精品解析：河南省驻马店高级中学2024-2025学年高三下学期第六次考试（4月）数学试题

驻马店高中高三下期第六次考试数学试题 命题：刘凯 审题：汪兴国 注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式解出集合，再求交集即可. 【详解】由题意可得， 又因为 所以. 故选：B 2. 已知数列的前 项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的关系及等比数列的通项求出的通项，再根据等比数列的前 项和公式求出，再逐一判断即可. 【详解】由， 当时，， 当时，， 所以， 所以数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列， 所以，， 所以， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分必要条件的概念判断即可. 【详解】若，则，反之若，则， 所以是的充要条件. 故选：C 4. 某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（ ） A. 该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B. 该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C. 该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D. 越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量小于2的概率为，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故B正确； 对于C，因为正态分布密度曲线的性质，该物理量测量结果落在的概率大于落在的概率， 所以一次测量结果落在的概率大于落在的概率，故C错误； 对于D，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故D正确； 故选：C. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C. 若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D. 一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质，可得A的正误；由决定系数的作用，可得B的正误；由平均数的计算公式，可得C的正误；由百分位数的计算，可得D的正误. 【详解】对于A，由为标准差，该值越小，数据越集中，则曲线越高瘦，故A正确； 对于B，当决定系数越大时，残差平方和越小，即模型拟合的效果越好，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，由，由，则第百分位数为，故D错误. 故选：D. 6. 已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分情况设出焦半径，由向量数量积为零，可得垂直，利用勾股定理，建立齐次方程，可得答案. 【详解】①当时，由，则， 由，则，所以， 即，由，，则， 化简可得，由，则； ②当时，由，则， 由，则，所以， 即，由，，则， 由，则方程不成立. 故选：D. 7. 如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端恰好可以围成一个正八边形，设，则（ ） A. -3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件，解三角形求，，再结合两角和正切公式求结论. 【详解】连接， 设线段与 的交点为，线段与线段的交点为， 因为，所以，又， 所以， 设，则， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：D. 8. 已知两个非零向量的夹角为，且，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用平面向量的数量积公式及运算律化简，再设，再分类讨论计算求解. 【详解】. 由，得， 即. 设，则关于 的方程有正实根. 当时，不符合条件； 当时， 符合条件； 当时，或，解得. 综上可得. 故选：C 二、多选题（每小题6分 共计18分） 9. 曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为.若点在曲线上，，则（ ） A. 当在第一象限时， B. 当在第四象限时， C. 直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6 D. 直线与曲线恰有4个公共点 【答案】BC 【解析】 【分析】去绝对值，结合椭圆、双曲线的性质、直线与椭圆、双曲线的位置关系，逐项判断即可. 【详解】当时，可化为，为椭圆的两个焦点，则，A错误. 当时，可化为，为双曲线的两个焦点，则，B正确. 当时，可化为，所以点不可能在第三象限. 当时，可化为，所以曲线由三段曲线组成，其图形如图所示， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以直线与曲线无公共点. 将代入，得， 由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为. 将代入，得，由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为， 所以直线+4与曲线的所有交点的横坐标之和为，C正确. 结合双曲线与的渐近线的斜率， 由图可知直线与曲线有2个公共点， 与曲线只有1个公共点， 与曲线没有公共点， 所以直线与曲线恰有3个公共点，D错误. 故选：BC 10. 有一组样本数据、、、，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平均数的性质可判断A选项；利用中位数的性质可判断B选项；利用方差的性质可判断C选项；分、两种情况讨论，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由平均数的性质可得，A对； 对于B选项，不妨设， 若 为奇数，设，则数据、、、的中位数为， 若，新样本数据由小到大依次为、、、， 这组数据的中位数为； 当，新样本数据由小到大依次为、、、， 这组数据的中位数为； 若 为偶数，同理可知，，B对； 对于C选项，由方差的性质可得，C对； 对于D选项，若、是、、、中最大值、最小值， 当时，则为、、、中的最大值， 为、、、中的最小值， 此时，； 当时，则为、、、中的最小值， 为、、、中的最大值， 此时，，D错. 故选：ABC. 11. 已知函数，若 的最小正周期为，且对任意的，恒成立，下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若在上单调递减，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简函数，由最小正周期求得参数，再结合选项一一判断即可． 