，图1是一个边长为2，有一个内角为的菱形，我们称之为原始菱形，将图1中的菱形沿水平方向向右平移个单位，得到图2，将图2中的原始菱形沿水平方向平移个单位，得到图3，依此类推… 若经过若干次平移后，图的面积为，则______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题关键是学会探究规律的方法，学会利用参数构建方程解决问题．连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据平移可知：，，，证明，得出，证明，，求出，得出图2长面积为，同理得出图3的面积为，图4的面积为，总结得出一般规律：图n的面积为，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据平移可知：，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴为的中点，为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴图2的面积为：， 同理可得：图3的面积为， 图4的面积为， 图n的面积为， 当时， 解得：． 故答案为：17． 14. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫格点，格点的连线与格点的连线交于点，若经过点作圆，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、求半圆的面积、三角形的面积，作于，延长交于，由题意可得：，从而得出，，进而得出，结合图形求出，最后根据，进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，延长交于， ， 由题意可得：， ，， ， 相似比为， ， 由图可得：， ，， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点到、距离分别记为，，若，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题属于中考填空题的压轴题，考查的是矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，掌握矩形的性质和翻折的性质是解题的关键．根据题意分两种情况画图：①如图1，当点在矩形内，过点作交于点，交于点，②如图2，当点在矩形外，过点作交于点，交于点，然后分别根据矩形和翻折的性质即可解决问题． 【详解】解：①如图1，当点矩形内， 过点作交于点，交于点， 则四边形是矩形， ，， ， ， ，， 由折叠可知：，， ， 设， 由折叠可知：， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得； ②如图2，当点在矩形外， 过点作交于点，交于点， 则四边形是矩形， ， ， ， ，， 由折叠可知：，， ， 设， 由折叠可知：， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得； 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解分式方程，熟练掌握分式混合运算法则，解分式方程的基本步骤，是解题的关键．先根据分式混合运算法则进行化简，然后解分式方程得出，最后代入求值即可． 【详解】．解： ． ． 由可得， 检验：当时，， ∴的解为， 当时，原式． 17. 为提高居民防范电信网络诈骗的意识，某社区举办相关知识比赛．现从该社区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名队员的比赛成绩（满分100分），并进行整理、描述和分析（分数用x表示，共分为四组：A． ，B． ，C． ，D． ），下面给出了部分信息： 甲队10名队员的比赛成绩：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100． 乙队10名队员的比赛成绩在D组中的所有数据为：92，92，97，99，99，99． 甲、乙代表队中抽取的队员比赛成绩统计表 代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比 甲 90 a 94 10% 乙 90 92 b 20% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）该社区甲代表队有200名队员、乙代表队有230名队员参加了此次比赛，估计此次比赛成绩在A组的队员共有多少名； （3）根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）93，99，10 （2）43 （3）甲队，理由见详解． 【解析】 【分析】本题主要考查中位数、众数、平均数以及所占比例的意义和计算方法． （1）根据中位数、众数的定义和百分比之和为1求解即可； （2）甲队总人数乘以样本中A组所占比例加上乙队总人数乘以样本中A组所占比例即可． （3）根据平均数和中位数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：甲队10名队员的比赛成绩：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100． 所以， ， ∴ 根据成绩统计表和扇形统计图可知： 乙队10名队员的比赛中A组有1人，B组有1人，C组有2人， ∴乙队10名队员中众数为D组出现3次的99． 故答案为：93，99，10． 【小问2详解】 根据题意，甲队A组人员有1人，∴A组占比为：， 由（1）可知乙队A组占比：， ∴此次比赛成绩在A组的队员共有（人）， 【小问3详解】 根据甲、乙代表队比赛成绩统计表，可知：甲队的比赛成绩更好， 代表队 平均数 中位数 众数 甲 90 93 94 乙 90 92 99 ∵甲、乙队平均数都为相等，而甲队的中位数大于乙队， ∴甲队的比赛成绩更好． 18. 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点，，，在一条直线上），经测得： ，，求铁架台和点的水平距离的长度（结果精确到）．（参考数据： ，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．过点分别作，，垂足分别为、，在中得出的长，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：过点分别作，，垂足分别为、， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，． 在中，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度约为．． 19. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． （1）求的值并直接写出点的坐标； （2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值； （3）点是坐标轴上的一点，点是平面内一点，是否存在点、使得四边形是矩形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）存在，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（）将点代入直线，可求得点坐标，即可求得，再由直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形， 即可求出点的坐标； （）作轴于点，轴于点，证明，利用相似三角形的性质得出，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则即为的最小值，然后利用勾股定理即可求解； （）分当点在轴上时，当点在轴上时，过点作轴于点，再利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∵直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形，、是它们的交点， ∴、关于原点对称， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点，轴于点， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则即为最小值， ∵，， ∴， ∴， 故的最小值为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当点在轴上时，如图， 设点的坐标为， 过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 由平移的性质可求； 当点在轴上时，过点作轴于点，如图， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 由平移的性质可求； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，中心对称性质，最短问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，掌握知识点的应用及分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 20. 【阅读材料】在学习完《24.2．2直线与圆的位置关系》，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线，使与相切于点Q． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④连接，交于点D，则直线即为所求作直线． 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】 （1）完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合作图，说明是切线的理由； （3）若半径为3，，求的长． 【答案】（1）画图见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的作法与证明，还涉及切线的性质、线段垂直平分线的性质、圆的性质、勾股定理等，解题的关键是熟知圆的相关性质． （1）根据题干提供的方法作出的切线即可． （2）依据直径所对的圆周角是直角可推得半径，则即为的切线． （3）连接．先由勾股定理求得的长，再由线段垂直平分线的性质可设，则，然后利用中的三边关系可求得x的值即可． 【小问1详解】 画图：如图所示． 【小问2详解】 证明：由题意，得：为的直径， ∴． ∴． ∵为的半径， ∴直线为的切线； 【小问3详解】 解：连接OD． ∵，， 在中，． 由作图可知：为的垂直平分线， ∴． 设．，则 在中，， ∴． 解得． 即：． 21. 某商店看中暑假学生研学需要双肩包的商机，购进一批学生用双肩包进行销售，进货价和销售价如下表（注：利润销售价进货价） 类别价格 Ⅰ类学生用双肩包 Ⅱ类学生用双肩包 进货价（元/件） 50 40 销售价（元/件） 65 50 （1）商店用8600元购进Ⅰ，Ⅱ类两款双肩包共200件，求两款双肩包分别购进的件数； （2）研学过后，商店老板发现Ⅱ类学生用双肩包大量积压，于是降价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使Ⅱ类学生用双肩包平均每天销售利润最大？ 【答案】（1）购进60件Ⅰ类学生用双肩包，140件Ⅱ类学生用双肩包 （2）将销售价定为每件46元时，才能使Ⅱ类学生用双肩包平均每天销售利润最大为72元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次函数的应用． （1）设购进件Ⅰ类学生用双肩包，件Ⅱ类学生用双肩包，利用总价单价数量，结合商店用8600元购进Ⅰ，Ⅱ类两款双肩包共200件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售价每件降低元，每天利润为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可得二次函数，先确定的取值范围，再根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设购进件Ⅰ类学生用双肩包，件Ⅱ类学生用双肩包， 根据题意得：， 解得：， 答：购进60件Ⅰ类学生用双肩包，140件Ⅱ类学生用双肩包； 【小问2详解】 解：设销售价每件降低元，每天利润为元， 则每件的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值72， 此时，， 答：将销售价定为每件46元时，才能使Ⅱ类学生用双肩包平均每天销售利润最大为72元． 22. 掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求抛物线的表达式； （2）根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． （3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分． 【答案】（1） （2）没有得满分，见解析 （3）当掷出点的高度至少达到时，可得满分 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． （1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可； （3）把，代入得解析式，求出，再令即可求解． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 把代入上式得， 解得． ∴关于的函数表达式为． 【小问2详解】 解：该女生在此项考试中没有得满分．理由如下： 当时，即：， 解得，（舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中没有得满分． 【小问3详解】 解：可设． 把，代入得，， 求出． ∴． ∴ 答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $