专题7.1拓展 内切球外接球（10个题型）-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习考点通关 【专题7.1拓展：内切球与外接球】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：内切球与棱切球】 【知识讲解】 内切球 1. 定义：与多面体的各个面都相切的球称为多面体的内切球。此时，球心到多面体各个面的距离相等，且这个距离就是内切球的半径。 2. 性质： 对于正多面体，其内切球的球心位于正多面体的中心。例如正四面体，球心在正四面体的高上，且将高分为$1:3$的两段，靠近底面的那段长度就是内切球半径。 一般多面体中，可通过等体积法来确定内切球半径。即把多面体分割成以球心为顶点，以各个面为底面的棱锥，多面体的体积等于这些棱锥体积之和，利用体积关系求解内切球半径。 3. 解题思路： 首先判断多面体是否为特殊的正多面体，如果是，可利用正多面体的性质直接确定球心位置和半径与棱长等的关系来求解。 若为一般多面体，通常采用等体积法。例如，对于三棱锥，设其内切球半径为，表面积为，体积为，则有。先求出三棱锥的体积和表面积，再代入公式求解。 棱切球 1. 定义：与多面体的各条棱都相切的球称为棱切球。此时球心到多面体各条棱的距离相等。 2. 性质： 对于正方体，其棱切球的直径等于正方体的面对角线长。 在一些特殊的三棱锥中，比如正三棱锥，若底面边长为，侧棱长为，可通过构建直角三角形，利用勾股定理等关系来确定棱切球半径与、的关系。 3. 解题思路： 对于特殊的多面体如正方体，根据正方体的棱长与面对角线的关系，直接得出棱切球的半径。若正方体棱长为，则棱切球半径。 对于一般的多面体，需要找到球心到棱的距离关系。通常是通过找出多面体中的特殊三角形，利用勾股定理、三角函数等知识来求解棱切球半径。例如，在一个三棱锥中，找到一个包含棱和球心的截面，该截面是一个直角三角形或可通过其他条件求出边长的三角形，然后根据三角形的边长关系来计算棱切球半径。 例题精选 【例题1】（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直.且母线长为6.则圆锥PO的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得△ABC为圆锥底面圆的内接正三角形，由正弦定理可得，可得圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径r，利用面积法求解即可. 【详解】因为PA，PB，PC两两互相垂直且长度均为6， 所以△ABC为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长， 由正弦定理得底面圆的半径， 所以圆锥的高. 如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径r， 轴截面三角形面积为，所以内切球的半径. 内切球的表面积为. 故选：C. 【例题2】（2024·广东广州·模拟预测）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，即可得答案. 【详解】如图：为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，， 设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线， 因此，从而，故. 设圆台的体积为，球的体积为，则. 故选：B. 【例题3】（23-24高二下·湖南常德·期中）在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正四面体的性质求出正四面体的高；再利用等体积法求出内切球的半径；最后根据球的表面积公式即可解答. 【详解】 正四面体底面的中心记为点，连接，. 由正四面体的性质可得：面. 因为正四面体棱长为2， 所以底面三角形的高为， 则， 所以正四面体的高. 设正四面体内切球的半径为，球心为. 由等体积法可得：， 即，解得：. 所以正四面体的内切球表面积为. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【答案】 【分析】借助于轴截面，根据内切圆的性质分析可知圆台的母线长为，进而可求表面积. 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 【相似题2】（24-25高三上·江苏·阶段练习）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可. 【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长， ，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点. 则由题意可得：， . 因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为. 故答案为： 【相似题3】（23-24高一下·重庆·期末）已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，M为该三棱锥的内切球上的动点，则M，P两点间距离的最小值为 . 【答案】 【分析】首先求出到平面的距离，再根据等体积法求出三棱锥内切球的半径，进而求出球面上一点到距离的最小值. 【详解】因为，且三条侧棱两两垂直， 则△是边长为的正三角形， 如图，设三棱锥的内切球与平面相切于， 根据已知条件知三点共线，且为△的中心， 连接与球交于点，此时最小， 连接与交于，由已知得， ，， 而，， 设球的半径为，则由等体积法得， ， 即，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：等体积法是求三棱锥的内切球半径的重要方法，是解决本题的关键. 【题型2：正棱锥圆锥模型】 【知识讲解】 正棱锥的外接球例题精选 1. 定义：外接球是指一个正棱锥的各个顶点都在其球面上的球。 2. 性质： · 正棱锥的外接球的球心在其高所在直线上。因为正棱锥顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，而球心到正棱锥各顶点距离相等，所以球心必然在过底面中心且垂直于底面的高所在直线上。 · 设正棱锥的底面边长为，底面外接圆半径为，正棱锥的高为，外接球半径为。在由底面中心、顶点和球心构成的直角三角形中，存在关系（可通过勾股定理得到）。对于正边形，其外接圆半径可由计算得出（正弦定理）。 3. 解题思路： · 第一步，确定底面正多边形的相关信息。先求出底面正多边形的边长，进而通过公式算出底面外接圆半径。 · 第二步，找到正棱锥的高。这通常需要根据已知条件，利用勾股定理等几何关系来求解。 · 第三步，将和代入这个方程中。展开方程得到，化简后为，从而解出外接球半径。 圆锥的外接球 1. 定义：圆锥的外接球是指圆锥的顶点和底面圆周上所有点都在其球面上的球。 2. 性质： · 圆锥外接球的球心在圆锥的轴上。因为圆锥的轴是过顶点和底面圆心的直线，球心到圆锥顶点和底面圆周上各点距离相等，所以球心在轴上。 · 设圆锥的底面半径为，高为，外接球半径为。在由圆锥底面圆心、圆锥顶点和球心构成的直角三角形中，同样满足勾股定理关系。 3. 解题思路： · 首先，明确圆锥的底面半径和高，这两个量一般题目中会直接给出或者可通过简单计算得出。 · 然后，将和代入。按照正棱锥外接球半径求解过程中对方程的处理方式，展开并化简方程，最终解得外接球半径 。 【例题1】（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为正三棱锥的侧面积为，则，可得， 所以，，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 【例题2】（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆锥及其外接球的轴截面可得关系，再结合和即可计算. 【详解】圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球表面积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：B 相似练习 【相似题1】（2025·吉林·三模）棱长为2的正方体中，棱的中点为，棱的中点为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找的外心，发现为线段的四等分点（靠近），则球心在过且与平面垂直的直线上，利用坐标法计算即可得出结果. 【详解】设的外心，由外心的定义可知， 为线段的四等分点（靠近），则球心在过且与平面垂直的直线上． 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设球心，由，求出，从而求出， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 【相似题2】（2025·辽宁·模拟预测）已知正四棱锥的一个侧面的周长为10，则该四棱锥体积的最大值为 ，此时其外接球表面积为 . 【答案】 【分析】根据题意作图，由题意得到关于底面边长和侧棱长以及高的等量关系，代入四棱锥体积公式，得到关于的函数，利用导函数研究其单调性，从而求得最大值.再利用此时各边长求出外接球的半径，计算球的表面积即可. 【详解】 如图，设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，高为， 因为正四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心，侧棱长相等，侧面为等腰三角形，所以，所以，得，又，所以正四棱锥的体积. 设，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以. 此时，， 设该正四棱锥外接球的半径为，则，解得， 故其外接球表面积. 故答案为：；. 【题型3：正棱柱模型】 【知识讲解】 1. 定义：正棱柱是底面为正多边形，且侧棱垂直于底面的棱柱。正棱柱的外接球是指该棱柱的各个顶点都在其球面上的球。 2. 性质： · 正棱柱外接球的球心位于上下底面中心连线的中点处。这是因为正棱柱的对称性，球心到棱柱各个顶点距离相等，上下底面中心连线的中点满足这一条件。 · 设正棱柱底面边长为，底面外接圆半径为，棱柱的高为，外接球半径为。对于正边形底面，其外接圆半径可由（根据正弦定理推导得出）。在由球心、底面中心和棱柱顶点构成的直角三角形中，存在勾股定理关系 。 正棱柱外接球解题思路分析 1. 确定底面信息： · 首先要明确正棱柱底面正多边形的边数和边长。 · 然后根据公式计算出底面外接圆半径。例如，对于正六边形底面（），若边长，则，。 2. 获取棱柱高: · 题目中一般会直接给出正棱柱的高，若未直接给出，也可通过其他已知条件，利用几何关系求解得到。 3. 计算外接球半径: · 将求得的和已知的代入公式。 例题精选 【例题1】（2025·河南焦作·二模）在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由外接球表面积得到球的半径，进而求得，即可求解； 【详解】由题可知三棱柱两个底面三角形的外接圆的圆心分别为的中点，. 设外接球的半径为，则， 所以，解得. 侧面旋转后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱， 其体积为. 故选：B 【例题2】（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的体积公式，三棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】解：设正三棱柱的所有棱长均为2， 由正弦定理可知底面三角形外接圆半径为：， 则正三棱柱的外接球的半径为， ∴球的体积为， 又正三棱柱的体积为， ∴. 故选：A. 【例题3】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知一圆柱的底面半径为2，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆柱体积公式求得圆柱高，从而求得球的半径，然后由球表面积公式计算． 【详解】由题意圆柱的轴截面是球的大圆的内接矩形，矩形的对角线是球的直径， 设圆柱高为，球半径为，圆柱底面半径为， 由得，所以，， 球表面积为， 故选：A． 相似练习 【相似题1】（2025·陕西宝鸡·二模）已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直三棱柱的性质即可判断的中点为外接球的球心，利用勾股定理求解半径，即可利用表面积公式求解. 【详解】取的中点为, ,连接 ,取的中点, 由于且三棱柱为直三棱柱， 故为外接球的球心， ,, 故外接球的表面积为, 故选：C 【相似题2】（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知圆柱的底面半径等于球的半径，圆柱的侧面积与球的表面积之比为，则圆柱外接球的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出圆柱的底面半径与高，借助圆柱侧面积公式与球的表面积公式可得圆柱的底面半径与高的关系，再求出圆柱外接球的体积与球的体积即可得解. 【详解】设圆柱的底面半径与球的半径都为，圆柱的高为， 则圆柱的侧面积为，球的表面积为， 则，则， 则圆柱外接球的体积为， 球的体积为，则. 故选：C. 【题型4：圆台棱台模型】 【知识讲解】 圆台外接球 1. 定义：圆台外接球是指圆台的上下底面圆周上所有点以及圆台侧面上的母线延长线与球的交点都在其球面上的球。 2. 性质： · 圆台外接球的球心到圆台上下底面圆心、的距离、与圆台上下底面半径、以及外接球半径存在关系。设圆台高为，在由球心、上底面圆心和上底面圆周上一点构成的直角三角形，以及球心、下底面圆心和下底面圆周上一点构成的直角三角形中，有和，且。 · 若已知圆台母线长，上、下底面半径差，以及圆台高，可以通过构建几何关系来辅助确定外接球半径。 3. 解题思路： · 第一步，明确圆台上下底面半径、和高。这些数据通常在题目条件中直接给出或可通过简单几何计算得出。 · 设球心到上底面的距离为，到下底面的距离为，则。 · 由和，可得到。 · 展开等式右边，与左边对比，消去后，得到，从而解出。 · 将代入，即可求出外接球半径。 棱台外接球 1. 定义：棱台外接球是指棱台的各个顶点都在其球面上的球。 2. 性质： · 对于正棱台，其外接球的球心在上下底面中心的连线上。设正棱台上下底面边长分别为、，上下底面外接圆半径分别为、（，），棱台高为，球心到上下底面的距离分别为、，外接球半径为。同样有，以及。 · 棱台相对的侧棱延长后相交于一点，该点与棱台外接球的球心以及上下底面中心存在特定的几何关系，可利用这些关系构建等式求解外接球半径。 3. 解题思路： · 首先确定棱台的类型（如正棱台），然后求出上下底面外接圆半径、。根据，计算，其中、为上下底面边长。 · 明确棱台的高。 · 设球心到上底面距离为，则到下底面距离。 · 由和构建方程，与圆台类似，通过消元求解出。 · 再将代入，算出外接球半径。若题目中给出了棱台的侧棱等其他条件，还可通过构建更复杂的几何图形，利用相似三角形、勾股定理等知识联立方程求解。 例题精选 【例题1】（24-25高三下·河北承德·阶段练习）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设球心到上底面圆心的距离为h，由题意可得，求解即可. 【详解】由题意可知圆台的高为. 设球心到上底面圆心的距离为h，则，解得. 则，所以圆台的外接球的表面积为. 故选：D. 【例题2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据台体体积公式计算出正三棱台下底面边长，利用正三棱台的几何性质计算出球心到下底面的距离，可求出外接球的半径，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】设正三棱台的下底面边长为，则其下底面积为，上底面面积为， 所以，该三棱台的体积为， 整理可得，因为，解得， 如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上， 正的外接圆半径为，正的外接圆半径为， 设，若球心在线段上，则， 设球的半径为，则， 即，解得，不合乎题意； 所以，球心在射线上，则， ，即，解得. 所以，，故该正三棱台的外接球表面积为. 故选：D. 【例题3】（24-25高三下·浙江·阶段练习）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，设外接球半径为，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积. 【详解】如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 相似练习 【相似题1】（2025·江苏南通·一模）已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】组合体的存在外接球，作出图形，由图形去列出关系式，从而求出半径和高，然后求体积． 【详解】外接球半径，则． ， 设外接球球心，在即 在即 则， ， 故选：D． 【相似题2】（24-25高二下·云南·阶段练习）在正四棱台中，，，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的表面积为 . 【答案】或 【分析】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，，设球心到上下底面的距离分别为，，由，可得，，进而求得棱台侧高，即可求解. 【详解】设外接球的半径为，由，得， 设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，（根据正方形外接圆半径与边长关系）， 设球心到上下底面的距离分别为，，由，可得，， 则正四棱台的高或， 侧面梯形的高 或， 正四棱台的表面积， 或正四棱台的表面积. 故答案为：或 【相似题3】（2025·河北保定·模拟预测）已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为 . 【答案】/ 【分析】作出图形，设圆台上、下底面的圆心分别为、，则外接球球心在直线上，设，根据圆台的几何性质可得出关于的等式，解出的值，可求出球的半径，结合球体的体积公式可求得球的体积. 【详解】设圆台上、下底面的圆心分别为、，取该圆台的轴截面， 则该圆台的外接球球心在直线上，连接、， 设，则， 由，即， 即，解得， 因为该圆台的外接球半径为， 因此，所以该圆台的外接球的体积为. 故答案为；. 【题型5：对棱相等模型】 【知识讲解】 1. 定义与特征：对棱相等的三棱锥是指三棱锥的三组对棱分别相等。这种三棱锥具有一定的对称性，它可以通过一个长方体的面对角线构成。 2. 外接球的性质： 由于对棱相等的三棱锥与长方体的特殊关系，其外接球与长方体的外接球是同一个球。 设三棱锥的对棱分别为，，，那么可以将其补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径$2R$。 解题思路 1. 补形法： 第一步，根据三棱锥对棱相等的条件，将其补成长方体。设长方体的长、宽、高分别为，，。 第二步，由对棱相等的关系得到方程组。 第三步，将三个方程相加，得到，即。 第四步，因为长方体的体对角线长，而外接球直径，所以，则可求出外接球半径。 2. 空间向量法（选学，适用于部分问题）： 第一步，建立空间直角坐标系，设三棱锥的顶点坐标，根据对棱相等的条件列出向量等式。 第二步，利用向量的模长公式和数量积公式，结合外接球的性质，即球心到三棱锥各顶点的距离相等，列出关于球心坐标和半径的方程组。 第三步，解方程组求出球心坐标和半径。 空间向量法计算量相对较大，一般情况下补形法更为常用和简便。但在一些特殊情况下，如已知三棱锥顶点坐标或其他与向量相关条件时，空间向量法可能会发挥作用 例题精选 【例题1】（24-25高三上·辽宁·期末）已知四面体的四个顶点均在球的球面上，，，，若，则球体积的最小值为 . 【答案】 【分析】将四面体放置在长方体中，设长方体的3条棱长分别为，，，则球的半径为，将平方，利用基本不等式求得，进而，代入球的体积公式求解即可. 【详解】因为，，，所以可以将四面体补成一个长方体， 使得四面体的6条棱为长方体的6条面对角线， 设长方体过同一顶点的3条棱长分别为，，，球的半径为， 则，由， 得， 因为， 所以， 即，当且仅当时取等号， 因为， 所以，当且仅当时取等号，即，所以， 则球的体积为，所以球体积的最小值为. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，将四面体放入长方体中，求出长方体的体对角线长即可计算得答案. 【详解】在四面体中，，，， 则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球， 设长方体的共点的三条棱长依次为，外接球半径为， 则，于是， 所以该四面体外接球的表面积为 故答案为： 【相似题2】（24-25高三上·全国·自主招生）如图，三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】如图，把三棱锥补成一个长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，长方体的对角线即为外接球的直径，由此计算可得． 【详解】如图，把三棱锥补成一个长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 由已知，所以， 从而，为长方体的对角线，即为其外接球的直径， 所以外接球半径为，球面积为， 故答案为：． 【题型6：垂面模型】 【知识讲解】 线面垂直的外接球模型知识讲解 1. 模型定义：在一个几何体中，存在一条直线垂直于一个平面，且该直线上的某点（通常为线段端点）与平面内的多边形顶点共同构成一个多面体，围绕这个多面体的外接球就是线面垂直的外接球模型所研究的对象。常见的如三棱锥中，一条侧棱垂直于底面三角形所在平面。 2. 关键性质： · 设垂直于平面的直线为，垂足为，平面内有一个多边形，其外接圆半径为，直线上的线段长度为（从垂足到线段端点的距离），外接球半径为。在由球心、垂足和平面内多边形外接圆上一点构成的直角三角形中，存在勾股定理关系（当线段端点为外接球直径的一个端点时）。若线段端点不是外接球直径端点，则设球心到垂足的距离为，有，同时根据线面垂直和线段长度关系确定与的联系。 · 对于平面内的多边形，若为三角形，可根据正弦定理求其外接圆半径。设三角形的三个内角为、、，对应的边长为、、，则。 线面垂直的外接球模型解题思路分析 1. 确定线面垂直关系及相关线段： · 仔细分析题目所给的几何体，准确找出垂直于平面的直线以及该直线在平面上的垂足。明确直线上与外接球相关的线段长度。例如在三棱锥中，若平面$ABC$，则$PA$就是垂直于平面$ABC$的直线，为垂足，要确定$PA$的长度。 2. 求解平面内多边形的外接圆半径: · 如果平面内的多边形是三角形，使用正弦定理。如已知中，，则。 · 若平面内多边形不是三角形，可通过其特殊性质（如正多边形的几何性质）来求外接圆半径。例如正六边形，其外接圆半径等于边长。 3. 计算外接球半径: · 若垂直直线上的线段端点为外接球直径的一个端点，直接将和代入求解。例如，，则，。 · 若线段端点不是外接球直径端点，设球心到垂足的距离为，根据已知条件确定与的关系，再代入求解。比如已知球心在直线上且位于垂足和线段端点之间，且，球心到垂足的距离，，则，。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）三棱锥P−ABC的各顶点都在同一球面上，底面ABC，若，，且，则下列说法正确的是（ ） A．是钝角三角形 B．此球的表面积等于6π C．平面PAC D．三棱锥A−PBC的体积为 【答案】C 【分析】由余弦定理可得，，从而可得平面PAC，即可判断C，由余弦定理代入计算，即可判断形状，从而判断A，求得外接球的半径即可判断B，由锥体的体积公式即可判断D. 【详解】如图， 在底面三角形ABC中，由，，， 利用余弦定理可得：， ∴，即， 由于底面ABC，∴，， ∵，∴平面PAC，故C正确； ∴， 由于，即为锐角， ∴是顶角为锐角的等腰三角形，故A错误； 取D为AB中点，则D为的外心，可得三角形外接圆的半径为1， 设三棱锥的外接球的球心为O，连接OP，则， 即三棱锥的外接球的半径为， ∴三棱锥球的外接球的表面积等于，故B正确； ，故D错误； 故选：C. 【例题2】（2025·安徽黄山·一模）已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造如图所示的长方体，易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，可得，结合球的表面积计算公式即可. 【详解】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为， 易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 则， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·上海长宁·期末）在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 . 【答案】 【分析】由条件，三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点，所以将三棱锥补成正方体，正方体的外接球即为三棱锥的外接球，进而求得半径即可求解. 【详解】 由题意可知三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点， 将三棱锥补成正方体，棱长为1， 故其该正方体的外接球的直径为， 即三棱锥的外接球的直径为，则三棱锥的外接球的半径为， 则球O的表面积为. 故答案为：. 【相似题2】（24-25高三下·四川成都·开学考试）在三棱锥平面，则此三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】先求等边三角形外接圆半径，根据几何关系确定外接球球心位置，列勾股定理方程确定该三棱锥的外接球的半径即可. 【详解】 因为，所以为等边三角形， 所以，等边外接圆的半径为， 如图，三棱锥外接球球心为，半径为， 设球心到平面的距离为，外接圆圆心为， 连接，则平面， 取中点，所以， 又平面，所以，则四边形是矩形， 所以在和中， 由勾股定理可得，解得：，表面积. 故答案为： 【题型7：二面角模型“双距离单交线”】 【知识讲解】 二面角模型的外接球知识讲解 1. 模型定义：在一个空间几何图形中，存在一个二面角，该二面角的两个半平面内分别有一些点，这些点共同构成一个多面体，围绕此多面体的外接球就是二面角模型的外接球。常见的是三棱锥中，两个面所成的二面角已知，且这两个面内的棱与顶点关系明确。 2. 关键性质： · 设二面角的大小为，在二面角的两个半平面、内分别找到两个三角形、（以三棱锥为例），这两个三角形的外接圆半径分别为、。设球心到两个半平面、的距离分别为、，外接球半径为。 · 若能找到二面角的平面角与球心位置的关系，可通过一些几何关系构建等式。例如，在由球心、两个三角形外接圆圆心以及二面角棱上一点构成的图形中，利用三角函数等知识建立联系。同时，根据球心到两个三角形各顶点距离相等，有和。并且，、与二面角之间存在一定的空间几何关系，比如在一些特殊情况下，可通过作垂线等方式，利用直角三角形中的三角函数关系表示、的关系。 二面角模型的外接球解题思路分析 1. 明确二面角及相关几何元素： · 仔细读题，确定二面角的两个半平面以及二面角的大小。例如，在三棱锥中，面$PAB$与面$ABC$所成二面角为，这就是要重点关注的二面角。 · 找出二面角两个半平面内与外接球相关的三角形，明确这些三角形的边长、角度等信息。比如在面$ABC$中，已知的三边长度分别为、、。 2. 计算两个半平面内三角形的外接圆半径： · 对于在半平面内的三角形，若为一般三角形，使用正弦定理求其外接圆半径。如中，已知，，根据，可得。 · 同理，计算半平面内三角形的外接圆半径。若该三角形有特殊性质，如为正三角形，其外接圆半径可直接根据正三角形的性质求得（设正三角形边长为，则）。 3. 确定球心到两个半平面的距离关系： · 通过作辅助线，构建与二面角相关的空间图形。比如过球心分别作两个半平面、的垂线，垂足分别为、，连接、以及二面角棱上一点，形成直角三角形等几何图形。 · 利用二面角以及已有的几何关系，找出、的关系。若二面角，且在构建的直角三角形中，可能存在（具体关系根据实际图形确定）。 4. 计算外接球半径： · 由和得到。 · 将前面得到的、以及与的关系代入上式，解出或的值（设解出）。 · 最后将和代入，求出外接球半径。例如，解出，则，。 二：双距离单交线公式 1. 模型概述：双距离单交线模型是指在空间中有两个相交平面，设交线为。在这两个平面内分别有一个点（或三角形等几何图形，通常重点关注与外接球相关的点），存在两个关键距离，一是其中一个平面内的点到交线的距离，二是另一个平面内的点到交线的距离，以及这两个平面所成二面角，通过这些元素来确定外接球半径。 2. 适用范围：适用于已知上述特定几何关系，求解外接球半径或与外接球相关的问题，常见于三棱锥等多面体中，其中两个面的二面角以及面上点到交线的距离可求。 二、公式推导（利用余弦定理） 1. 构建几何图形： · 设两相交平面、，交线为。在平面内有点，到的距离为；在平面内有点，到的距离为。 · 设球心为，过作于，过作于。设（可由已知条件间接确定，若、在交线上投影重合，则）。 · 设球心到平面的距离为，到平面的距离为，且与二面角以及、存在几何联系。 2. 在相关三角形中运用余弦定理： · 连接$AB$，设。在中，与二面角相等或互补，设（若互补则后续取负值）。 · 根据余弦定理，在中，，即。 · 设球心在平面上的投影为，在平面上的投影为。 · 由勾股定理可知，在以球心、和构成的直角三角形中，（为所在平面内以为顶点的三角形外接圆半径，若只考虑点，可看作相关的一种特殊情况），同理。 · 又因为、与、以及存在如下关系： · 设到的距离为，到的距离为，通过构建辅助线和直角三角形，利用三角函数关系可得，，且、、、与相关。 经过一系列复杂的几何关系推导（如在多个直角三角形中运用勾股定理和三角函数关系），最终可得双距离单交线外接球半径公式： 其中为、两点间距离（若已知其他几何关系，可通过转化用、、、等表示）。 三、解题思路 1. 分析题目条件： · 确定两个相交平面以及交线。 · 找出平面内相关点到交线的距离和。 · 明确两个平面所成二面角的大小或能通过已知条件求出。 · 若涉及两点距离，看能否由已知条件得出或通过、、、等计算得出。 2. 选择合适公式形式： · 若已知两点距离，直接代入上述完整公式。 · 若未直接给出，但知道其他几何关系，先尝试根据余弦定理求出，再代入公式。 例题精选 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于 . 【答案】 【分析】设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，OB为三棱锥外接球半径，进而求半径表达式并利用配方法求出球半径的最小值，从而可得的值. 【详解】设球的半径为，则球的体积为， 所以球体积取得最小值时，则球的半径最小. 设，则， 由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心E，H， 易知分别为的中点，且四点共圆， 且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O， 为三棱锥外接球半径，取的中点为G，如图： 由条件知， 在中，由余弦定理可得 ， ∴的外接圆直径， 当时，球的半径取得最小值. 故. 故答案为： 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）在边长为6的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】当平面平面时三棱锥的体积最大，设分别为，外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径，即可得解. 【详解】当平面平面时三棱锥的体积最大， 如图，取的中点为，连接，，则， 设分别为，外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心， 则在上，在上，且，且， 平面，平面， 因为平面平面，平面平面，平面，，故平面， 故，同理，故四边形为平行四边形， 因为平面，平面，故， 故四边形为矩形，故，而， 故外接球半径，故外接球的表面积为． 故答案为： 【例题3】（24-25高二上·江西抚州·期末）在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 . 【答案】 【分析】取中点，连接，取的外心，过点作平面，过点作平面交于点，进而确定球心的位置及二面角的平面角为并确定范围，利用几何关系求球体半径，即可得球体表面积的范围. 【详解】由题意知，和是等边三角形， 取中点，连接，取的外心，则是的外心， 过点作平面，则三棱锥的外接球球心在上 过点作平面交于点，则点即为三棱锥的外接球球心， 由，知，为二面角的平面角，则， 设，则， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据球心的性质确定位置，并求出二面角的平面角的范围为关键. 相似练习 【相似题1】（22-23高二上·四川德阳·期末）在边长为6的菱形中，，沿对角线将折起，使得二面角的大小为，连接，则四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】取中点，分别取和的外心，过分别作平面和平面的垂线，交于点，则是四面体外接球球心，中，求得，求出半径后可得表面积． 【详解】如图，取中点，连接，分别取和的外心，过分别作平面和平面的垂线，交于点，则是四面体外接球球心，连接， 由原平面图形是菱形，且，知，分别在上，且， 是二面角的平面角，因此，是等边三角形，边长为，， 中，，所以， 又，所以， 所以四面体的外接球的表面积为， 故答案为：． 【相似题2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是 【答案】/ 【分析】取中点，连接，推得，即得 是等边三角形，分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点，可得点为四面体的外接球的球心，分别求出，即可求得外接球半径即得. 【详解】 如图，取中点，连接， 因，则，且， 又二面角的平面角为 60°，即， 故 是等边三角形， 分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点， 则点为四面体的外接球的球心， 由已知可得， 连接，易得，故得，，则， 在中，， 故该球的表面积是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查三棱锥的外接球的半径求法问题，属于难题. 解题思路在于：先找到二面角的平面角，推得正三角形，分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点 ，即外接球球心，结合图形即可求得外接球半径. 【题型8：外接球中的最值范围问题】 【知识讲解】 分析最值与范围的方法 建立函数关系：将外接球的半径或相关量表示为某个变量的函数，然后通过分析函数的性质来确定最值或范围。例如，在一个三棱锥中，如果底面三角形的边长固定，而侧棱长可以变化，那么可以将外接球半径表示为侧棱长的函数，再利用函数的单调性、极值等性质来求解最值。 利用几何性质：根据几何体的几何性质来确定外接球半径的取值范围。例如，在一个三棱锥中，如果三条侧棱两两垂直，那么其外接球的直径就是以这三条侧棱为棱长的长方体的体对角线，此时外接球半径（、、为三条侧棱的长度），根据均值不等式，当且仅当时等号成立，可得出外接球半径的最小值。 考虑极端情况：通过分析几何体的极端情况来确定外接球半径的最值或范围。例如，当一个三棱锥的某个面逐渐缩小到一个点时，或者当三棱锥的三条侧棱共面时，外接球的半径会趋近于某个极限值，通过分析这些极限情况，可以确定外接球半径的取值范围。 例题精选 【例题1】（2024·云南·一模）已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可得，进而由体积公式转化为关于的函数，利用导数求函数的最值. 【详解】如图： 设正四棱锥的高为，球的体积为，所以球的半径， 设正四棱锥的底面边长为，则，解得， 所以正四棱锥的体积， 则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故当时，正四棱锥的体积取得最大值，最大值为. 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是依据几何体的结构特征求出正四棱锥的底面边长与高的关系. 【例题2】（24-25高三上·河北·期中）在直三棱柱中，底面满足，，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用柱体体积公式可得，计算可得出，利用导数可求得该三棱柱外接球表面积的最小值. 【详解】如下图所示： 圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心. 本题中，将直三棱柱放在圆柱中，如下图所示： 设，因为，则， 则的外接圆直径为，， 设，则，可得， ， 令，其中，则， 当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时，函数单调递增， 所以，，即， 故该三棱柱外接球的表面积， 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 【例题3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由外接球的体积得出球半径，再由正三棱锥得出体积，利用导数求最值即可. 【详解】如图，设H为底面三角形的中心，PH为三棱锥的高，设为h， 由题意得，，解得， 该三棱锥为正三棱锥，, ，， 令 ， 由，可得或（舍去）， 当时，，当时，， 在 单调递增，在单调递减， ，. 故选：B 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为矩形，为等腰直角三角形，且，点在线段AD上，则三棱锥外接球的表面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，球心为，半径为，结合题意可得，进而得到，再结合二次函数的性质及球的表面积公式求解即可. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面ABCD，又四边形ABCD为矩形， 以为原点，以所在直线为轴，以过点平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 则，，， 设，三棱锥外接球球心为，半径为， 则，解得， 即， 因为，所以， 则当时，取得最小值， 当时，取得最大值3，即， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于建立空间直角坐标系，设出坐标，表示出外接球半径的关系，进而结合二次函数的性质及球的表面积公式求解即可. 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球体积的最小值为 ．    【答案】 【分析】利用外接球球心在过底面外接圆圆心的垂线上，通过球心到各顶点的距离想等来求解即可. 【详解】如图，取中点，连接，则，，    又，，平面，则平面， 因为平面，则， 又，，，平面， 所以平面， 所以三棱锥的外接球球心必在过的中心且平行于的直线上， 且， 设，则，， 设三棱锥的外接球半径为，则有， 当时，， 故三棱锥外接球体积的最小值为． 故答案为：. 【题型9：一般外接球问题】 【知识讲解】 确定球心位置 根据几何体的特征找球心 对于具有对称性质的规则几何体，如正方体、长方体，球心位于其体对角线的中点。正棱柱的球心在上下底面中心连线的中点；正棱锥的球心在顶点与底面中心连线上。 对于一般的三棱锥，若有一条侧棱垂直于底面，那么底面三角形的外心与这条侧棱中点的连线的中点就是球心；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，可将其补成长方体，长方体的体对角线交点即为球心。 利用面面垂直关系确定球心：如果几何体中存在面面垂直的情况，可在其中一个面的外接圆圆心作垂直于该面的直线，这条直线与另一个面的外接圆圆心所确定的平面与两个垂直面的交线垂直，球心就在这条交线上，再通过一些几何关系确定球心的具体位置。 计算球的半径 公式法：对于一些特殊的几何体，有特定的公式计算外接球半径。如正方体棱长为，其外接球半径；正四面体棱长为，外接球半径。 构造直角三角形法：这是最常用的方法。找到一个包含球心、几何体的某个顶点以及底面外心（或其他关键中点）的直角三角形。例如，在三棱锥中，设底面的外心为，外接圆半径为，球心为，点到平面$ABC$的距离为，则由勾股定理可得外接球半径。其中可通过正弦定理（为的一边，为所对的角）等方法求出，则根据已知条件通过几何关系计算。 向量法：建立空间直角坐标系，设出球心坐标以及几何体顶点坐标，根据球心到各顶点距离相等，即（、、等为几何体顶点），列出方程组求解，得到球心坐标和半径。这种方法适用于几何体的顶点坐标容易表示的情况。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果是边长为12的正方形，则这个八面体的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据该八面体的特征，连接，则三线交于点，且平面，计算得到，即可求得其外接球体积. 【详解】因八面体的每一个面都是正三角形，是正方形， 连接,则三线交于点，易得平面， 在中，则， 即， 故个八面体的外接球的半径为，故其体积为. 故选：D.    【例题2】（2024·湖北·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用正弦定理求的外接圆半径，再求点到平面的距离，设三棱锥外接球半径为，根据勾股定理列方程求出，进一步计算球的表面积. 【详解】如图： 在中，， 由余弦定理：, 所以，所以外接圆半径为，即. 在直角三角形中，，，所以. 设棱锥外接球半径为，在直角三角形中，， 解得：. 所以球的表面积为：. 故选：A 【例题3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）从球外一点作球表面的三条不同的切线，切点分别为 ，令，，.若，，，则球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，得到为直角三角形，取的中点，由截面圆的性质，可得平面，再由平面，得到四点共面，结合四边形为正方形，求得，得到球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，从球O外一点P作球O表面的三条不同的切线， 且，，， 可得，， 则，可得，所以为直角三角形， 取的中点，连接，由截面圆的性质，可得平面， 在中，，且的中点，可得， 又由，所以，所以， 因为，且平面，所以平面， 所以与重合，所以四点共面， 连接，则， 所以四边形为正方形，所以，即外接球的半径为， 所以球的表面积为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）在三棱锥中建立空间直角坐标系后，得到，则三棱锥的体积为 ，三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 1 // 【分析】由向量坐标求出三棱锥的各棱长，由长度关系与数量积可得线面垂直关系，由垂直关系入手选定底面与高可求体积；设出球心坐标，由建立方程组求解可得，进而求出球的半径，则表面积可求. 【详解】由题意得，， 所以有， 且， 则，平面，平面，且， 故平面. 又，所以，又， 所以是正三角形，则， 故三棱锥的体积； 设三棱锥外接球的球心， 则由可得， 方程组， 解得，故，所以. 则外接球半径为， 则三棱锥外接球的表面积 【相似题2】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为 ，球的表面积为 . 【答案】 4 【分析】利用正弦定理求得外接圆半径，结合题意可得球的半径，再利用球的截面性质与球的表面积公式即可得解. 【详解】在中，，. 根据正弦定理（为外接圆半径）， 这里，，所以，解得. 因为、、三点所在平面经过球心，所以球的半径. 因为、、三点所在平面经过球心， 当垂直于平面时，点到平面的距离最大，这个最大值就是球的半径， 所以点到平面的距离的最大值为. 则球的表面积为. 故答案为：；. 【相似题3】（23-24高三上·四川雅安·期中）已知四面体的顶点都在球的球面上，且，，，，，则球O的表面积为 ． 【答案】 【分析】通过，，判断中点即为球心,进而可求解. 【详解】∵四面体的顶点都在球的球面上，且，，，，， ∴，， ∴中点即为球心且半径， ∴球的表面积为 故答案为： 【题型10：外接球中的截面问题】 【知识讲解】 截面的定义与性质：用一个平面去截一个球，得到的平面图形是圆面。若平面过球心，则得到的圆是大圆，其半径等于球的半径；若平面不过球心，得到的圆是小圆，小圆半径、球心到截面的距离与球半径满足勾股定理。 球的截面圆的圆心：对于球的截面圆，其圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。 与几何体的关系：当涉及到几何体的外接球截面时，需要结合几何体的特征来分析。例如，正方体的外接球，其截面可能会与正方体的面、棱等有特定的位置关系；正三棱锥的外接球截面可能会与底面三角形、侧棱等相关。 解题思路分析 确定球心与截面的位置关系：首先要明确球心到截面的距离。这可能需要根据题目所给的几何体的条件，通过几何关系来求解。例如，若已知几何体的棱长、高、角度等信息，可利用勾股定理、三角函数等知识求出。 计算截面圆的半径：根据上述勾股定理，在已知球半径和球心到截面距离的情况下，求出截面圆的半径。如果题目中没有直接给出，则需要先根据几何体的条件求出外接球半径。 分析截面的其他相关问题 截面圆的面积：求出半径后，根据圆的面积公式可计算截面圆的面积。 截面与几何体的交线：考虑截面与几何体的棱、面等的交线情况，可能需要判断交线的长度、形状等。例如，截面与正方体的棱相交，可能需要求出交线的长度，这就需要结合正方体的棱长和截面的位置来计算。 角度问题：涉及到截面与几何体的夹角，或者截面圆中圆心角、圆周角等问题。可以利用三角函数、三角形的内角和定理等知识来求解。 常见题型及解法 已知几何体求截面相关量：例如，已知一个棱长为的正方体的外接球，求过正方体一条面对角线的截面圆的半径。首先求出正方体外接球半径，然后根据正方体面对角线与球心的位置关系，求出球心到截面的距离（可通过构建直角三角形求解），再利用求出截面圆半径。 已知截面条件求几何体或球的相关量：如已知球的一个截面圆半径为，球心到截面的距离为，且该球是一个正三棱锥的外接球，已知正三棱锥底面边长，求正三棱锥的高。先根据求出球半径，再结合正三棱锥的底面边长求出底面三角形的外接圆半径，然后利用正三棱锥的高、球半径和之间的几何关系（通过构建直角三角形）求出正三棱锥的高。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知正三棱锥的外接球的表面积为，侧棱，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先确定球心的位置，进而结合，用球心到过点的截面圆的距离的取值范围可得的取值范围，从而得到结果. 【详解】设正三棱锥的外接球的半径为，则，得. 假设正三棱锥中， 外接圆的圆心，则球心在上， 设， 外接圆的半径为 即，两式相减得， 又，解得，所以外接圆的圆心是球心. 如图所示： 设球心到过点的截面圆的距离为，截面圆的半径为， 则， 因为球心到过点的截面圆的距离的最大值为， 所以的最小值为， 又因为点在为半径的圆面上，则球心到过点的截面圆的距离的最小值为， 所以的最大值为， 总上可知，，即 所以截面圆的面积的取值范围为. 故选：B. 【例题2】（2024·全国·模拟预测）已知正四棱锥的体积为，底面的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点在球的球面上，点为底面上一动点，与所成角为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锥体的体积公式结合外接球的性质可得半径和四棱锥的底边边长，进而根据锐角三角函数可得，即可判断点的轨迹为为圆心，半径的圆，即可求解. 【详解】由题意，设球的半径为．如图所示，连接交于点，连接，则，，平面，所以，解得． 在中，因为，，所以． 因为正方形的中心到各边的距离为，所以点的轨迹为平面内，以点为圆心，半径的圆，故点的轨迹长度为． 故选:D．    【例题3】（2024·陕西榆林·一模）已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截得的截面圆的半径为，球的半径为，由平面几何知识得截面与球心的距离为，利用勾股定理求得的值，由题意可知球心到所求截面的距离最大时截面面积最小，利用面积公式，即可得答案. 【详解】如图，设截得的截面圆的半径为，球的半径为， 因为， 所以.由勾股定理，得，由题意得， 所以，解得， 此时过点作球的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小. 设球心到所求截面的距离为，所求截面的半径为，则， 所以只需球心到所求截面的距离最大即可， 而当且仅当与所求截面垂直时，球心到所求截面的距离最大， 即，所以. 故选：C 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的中心为，球O的半径为R，在中，利用勾股定理求出，余弦定理求出，再由勾股定理求出，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大. 【详解】如下图，设的中心为，球O的半径为R， 连接，OD，，OE，则 ， 在中，， 解得R＝2，所以，因为BE＝DE，所以， 在中，， 所以，过点E作球O的截面， 当截面与OE垂直时，截面的面积最小， 此时截面的半径为，则截面面积为， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大. 【相似题2】（22-23高二下·湖南郴州·期末）已知四棱锥的各个顶点都在球的表面上，平面，底面是等腰梯形，， （1）四棱锥的外接球的表面积为   ； （2）若是线段上一点，且．过点作球的截面，所得截面圆面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据给定的几何体，确定球心O的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作答. 【详解】（1）在等腰梯形中，连接，如图，    因为，，， 则，，于是， 取中点，连接，则，得均为正三角形， 即有，即是梯形外接圆圆心， 而O为四棱锥的外接球球心，因此平面，又PA⊥平面ABCD， 则，而为球O的弦，则过点O垂直于的平面必过的中点E，连接， 于是，而，即有，四边形为矩形，， 因此球O的半径， 所以，四棱锥的外接球的表面积为； （2）在中，，，， ， 连接，在中，， 过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于， 而此截面圆半径为， 所得截面圆面积的最小值为. 故答案为：，. 【相似题3】（21-22高一下·浙江绍兴·期末）已知三棱锥，点P，A，B，C都在半径为的球面上，底面为正三角形，若平面，，则球心到截面的距离为 ． 【答案】 【分析】设正的中心为，取的中点，连接，设三棱锥外接球的球心为，连接、，则且平面，再设，利用勾股定理得到方程，即可求出，从而得解； 【详解】解：设正的中心为，取的中点，连接，则为的一个三等分点， 设三棱锥外接球的球心为，连接、，则，即为外接球的半径，且平面， 即即为球心到截面的距离， 设，则，所以， 所以，即，解得， 所以； 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高考一轮复习考点通关 【专题7.1拓展：内切球与外接球】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：内切球与棱切球】 【知识讲解】 内切球 1. 定义：与多面体的各个面都相切的球称为多面体的内切球。此时，球心到多面体各个面的距离相等，且这个距离就是内切球的半径。 2. 性质： 对于正多面体，其内切球的球心位于正多面体的中心。例如正四面体，球心在正四面体的高上，且将高分为$1:3$的两段，靠近底面的那段长度就是内切球半径。 一般多面体中，可通过等体积法来确定内切球半径。即把多面体分割成以球心为顶点，以各个面为底面的棱锥，多面体的体积等于这些棱锥体积之和，利用体积关系求解内切球半径。 3. 解题思路： 首先判断多面体是否为特殊的正多面体，如果是，可利用正多面体的性质直接确定球心位置和半径与棱长等的关系来求解。 若为一般多面体，通常采用等体积法。例如，对于三棱锥，设其内切球半径为，表面积为，体积为，则有。先求出三棱锥的体积和表面积，再代入公式求解。 棱切球 1. 定义：与多面体的各条棱都相切的球称为棱切球。此时球心到多面体各条棱的距离相等。 2. 性质： 对于正方体，其棱切球的直径等于正方体的面对角线长。 在一些特殊的三棱锥中，比如正三棱锥，若底面边长为，侧棱长为，可通过构建直角三角形，利用勾股定理等关系来确定棱切球半径与、的关系。 3. 解题思路： 对于特殊的多面体如正方体，根据正方体的棱长与面对角线的关系，直接得出棱切球的半径。若正方体棱长为，则棱切球半径。 对于一般的多面体，需要找到球心到棱的距离关系。通常是通过找出多面体中的特殊三角形，利用勾股定理、三角函数等知识来求解棱切球半径。例如，在一个三棱锥中，找到一个包含棱和球心的截面，该截面是一个直角三角形或可通过其他条件求出边长的三角形，然后根据三角形的边长关系来计算棱切球半径。 例题精选 【例题1】（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直.且母线长为6.则圆锥PO的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·广东广州·模拟预测）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二下·湖南常德·期中）在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【相似题2】（24-25高三上·江苏·阶段练习）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为 ． 【相似题3】（23-24高一下·重庆·期末）已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，M为该三棱锥的内切球上的动点，则M，P两点间距离的最小值为 . 【题型2：正棱锥圆锥模型】 【知识讲解】 正棱锥的外接球例题精选 1. 定义：外接球是指一个正棱锥的各个顶点都在其球面上的球。 2. 性质： · 正棱锥的外接球的球心在其高所在直线上。因为正棱锥顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，而球心到正棱锥各顶点距离相等，所以球心必然在过底面中心且垂直于底面的高所在直线上。 · 设正棱锥的底面边长为，底面外接圆半径为，正棱锥的高为，外接球半径为。在由底面中心、顶点和球心构成的直角三角形中，存在关系（可通过勾股定理得到）。对于正边形，其外接圆半径可由计算得出（正弦定理）。 3. 解题思路： · 第一步，确定底面正多边形的相关信息。先求出底面正多边形的边长，进而通过公式算出底面外接圆半径。 · 第二步，找到正棱锥的高。这通常需要根据已知条件，利用勾股定理等几何关系来求解。 · 第三步，将和代入这个方程中。展开方程得到，化简后为，从而解出外接球半径。 圆锥的外接球 1. 定义：圆锥的外接球是指圆锥的顶点和底面圆周上所有点都在其球面上的球。 2. 性质： · 圆锥外接球的球心在圆锥的轴上。因为圆锥的轴是过顶点和底面圆心的直线，球心到圆锥顶点和底面圆周上各点距离相等，所以球心在轴上。 · 设圆锥的底面半径为，高为，外接球半径为。在由圆锥底面圆心、圆锥顶点和球心构成的直角三角形中，同样满足勾股定理关系。 3. 解题思路： · 首先，明确圆锥的底面半径和高，这两个量一般题目中会直接给出或者可通过简单计算得出。 · 然后，将和代入。按照正棱锥外接球半径求解过程中对方程的处理方式，展开并化简方程，最终解得外接球半径 。 【例题1】（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·吉林·三模）棱长为2的正方体中，棱的中点为，棱的中点为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·辽宁·模拟预测）已知正四棱锥的一个侧面的周长为10，则该四棱锥体积的最大值为 ，此时其外接球表面积为 . 【题型3：正棱柱模型】 【知识讲解】 1. 定义：正棱柱是底面为正多边形，且侧棱垂直于底面的棱柱。正棱柱的外接球是指该棱柱的各个顶点都在其球面上的球。 2. 性质： · 正棱柱外接球的球心位于上下底面中心连线的中点处。这是因为正棱柱的对称性，球心到棱柱各个顶点距离相等，上下底面中心连线的中点满足这一条件。 · 设正棱柱底面边长为，底面外接圆半径为，棱柱的高为，外接球半径为。对于正边形底面，其外接圆半径可由（根据正弦定理推导得出）。在由球心、底面中心和棱柱顶点构成的直角三角形中，存在勾股定理关系 。 正棱柱外接球解题思路分析 1. 确定底面信息： · 首先要明确正棱柱底面正多边形的边数和边长。 · 然后根据公式计算出底面外接圆半径。例如，对于正六边形底面（），若边长，则，。 2. 获取棱柱高: · 题目中一般会直接给出正棱柱的高，若未直接给出，也可通过其他已知条件，利用几何关系求解得到。 3. 计算外接球半径: · 将求得的和已知的代入公式。 例题精选 【例题1】（2025·河南焦作·二模）在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知一圆柱的底面半径为2，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·陕西宝鸡·二模）已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知圆柱的底面半径等于球的半径，圆柱的侧面积与球的表面积之比为，则圆柱外接球的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【题型4：圆台棱台模型】 【知识讲解】 圆台外接球 1. 定义：圆台外接球是指圆台的上下底面圆周上所有点以及圆台侧面上的母线延长线与球的交点都在其球面上的球。 2. 性质： · 圆台外接球的球心到圆台上下底面圆心、的距离、与圆台上下底面半径、以及外接球半径存在关系。设圆台高为，在由球心、上底面圆心和上底面圆周上一点构成的直角三角形，以及球心、下底面圆心和下底面圆周上一点构成的直角三角形中，有和，且。 · 若已知圆台母线长，上、下底面半径差，以及圆台高，可以通过构建几何关系来辅助确定外接球半径。 3. 解题思路： · 第一步，明确圆台上下底面半径、和高。这些数据通常在题目条件中直接给出或可通过简单几何计算得出。 · 设球心到上底面的距离为，到下底面的距离为，则。 · 由和，可得到。 · 展开等式右边，与左边对比，消去后，得到，从而解出。 · 将代入，即可求出外接球半径。 棱台外接球 1. 定义：棱台外接球是指棱台的各个顶点都在其球面上的球。 2. 性质： · 对于正棱台，其外接球的球心在上下底面中心的连线上。设正棱台上下底面边长分别为、，上下底面外接圆半径分别为、（，），棱台高为，球心到上下底面的距离分别为、，外接球半径为。同样有，以及。 · 棱台相对的侧棱延长后相交于一点，该点与棱台外接球的球心以及上下底面中心存在特定的几何关系，可利用这些关系构建等式求解外接球半径。 3. 解题思路： · 首先确定棱台的类型（如正棱台），然后求出上下底面外接圆半径、。根据，计算，其中、为上下底面边长。 · 明确棱台的高。 · 设球心到上底面距离为，则到下底面距离。 · 由和构建方程，与圆台类似，通过消元求解出。 · 再将代入，算出外接球半径。若题目中给出了棱台的侧棱等其他条件，还可通过构建更复杂的几何图形，利用相似三角形、勾股定理等知识联立方程求解。 例题精选 【例题1】（24-25高三下·河北承德·阶段练习）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高三下·浙江·阶段练习）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·江苏南通·一模）已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二下·云南·阶段练习）在正四棱台中，，，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的表面积为 . 【相似题3】（2025·河北保定·模拟预测）已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为 . 【题型5：对棱相等模型】 【知识讲解】 1. 定义与特征：对棱相等的三棱锥是指三棱锥的三组对棱分别相等。这种三棱锥具有一定的对称性，它可以通过一个长方体的面对角线构成。 2. 外接球的性质： 由于对棱相等的三棱锥与长方体的特殊关系，其外接球与长方体的外接球是同一个球。 设三棱锥的对棱分别为，，，那么可以将其补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径$2R$。 解题思路 1. 补形法： 第一步，根据三棱锥对棱相等的条件，将其补成长方体。设长方体的长、宽、高分别为，，。 第二步，由对棱相等的关系得到方程组。 第三步，将三个方程相加，得到，即。 第四步，因为长方体的体对角线长，而外接球直径，所以，则可求出外接球半径。 2. 空间向量法（选学，适用于部分问题）： 第一步，建立空间直角坐标系，设三棱锥的顶点坐标，根据对棱相等的条件列出向量等式。 第二步，利用向量的模长公式和数量积公式，结合外接球的性质，即球心到三棱锥各顶点的距离相等，列出关于球心坐标和半径的方程组。 第三步，解方程组求出球心坐标和半径。 空间向量法计算量相对较大，一般情况下补形法更为常用和简便。但在一些特殊情况下，如已知三棱锥顶点坐标或其他与向量相关条件时，空间向量法可能会发挥作用 例题精选 【例题1】（24-25高三上·辽宁·期末）已知四面体的四个顶点均在球的球面上，，，，若，则球体积的最小值为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 【相似题2】（24-25高三上·全国·自主招生）如图，三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【题型6：垂面模型】 【知识讲解】 线面垂直的外接球模型知识讲解 1. 模型定义：在一个几何体中，存在一条直线垂直于一个平面，且该直线上的某点（通常为线段端点）与平面内的多边形顶点共同构成一个多面体，围绕这个多面体的外接球就是线面垂直的外接球模型所研究的对象。常见的如三棱锥中，一条侧棱垂直于底面三角形所在平面。 2. 关键性质： · 设垂直于平面的直线为，垂足为，平面内有一个多边形，其外接圆半径为，直线上的线段长度为（从垂足到线段端点的距离），外接球半径为。在由球心、垂足和平面内多边形外接圆上一点构成的直角三角形中，存在勾股定理关系（当线段端点为外接球直径的一个端点时）。若线段端点不是外接球直径端点，则设球心到垂足的距离为，有，同时根据线面垂直和线段长度关系确定与的联系。 · 对于平面内的多边形，若为三角形，可根据正弦定理求其外接圆半径。设三角形的三个内角为、、，对应的边长为、、，则。 线面垂直的外接球模型解题思路分析 1. 确定线面垂直关系及相关线段： · 仔细分析题目所给的几何体，准确找出垂直于平面的直线以及该直线在平面上的垂足。明确直线上与外接球相关的线段长度。例如在三棱锥中，若平面$ABC$，则$PA$就是垂直于平面$ABC$的直线，为垂足，要确定$PA$的长度。 2. 求解平面内多边形的外接圆半径: · 如果平面内的多边形是三角形，使用正弦定理。如已知中，，则。 · 若平面内多边形不是三角形，可通过其特殊性质（如正多边形的几何性质）来求外接圆半径。例如正六边形，其外接圆半径等于边长。 3. 计算外接球半径: · 若垂直直线上的线段端点为外接球直径的一个端点，直接将和代入求解。例如，，则，。 · 若线段端点不是外接球直径端点，设球心到垂足的距离为，根据已知条件确定与的关系，再代入求解。比如已知球心在直线上且位于垂足和线段端点之间，且，球心到垂足的距离，，则，。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）三棱锥P−ABC的各顶点都在同一球面上，底面ABC，若，，且，则下列说法正确的是（ ） A．是钝角三角形 B．此球的表面积等于6π C．平面PAC D．三棱锥A−PBC的体积为 【例题2】（2025·安徽黄山·一模）已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·上海长宁·期末）在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 . 【相似题2】（24-25高三下·四川成都·开学考试）在三棱锥平面，则此三棱锥的外接球的表面积为 ． 【题型7：二面角模型“双距离单交线”】 【知识讲解】 二面角模型的外接球知识讲解 1. 模型定义：在一个空间几何图形中，存在一个二面角，该二面角的两个半平面内分别有一些点，这些点共同构成一个多面体，围绕此多面体的外接球就是二面角模型的外接球。常见的是三棱锥中，两个面所成的二面角已知，且这两个面内的棱与顶点关系明确。 2. 关键性质： · 设二面角的大小为，在二面角的两个半平面、内分别找到两个三角形、（以三棱锥为例），这两个三角形的外接圆半径分别为、。设球心到两个半平面、的距离分别为、，外接球半径为。 · 若能找到二面角的平面角与球心位置的关系，可通过一些几何关系构建等式。例如，在由球心、两个三角形外接圆圆心以及二面角棱上一点构成的图形中，利用三角函数等知识建立联系。同时，根据球心到两个三角形各顶点距离相等，有和。并且，、与二面角之间存在一定的空间几何关系，比如在一些特殊情况下，可通过作垂线等方式，利用直角三角形中的三角函数关系表示、的关系。 二面角模型的外接球解题思路分析 1. 明确二面角及相关几何元素： · 仔细读题，确定二面角的两个半平面以及二面角的大小。例如，在三棱锥中，面$PAB$与面$ABC$所成二面角为，这就是要重点关注的二面角。 · 找出二面角两个半平面内与外接球相关的三角形，明确这些三角形的边长、角度等信息。比如在面$ABC$中，已知的三边长度分别为、、。 2. 计算两个半平面内三角形的外接圆半径： · 对于在半平面内的三角形，若为一般三角形，使用正弦定理求其外接圆半径。如中，已知，，根据，可得。 · 同理，计算半平面内三角形的外接圆半径。若该三角形有特殊性质，如为正三角形，其外接圆半径可直接根据正三角形的性质求得（设正三角形边长为，则）。 3. 确定球心到两个半平面的距离关系： · 通过作辅助线，构建与二面角相关的空间图形。比如过球心分别作两个半平面、的垂线，垂足分别为、，连接、以及二面角棱上一点，形成直角三角形等几何图形。 · 利用二面角以及已有的几何关系，找出、的关系。若二面角，且在构建的直角三角形中，可能存在（具体关系根据实际图形确定）。 4. 计算外接球半径： · 由和得到。 · 将前面得到的、以及与的关系代入上式，解出或的值（设解出）。 · 最后将和代入，求出外接球半径。例如，解出，则，。 二：双距离单交线公式 1. 模型概述：双距离单交线模型是指在空间中有两个相交平面，设交线为。在这两个平面内分别有一个点（或三角形等几何图形，通常重点关注与外接球相关的点），存在两个关键距离，一是其中一个平面内的点到交线的距离，二是另一个平面内的点到交线的距离，以及这两个平面所成二面角，通过这些元素来确定外接球半径。 2. 适用范围：适用于已知上述特定几何关系，求解外接球半径或与外接球相关的问题，常见于三棱锥等多面体中，其中两个面的二面角以及面上点到交线的距离可求。 二、公式推导（利用余弦定理） 1. 构建几何图形： · 设两相交平面、，交线为。在平面内有点，到的距离为；在平面内有点，到的距离为。 · 设球心为，过作于，过作于。设（可由已知条件间接确定，若、在交线上投影重合，则）。 · 设球心到平面的距离为，到平面的距离为，且与二面角以及、存在几何联系。 2. 在相关三角形中运用余弦定理： · 连接$AB$，设。在中，与二面角相等或互补，设（若互补则后续取负值）。 · 根据余弦定理，在中，，即。 · 设球心在平面上的投影为，在平面上的投影为。 · 由勾股定理可知，在以球心、和构成的直角三角形中，（为所在平面内以为顶点的三角形外接圆半径，若只考虑点，可看作相关的一种特殊情况），同理。 · 又因为、与、以及存在如下关系： · 设到的距离为，到的距离为，通过构建辅助线和直角三角形，利用三角函数关系可得，，且、、、与相关。 经过一系列复杂的几何关系推导（如在多个直角三角形中运用勾股定理和三角函数关系），最终可得双距离单交线外接球半径公式： 其中为、两点间距离（若已知其他几何关系，可通过转化用、、、等表示）。 三、解题思路 1. 分析题目条件： · 确定两个相交平面以及交线。 · 找出平面内相关点到交线的距离和。 · 明确两个平面所成二面角的大小或能通过已知条件求出。 · 若涉及两点距离，看能否由已知条件得出或通过、、、等计算得出。 2. 选择合适公式形式： · 若已知两点距离，直接代入上述完整公式。 · 若未直接给出，但知道其他几何关系，先尝试根据余弦定理求出，再代入公式。 例题精选 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于 . 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）在边长为6的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 ． 【例题3】（24-25高二上·江西抚州·期末）在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 . 相似练习 【相似题1】（22-23高二上·四川德阳·期末）在边长为6的菱形中，，沿对角线将折起，使得二面角的大小为，连接，则四面体的外接球的表面积为 ． 【相似题2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是 【题型8：外接球中的最值范围问题】 【知识讲解】 分析最值与范围的方法 建立函数关系：将外接球的半径或相关量表示为某个变量的函数，然后通过分析函数的性质来确定最值或范围。例如，在一个三棱锥中，如果底面三角形的边长固定，而侧棱长可以变化，那么可以将外接球半径表示为侧棱长的函数，再利用函数的单调性、极值等性质来求解最值。 利用几何性质：根据几何体的几何性质来确定外接球半径的取值范围。例如，在一个三棱锥中，如果三条侧棱两两垂直，那么其外接球的直径就是以这三条侧棱为棱长的长方体的体对角线，此时外接球半径（、、为三条侧棱的长度），根据均值不等式，当且仅当时等号成立，可得出外接球半径的最小值。 考虑极端情况：通过分析几何体的极端情况来确定外接球半径的最值或范围。例如，当一个三棱锥的某个面逐渐缩小到一个点时，或者当三棱锥的三条侧棱共面时，外接球的半径会趋近于某个极限值，通过分析这些极限情况，可以确定外接球半径的取值范围。 例题精选 【例题1】（2024·云南·一模）已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高三上·河北·期中）在直三棱柱中，底面满足，，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为矩形，为等腰直角三角形，且，点在线段AD上，则三棱锥外接球的表面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球体积的最小值为 ．    【题型9：一般外接球问题】 【知识讲解】 确定球心位置 根据几何体的特征找球心 对于具有对称性质的规则几何体，如正方体、长方体，球心位于其体对角线的中点。正棱柱的球心在上下底面中心连线的中点；正棱锥的球心在顶点与底面中心连线上。 对于一般的三棱锥，若有一条侧棱垂直于底面，那么底面三角形的外心与这条侧棱中点的连线的中点就是球心；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，可将其补成长方体，长方体的体对角线交点即为球心。 利用面面垂直关系确定球心：如果几何体中存在面面垂直的情况，可在其中一个面的外接圆圆心作垂直于该面的直线，这条直线与另一个面的外接圆圆心所确定的平面与两个垂直面的交线垂直，球心就在这条交线上，再通过一些几何关系确定球心的具体位置。 计算球的半径 公式法：对于一些特殊的几何体，有特定的公式计算外接球半径。如正方体棱长为，其外接球半径；正四面体棱长为，外接球半径。 构造直角三角形法：这是最常用的方法。找到一个包含球心、几何体的某个顶点以及底面外心（或其他关键中点）的直角三角形。例如，在三棱锥中，设底面的外心为，外接圆半径为，球心为，点到平面$ABC$的距离为，则由勾股定理可得外接球半径。其中可通过正弦定理（为的一边，为所对的角）等方法求出，则根据已知条件通过几何关系计算。 向量法：建立空间直角坐标系，设出球心坐标以及几何体顶点坐标，根据球心到各顶点距离相等，即（、、等为几何体顶点），列出方程组求解，得到球心坐标和半径。这种方法适用于几何体的顶点坐标容易表示的情况。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果是边长为12的正方形，则这个八面体的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【例题2】（2024·湖北·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）从球外一点作球表面的三条不同的切线，切点分别为 ，令，，.若，，，则球的表面积为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）在三棱锥中建立空间直角坐标系后，得到，则三棱锥的体积为 ，三棱锥外接球的表面积为 . 【相似题2】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为 ，球的表面积为 . 【相似题3】（23-24高三上·四川雅安·期中）已知四面体的顶点都在球的球面上，且，，，，，则球O的表面积为 ． 【题型10：外接球中的截面问题】 【知识讲解】 截面的定义与性质：用一个平面去截一个球，得到的平面图形是圆面。若平面过球心，则得到的圆是大圆，其半径等于球的半径；若平面不过球心，得到的圆是小圆，小圆半径、球心到截面的距离与球半径满足勾股定理。 球的截面圆的圆心：对于球的截面圆，其圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。 与几何体的关系：当涉及到几何体的外接球截面时，需要结合几何体的特征来分析。例如，正方体的外接球，其截面可能会与正方体的面、棱等有特定的位置关系；正三棱锥的外接球截面可能会与底面三角形、侧棱等相关。 解题思路分析 确定球心与截面的位置关系：首先要明确球心到截面的距离。这可能需要根据题目所给的几何体的条件，通过几何关系来求解。例如，若已知几何体的棱长、高、角度等信息，可利用勾股定理、三角函数等知识求出。 计算截面圆的半径：根据上述勾股定理，在已知球半径和球心到截面距离的情况下，求出截面圆的半径。如果题目中没有直接给出，则需要先根据几何体的条件求出外接球半径。 分析截面的其他相关问题 截面圆的面积：求出半径后，根据圆的面积公式可计算截面圆的面积。 截面与几何体的交线：考虑截面与几何体的棱、面等的交线情况，可能需要判断交线的长度、形状等。例如，截面与正方体的棱相交，可能需要求出交线的长度，这就需要结合正方体的棱长和截面的位置来计算。 角度问题：涉及到截面与几何体的夹角，或者截面圆中圆心角、圆周角等问题。可以利用三角函数、三角形的内角和定理等知识来求解。 常见题型及解法 已知几何体求截面相关量：例如，已知一个棱长为的正方体的外接球，求过正方体一条面对角线的截面圆的半径。首先求出正方体外接球半径，然后根据正方体面对角线与球心的位置关系，求出球心到截面的距离（可通过构建直角三角形求解），再利用求出截面圆半径。 已知截面条件求几何体或球的相关量：如已知球的一个截面圆半径为，球心到截面的距离为，且该球是一个正三棱锥的外接球，已知正三棱锥底面边长，求正三棱锥的高。先根据求出球半径，再结合正三棱锥的底面边长求出底面三角形的外接圆半径，然后利用正三棱锥的高、球半径和之间的几何关系（通过构建直角三角形）求出正三棱锥的高。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知正三棱锥的外接球的表面积为，侧棱，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·全国·模拟预测）已知正四棱锥的体积为，底面的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点在球的球面上，点为底面上一动点，与所成角为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2024·陕西榆林·一模）已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（22-23高二下·湖南郴州·期末）已知四棱锥的各个顶点都在球的表面上，平面，底面是等腰梯形，， （1）四棱锥的外接球的表面积为   ； （2）若是线段上一点，且．过点作球的截面，所得截面圆面积的最小值为 ． 【相似题3】（21-22高一下·浙江绍兴·期末）已知三棱锥，点P，A，B，C都在半径为的球面上，底面为正三角形，若平面，，则球心到截面的距离为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$