【详解】因为， 其中，．因为 的最小正周期为，所以，故A错误． 因为对任意的，恒成立，以是 的最小值． 若，则，． 所以，，故B正确． 因为是 的最小值，所以为最大，所以，所以，故C正确． 因为当时，，所以． 因为 在上单调递增，所以在上单调递减． 当时，，所以． 因为 在上单调递减，所以在上单调递增， 所以，所以，故D正确． 故选：BCD 三、填空题 （每小题5分，共计15分） 12. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率公式和双曲线的的关系进行求解 【详解】由题知：，双曲线的渐近线方程为 故答案为 【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质 13. 在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理，求得二项展开式的通项，把含x的进行幂运算合并，然后令指数等于7，即可求解. 【详解】因为的通项为， 令，得， 所以的系数为． 故答案为：. 14. 某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有________种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件 为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则________． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】利用排除法，总的方案数减去甲和乙选择的课程的方案数即可得到甲和乙选择的课程不同的方案数；分有一个人选择“九章算术”和两个人选择“九章算术”两种情况，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求得事件中包含的方案数，再利用条件概率公式求得 【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； 事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术” 先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案， 根据条件概率公式，； 故答案为：30；. 四、解答题 15. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 【答案】（1） （2） 若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 所以“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 【解析】 【分析】（1）根据函数在某点处的导数的几何意义求斜率，进而得切线方程； （2）将函数的单调性转化为关于导函数的恒成立问题，再参变分离求最值即可. 【小问1详解】 因为，所以，得， 由，得， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，化简得. 【小问2详解】 略 16. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）若对恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） 当 时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为及； 当时， 的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为及. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求得，分 ，，和，四种情况讨论，结合的解集，即可求得函数的单调递增区间； （2）由（1）知：当时，求得，令求得；当时，利用在的单调性，得到，令函数，求得，再令，利用导数，结合函数的单调性，得到在上单调递减，结合，求得，进而得到答案. 【小问1详解】 由函数，其中 ， 可得， 当 时，令，解得，所以的单调递增区间为； 当时，令，解得或， 所以的单调递增区间为及； 当时，恒成立，所以的单调递增区间为； 当时，令，解得或， 所以的单调递增区间为及. 综上可得：当 时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为及； 当时， 的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为及. 【小问2详解】 解：由（1）知，当，在单调递增，所以， 令，可得，所以； 当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以， 令，可得， 令，可得，所以为单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减， 因为且，所以， 综上可得：实数 的取值范围为. 17. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，且，平面，平面平面，是等边三角形． （1）求证：； （2）若，点 是线段 上一点，二面角的余弦值为，求的长． 【答案】（1） 证明：设是的中点，连结， ， ∵平面，∴， ∵是等边三角形，∴， ∵平面平面，∴平面， ∴，∴ ， ， ，共面， ∵四边形边长为2的菱形，，， 在中，， ∴，∴， ∵四边形为菱形，∴，∴， ∵，∴ 平面，∴． （2）1 【解析】 【分析】（1）设是的中点，根据菱形的几何性质有，由面面垂直的性质定理可知平面，进而可证明 平面，所以. （2）建立空间直角坐标系，设，通过计算法向量来表示二面角的余弦值，计算求得的值即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， ∵平面， ∴，以 为原点， ，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 设是平面的一个法向量，则 ∴ 取，则，∴， 设是平面的一个法向量，则 ∴ 取，则，，∴， ∵二面角的余弦值为，∴， ∴或（舍去），∴． 18. 如图，在直三棱柱中，，， 为的中点．的面积为；请从条件①、②中选择一个条件作为已知，并解答下面的问题： 条件①：；条件②：点到平面的距离为． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）点是矩形 （包含边界）内任一点，且，求 与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知条件，确定底面三角形得边长，再利用空间向量的方法求二个平面所成角即可； （2）根据已知条件分析确定点的轨迹是以 为圆心，为半径的圆，设出点坐标，根据已知条件求出，利用空间向量的方法求出 与平面所成角的正弦值表达式，根据范围即可求解. 【小问1详解】 根据题意建立如图所示以为坐标原点， 、、为 、 、 轴的空间直角坐标系， 设，， 因为三棱柱为直三棱柱，所以侧面为矩形， 所以为直角三角形，， 因为三楼柱为直三棱柱，所以平面， 平面，所以，又因为， 平面，平面，， 所以 平面，平面，所以， 所以为直角三角形，因为的面积为， 所以， 若选条件①：， ，，，，， ，，因为， 所以，即，解得， 代入，解得， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， ，所以，令， 解得，所以， ，设平面的法向量为， ，所以，令 ， 解得，所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角余弦值为：. 若选条件②：点到平面的距离为， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 解得，所以， 因为点到平面的距离为， 所以，即，解得， 代入，解得， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， ，所以，令， 解得，所以， ，设平面的法向量为， ，所以，令 ， 解得，所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角余弦值为：. 【小问2详解】 取中点 ，连结 、，则， 因为，，所以， 在，，所以，， 平面，平面，所以， 平面 ， 平面 ，所以平面 ， 因为平面 ，平面 ，所以， 因为，，所以， 所以点的轨迹是以 为圆心，为半径的圆， 设，则,，， 因为，，所以， 整理得：， 由（1）知，平面的法向量为， 设 与平面的夹角为，则 ， 因为，所以， 所以 与平面所成角的正弦值的取值范围为. 19. 我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图. （1）经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数； （2）经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示） 【答案】（1）44.5 （2） 【解析】 【分析】（1）求出指数，再根据百分位数的求法即可； （2）利用组合公式结合古典概型即可得到答案. 【小问1详解】 由条件得，指数， 则这50人年龄的第60百分位数是将他们的年龄按从小到大的顺序排列后的第30人与第31人的年龄平均值， 由茎叶图可知，第30人的年龄为44，第31人的年龄为45， 则所求的第60百分位数是44.5. 【小问2详解】 由茎叶图可知，年龄在的被调查者共9人，其中6名男性，3名女性， 令为至少有三人投赞成票，依题意得， 被选中的4人中有两名女性一名男性投赞成票的概率是 被选中的4人中有一名女性两名男性投赞成票的概率是， 被选中的4人中有两名女性两名男性投赞成票的概率是， 则被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 驻马店高中高三下期第六次考试数学试题 命题：刘凯 审题：汪兴国 注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前 项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（ ） A. 该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B. 该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C. 该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D. 越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C. 若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D. 一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 6. 已知 为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点 满足，且，则 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端恰好可以围成一个正八边形，设，则（ ） A. -3 B. C. D. 8. 已知两个非零向量的夹角为，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分 共计18分） 9. 曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为.若点 在曲线上，，则（ ） A. 当 在第一象限时， B. 当 在第四象限时， C. 直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6 D. 直线与曲线恰有4个公共点 10. 有一组样本数据、、、，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若 的最小正周期为，且对任意的，恒成立，下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若在上单调递减，则 三、填空题 （每小题5分，共计15分） 12. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 13. 在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 14. 某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有________种；若定义事件 为甲和乙选择的课程不同，事件 为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则________． 四、解答题 15. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 16. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）若对恒成立，求实数 的取值范围. 17. 如图，在多面体中，四边形 是边长为2的菱形，且，平面 ，平面平面 ，是等边三角形． （1）求证：； （2）若，点 是线段 上一点，二面角的余弦值为，求的长． 18. 如图，在直三棱柱中，，， 为 的中点．的面积为；请从条件①、②中选择一个条件作为已知，并解答下面的问题： 条件①：；条件②：点到平面的距离为． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）点 是矩形 （包含边界）内任一点，且，求 与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图. （1）经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数； （2）经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $