精品解析：重庆市大学城第一中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

重庆市大学城第一中学校高2027届（下）3月月考 数学试题 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷 选择题（满分58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A B. C. D. 2. 对于非零向量，，“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数，的增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在上有且只有3个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列各式的值为的是（ ） A B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示（分隔直线右侧函数的零点为），则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. D. 函数上单调递增 11. 定义在上的函数满足，且的图象关于对称，设，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡相应位置（只填结果，不写过程） 12. 向量化简后等于______ 13. 在中，若，则的值为__________. 14. 式子的值为__________. 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 15. 平面直角坐标系中，角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为 （1）求，； （2）化简并求值：. 16. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系. （1）求的表达式： （2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 18. 已知函数最大值为. （1）求的值和的对称轴； （2）求在上的单调递减区间； （3）若，成立，求取值范围. 19. 已知函数． （1）若的终边经过点，求的值； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象，求的最小值； （3）若函数在上的最大值为整数，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市大学城第一中学校高2027届（下）3月月考 数学试题 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷 选择题（满分58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式可得出所求代数式的值. 【详解】． 故选：B. 2. 对于非零向量，，“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反向量一定共线向量，共线向量不一定是相反向量可求解. 【详解】对于非零向量，，因为， 所以，则， 即“”能推出 ， 但当时，，显然 不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数，正弦函数的性质判断，，的范围，比较，，的大小即可. 【详解】由指数函数性质得，由对数函数性质得， 由正弦函数性质得，则，故B正确. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合诱导公式即可求解. 【详解】因为. 又因为，所以. 故选：D 5. 函数，的增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，再用整体代换的方法即可求出单调增区间. 【详解】由题意，得. 令，解得. 所以函数的单调增区间为. 因为，所以令，则得函数，的单调增区间为 . 故选：C. 6. 函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和可立即得到，再验证当时有，即可得到函数的最小值是. 【详解】①一方面，显然，，故. ②另一方面，当时，有. 综合①②两方面，可知的最小值是. 故选：C. 7. 已知函数，若在上有且只有3个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合的范围及正弦函数的图象和性质，求出的取值范围即可． 【详解】由辅助角公式得， 因为，所以， 因为在上有且只有3个零点，所以结合正弦函数图象可知， 解得，则，故A正确. 故选：A 8. 函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，画出函数图象，分类讨论，将题意转化为函数与交点个数问题，根据二次函数性质求解即可. 【详解】当时，的图象如图所示， 则，令，则方程为，， 又，当时，若方程在内有两个不同的解， 只需只有一解，即函数与，只有一个交点， 又函数在上单调递减，所以，即； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，若方程在内有两个不同的解， 只需有两个不同的解， 即函数与，有两个不同的个交点， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得到结果，本题的关键是采用换元法，设，将原方程转化为一元二次方程，结合二次函数图象列出不等式，解出即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式可求A；利用同角三角函数的基本关系以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦公式可求解C；利用二倍角的余弦公式可求解D； 【详解】对于A：因为， 所以原式， A不符合； 对于B：原式 ，B符合； 对于C：原式 ，C符合； 对于D：原式，D符合. 故选：BCD. 10. 已知函数的部分图象如图所示（分隔直线右侧函数的零点为），则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. D. 函数在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出周期及，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期，故A错误； 对于B，由，所以， 因为，则，则， 因为，则，故B正确； 对于C，，又，所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D，由，得， 而，即时，没有意义，故D错误； 故选：BC. 11. 定义在上的函数满足，且的图象关于对称，设，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数图象变换可得对称性，进而可得周期性，可得答案. 【详解】对于A，函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到， 直线向右平移个单位可得直线， 因为函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线，即轴对称，函数为偶函数，故A错误； 对于BC，由A可知，由， 则，所以函数的图象关于成中心对称， 由， 则函数的图象可由函数向左平移个单位，再向下平移个单位得到， 由点与轴向左平移个单位，再向下平移个单位得到点与直线， 则点与直线分别是函数图象的对称中心与对称轴， 易知函数图象对称中心与对称轴分别是点与直线，， 当时，直线是函数图象的对称轴，函数是偶函数，故B正确， 当时，点是函数图象的对称中心，故C正确， 对于D，由，则， 易知函数的最小正周期， 则，易得，，，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡相应位置（只填结果，不写过程） 12. 向量化简后等于______ 【答案】 【解析】 【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可. 【详解】由向量加法的运算法则，可得 . 故答案为： 13. 在中，若，则的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用三角形内角和可求得，进而利用两角和的正切公式的变形公式可求解. 【详解】在三角形ABC中，因为， 所以 . 故答案为：. 14. 式子的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先应用二倍角余弦公式，正弦公式及切化弦化简求出，再结合两角和正弦公式计算化简即可. 【详解】 故答案为： 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 15. 平面直角坐标系中，角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为 （1）求，； （2）化简并求值：. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义求出，再由二倍角的正切公式即可求出. （2）由诱导公式和同角三角函数的商数关系化简已知式即可得出答案. 【小问1详解】 根据三角函数的定义：，， 则，. 【小问2详解】 . 16. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系、和角正弦公式求值. （2）利用平方关系、诱导公式及和角的余弦公式求值. 【小问1详解】 由，得，而，则， 所以. 【小问2详解】 由，得，而，则， 所以 . 17. 建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系. （1）求的表达式： （2）请根据（1）结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 【答案】（1） （2）8小时 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的图像即可求得表达式； （2）根据正弦函数的图像与性质解即可得. 【小问1详解】 因为图象上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为， 所以， 所以，解得， 将代入解析式，有， 故，解得， 由，故， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，，所以， 所以， 解得， 因为，所以， 所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时. 18. 已知函数的最大值为. （1）求的值和的对称轴； （2）求在上的单调递减区间； （3）若，成立，求的取值范围. 【答案】（1），的对称轴方程为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用函数的最大值可求得的值，利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称轴方程； （2）由可求出的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求出函数在上的减区间； （3）由题意可知，，利用正弦型函数的基本性质求出函数在区间的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题知， 因为的最大值为，所以，可得， 所以， 由得. 所以函数的对称轴方程为. 【小问2详解】 因为，令，则， 因为的单调递减区间是， 由，得， 所以在的单调递减区间是. 【小问3详解】 由题意知，由，可得， 故当时，函数取最大值，所以，， 因此，实数的取值范围是. 19. 已知函数． （1）若的终边经过点，求的值； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象，求的最小值； （3）若函数在上的最大值为整数，求的值． 【答案】（1）2； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义求出角，然后代入函数解析式计算可得； （2）通过配方，结合平方关系和辅助角公式化简，然后由平移变换和奇偶性可解； （3）根据正弦函数求出的值域，然后利用单调性求出的最大值，由最大值为整数即可得解. 【小问1详解】 因为的终边经过点，所以， 又，所以， 所以． 【小问2详解】 ， 则． 将的图象向左平移个单位长度后得到： 的图象， 依题意可得， 则，因为，所以． 【小问3详解】 若，则， 则． 设，则． 因为，所以为减函数， 所以， 又的最大值为整数，所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $