外接球内切球专题（题型+方法+总结归纳）讲义-2025解高三数学一轮复习

常学常新 温故知新||公众号：尚书数学 新高考一轮复习 立体几何外接球、内切球专题 立体几何外接球、内切球专题 1 题型一：正方体、长方体外接球 2 题型二：墙角模型 4 题型三：正四面体模型 12 题型四：对棱相等模型 15 题型五：直棱柱模型(汉堡模型) 20 题型六：直棱锥模型 27 题型七：正棱锥与侧棱相等模型 34 题型八：侧棱为外接球直径模型 46 题型九：共斜边拼接模型 51 题型十：垂面模型 59 题型十一：二面角与球体问题 74 题型十二：最值与球体相关问题 85 题型十三：棱台圆台外接球 92 题型十四：圆锥外接球问题 97 题型十五：内切球 101 题型十六：多球与多面体相切问题 131 题型一：正方体、长方体外接球 对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通常可以直接求解，是高考的高频考点，常以小题形式考查，需强化训练. 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半。 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半。 3、补成长方体：若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体。 【例1】一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为3，4，5，则球的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：长、宽、高分别为3，4，5的长方体，顶点都在球面上， 可知球的半径R为长方体对角线的一半， 即2R＝， ∴R＝， 那么此球的体积V＝πR3＝π． 故选：A． 【变式1-1】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的每个顶点都在球O的表面上，AB＝，且tan∠CAC1＝2，则球O的表面积为　20π　． 【解答】解：如图所示， 正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中， AB＝，∴AC＝2， 又tan∠CAC1＝＝2， ∴CC1＝4； ∴球O的表面积为 S＝4π×＝20π． 故答案为：20π． 【变式1-2】表面积为81π的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，则这个正四棱柱的表面积为　144　． 【解答】解：设球的半径为r，则4πr2＝81π，解得r＝， 设正四棱柱的底面边长为a，则正四棱柱的体对角线为， 解得a＝4， ∴正四棱柱的表面积为S＝2×42+4×4×7＝144， 故答案为：144． 1.设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．3a2 B．6a2 C．12a2 D．24a2 【答案】B 【详解】方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的 长就是外接球的直径，所以球直径为：， 所以球的半径为，所以球的表面积是，故选B 2.长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（       ） A． B．56π C．14π D．16π 【解析】 【分析】 根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而可根据球的表面积公式求出球的表面积. 【详解】 解析：设长方体的三条棱长分别为a，b，c，由题意得，得 ∴长方体的体对角线长为， ∴其外接球的半径为 ∴． 故选：C 题型二：墙角模型 遇到以下三种三棱锥(有三条两两垂直的直线)，均可构造长方体求解外接球半径； 求解外接球半径步骤 ① 确定球心的位置：外接球的球心是长方体的体对角线的中点； ② 求半径：长方体的体对角线即外接球直径，则. 【例1】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝，PB＝1，PC＝，则该三棱锥的外接球的体积是（　　） A．π B．π C．π D．8π 【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝，PB＝1，PC＝， 则以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线长为PD＝． ∴三棱锥P﹣ABC的外接球的外接球的半径为． ∴该三棱锥的外接球的体积是． 故选：A． 【变式1-1】如图，设A、B、C、D为球O球上四点，若AB、AC、AD两两垂直，且AB=AC=，若AD=R（R为球O的半径），则球O的表面积为（　　） A．π B．2π C．4π D．8π 【解答】解：AB、AC、AD两两垂直，所以把它扩展为长方体， 它也外接于球，对角线的长为球的直径，2R=， ∴它的外接球半径是， ∴球O的表面积是 4π（）2=8π． 故选：D． 【变式1-2】三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积. 【详解】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 设，，， 则，，， 解得，，，. 则长方体的对角线的长为. 所以球的直径是，半径长， 则球的表面积， 故选：C. 【变式1-3】已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直， ∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O， ∵圆O的半径为， ∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2 球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离 设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2= △ABC为边长为2的正三角形，S△ABC=×（2）2= ∴h=== ∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为﹣= 故选A 【变式1-4】在边长为的正方形中，，分别为，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于，则三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】24π 【解析】在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角， ∴在三棱锥A′－DEF中，A′D，A′E，A′F三条线段两两垂直， 以A′D，A′E，A′F为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥A′－EFD的外接球， 正方形ABCD边长为4，由题意A′E=A′F=2，A′D=4， ∴三棱锥A′－EFD外接球的半径r， ∴三棱锥A′－EFD外接球的表面积为S=4π×2=24π． 【例2】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，且三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（　　） A．12π B．16π C．20π D．24π 【解答】解：如图， ∵三棱锥P﹣ABC为鳖臑，且PA⊥面ABC， 则△ABC为Rt△，若AC⊥AB，则AC⊥平面PAB，则BC与PB不垂直， ∴BC⊥AB，则BC⊥PB， 又三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，∴PC为三棱锥外接球的直径， 由PA＝AB＝2，AC＝4，可得PC＝． ∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为，表面积为． 故选：C． 【变式2-1】已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA＝3，AB＝2，BC＝，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A．8π B．12π C．16π D．18π 【解答】解已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC， 所以补全三棱锥为三棱柱，且为直三棱柱，则PAC所在的平面就是直三棱柱对角线所在的一个面， 三棱锥的外接球的半直径就为PC的长度， 又因为PA＝3，AB＝2，BC＝，可得PC就是所求的外接球的直径， 所以球O的直径为＝4， 半径为：2 所以球O的表面积为S＝4π（2）2＝16π． 故选：C． 【变式2-2】在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，若其外接球的表面积为12π，则SA＝（　　） A．1 B．2 C． D．4 【解答】解：如图， 由SA⊥平面ABC，得SA⊥AC，SA⊥BC， 又AB⊥BC，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，得BC⊥SB． ∴SC为三棱锥S﹣ABC的外接球的一条直径． 由已知可得：，得SC2＝12． 又AC2＝AB2+BC2＝8，∴SA＝． 故选：B． 1. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 A． B． C． D． 由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，，求的外接球的表面积 2.在三棱锥中，PA、AB、AC两两垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先三棱锥补成长方体，利用长方体的外接球的半径公式，即可求解. 【详解】如图，将三棱锥补成长方体，    三棱锥的外接球就是长方体的外接球，所以， 则三棱锥外接球的表面积. 故选：C 3.三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 解析： 先计算底面截面圆半径,由，表面积 4.如图，在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的体积为 . 【解析】由，，，，平面， ，2，，由勾股定理逆定理可知， 此时三棱锥中三直线两两垂直， 可知如图，三棱锥是长方体的一个角， 外接球的直径是长方体的体对角线， 所以三棱锥外接球的半径为． 所以外接球的体积． 题型三：正四面体模型 如图，设正四面体ABCD的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，正四面体和正方体有相同的外接球，正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为。 【例1】一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为（　　） A．6π B．8π C． D．11π 【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的对角线长为， ∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长， ∴外接球的表面积的值为4π•＝6π． 故选：A． 【变式1-1】已知棱长均为1的四棱锥顶点都在球O1的表面上，棱长均为2的四面体顶点都在球O2的表面上，若O1、O2的表面积分别是S1、S2，则S1：S2=（　　） A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1： 【解答】解：四棱锥顶点到底面的距离为，利用射影定理可得，∴r1=， 棱长均为2的四面体，扩充为正方体，棱长为，对角线长为，外接球的半径为， ∴O1、O2的半径比为， ∴S1：S2=1：3， 故选B． 【变式1-2】如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（　　） A．12π B．32π C．8π D．24π 【解答】解：将三角形ABC与三角形ACD展成平面，BP+PE的最小值，即为BE两点之间连线的距离，则BE＝ 设AB＝2a，则∠BAD＝120°，由余弦定理，解得， 则正四面体棱长为，因为正四面体的外接球半径是棱长的倍， 所以，设外接球半径为R，则， 则表面积S＝4πR2＝4π•3＝12π． 故选：A． 【变式1-3】棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上，若过棱AB作四面体的截面，交棱CD的中点于E，且截面面积是3，则四面体外接球的表面积是　18π　． 【解答】解：过棱AB作四面体的截面，交棱CD的中点于E，可得ABE是等腰三角形， ∵AB＝a，EB＝EA＝， 可得截面面积是3＝， 解得：a＝． 由正四面体外接球半径为．即外接球半径R＝． 外接球的表面积S＝4πR2＝18π． 故答案为：18π． 题型四：对棱相等模型 四面体ABCD中，AB＝CD＝m，AC＝BD＝n，AD＝BC＝t，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题。 如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则， 三式相加可得，显然四面体和长方体有相同的外接球， 设外接球半径为R，则，所以R＝。 【例1】在四面体ABCD中，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，AB＝CD＝，则其外接球的表面积为 　8π　． 【解答】解：如下图所示， 将四面体ABCD放在长方体AEBF﹣GCHD内，设该长方体的长、宽、高分别为x、y、z， 则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R， 由勾股定理得， 上述三个等式全加得2（x2+y2+z2）＝16， 所以，该四面体的外接球直径为2R＝＝2， 因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝π×（2R）2＝8π， 故答案为：8π． 【变式1-1】．在三棱锥P﹣ABC中，满足PA＝BC＝2，PB＝AC，PC＝AB，且PB•PC＝9，则三棱锥P﹣ABC外接球表面积的最小值为　11π　． 【解答】解：由PA＝BC＝2，PB＝AC，PC＝AB，把三棱锥P﹣ABC放置在一个长方体中， 如图： 设过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c， 则PA2＝BC2＝b2+c2＝4， PB•PC＝，∴（a2+c2）（a2+b2）＝81， 即a4+（b2+c2）a2+b2c2＝81， ∵b2+c2＝4≥2bc，∴bc≤2，b2c2＝81﹣a4﹣4a2≤4， ∴a4+4a2+4＝（a2+2）2≥81，得a2+2≥9，即a2≥7． 三棱锥外接球的半径R＝， ∴三棱锥P﹣ABC外接球表面积为． 故答案为：11π． 【变式1-2】球O是四面体ABCD的外接球（即四面体的顶点均在球面上），若AB＝CD＝2，AD＝AC＝BD＝BC＝，则球O的表面积为　9π　． 【解答】解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，AB＝CD＝2，AD＝AC＝BD＝BC＝，可知，△ABC与△ADB，都是等腰三角形， AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，同理CD⊥EF，∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD） DE＝＝＝，DF＝CD＝，EF＝＝＝1， ∴GF＝EF＝， 球半径DG＝＝＝， ∴外接球的表面积为4π×DG2＝9π， 故答案为：9π． 1.已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 解析： 四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， ，则 故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 2.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，的长方体，求出其体对角线长即可求解作答. 【详解】三棱锥中，，，， 构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图， 设长方体的棱长分别为，，，则，，，则， 因此三棱锥外接球的直径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：A 3.在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 (　　) A． B． C． D． 【解析】由题意可将该三棱锥放在长方体中， 可得长方体的过同一个顶点的三个相邻的面的对角线分别为5，，， 设长方体的长，宽，高分别为 则，所以， 设三棱锥外接球的半径为，则， 外接球的表面积，故选：． 【点拨】对棱相等的三棱锥的外接球问题可通过构造长方体求解. 题型五：直棱柱模型(汉堡模型) 预备知识：球体的截面都是圆，设某个不过球心的小圆圆心为，则球心在过且垂直平面的直线上(即). 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）， 图1 图2 图3 第一步：确定球心O的位置，O1是△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC； 第二步：算出小圆O1的半径，AO1＝r，OO1＝AA1＝h（AA1＝h也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：OA2＝O1A2＋O1O2R2＝R＝，解出R。 在三角形中，外接圆圆心位置及半径： (1)等腰三角形 (2)直角三角形 (3)等边三角形 【例1】已知三棱柱的六个顶点都在同一球面上，且底面，是等边三角形，，，则该球的表面积为(　　) A． B． C． D． 【解析】如图， 由题意可知，三棱柱为正三棱柱，底面边长，高． 在底面等边三角形中，设其外心为，为的中点， 则 (此处由更容易些) 设上底面中心为，平面，三棱柱外接球的球心必在直线 又由图像的对称性，可知三棱柱外接球的球心为的中点， 连接，则． 该球的表面积为．故选：． 【点拨】 ① 直棱柱的外接球问题属于“汉堡模型”. ② 常见三角形的外接圆半径 (1)等腰三角形 (2)直角三角形 (3)等边三角形 (4) 利用正弦定理可求任一三角形外接圆的半径. ③ 柱体是四棱柱、五棱柱呢？常见情况如下，长方形、正六边形的外接圆圆心是对角线的中点. 【变式1-1】已知直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，，，，则球的表面积为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 【解析】，， 由余弦定理可得， ， 设的外接圆的半径为，则，所以， 设外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积， 故选：． 【点拨】 底面三角形三边都已知，则三角形是确定的，则利用解三角形的方法便可求出其外接圆的半径. 【变式1-2】一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 . 【答案】 【解析】设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则， 底面积为，， ，球的体积为 【变式1-3】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于 . 【答案】 【解析】 在中，因为，可得， 由正弦定理可得外接圆的半径， 设圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. 1.在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【解析】 【分析】 由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积． 【详解】 设的边长为a，由的外接圆半径为可得，故， 则的面积.由三棱柱的体积为可得，故， 设三棱柱外接球的半径为R，则， 故该三棱柱外接球的表面积为. 故选：A． 2．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2，，若该棱柱的外接球的表面积为32π，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（　　） A．4 B． C．8 D． 【解答】解：设棱柱的外接球的半径为R，由棱柱的外接球的表面积为32π， 得4πR2＝32π，∴R＝2， 底面三角形ABC中，由AB＝BC＝2，， 得cos∠ABC＝＝，则sin． 设△ABC的外接圆的半径为r，可得r＝＝． ∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为2＝2． ∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为． 故选：B． 3．设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，且底面△ABC的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（　　） A．16π B． C．40π D．64π 【解答】解：设AB＝AC＝AA1＝m，因为∠BAC＝120°， 所以， 而∠ACB＝30°，所以，（r是△ABC外接圆的半径，即， 如图，设M，N分别是△ABC和△A1B1C1的外接圆圆心，由直棱柱的性质知MN的中点O是三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球球心， ， 所以外接球为． 于是球的表面积为． 故选：C． 4.如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可得，求的半径与正方体的棱长之间的关系求出球的半径，进而求出球的表面积． 【解答】解：如图所示，设球的半径为R，由题意可得OA＝OB，O'A⊥OB交OB于O'，O'A＝4，O'B＝3，在三角形OO'A中，OO'2＝OA2﹣O'A2，即（R﹣3）2＝R2﹣42，解得R，所以球的表面积S＝4πR2， 故选：B． 5.已知一个正六棱柱的所有顶点都在球面上，若正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2，则这个球的表面积为 　20π　． 【解答】解：作出正六棱柱最大对角面如图， 设正六棱柱底面中心为O1，外接球球心为O，连接OO1， 则OO1＝1，O1A＝2，∴OA＝， 可得球的表面积为S＝4π×． 故答案为：20π． 6.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长之和为36，则当此正三棱柱的侧面积取得最大值时，其外接球的体积为　32　． 【解答】解：设正三棱柱ABC﹣A1B1C1底面边长为x，侧棱为y，则6x+3y＝36，即2x+y＝12， 三棱柱ABC﹣A1B1C1侧面积S＝3xy． ∴S＝3xy＝﹣6x2+36x， ∴x＝3时，S取最小值，此时，y＝6， 此时底面外接圆半径为：•＝， ∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心O到顶点A的距离为R＝＝2， ∴该球的体积为R3＝32π． 故答案为：32π． 题型六：直棱锥模型 如图，AD⊥平面BCD，求外接球半径。 解题步骤： 第一步：将△BCD画在小圆面上，D为小圆直径的一个端点，作小圆的直径DE，连接AE，则AE必过球心O； 第二步：O1为△BCD的外心，所以OO1⊥平面BCD，算出小圆O1的半径O1D＝r（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），OO1＝AD； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②。 【例1】已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，则球O的表面积为（　　） A．4π B．12π C．16π D．64π 【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上， ∵SA⊥平面ABC，，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°， ∴BC＝＝2， ∴∠ABC＝90°． ∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r＝2， ∴球O的半径R＝4， ∴球O的表面积S＝4πR2＝64π． 故选：D． 【变式1-1】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PB⊥底面ABCD．若PB＝AB＝CD＝AD＝1，BC＝2，则这个四棱锥的外接球表面积为（　　） A．3π B．4π C．5π D．6π 【解答】解：取BC中点E，连接EA，ED，取PC中点H，连接EH，BH， 等腰梯形ABCD中，AB＝CD＝AD＝1，BC＝2， 则AD∥BE，AD＝BE，∴四边形ADEB是平行四边形， ∴DE＝AB＝1，∴CE＝CD＝1，∴△CDE是等边三角形， ∴∠DCE＝∠ABE＝60°，∴△ABE是等边三角形， ∴EB＝EA＝ED＝EC＝1， ∴点E是等腰梯形ABCD的外接圆圆心， △PBC中，PH＝CH，BE＝CE，则PB∥HE，HE＝PB＝， ∵PB⊥底面ABCD，则HE⊥底面ABCD，HP＝HB＝HC， ∵HA＝＝＝HB，HD＝＝＝HB， ∴HP＝HB＝HC＝HA＝HD， ∴点H为四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心， 球半径HB＝＝＝， ∴这个四棱锥的外接球表面积为S＝4π×（）2＝5π． 故选：C． 【变式1-2】已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由球体积公式求球体半径，正余弦定理求外接圆半径，结合线面垂直模型求即可. 【详解】由题意，设球的半径为，则， 由， 外接圆半径， 根据线面垂直模型知：.    故选：A 1．已知三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为 　32π　． 【解答】解：如下图所示： 圆柱O1O2的底面圆直径为2r，母线长为h，则O1O2的中点O到圆柱底面圆上每点的距离都相等， 则O为圆柱O1O2的外接球球心，球O的半径为， 可将三棱锥S﹣ABC置于圆柱O1O2内，使得圆O2为△ABC的外接圆，如下图所示： 由正弦定理可知圆O2的直径为， 所以，三棱锥S﹣ABC外接球的半径， 因此，三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为4πR2＝32π． 故答案为：32π． 2．正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 试题分析：根据题意作图如下，由图可知翻折后的高平面，即四面体的高为．在中，，由余弦定理，得，所以，所以由正弦定理可知的外接圆半径为．设这个外接圆的圆心为，半径为，则由外接球的对称性可得．在中，，即，所以外接球表面积为，故选A． 3.在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用正弦定理求出外接圆的半径，然后利用求出三棱锥外接球的半径，即可算出表面积. 【详解】设外接圆的半径为，圆心为， 根据正弦定理，则，故， 设三棱锥外接球的半径为，球心为O，    由，可知为等腰三角形， 过作于，则为中点，由平面，平面， 故，则共面， 因为平面，平面，所以， 又，故，于是四边形为平行四边形， 因为，所以四边形为为矩形， 则，故三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 4．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB＝2，AC＝AD＝4，CD＝2，则球O的表面积为（　　） A．20π B．18π C．36π D．24π 【解答】解：如图， ∵AB⊥平面BCD，BC、BD⊂平面BCD， ∴AB⊥BC，AB⊥BD， ∵AB＝2，AC＝AD＝4，∴BC＝BD＝， 又CD＝2，∴BC2+BD2＝CD2，即BC⊥BD， 取CD中点G，则G为△BCD的外心，设球O的半径为R，三角形BCD的外接圆半径为r， 则r＝CD＝，R＝， ∴球O的表面积为S＝4πR2＝20π． 故选：A． 题型七：正棱锥与侧棱相等模型 预备知识：的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等 模型参考图像模型参考图像(以三棱锥为例) 模型条件：三棱锥中的射影是的外心. 解题步骤 ① 确定球心的位置: 取的外心，因为的射影是的外心，则球心在直线上； ② 由正弦定理算出小圆的半径，算出棱锥的高； ③ 求半径：，解出. 若是如下图的三棱锥(球心在锥体的下方)，方法类似. 【例1】 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 . 【解析】方法一 正方形的中心， 找球心:平面，显然球心在上， 求外接球半径: 在中，(即重合) . 方法二 正方形的中心，而， 则外接球的球心就是，且半径，. 方法三 大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，，，. 【点拨】 ① 正四棱锥的外接球问题是显然属于“垂面模型”的(存在其高底面)，方法一就是按照模型的套路进行求解的; ② 本题具有特殊性，正四棱锥的侧棱与底面边长相等，方法一根据外接球的定义，直接确定了球心的位置并求出半径；方法二利用了大圆是轴截面所的外接圆与直角三角形的特性求出了半径； ③ 做题不能太“模型化”，要发散多思考几种方法，避免思维定势开拓自己的思维提高分析能力. 【变式1-1】在正三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝，AB＝AC＝BC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是（　　） A．9π B．π C．4π D．π 【解答】解：如图， 设正三棱锥P﹣ABC的底面中心为G，连接PG，则PG⊥平面ABC， 再设正三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O，则O在PG上， ∵AB＝AC＝BC＝，∴AG＝， 又PA＝，∴PG＝． 设球O的半径为R，在Rt△OGA中，有AG2+OG2＝OA2， 即12+（2﹣R）2＝R2，解得R＝． ∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4π×＝． 故选：D． 【变式1-2】在正三棱锥P﹣ABC中，AB＝2，正三棱锥P﹣ABC的体积是4，则正三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是（　　） A．5π B．15π C．25π D．35π 【解答】解：因为正三棱锥P﹣ABC中，AB＝2，所以S△ABC＝×2×2×sin60°＝3， 过P作PN⊥面ABC，则N为三角形ABC的中心，连接AN延长交BC于M，则M为BC的中点， 可求得AN＝2，由正三棱锥P﹣ABC知外接球的球以O在PN上， 因为正三棱锥P﹣ABC的体积是4， 所以×S△ABC×PO＝4， 所以PO＝4， 设外接球的半径r，由题意得r2＝（4﹣r）2+22， 解得r＝， 所以外接球的表面积S＝4πr2＝4π×（）2＝25π， 故选：C． 【变式1-3】 已知正三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且球心在三棱锥的内部，若该三棱锥的侧面积为，，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】作 SM⊥平面 ABC，连结 AM 并延长交 BC 于点 D，连结 SD， 正三棱雉外接球的球心 O 在高 SM 上，连结 OA， ∵，解得：， 正三角形 ABC 中，， ∴， 设 SO=AO=R，△OAM 中， ，解得：， 则球 O 的表面积 ． 【例2】 已知三棱锥四个顶点都在球上，，，．则球的表面积为(　　) A． B． C． D． 【解析】 在中，，， 可得 的外接圆半径 ， 如图所示， 设点在平面内的投影的为，则， 在中，因为，解得， 设三棱锥 的外接球半径， 即，， 在中，由勾股定理得 ，解得， 故三棱锥的外接球半径为， 根据球体的表面积公式 ， 可得球的表面积为 ． 故选：． 【变式2-1】在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝1，BC＝，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A．8π B． C． D． 【解答】解：如图， 由PA＝PB＝PC＝2，过P作PG⊥平面ABC，垂足为G， 则G为三角形ABC的外心， 在△ABC中，由AB＝AC＝1，BC＝，可得∠BAC＝120°， 则由正弦定理可得：＝2AG，即AG＝1． ∴PG＝＝． 取PA中点H，作HO⊥PA交PG于O，则O为该三棱锥外接球的球心． 由△PHO∽△PGA，可得，则PO＝＝． 即该棱锥外接球半径为． ∴该三棱锥外接球的表面积为， 故选：B． 【变式2-2】在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，AD＝9，则三棱锥A﹣BCD外接球O的表面积为　84π　． 【解答】解：如图所示：取BC的中点E，连接AE，DE，取AD的中点F，连接EF， 因为AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6， 所以AE⊥BC，DE⊥BC，且三角形ABC和三角形BCD都是正三角形， 所以AE＝DE＝3，即三角形ADE为等腰三角形，所以EF⊥AD，且EF平分∠AED， 不妨设三角形BCD的外接圆圆心为O′，且O′在DE上，所以EO′＝ED＝， 设外接球的球心为O，半径为R，则OA＝OD＝R， 利用面面垂直可证得平面AED⊥平面BCD， 又平面AED∩平面BCD＝ED，则球心O必在三角形AED中， 又OA＝OD＝R，所以O在∠AED的角平分线EF上，连接OO′， 则OO′⊥平面BCD，即OO′⊥ED， 在三角形AED中，由余弦定理可得： cos∠AED＝＝﹣， 所以∠AED＝120°，所以∠FED＝∠AED＝60°， 在Rt△EOO′中，tan∠FED＝＝＝，所以OO′＝3， 在Rt△OO′D中，OD＝R，O′D＝2， 所以R2＝OO′2+O′D2＝21， 所以球O的表面积为S＝4πR2＝84π， 故答案为：84π． 1．如图在正三棱锥S﹣ABC中，M，N分别是棱SC、BC的中点，Q为棱AC上的一点，且AQ＝QC，MN⊥MQ，若AB＝2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积为（　　） A．12π B． C． D． 【解答】解：如图， 以△ABC的中心O为坐标原点，以OB所在直线为x轴，以过O平行于AC的直线为y轴建立空间直角坐标系， 设OS＝h，则B（，0，0），C（﹣，，0），S（0，0，h）， N（，，0），M（﹣，，），Q（﹣，﹣，0）， ，， 由，解得h＝． 设正三棱锥S﹣ABC的外接球的半径为r，则， 即，解得r＝． ∴此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积为． 故选：D． 2．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝2，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是（　　） A．12π B．32π C．36π D．48π 【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB，∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，作SO⊥平面ABC，连接BO交AC与D点， ∵底面是正三角形，SA＝SB＝SC，AC⊂平面ABC ∴BD⊥AC，SO⊥AC，∵BD∩SO＝O，BD⊂平面BDS，SO⊂平面BDS，∴AC⊥平面BDS， ∵SB⊂平面BDS，∴AC⊥SB，∴MN⊥AC， 又∵MN⊥AM，而AM∩AC＝A，且AM，AC⊂平面SAC，∴MN⊥平面SAC， ∴SB⊥平面SAC，∴∠ASB＝∠BSC＝∠ASC＝90°， 以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是球的直径，，S＝4πR2＝12π． 故选：A． 3.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R， 在Rt△中，， 由勾股定理得，∴球的表面积 4.如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱锥的体积公式，列出方程，求得，再利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，设外接球的半径为，则， 则正四棱锥的体积为，解得， 所以球的表面积为． 【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。 5.已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为 . 【答案】 【详解】设正四棱锥的高为h，则×()2h＝，解得高h＝.则底面正方形的对角线长为×＝，所以OA＝＝，S球＝4π()2＝24π. 6．在正三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PB，PA＝5，则正三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为 　75π　． 【解答】解：由正三棱锥的性质可得，PA⊥PB⊥PC，PA＝PB＝PC＝5， 由墙角模型可得正三棱锥P﹣ABC外接球的直径为， 所以正三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为． 故答案为：75π． 题型八：侧棱为外接球直径模型 方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形。 如图，AC是外接球直径，为底面三角形BCD的外接圆圆心，0为外接球球心，作AE⊥底面BCD， 则⊥底面BCD,且＝AE. 【例1】．已知三棱锥P﹣ABC各顶点均在球体O的表面上，PB为球的直径，若AB＝BC＝2，∠ABC＝，三棱锥P﹣ABC的体积为4，则球O的体积为 　　． 【解答】解：如图， 由AB＝BC＝2，∠ABC＝， 得BC2＝，则BC＝， ∴×AB×BC×＝， 设△ABC的外接圆圆心为O′，则OO′⊥圆O′， 由正弦定理可知，△ABC外接圆的半径r＝， 设P到平面ABC的距离为d，由PB为球O的直径可知，OOd， ∴，∴d＝，∴OO′＝2， ∴球O的半径OA＝， ∴球O的体积V＝． 故答案为：． 【变式1-1】．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径．若平面PAC⊥平面PBC，PA＝AC，PB＝BC，三棱锥P﹣ABC的体积为，则球O的体积为（　　） A．36π B．16π C．12π D． 【解答】解：因为PC是球O的直径，取PC的中点即为球O的球心，如图所示： ， 因为PA＝AC，PB＝BC，所以AO⊥PC，BO⊥PC， 又因为平面PAC⊥平面PBC，所以AO⊥平面PBC， 所以棱锥P﹣ABC的体积VP﹣ABC＝VA﹣PBC＝＝＝， 所以r＝2， 故球O的体积为＝． 故选：D． 【变式1-2】．在三棱锥S﹣ABC中，已知SA＝4，AB＝AC＝1，∠BAC＝，若S，A，B，C四点均在球O的球面上，且SA恰为球O的直径，则三棱锥S﹣ABC的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵在三棱锥S﹣ABC中，SA＝4，AB＝AC＝1，∠BAC＝， S，A，B，C四点均在球O的球面上，且SA恰为球O的直径， ∴∠ABS＝∠ACS＝90°，SB＝SC＝，BC＝＝， 取BC中点O，连结SO，AO，则SO⊥BC，AO⊥BC，AO＝，BO＝， SO＝＝， ∴cos∠SAO＝＝＝，∴∠SAO＝60°， ∴S到平面ABC的距离d＝SA×sin60°＝4×＝2， ∴三棱锥S﹣ABC的体积： V＝＝＝． 故选：C． 1．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在同一个球面上，△BCD是边长为2的正三角形，AC为球O的直径，若该三棱锥的体积为，则该球O的表面积（　　） A．64π B．48π C．32π D．16π 【解答】解：根据题意作出图形： 设球心为O，过BCD三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面BCD， 延长CO1交球于点E，则AE⊥平面BCD． ∵该三棱锥的体积为， ∴＝＝， 解得AE＝， ∵AC为球O的直径，∴OO1＝＝， ∵CO1＝＝，∴球半径R＝OC＝＝2． ∴该球O的表面积S＝4πR2＝16π． 故选：D． 2．已知三棱锥S﹣ABC的顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为6的正三角形，SC为球O的直径，且此三棱锥的体积为12，则球O的表面积为（　　） A．16π B．32π C．48π D．64π 【解答】解：∵△ABC是边长为6的正三角形，∴△ABC外接圆的半径r＝， 设点S到平面ABC的距离为d， 则棱锥S﹣ABC的体积V＝，解得d＝4， 又SC为球O的直径， ∴点O到平面ABC的距离为，则三棱锥外接球O的半径R＝， 可得球的表面积S＝4πR2＝64π． 故选：D． 3．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 【解答】解：根据题意作出图形 设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC， 延长CO1交球于点D，则PD⊥平面ABC． ∵CO1＝， ∴OO1＝， ∴高PD＝2OO1＝2， ∵△ABC是边长为1的正三角形， ∴S△ABC＝， ∴V三棱锥P﹣ABC＝××2＝， ∴r＝1．则球O的表面积为4π． 故选：A． 题型九：共斜边拼接模型 如图，在四面体ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，此四面体可以看出是由两个共斜边的直角三角形拼接而成的，BD为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之。设点O为公共斜边BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OA＝OC＝OB＝OD，即点O到A，B，C，D四点的距离相等，故点O就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边BD就是外接球的一条直径。 【例1】在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设中点，中点，由直角三角形外接圆为斜边中点，且由题意可知，所以底面，则为三棱锥外接球的球心，可解. 【详解】设中点，中点， 由，，所以的外接圆直径， 且圆心为， 由于底面，，所以底面， 则为三棱锥外接球的球心， 所以外接球的直径， 所以外接球的体积． 故选：B    【变式1-1】．将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的外接球的体积为（　　） A． B． C．π D． 【解答】解：根据题意，画图如下： 在△ABD中，作BO⊥AD，则O为AD中点， 且根据四边形ABCD是正方形， 可知OA＝OB＝OC＝OD． ∴点O即为四面体ABCD的外接球的球心， R＝OA＝•sin45°＝1， ∴V球＝＝＝． 故选：D． 【变式1-2】如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，AB⊥AD，BD⊥CD．将该四边形沿对角线BD折成一个直二面角A﹣BD﹣C，则四面体ABCD的外接球的体积为（　　） A．π B．π C．2π D．3π 【解答】 解：如图，因为平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，则CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB． 因为AB⊥AD，则AB⊥平面ACD，从而AB⊥AC，所以BC是外接球的直径． 在Rt△BDC中，BC＝＝，则球半径R＝． 所以外接球的体积V＝πR3＝π． 故选：B． 【变式1-3】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD＝，则三棱锥P﹣AOB的外接球的体积是 　π　． 【解答】解：如图，∵底面ABCD为菱形， ∴OA⊥OB， ∴AB中点N为△AOB的外心， 取PA中点M， 则MN∥PB， ∵PB⊥底面ABCD， ∴MN⊥底面ABCD， ∴M为三棱锥P﹣AOB的外接球球心， ∵PB＝1，∠APB＝， ∴AP＝2， ∴外接球半径为1， 体积为π， 故答案为：． 【变式1-4】．在平行四边形ABCD中，•＝0，||＝1，||＝，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积为（　　） A．16π B．8π C．4π D．2π 【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，||＝1， ||＝，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C， ∴三棱锥A﹣BDC镶嵌在长方体中， 即得出：三棱锥A﹣BDC的外接球与长方体的外接球相同， ∴2R＝＝2，R＝1， ∴外接球的表面积为4π×12＝4π， 故选：C． 1．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为　π　． 【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等， 所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半， 则V球＝π×（）3＝π． 故答案为：π． 2．已知三棱锥A﹣BCD中，，BC＝AC＝BD＝AD＝1，则此几何体外接球的体积为（　　） A．2π B． C． D．π 【解答】解：如图， 由，BC＝AC＝BD＝AD＝1， 可得AC2+AD2＝CD2，BC2+BD2＝CD2， 则AC⊥AD，BC⊥BD， 取CD中点O，则OA＝OC＝OD＝OB， ∴O为该几何体外接球的球心，则半径为． ∴此几何体外接球的体积为×＝． 故选：B． 3．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABD＝90°，2AB2+BD2＝4，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C， ∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，且AC2＝AB2+BD2+CD2＝2AB2+BD2＝4， ∴三棱锥A﹣BDC的外接球的半径为1， ∴三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积是4π 故选：A． 4.矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 解析： 如图： 矩形中，因为，所以， 设交于，则是和的外心， 所以到点的距离均为，所以为四面体的外接球的球心， 所以四面体的外接球的半径，所以四面体的外接球的体积. 5.如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 解析： 由可知，，，可求，，， 因为平面平面ABEF，平面平面， 又，平面， 所以平面ABEF，平面ABEF，所以， 由，，得， 又，同理可得得，又， 所以，所以. 所以MC为外接球直径， 在Rt△MBC中，即， 故外接球表面积为． 题型十：垂面模型 预备知识：球体的截面都是圆，设两个不平行的截面小圆的圆心为，分别过作两个截面的垂线，则球心是两条垂线的交点. 特殊模型(其中底面三角形为直角三角形)： 如图：平面 平面 ( 为小圆直径) （1）由图知球心必为的外心,即在大圆面上,先求出小圆面直径的长; （2）在中,可根据正弦定理,解出 如图：:平面平面 （1）确定球心的位置,由图知三点共线; （2）算出小圆面半径,算出棱锥的高 （3）勾股定理:，解出 【例1】已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】折叠型，法一：的外接圆半径为，， 法二：，，， 【变式1-1】 已知三棱锥中，和是全等的等边三角形，边长为，当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球表面积为 . 【解析】 如图，当平面平面时，三棱锥体积最大， 取中点，连接，则，， 因为平面平面，所以可证得平面，平面， 取三角形的外心，作，则四点共面， 取三角形的外心，过点作的平行线交于点， 因为垂直平面，则垂直平面， 于是点到四点的距离相等， 所以点为三棱锥外接球的球心． 连接，可求得，， 所以， 所以外接球表面积为． 【点拨】 本题中平面平面，是两平面垂直(即二面角为)的情况，球心还是比较好确定的，即过三角形的外心作的垂线交点，此时四边形是矩形，很多量都好求. 【变式1-2】．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，PB＝PC＝AB＝AC且PA＝8，BC＝4，平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为　65π　． 【解答】解：由题意，PB＝PC＝AB＝AC，取BC的中点D，连接PD，AD， ∴PD⊥BC，AD⊥BC， ∵平面PBC⊥平面ABC， ∴PD是四面体ABCP高， 即APD是直角三角形． 设PB＝PC＝AB＝AC＝a， 可得PD＝AD＝ ∵PA＝8，APD是直角三角形． ∴2a2﹣8＝64 解得：a＝6 ∴△ABC的边长为AB＝AC＝6，BC＝4． 可得：sinC＝， 外接圆半径：2r＝ ∴r＝ 设外接球O的半径R，球心到平面ABC的距离为h， 可得：＝R2 解得：R＝ 球O的表面积为4πR2＝65π， 故答案为：65π． 【变式1-3】如图所示，三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　) A． B． C． D． 【解析】中，，， 设的外心为，外接圆半径为， 则， 取的中点，连接，则是线段的中垂线， 根据三角形外心的定义，可知点在直线上， ，点在外， 在中可得，，， 所以可得，即∠ABC， 取的中点，则可得为的外接圆的圆心，， 过分别作平面的垂线， 垂直且相交，设交点为，即为球心， 在中，， 所以外接球的表面积， 故选：． 【点拨】 ① 本题平面平面，属于两平面垂直(即二面角为)的情况，球心不难找，但是要细心些点在三角形内还是外； ② 思考 垂线会不会是异面直线，那它们就不交于点？ 分析 不会的， 平面平面，平面平面，面，， 同理，故点四点共面，其实题目求三棱锥的外接球，则两条垂直的交点一定是球心. 1.已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出的外接圆半径，矩形的外接圆半径，再利用几何关系求出球的半径，进而求出结果. 【详解】 根据正方体，得，，所以平面， 四边形是矩形，其中，， 的三边为， ，， ， 设的外接圆半径为，则， 于是， 设矩形的外接圆半径为，则， 设球心为，过作平面，垂足为， 过作平面，垂足为， 则是矩形的外心，是三角形的外心， 取中点，则， 于是平面， 所以四边形是矩形. 设球半径为，， 则， 于是球的表面积为. 故选：D. 2．已知三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在球O的球面上，平面ABC⊥平面PBC，AC⊥BC，AC＝6，AB＝8，PC＝PB＝2，则球O的体积为（　　） A． B． C．50π D．96π 【解答】解：根据题意，平面ABC⊥平面PBC，面PBC∩面ABC＝BC，AC⊥BC， ∴AC⊥平面PBC． ∵PC＝PB＝2， ∴△PBC是等腰三角形，△ABC是直角三角形，可得BC＝2， 则平面ABC的外接圆半径为r1＝4， 设平面PBC的外接圆的半径为r2， 在△PBC中，cos＝，则sin， ∴2，得r2＝4． 球心到B距离相等于R，可得R＝＝5． ∴球O的体积为V＝． 故选：B． 3．如图三棱锥P﹣ABC，平面PBC⊥平面ABC，已知△PBC是等腰三角形，△ABC是等腰直角三角形，若AB＝BC＝2，PB＝PC＝，球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，则球O的表面积是 　　． 【解答】解：设该几何体的外接球的半径为R， 如图所示： 设点E为△PBC的中心， 所以PE＝EC＝EB， 利用CE2＝12+（2﹣PE）2， 由于PE＝CE， 所以PE＝，故OD＝， 在△ABC中，利用勾股定理：， 所以BD＝，设外接球的半径为R， 所以， 故． 故答案为：． 4．如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意说明为等腰直角三角形，根据面面垂直性质推出平面，进而结合球的几何性质，确定三棱锥外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案. 【详解】由于，，故， 即为等腰直角三角形， 取AC的中点为M，连接，    因为，即为正三角形，故, 由于平面平面，平面平面，平面， 故平面，平面，故； 又M为的外心， 则三棱锥外接球的球心必在BM上， 设的中心为O，则O在BM上且， 而， 则， 即， 即O点即为三棱锥外接球的球心， 故外接球半径为，所以外接球表面积为， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据条件，结合球的几何性质，确定出三棱锥外接球球心的位置，进而求得半径. 5．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，，PA=PD=AB=2，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为（　　） A．2π B．4π C．8π D．12π 【解答】解：取AD的中点E，连接PE， △PAD中，PA=PD=2，，∴PA⊥PD，∴PE=， 设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=， 设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=12+（﹣d）2， ∴d=0，R=， ∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=12π． 故选：D． 6．如图所示，已知三棱锥中，底面为等腰直角三角形，斜边，侧面为正三角形，D为的中点，底面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三棱锥外接球的球心为O，确定球心的位置，即球心落在过底面外心的垂线上，利用图形的几何性质求得外接球半径，即可求得答案. 【详解】如图，设E是的中点，连接，D为的中点，故, 底面为等腰直角三角形，即,故； 设三棱锥外接球的球心为O， 连接， 因为底面为等腰直角三角形，E是的中点， 即E为的外心，故平面, 在等腰直角三角形中，斜边，则. 因为是正三角形，所以， 因为，所以三棱锥是正三棱锥， 所以O在底面上的射影F是的重心， 则点F在上，所以. 因为底面，故, 而底面，故, 又因为，平面,故平面， 而平面,故, 故四边形是矩形，所以，所以， 所以三棱锥外接球的半径，其表面积为， 故选：D. 7.已知四棱锥的底面是矩形，高为，，，，，则四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 解析： 【详解】如图，在矩形中，连接对角线，记，则点为矩形的外接圆圆心， 取的中点，连接，记的外接圆圆心为，易知，且共线. 因为，平面，所以平面， 所以平面，平面，，，平面， 所以平面，所以，所以，易得， 所以由正弦定理得的外接圆半径为，即. 过作平面，且，连接，由平面， 可知，则四边形为矩形，所以，则平面. 根据球的性质，可得点为四棱锥的外接球的球心， 因为，所以四棱锥的外接球的表面积为.    8.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=2，PC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为　10π　． 【分析】由O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，可得球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心， 在△PBC中，由余弦定理、正弦定理可得R即可， 【解答】解：因为O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内， 根据球的性质，球心一定在垂线l， ∵球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心， 在△PBC中，由余弦定理得cosB=，⇒sinB=， 由正弦定理得：，解得R=， ∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为s=4πR2=10π， 故答案为：10π． 题型十一：二面角与球体问题 基本原理 如下图, 所示为四面体 , 已知二面角 大小为 , 其外接球问题的步骤如下: (1) 找出 和 的外接圆圆心, 分别记为 和 . (2) 分别过 和 作平面 和平面 的垂线, 其交点为球心, 记为 . (3) 过 作 的垂线, 垂足记为 , 连接 , 则 . (4) 在四棱雉 中, 垂直于平面 , 如图所示, 底面四边形 的四个顶点共圆且 为该圆的直径. 如图, 设 为面 与面 的外接圆圆心, 其半径分别为 , 两相交面的二面角 记为 , 公共弦为 的弦长为, 四面体 球 的半径 .两圆 的弦心距: ; 两圆 的圆心距: , 由于四边形 的四个顶点共圆且 为该圆的直径, 而 , 则由正弦定理: ,于是外接球 的半径 可得，进一步整理： 时, 代入 可得: 【例1】 如图，在菱形中，，，为对角线的中点，将沿折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】28π 【解析】过球心O作OO′⊥平面BCD，则O′为等边三角形BCD的中心， ∵四边形ABCD是菱形，A＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∵∠PEC＝120°，连接OP，OP＝OC，OE＝OE，PE＝CE， ∴△OPE≌△OCE，∴∠OEC＝∠OEP＝60°； ∵AB＝2，∴CE＝3，∴EO′＝1，CO′＝2，∴OO′， ∴球的半径OC． ∴三棱锥P－BCD的外接球的表面积为4π•7＝28π， 【变式1-1】 如图，四面体中，面和面都是等腰，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为(　　) A． B． C． D． 【解析】取中点，中点，连结， 四面体中，面和面都是等腰， ，，且二面角的大小为， ，，是二面角的平面角，， 2，，， ，， 则点为外接圆的圆心，点为外接圆的圆心， 过点作平面的垂线，过点作平面的垂线， 且直线与直线交于点，则点为四面体外接球的球心，为半径， 如下图所示， 易知，，所以， 所以，则四面体的外接球半径为， 因此球的表面积为， 故选：B． 【点拨】 ① 要注意常见三角形(等腰三角形、直角三角形、等边三角形等)外接圆圆心的位置； ② 这是典型的“折叠模型”，二面角不是，在找球心的时候，要确定两个“折面”的圆心，因为球心是过两个圆心的垂线交点. ③ 在求外接球半径时，把含两垂线和半径的平面四边形拿出来分析求出半径，要注意二面角的使用. 【变式1-2】已知是半径为的球体表面上的四点，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 解析： 由于设 分别为面 , 面 的外接圆半径, 则 , 代入: , 可得: , 故平面 与平面 的夹角为 , 故其余弦值为 . 【变式1-3】如图，在菱形中，，，E为对角线BD的中点，将沿BD折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过球心作平面，则为等边三角形的中心，由与都是边长相同的等边三角形得，利用勾股定理得、，最后由球的的表面积公式计算可得答案. 【详解】过球心作平面，则为等边三角形的中心，∵四边形是菱形，，∴与都是边长相同的等边三角形， ∵，∴，∵， ∴，∴，，中，， 由勾股定理得， ∴球的半径， ∴三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A． 【点睛】方法点睛：一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径. 1.在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则该三棱锥外接球半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由三棱锥外接球的定义找到其球心位置，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】   因为为等边三角形，所以的外心为的重心， 连接并延长交于点，则为中点，记的外心为，球心为， 连接，，，，则平面，平面， 球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，因为平面，平面， 所以，，因为，平面， 所以平面，而，平面，， 所以平面，所以平面与平面重合，即四点共面， 所以平面，所以，因为， 所以，，， 因为 ，所以，所以， ， 因为二面角的平面角为为， 所以， 即，因为，所以四点共圆且为直径， 所以，所以， 所以， 所以，即三棱锥外接球半径是. 故选：C 2.已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用点均在球的表面上可得四点共圆，先证明平面，得出二面角的平面角为，可计算出，再利用勾股定理可得出四边形外接圆的直径为，则，最后利用外接球的表面积公式代入即可得出答案. 【详解】因为，所以， 因为点均在球的表面上， 所以四边形内接于圆，所以，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 平面，所以，又， 所以二面角的平面角为，所以， 在中，因为，所以， 由余弦定理可得：， 即，即或（舍去）， 所以，所以外接圆的直径为：， 即四边形外接圆的直径为， 因为平面，所以，四棱锥外接球的半径为： 所以四面体外接球的表面积为.    故选：B. 3.在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取AC的中点M，可得即为二面角的平面角， △ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，在平面ABC内，设，然后表示出外接球的半径，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求得答案. 【详解】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变， 故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接， 因为，DA=DC，所以，，故即为二面角的平面角， △ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示； 在平面ABC内，设，则，， 因为，所以，所以， 所以      令，则， 所以，当且仅当时取等， 故选:B 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了三棱锥外接球的求法、三角函数的最值问题，解题的关键是根据题意找出外接球的球心位置，考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力，考查学生的推理运算能力，属于难题. 4．△ABC与△ABD都是边长为2的正三角形，沿公共边AB折叠成60°的二面角，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据外接球球心的性质确定球心O的位置为过正△ABC与△ABD的中心的垂线上，再构造直角三角形求解球O的半径． 【解答】解：由题，设正△ABC与△ABD的中心分别为N，M， 根据外接球的性质有OM⊥平面ABD，ON⊥平面ABC， 又二面角D﹣AB﹣C的大小为60°，故∠DEC＝60°， 又正△ABC与△ABD的边长均为2， 故，故， 易得Rt△MEO≌Rt△NEO，故∠MEO＝∠NEO＝30°， 故，又EB＝1， 故球O的半径， 故球O的表面积为． 故选：C． 5.已知正方体的棱长为2，为棱上的一点，且满足平面平面，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定平面，得到，根据勾股定理确定为中点，将四面体放入长方体中，计算半径得到表面积. 【详解】如图所示：为的中点，连接，，，    ，则，平面，平面平面， 平面平面，故平面， 平面，故， 设，则，，， ，即，解得， 将四面体放入长方体中， 设四面体的外接球半径为，则，， 外接球的表面积. 故选：A. 题型十二：最值与球体相关问题 【例1】已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（　　） A．36π B．16π C．12π D．π 【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为r，则 ∵AB=BC=，AC=3，∴∠ABC=120°，S△ABC=， ∴2r==2 ∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为， ∴D到平面ABC的最大距离为3， 设球的半径为R，则R2=3+（3﹣R）2， ∴R=2， ∴球O的表面积为4πR2=16π． 故选：B． 【变式1-1】已知边长为2的正△ABC所在平面外有一点P，PB＝4，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（　　） A． B．16π C． D． 【分析】由题意可得当PB⊥面ABC时，三棱锥的体积最大，首先由底面时正三角形求出其外接圆的半径，然后由题意可得此三棱锥的外接球的球心为过底面圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积． 【解答】解：由题意当三棱锥P﹣ABC的体积最大时是PB⊥面ABC时，由边长为2的正△ABC， 设三角形ABC的外接圆半径为r，则2r， 所以r， 由题意此三棱锥的外接球的球心为过底面圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R， 则由题意可得：R2＝r2+（）222， 所以外接球的表面积S＝4πR2， 故选：C． 【点评】考查三棱锥体积最大时的情况即三棱锥的外接球的半径与棱长的关系及球的体积公式，属于中档题． 【变式1-2】已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【详解】   如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为 【变式1-3】如图，球的表面积为，四面体内接于球，是边长为的正三角形，平面平面，则该四面体体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据球的表面积求得求得半径，再根据题意得出当时，点到底面的距离最大，求出点到底面的距离即可求出最大值. 【详解】因为球的表面积为，所以， 由题意知底面三角形的面积为定值，要使四面体体积的最大，只须顶点到底面的距离最大即可， 又因为平面平面，可知当时，点到底面的距离最大， 外接圆的半径，则到面的距离为，且到面的距离为， 设点到平面的距离为，则，解得， 此时体积最大值为. 故选：B. 【例2】在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥可以补成长方体，从而得到为三棱锥的外接球的直径，要想体积最小，则最小即可，设，表达出，从而得到，进而求出外接球体积的最小值. 【详解】根据题意三棱锥可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中为长方体的对角线， 则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小． 设，则，，， 所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为， 所以． 故选：A 【变式2-1】．正四棱柱的体积为8，则该正四棱柱外接球体积的最小值为（　　） A．4π B． C．12π D．12π 【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则a2h=8． ∵正四棱柱的体对角线即为球的直径，∴2r═≥=2 ∴r的最小值为， 故该正四棱柱外接球体积的最小值为V=π（）3=4π． 故选：A． 【变式2-2】．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（　　） A． B． C． D．﹣ 【解答】解：由题意，V==， 当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大， 如图所示，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分， 则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=9，可得R=， 因为AB=AC=，BC=2， 所以cos∠ACB==，sin∠ACB=， △ABC外接圆的半径为r=， 设球心到平面ABC的距离为d， 所以d==． 故选B． 【变式2-3】《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝3，当阳马C﹣ABB1A1的体积为8时，堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球表面积的最小值是（　　） A．8π B．25π C． D． 【解答】解：设AB＝x，BC＝y，则阳马C﹣ABB1A1体积V＝×3xy＝xy， ∴xy＝8， 把堑堵ABC﹣A1B1C1补形为长方体， 则长方体的对角线长L＝≥＝5， 当且仅当x＝y＝时上式取“＝”． ∴堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积的最小值为S＝， 故选：B． 1.，，，在同一个球面上，是边长为6的等边三角形；三棱锥的体积最大值为，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】 如图，三角形ABC的中心为M，球心为O，当时，三棱锥体积最大，，设， 则，，外接圆体积为 2．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah， ∴ah≤，当且仅当h=a=时取等号， ∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤4， ∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=，a=1， 故选：D． 3．三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A﹣BCD的侧面积为S，则S的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 【解答】解：设AB，AC，AD分别为a，b，c，则三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体， 它也外接于球，对角线的长为球的直径，∴a2+b2+c2=16， S=（ab+bc+ac）≤（a2+b2+c2）=8， 故选C． 题型十三：棱台圆台外接球 【例1】已知正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为，求得上、下底面所在圆的半径，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，利用球的截面圆的性质，列出方程求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，连接， 过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为， 因为正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为， 可得，即， 设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为， 可得，，故或， 即或，解得，符合题意， 所以球的体积为． 故选：B. 【变式1-1】如图，在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球表面积为（    ）    A．64 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得台体的高，然后利用勾股定理列方程，求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设外接球球心为，等边三角形的外心为，等边三角形的外心为， 三点共线，则是正三棱台的高， 设台体的高为，设外接球的半径为， 过作，垂足为，根据正棱台的性质可知， 所以平面，平面，所以， 设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得. 设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得. 在直角三角形中，， 所以. 当球心O在线段上，则，解得， 当球心O在的延长线上时，则，无解， 所以正三棱台的外接球表面积为.    故选：B 【变式1-2】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【试题解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A． 1．若三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为260π的球O的表面上，，则三棱台ABC﹣A1B1C1的高为（　　） A． B．8 C．6或8 D．或6 【分析】由外接球的表面积可得R2＝65，分别求出正三棱台ABC﹣A1B1C1的上下两个底面的外接圆的半径，然后由球的性质分别求出球心到上下两个面的距离，再分三棱台的上下底面在球心O的同侧和异侧两种情况求解即可． 【解答】解：设点O1，O2分别是正△A1B1C1，△ABC的中心，球的半径为R， 则4πR2＝260π，即R2＝65，且O1，O2，O三点共线，正三棱台ABC﹣A1B1C1的高为O1O2， 在等边△ABC中，由，由正弦定理可得：，得AO2＝8， 在等边△A1B1C1中，由，由正弦定理可得：，得A1O1＝4， 在Rt△OO1A1中，，即，得OO1＝7， 在Rt△OO2A中，，即，得OO2＝1， 如果三棱台的上下底面在球心O的两侧，则正三棱台的高为O1O2＝OO1+OO2＝7+1＝8， 如果三棱台的上下底面在球心O的同侧，则正三棱台的高为O1O2＝OO1﹣OO2＝7﹣1＝6， 所以正三棱台ABC﹣A1B1C1的高为8或6． 故选：C． 2.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是 ．    【答案】 【分析】首先根据正四棱台的对称性得到外接球的球心所在位置，根据垂直关系列出方程组，解方程组得外接球半径，最后求出外接球表面积即可． 【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为， 由棱台的性质可知，外接球的球心落在线段上， 由题意该四棱台上下底面边长分别为8和6，侧棱长为10， 则，，， 所以， 设外接球的半径为，，则， 因为垂直于上下底面， 所以，即， 又，即， 联立解得，， 所以该米斗的外接球的表面积为． 故答案为：    题型十四：圆锥外接球问题 【例1】.已知球O的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，若，则（       ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给定条件，求出球O半径，平面截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答. 【详解】 球O半径为R，由得，平面截球O所得截面小圆半径，由得， 因此，球心O到平面的距离，而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为， 因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为，于是得圆锥底面圆半径， 令平面截圆锥所得截面为等腰，线段AB为圆锥底面圆的弦，点C为弦AB中点，如图， 依题意，，，，弦， 所以. 故选：C 【点睛】 关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 【变式1-1】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，再求出顶点到底面的距离，分析出球心，进而得到外接球半径，再利用公式求解即可 【详解】 设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为， 所以顶点到底面圆圆心的距离为：， 所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为， 所以. 故选：A. 1.前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（       ） A． B． C． D． 【解析】 【分析】 设球半径为，圆锥的底面半径为，利用扇形的弧长和面积公式求得，即可求解. 【详解】 圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为， 设母线为，则，可得：， 由扇形的弧长公式可得：，所以， 圆锥的高， 由，解得：， 所以球的表面积等于， 故选：A 2.一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为，则这个圆锥体积与球体积的比值为（       ） A． B． C． D． 【解析】 【分析】 设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，由圆锥的底面面积与球面面积比值为，得到r与R的关系，计算出圆锥的高，从而求出圆锥体积与球体积的比. 【详解】 设圆锥的底面半径为r，球的半径为R， ∵圆锥的底面面积与球面面积比值为， ∴，则； 设球心到圆锥底面的距离为d，则， 所以圆锥的高为或， 设圆锥体积为与球体积为， 当时，圆锥体积与球体积的比为， 当时，圆锥体积与球体积的比为. 故选：AB 题型十五：内切球 内切球的概念 如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.例：与圆柱两底面以及每条母线都相切的球称为这个圆柱的内切球. 1.如图：求任意三棱锥的内切球半径(等体积法) （1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积; （2）设内切球半径为,建立等式: （3）解出 结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. (可与三角形内切圆的半径类比，均可由等积法求得.) 2.对于直棱柱内切球半径， 直棱柱内切球有两个特点： ①.内切球半径等于直棱柱高的一半。 ②.内切球半径等于底面多边形内切圆半径。 3.对于圆锥内切球半径： 如下图：我们可以通过圆锥的轴截面，转换为三角形内切圆问题，通过半径与母线和底面圆半径的关系求解， 4.对于圆台内切圆半径： 将圆台还原成圆锥，作出圆锥的轴截面，再结合给定角求出圆锥底面圆半径、高与内切球半径的关系即可计算得解（如图一）．也可以根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征以及上下底面半径和球半径等关系求解（如图二）． 5.对于棱台内切球半径： 我们可以过球心做截面，如下图，通过梯形和球半径之间的关系求解。 【例1】 棱长为的正四面体的内切球的表面积为 . 【解析】 法一 运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之. 如图，设是内切球的球心，由对称性可知，点也是外接球的球心， 设内切球的半径为，外接球的半径为， 将正四面体放置正方体中，轻松求出，即， 在等边中，(是的外接圆圆心)， 在中，. 法二 连接，将四棱锥分成四个小棱锥，正四面体的四个面面积相等， 易知小棱锥的高是内切球的半径， 由 得 【点拨】 ① 方法一中很好的利用了几何体的对称性，巧妙知道正四面体的外接球与内切球的球心重合；横截面很好包含了球心、外接球半径、内切球半径等内容; ② 方法二中可知等积法求内切球半径是个很好的方法，同时可知正四面体的高(为内切球半径)，这个结论在很多题目常用. ③ 棱长为的正四面体的高. 【变式1-1】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面PBC，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由PA⊥平面PBC，且，得， 所以△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形， ， 三棱锥P﹣ABC的表面积为． 设内切球半径为r，则， 即， 所以， 所以三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为， 故选：B． 【变式1-2】．节分端午自谁言，万古传闻为屈原；路漫漫其修远兮，吾将上下而求索；亦余心之所善兮，虽九死其尤未悔．端午节是传统节日中富有刚健气息的节日．习近平总书记曾在多个场合引用屈原诗作名句阐述思想、寄情言志．辛丑端午，让我们重温这些名言隽句，感悟总书记深沉的家国情怀．端午节吃粽子，赛龙舟寄寓了对屈原的怀念．粽子主要材料是糯米、馅料，用籍叶包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知这个肉丸的体积最大时，肉丸为正四面体的内切球． 如图，在正四面体中，设棱长为1， 顶点在底面等边三角形内的射影点为中心点， 则由正弦定理可得又， ， 根据对称性可知正四面体的内切球与外接球的球心相同， 且，，其中为外接球的半径，为内切球的半径， 在中由勾股定理可得， ，， ， ， 又正四面体的高， ， 故当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为． 故选：． 【变式1-3】将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当平面平面时，四面体的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解. 【详解】不妨设菱形的边长为，，， 外接球半径为，内切球半径为， 取中点为，连接， 因为，所以， 当平面平面时，平面平面， 平面，所以平面， 此时四面体的高最大为， 因为，所以 所以， ， 令解得， 令解得， 所以在单调递增，单调递减， 所以当时最大，最大体积为， 此时， 以四面体的顶点构造长方体，长宽高为， 则有解得，所以， 所以外接球的表面积为， 又因为， 所以， ， 所以， 所以， 所以，所以内切球的表面积为， 所以内切球和外接球表面积之比为， 故选:C. 【例2】体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为　6　． 【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积，从而得出棱柱的体积． 【解答】解：由球的体积公式，得πR3=， ∴R=1． ∴正三棱柱的高h=2R=2． 设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：a=1， ∴a=2， ∴该棱柱的体积为=6， 故答案为6． 【变式2-1】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°且BB1＝4，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为20π，若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个球，则该球最大半径为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】利用球的表面积公式求出球半径，根据将此三棱柱掏空后放入一个球，该球最大半径为△ABC内切圆半径，利用等面积法求出△ABC内切圆半径即可． 【解答】解：设BC中点为D，B1C1中点为D1，DD1中点为O， 外接球球心在DD1中点O处， 设AB＝x，AC＝y，BC＝z， ∵该三棱柱的体积为，BB1＝4， ∴，， ∵该三棱柱的外接球表面积为20π， ∴外接球半径， 即，BC＝2，x2+y2＝4， ∴，AC＝1， ∴底面ABC内切圆半径， ∵， ∴该球最大半径为． 故选：B． 【变式2-2】在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内，有一体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，当球的体积V取得最大值时，球的内接正四面体的棱长为 　　． 【解答】解：由题意，因为AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，所以AC＝5， 可得△ABC的内切圆的半径， 又由AA1＝5，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球最大半径为R＝1， 设球的内接正四面体的棱长为c，则正四面体的高为， 由，解得c＝， 故球的内接正四面体的棱长为， 故答案为：． 【变式2-3】 已知正三棱柱的六个顶点在球上，又球与此三棱柱的个面都相切，求球与球的体积比与表面积之比. 【答案】 【解析】欲求两球体积之比与表面积之比，关键是求两个球的半径之比. 先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系. 如图： 由题意可得两球、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面， 设正三棱柱底面边长为， 则,正三棱柱的高, 在中有 . 【例3】.已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式，再设，根据基本不等式求最小值即可 【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号. 故选：A. 【变式3-1】如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴截面四边形的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，求出半径，再根据球的体积公式和圆锥的体积公式即可得解. 【详解】如图，四边形为该几何体的轴截面， 则四边形的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径， 设内切球的半径为， 由，得， 则， ， 所以. 故选：D.    【变式3-2】如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为（       ） A．64π B．40π C．84π D．72π 【答案】D 【解析】设母线与底面的夹角，底面半径，内切球半径，圆锥的高用表示，，求出圆锥的体积的表达式，利用基本不等式求出． 【详解】 解：设母线与底面的夹角，底面半径，内切球半径，圆锥的高， 则：，， 圆锥的体积 ， 而，，所以， 又因为：定值 所以， 当且仅当，即时，所以． 故选：D． 【变式3-3】将一个母线长为3cm，底面半径为1cm的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（　　） A．2πcm2 B．πcm2 C． D． 【分析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，由圆锥的结构特征可得其内切球的半径与该圆锥过顶点与底面直径的轴截面的内切圆半径相等，借助等面积法求出该半径，结合球的表面积公式即可得． 【解答】解：原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积， 该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等， 画出该轴截面如图， 由母线长为3cm，底面半径为1cm可得该圆锥的高， 设内切球的半径为r，则有， 解得，即内切球表面积为4πr2＝2πcm2． 故选：A． 【变式3-4】 如图，在圆锥的轴截面中，，有一小球内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球的体积为，圆锥的体积为，则的值为(　　) A． B． C． D． 【解析】如图所示，作出轴截面， 是正三角形，设，则，． ，∴． 设，则， ∴，即． ∴内切球的体积为， 圆锥的体积为， ． 故选：B． 【点拨】 ① 作出横截面，较好的观察到内切球半径、母线、底圆半径等量之间的关系，同时也把立体几何问题转化为平几问题； ② 题中求体积之比，没有明确任一线段的长度，设一线段长度具体值，有利于求出其他线段长度，计算简便些. 【例4】．已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，设r1＝a，则r2＝2r1＝2a，圆台的内切球的半径为R，画出圆台的轴截面图，利用相似三角形的性质可得a的值，结合圆台的体积公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设r1＝a，则r2＝2r1＝2a，圆台的内切球的半径为R，则R＝2， 如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆， 设圆O与梯形的腰相切于点E，与上、下底分别切于点O1，O2，则有ED＝a，EA＝2a， 注意到OD与OA均为角平分线，因此∠DOA＝90°， Rt△DOA中，OE⊥DA，则有OE2＝DE•EA，即2a2＝4，解可得a＝， 半径为2的球与圆台的上、下底面均相切，则圆台的高为h＝2R＝4， 故圆台的体积V＝（π+π+）h＝×（2π+8π+）×4＝． 故选：C． 【变式4-1】已知圆台O1O2存在内切球O（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台O1O2的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为5：8，设圆台O1O2与球O的体积分别为V1，V2，则（　　） A． B． C． D． 【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两底半径与母线的关系，再利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得． 【解答】解：设圆台O1O2的上、下底面半径分别为r1，r2（r2＞r1＞0），母线长为l，高为h，内切球O的半径为R， 显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则l＝r1+r2，2R＝h， 由，整理得，而r2＞r1，解得r2＝3r1，l＝4r1， 因此圆台的高，， 则圆台O1O2的体积， 内切球O的体积，所以． 故选：D． 【变式4-2】．已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（　　） A．49π B．56π C．65π D．130π 【分析】作出正四棱台及其内切球的轴截面，求出正四棱台的上底面边长，再求出外接球半径即可得解． 【解答】解：由题意知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1下底面边长，所以令其内接球半径为r， 因此，所以r3＝8，解得r＝2， 取AB，CD，A1B1，C1D1的中点E，F，E1，F1， 所以四边形EFF1E1内切圆即为正四棱台内接球的截面大圆， 所以四边形EFF1E1是等腰梯形，，又因为， ，整理可得EF•E1F1＝16， 又因为，所以， 令O为正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1外接球球心，R为球半径，所以OC＝OC1＝R， 令M，N分别为正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1上下底面的中心，因此MC1＝2，MN＝4，NC＝4，，， 当球心O在线段MN的延长线时，，无解， 当球心O在线段MN时，，解得，球O的表面积为S＝4πR2＝65π； 因此所求外接球表面积是65π． 故选：C． 【变式4-3】．若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为，则此圆台与其内切球的表面积之比为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】将圆台还原成圆锥，作出圆锥的轴截面，再结合给定角求出圆锥底面圆半径、高与内切球半径的关系即可计算得解． 【解答】解：将圆台母线延长交于点S，得圆锥SO1，作圆锥SO1的轴截面，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面， 截内切球O得大圆，并且是梯形ABCD的内切圆，令SA切圆O于T，如图， 设底面圆直径AB＝2R，依题意，sin∠SAO1，即cos∠SAO1， SA＝2R，SO1R， 设内切球半径为r，则OT＝OO1＝OO2＝r，cos∠SAO1，SO＝2r， SO1＝3rR，于是Rr，且O2为SO1的靠近S点的三等分点，而内切球表面积S1＝4πr2， ACR，CO2R， 圆台的表面积S2＝π（R）2+πR2+π（R+R）RR2r2， 则此圆台与其内切球的表面积之比为． 故选：C． 1.已知正四面体ABCD（各面均为正三角形）的棱长为2，其内切球面上有一动点P，则AP的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设正四面体ABCD的棱长为a，高为h，每一个面的面积为S，其内切球的半径为r， 则由等积法可得，，即． 正四面体ABCD的棱长为2，如图， 则BE＝，BO＝， ∴， ∴正四面体内切球的直径为， 则AP的最小值为． 故选：A． 2.在四棱锥中，平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形.若四棱锥存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 解析： 由于平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形， 所以四棱锥的内切球在等边三角形的“正投影”是等边三角形的内切圆， 设等边三角形的内切圆半径为， 则，解得， 所以内切球的半径为，其表面积为. 3.已知四面体，且，，面面，则四面体的外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，中点，以为轴建立坐标系，利用外接球球心到顶点的距离相等求外接球半径，利用等体积法求内切球半径即可求解. 【详解】取中点，中点，连接， 因为，则，又且，则， 又面面，面面，面，所以面， 由面，则， 所以两两垂直，以为轴建立如图所示坐标系， 则，，，， 设四面体外接球球心为，因为△外接圆圆心为，所以面， 设，因为，所以解得， 即，所以四面体外接球半径， 因为，， 所以，即，△为等腰三角形， 所以△在边上的高为， 所以四面体的侧面积 ， 四面体的体积， 设四面体内切球的半径为， 则由等体积法可得解得， 所以四面体的外接球与内切球的表面积之比为， 故选：C 4．某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是　　 A．16 B．8 C．32 D．24 【解答】解：某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，故该四棱锥为正四棱锥体； 当半径为1的球与四棱锥体相内切时，四棱锥的表面积最小； 设正方形的边长为，四棱锥体的高为，四棱锥体的表面积为， 所以利用等体积转换法， ， 整理得，； 故， 所以四棱锥的体积， 则， 设，可得， 所以． 当且仅当，即时，四棱锥的表面积的最小值为32． 故选：． 5.已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 求得四棱锥的高和斜高，利用等体积法求得内切球的半径，即可求得其体积. 【详解】 如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接,PO,OE,PE, 则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高， 因为,故 ,则 ， 设该四棱锥的内切球的半径为r， 则 ， 即 ，解得 ， 故内切球的体积为 , 故选：B 6．每年的农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，该六面体由正四面体M﹣ABC和N﹣ABC，则其中正四面体M﹣ABC的内切球半径为　　；若该六面体内有一球，则该球半径的最大值为　　． 【解答】解：在棱长为1的正四面体M﹣ABC中，如图取BC的中点D，连接AD，作M在面ABC内的射影O1， 则，所以， 设内切球的半径为r，由等体积法可得，解得； 当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，即球与六个面都相切， 由对称性，可知球心即为△ABC的中心，设球心为O，且该球与MD相切， 过球心O作OE⊥MD，则OE就是球半径， ∵， ∴球半径， 故答案为：． 7．如图，半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切，且圆台的下底半径是上底半径的2倍，则球的体积与圆台的体积之比为（　　） A． B． C． D． 【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，利用平面几何知识得到，由圆台和球的体积公式求解即可． 【解答】解：如图，设梯形ABCD为圆台的轴截面， 则内切圆O为圆台内切球的大圆， 设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2， 则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD， 连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB， 故∠OAD+∠ODA，∠DOA，OE⊥AD， 所以， 故， 所以，， 故球的体积与圆台的体积之比为． 故选：B． 8.如图，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且2r1+r2＝12，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（　　） A．36π B．64π C．72π D．100π 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解r1，r2，然后代入圆台的侧面积公式求解即可． 【解答】解：如图所示，作出轴截面， O1，O2分别为上下底面圆的圆心，M为侧面切点，O为内切球球心， 则O为O1O2的中点， OM⊥AB，OO1＝OM＝4，O1O2＝8，O1A＝MA＝r1，O2B＝MB＝r2， 因为2r1+r2＝12，所以r2＝12﹣2r1， 则AB＝MA+MB＝r1+r2＝12﹣r1 过点A作AG⊥O2B，垂足为G， 则BG＝r2﹣r1＝12﹣3r1， 在Rt△ABG中，由勾股定理得AG2+BG2＝AB2， 即，解得r1＝2或r1＝4， 因为r1＜r2，所以r1＝2，r2＝8，故AB＝10， 所以圆台的侧面积为π×10×（2+8）＝100π． 故选：D． 9．已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为（　　） A． B． C． D． 【分析】作出辅助线，设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，表达出圆台的高、母线长分别为2R，r1+r2，从而利用球和圆台表面积公式得到，并求出两几何体的体积之比． 【解答】解：设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2， 由于BE＝O1B＝r1，CE＝O2C＝r2， 则圆台的高、母线长分别为2R，r1+r2， 设外接球的表面积为S1，圆台表面积为S2， 由表面积公式知， 则外接球的体积为V1，圆台的体积为V2， 所以． 故选：B． 【点评】本题考查几何体的体积与表面积的计算，属于中档题． 10.（多选）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为，则（　　） A．正四面体的棱长为6 B．正四面体的内切球的表面积为6π C．正四面体的外接球的体积为8 D．线段MN的最大值为2 【解答】解：设这个四面体的棱长为a，则此四面体可看作棱长为的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线， 设外接球的半径为R，内切球的半径为r，则 ，所以， 四面体的高为，则等体积法可得， 所以， 由题意得， 所以，解得a＝6， 所以A正确； 所以，所以外接球的体积为，所以C错误； 因为内切球半径为，所以内切球的表面积为，所以B正确； 线段MN的最大值为，所以D正确． 故选：ABD． 11.若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 . 【答案】2：1 【解析】设圆锥的高为h，底面半径为r， 则当圆锥体积最小时，如图， 由△AOE～△ACF可得：，即r， ∴圆锥的体积Vπr2h[(h－24]． 当且仅当h－2=2，即h=4时取等号． ∴该圆锥体积的最小值为．内切球体积为． 该圆锥体积与其内切球体积比2：1． 12.将一个棱长为的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为 . 【答案】cm3 【解析】正方体的棱长为3，要使制作成球体零件的体积最大， 则球内切于正方体，则球的直径为3cm，半径为cm． ∴可能制作的最大零件的体积为cm3． 题型十六：多球与多面体相切问题 【例1】 个半径为的中球，上层个、下层个两两相切叠放在一起. 有个空心大球能把个中球装在里面，求大球的半径至少是多少？ 在它们围成的空隙内有个小球与这个中球都外切，求小球的半径？ 【解析】 (1) 连接个中球的球心得到棱长为的正四面体，它的外接球的半径长， 因此大球的半径至少为； (2)可知该小球和(1)问中的最小的大球是同心球， 则小球的半径是最小的大球的半径减去一个中球的直径，即. 【点拨】大小一样的球体叠在一起，会出现正四面体. 【变式1-1】已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________. 【答案】/ 【详解】如图所示： 依题意得 ， 底面的外接圆半径为， 点到平面的距离为 ， 所以 ， 所以 设球的半径为，所以 则，得 设球的半径为，则，又 得 所以球的表面积为 故答案为：. 【变式1-2】在棱长为的正方体内有两个球外切且有分别与正方体内切. 球两球的半径之和； 球的半径分别为多少时，两球体积之和最小. 【答案】（1）（2）， 【解析】 (1)如图，画出轴截面(对角面)，球心在上，过分别作的垂线交于,设两个球的半径分别为, 则由得，, 所以，则 (2)设两球球体之和为,则 于是当时，有最小值， 故当时，体积之和最小 【变式1-3】．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的表面积和为（　　） A．6π B．9π C． D．21π 【分析】先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案． 【解答】解：如图，取BC的中点E，连接DE，AE， 则，， 过点A作AF⊥底面BCD，垂足在DE上，且DF＝2EF， 所以， 故， 点O为最大球的球心，连接DO并延长，交AE于点M， 则DM⊥AE， 设最大球的半径为R， 则OF＝OM＝R， 因为Rt△AOM∽Rt△AEF， 所以， 即， 解得R＝1， 即OM＝OF＝1， 则AO＝4﹣1＝3， 故， 设最小球的球心为J，中间球的球心为K，则两球均与直线AE相切，设切点分别为H，G， 连接HJ，KG，则HJ，KG分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为a，b， 则AJ＝3HJ＝3a，AK＝3GK＝3b，则JK＝AK﹣AJ＝3b﹣3a， 又JK＝a+b，所以3b﹣3a＝a+b，解得b＝2a， 又OK＝R+b＝AO﹣AK＝3﹣3b，故4b＝3﹣R＝2，解得， 所以， 模型中九个球的表面积和为4πR2+4πb2×4+4πa2×4＝4π+4π+π＝9π． 故选：B． 1.将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个四面体的高的最小值为 . 【解析】法一(利用点线关系) 由题意得，四个半径为1的小球的球心恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1(如图)， 设点分别是的外心，显然， 设分别为的中点， 在棱长为2的正四面体中，，且， 作，则， 由于 ， 所以. 法二(利用相似关系) 由题意得，四个半径为1的小球的球心恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1(如图)，正四面体与正四面体的容器由共同的外接球球心(同时也是内切球的球心)的相似正四面体，设它们相似比为， 从内切球的角度看，， (由等积法可知正四面体内切球半径)， 从外接球的角度看，有， 所以. 法三(利用等体积法) 如图，从点出发将三棱锥分为四个小三棱锥 于是有 设正四面体的高是， 四个球的球心连线组成的正四面体的高，则 从而 所以. 【点拨】解决多球相切问题，基本方法为三种： ① 抓住多球的堆垒放置规律； ② 抓住各球心位置，转化为多面体问题； ③ 适当选择截面，转化为平面几何问题. 2.将个半径为的球和个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放个较小的球，个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离. 【答案】 【解析】将球心连接起来构成侧棱为，底面边长为的正三棱锥, 设底面三角形的中心为,则 故正三棱锥的高, 显然平面到桌面的距离为， 所以上层小球的最高点到桌面的距离为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常学常新 温故知新||公众号：尚书数学 新高考一轮复习 立体几何外接球、内切球专题 立体几何外接球、内切球专题 1 题型一：正方体、长方体外接球 2 题型二：墙角模型 4 题型三：正四面体模型 8 题型四：对棱相等模型 10 题型五：直棱柱模型(汉堡模型) 12 题型六：直棱锥模型 16 题型七：正棱锥与侧棱相等模型 19 题型八：侧棱为外接球直径模型 24 题型九：共斜边拼接模型 26 题型十：垂面模型 30 题型十一：二面角与球体问题 35 题型十二：最值与球体相关问题 40 题型十三：棱台圆台外接球 44 题型十四：圆锥外接球问题 46 题型十五：内切球 48 题型十六：多球与多面体相切问题 60 题型一：正方体、长方体外接球 对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通常可以直接求解，是高考的高频考点，常以小题形式考查，需强化训练. 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半。 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半。 3、补成长方体：若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体。 【例1】一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为3，4，5，则球的体积为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的每个顶点都在球O的表面上，AB＝，且tan∠CAC1＝2，则球O的表面积为　　． 【变式1-2】表面积为81π的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，则这个正四棱柱的表面积为　　． 1.设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．3a2 B．6a2 C．12a2 D．24a2 2.长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（       ） A． B．56π C．14π D．16π 题型二：墙角模型 遇到以下三种三棱锥(有三条两两垂直的直线)，均可构造长方体求解外接球半径； 求解外接球半径步骤 ① 确定球心的位置：外接球的球心是长方体的体对角线的中点； ② 求半径：长方体的体对角线即外接球直径，则. 【例1】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝，PB＝1，PC＝，则该三棱锥的外接球的体积是（　　） A．π B．π C．π D．8π 【变式1-1】如图，设A、B、C、D为球O球上四点，若AB、AC、AD两两垂直，且AB=AC=，若AD=R（R为球O的半径），则球O的表面积为（　　） A．π B．2π C．4π D．8π 【变式1-2】三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】在边长为的正方形中，，分别为，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于，则三棱锥的外接球表面积为 . 【例2】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，且三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（　　） A．12π B．16π C．20π D．24π 【变式2-1】已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA＝3，AB＝2，BC＝，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A．8π B．12π C．16π D．18π 【变式2-2】在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，若其外接球的表面积为12π，则SA＝（　　） A．1 B．2 C． D．4 1. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 A． B． C． D． 2.在三棱锥中，PA、AB、AC两两垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3.三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4.如图，在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的体积为 . 题型三：正四面体模型 如图，设正四面体ABCD的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，正四面体和正方体有相同的外接球，正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为。 【例1】一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为（　　） A．6π B．8π C． D．11π 【变式1-1】已知棱长均为1的四棱锥顶点都在球O1的表面上，棱长均为2的四面体顶点都在球O2的表面上，若O1、O2的表面积分别是S1、S2，则S1：S2=（　　） A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1： 【变式1-2】如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（　　） A．12π B．32π C．8π D．24π 【变式1-3】棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上，若过棱AB作四面体的截面，交棱CD的中点于E，且截面面积是3，则四面体外接球的表面积是　　． 题型四：对棱相等模型 四面体ABCD中，AB＝CD＝m，AC＝BD＝n，AD＝BC＝t，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题。 如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则， 三式相加可得，显然四面体和长方体有相同的外接球， 设外接球半径为R，则，所以R＝。 【例1】在四面体ABCD中，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，AB＝CD＝，则其外接球的表面积为 　8π　． 【变式1-1】．在三棱锥P﹣ABC中，满足PA＝BC＝2，PB＝AC，PC＝AB，且PB•PC＝9，则三棱锥P﹣ABC外接球表面积的最小值为　　． 【变式1-2】球O是四面体ABCD的外接球（即四面体的顶点均在球面上），若AB＝CD＝2，AD＝AC＝BD＝BC＝，则球O的表面积为　　． 1.已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3.在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 (　　) A． B． C． D． 题型五：直棱柱模型(汉堡模型) 预备知识：球体的截面都是圆，设某个不过球心的小圆圆心为，则球心在过且垂直平面的直线上(即). 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）， 图1 图2 图3 第一步：确定球心O的位置，O1是△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC； 第二步：算出小圆O1的半径，AO1＝r，OO1＝AA1＝h（AA1＝h也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：OA2＝O1A2＋O1O2R2＝R＝，解出R。 在三角形中，外接圆圆心位置及半径： (1)等腰三角形 (2)直角三角形 (3)等边三角形 【例1】已知三棱柱的六个顶点都在同一球面上，且底面，是等边三角形，，，则该球的表面积为(　　) A． B． C． D． 【变式1-1】已知直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，，，，则球的表面积为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 【变式1-2】一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 . 【变式1-3】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于 . 1.在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 2．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2，，若该棱柱的外接球的表面积为32π，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（　　） A．4 B． C．8 D． 3．设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，且底面△ABC的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（　　） A．16π B． C．40π D．64π 4.如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（　　） A． B． C． D． 5.已知一个正六棱柱的所有顶点都在球面上，若正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2，则这个球的表面积为 　　． 6.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长之和为36，则当此正三棱柱的侧面积取得最大值时，其外接球的体积为　　． 题型六：直棱锥模型 如图，AD⊥平面BCD，求外接球半径。 解题步骤： 第一步：将△BCD画在小圆面上，D为小圆直径的一个端点，作小圆的直径DE，连接AE，则AE必过球心O； 第二步：O1为△BCD的外心，所以OO1⊥平面BCD，算出小圆O1的半径O1D＝r（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），OO1＝AD； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②。 【例1】已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，则球O的表面积为（　　） A．4π B．12π C．16π D．64π 【变式1-1】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PB⊥底面ABCD．若PB＝AB＝CD＝AD＝1，BC＝2，则这个四棱锥的外接球表面积为（　　） A．3π B．4π C．5π D．6π 【变式1-2】已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则（    ） A．1 B． C． D．2 1．已知三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为 　　． 2．正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 3.在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB＝2，AC＝AD＝4，CD＝2，则球O的表面积为（　　） A．20π B．18π C．36π D．24π 题型七：正棱锥与侧棱相等模型 预备知识：的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等 模型参考图像模型参考图像(以三棱锥为例) 模型条件：三棱锥中的射影是的外心. 解题步骤 ① 确定球心的位置: 取的外心，因为的射影是的外心，则球心在直线上； ② 由正弦定理算出小圆的半径，算出棱锥的高； ③ 求半径：，解出. 若是如下图的三棱锥(球心在锥体的下方)，方法类似. 【例1】 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 . 【变式1-1】在正三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝，AB＝AC＝BC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是（　　） A．9π B．π C．4π D．π 【变式1-2】在正三棱锥P﹣ABC中，AB＝2，正三棱锥P﹣ABC的体积是4，则正三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是（　　） A．5π B．15π C．25π D．35π 【变式1-3】 已知正三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且球心在三棱锥的内部，若该三棱锥的侧面积为，，则球的表面积为 . 【例2】 已知三棱锥四个顶点都在球上，，，．则球的表面积为(　　) A． B． C． D． 【变式2-1】在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝1，BC＝，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A．8π B． C． D． 【变式2-2】在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，AD＝9，则三棱锥A﹣BCD外接球O的表面积为　　． 1．如图在正三棱锥S﹣ABC中，M，N分别是棱SC、BC的中点，Q为棱AC上的一点，且AQ＝QC，MN⊥MQ，若AB＝2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积为（　　） A．12π B． C． D． 2．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝2，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是（　　） A．12π B．32π C．36π D．48π 3.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4.如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（    ） A． B． C． D． 5.已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为 . 6．在正三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PB，PA＝5，则正三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为 　　． 题型八：侧棱为外接球直径模型 方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形。 如图，AC是外接球直径，为底面三角形BCD的外接圆圆心，0为外接球球心，作AE⊥底面BCD， 则⊥底面BCD,且＝AE. 【例1】．已知三棱锥P﹣ABC各顶点均在球体O的表面上，PB为球的直径，若AB＝BC＝2，∠ABC＝，三棱锥P﹣ABC的体积为4，则球O的体积为 　　． 【变式1-1】．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径．若平面PAC⊥平面PBC，PA＝AC，PB＝BC，三棱锥P﹣ABC的体积为，则球O的体积为（　　） A．36π B．16π C．12π D． 【变式1-2】．在三棱锥S﹣ABC中，已知SA＝4，AB＝AC＝1，∠BAC＝，若S，A，B，C四点均在球O的球面上，且SA恰为球O的直径，则三棱锥S﹣ABC的体积为（　　） A． B． C． D． 1．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在同一个球面上，△BCD是边长为2的正三角形，AC为球O的直径，若该三棱锥的体积为，则该球O的表面积（　　） A．64π B．48π C．32π D．16π 2．已知三棱锥S﹣ABC的顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为6的正三角形，SC为球O的直径，且此三棱锥的体积为12，则球O的表面积为（　　） A．16π B．32π C．48π D．64π 3．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 题型九：共斜边拼接模型 如图，在四面体ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，此四面体可以看出是由两个共斜边的直角三角形拼接而成的，BD为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之。设点O为公共斜边BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OA＝OC＝OB＝OD，即点O到A，B，C，D四点的距离相等，故点O就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边BD就是外接球的一条直径。 【例1】在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的外接球的体积为（　　） A． B． C．π D． 【变式1-2】如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，AB⊥AD，BD⊥CD．将该四边形沿对角线BD折成一个直二面角A﹣BD﹣C，则四面体ABCD的外接球的体积为（　　） A．π B．π C．2π D．3π 【变式1-3】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD＝，则三棱锥P﹣AOB的外接球的体积是 　　． 【变式1-4】．在平行四边形ABCD中，•＝0，||＝1，||＝，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积为（　　） A．16π B．8π C．4π D．2π 1．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为　　． 2．已知三棱锥A﹣BCD中，，BC＝AC＝BD＝AD＝1，则此几何体外接球的体积为（　　） A．2π B． C． D．π 3．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABD＝90°，2AB2+BD2＝4，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 4.矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 5.如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 题型十：垂面模型 预备知识：球体的截面都是圆，设两个不平行的截面小圆的圆心为，分别过作两个截面的垂线，则球心是两条垂线的交点. 特殊模型(其中底面三角形为直角三角形)： 如图：平面 平面 ( 为小圆直径) （1）由图知球心必为的外心,即在大圆面上,先求出小圆面直径的长; （2）在中,可根据正弦定理,解出 如图：:平面平面 （1）确定球心的位置,由图知三点共线; （2）算出小圆面半径,算出棱锥的高 （3）勾股定理:，解出 【例1】已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 . 【变式1-1】 已知三棱锥中，和是全等的等边三角形，边长为，当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球表面积为 . 【变式1-2】．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，PB＝PC＝AB＝AC且PA＝8，BC＝4，平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为　． 【变式1-3】如图所示，三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　) A． B． C． D． 1.已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在球O的球面上，平面ABC⊥平面PBC，AC⊥BC，AC＝6，AB＝8，PC＝PB＝2，则球O的体积为（　　） A． B． C．50π D．96π 3．如图三棱锥P﹣ABC，平面PBC⊥平面ABC，已知△PBC是等腰三角形，△ABC是等腰直角三角形，若AB＝BC＝2，PB＝PC＝，球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，则球O的表面积是 　　． 4．如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，，PA=PD=AB=2，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为（　　） A．2π B．4π C．8π D．12π 6．如图所示，已知三棱锥中，底面为等腰直角三角形，斜边，侧面为正三角形，D为的中点，底面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7.已知四棱锥的底面是矩形，高为，，，，，则四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=2，PC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为　　． 题型十一：二面角与球体问题 基本原理 如下图, 所示为四面体 , 已知二面角 大小为 , 其外接球问题的步骤如下: (1) 找出 和 的外接圆圆心, 分别记为 和 . (2) 分别过 和 作平面 和平面 的垂线, 其交点为球心, 记为 . (3) 过 作 的垂线, 垂足记为 , 连接 , 则 . (4) 在四棱雉 中, 垂直于平面 , 如图所示, 底面四边形 的四个顶点共圆且 为该圆的直径. 如图, 设 为面 与面 的外接圆圆心, 其半径分别为 , 两相交面的二面角 记为 , 公共弦为 的弦长为, 四面体 球 的半径 .两圆 的弦心距: ; 两圆 的圆心距: , 由于四边形 的四个顶点共圆且 为该圆的直径, 而 , 则由正弦定理: ,于是外接球 的半径 可得，进一步整理： 时, 代入 可得: 【例1】 如图，在菱形中，，，为对角线的中点，将沿折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【变式1-1】 如图，四面体中，面和面都是等腰，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为(　　) A． B． C． D． 【变式1-2】已知是半径为的球体表面上的四点，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在菱形中，，，E为对角线BD的中点，将沿BD折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 1.在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则该三棱锥外接球半径是（    ） A． B． C． D． 2.已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3.在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B. C． D． 4．△ABC与△ABD都是边长为2的正三角形，沿公共边AB折叠成60°的二面角，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为（　　） A． B． C． D． 5.已知正方体的棱长为2，为棱上的一点，且满足平面平面，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型十二：最值与球体相关问题 【例1】已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（　　） A．36π B．16π C．12π D．π 【变式1-1】已知边长为2的正△ABC所在平面外有一点P，PB＝4，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（　　） A． B．16π C． D． 【变式1-2】已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，球的表面积为，四面体内接于球，是边长为的正三角形，平面平面，则该四面体体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．正四棱柱的体积为8，则该正四棱柱外接球体积的最小值为（　　） A．4π B． C．12π D．12π 【变式2-2】．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（　　） A． B． C． D．﹣ 【变式2-3】《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝3，当阳马C﹣ABB1A1的体积为8时，堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球表面积的最小值是（　　） A．8π B．25π C． D． 1.，，，在同一个球面上，是边长为6的等边三角形；三棱锥的体积最大值为，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（　　） A． B． C． D．1 3．三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A﹣BCD的侧面积为S，则S的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 题型十三：棱台圆台外接球 【例1】已知正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球表面积为（    ）    A．64 B． C． D． 【变式1-2】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 1．若三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为260π的球O的表面上，，则三棱台ABC﹣A1B1C1的高为（　　） A． B．8 C．6或8 D．或6 2.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是 ．    题型十四：圆锥外接球问题 【例1】.已知球O的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，若，则（       ） A．2 B． C． D． 【变式1-1】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（       ） A． B． C． D． 1.前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（       ） A． B． C． D． 2.一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为，则这个圆锥体积与球体积的比值为（       ） A． B． C． D． 题型十五：内切球 内切球的概念 如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.例：与圆柱两底面以及每条母线都相切的球称为这个圆柱的内切球. 1.如图：求任意三棱锥的内切球半径(等体积法) （1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积; （2）设内切球半径为,建立等式: （3）解出 结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. (可与三角形内切圆的半径类比，均可由等积法求得.) 2.对于直棱柱内切球半径， 直棱柱内切球有两个特点： ①.内切球半径等于直棱柱高的一半。 ②.内切球半径等于底面多边形内切圆半径。 3.对于圆锥内切球半径： 如下图：我们可以通过圆锥的轴截面，转换为三角形内切圆问题，通过半径与母线和底面圆半径的关系求解， 4.对于圆台内切圆半径： 将圆台还原成圆锥，作出圆锥的轴截面，再结合给定角求出圆锥底面圆半径、高与内切球半径的关系即可计算得解（如图一）．也可以根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征以及上下底面半径和球半径等关系求解（如图二）． 5.对于棱台内切球半径： 我们可以过球心做截面，如下图，通过梯形和球半径之间的关系求解。 【例1】 棱长为的正四面体的内切球的表面积为 . 【变式1-1】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面PBC，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】．节分端午自谁言，万古传闻为屈原；路漫漫其修远兮，吾将上下而求索；亦余心之所善兮，虽九死其尤未悔．端午节是传统节日中富有刚健气息的节日．习近平总书记曾在多个场合引用屈原诗作名句阐述思想、寄情言志．辛丑端午，让我们重温这些名言隽句，感悟总书记深沉的家国情怀．端午节吃粽子，赛龙舟寄寓了对屈原的怀念．粽子主要材料是糯米、馅料，用籍叶包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为　　 A． B． C． D． 【变式1-3】将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【例2】体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为　　． 【变式2-1】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°且BB1＝4，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为20π，若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个球，则该球最大半径为（　　） A．1 B． C． D． 【变式2-2】在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内，有一体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，当球的体积V取得最大值时，球的内接正四面体的棱长为 　　． 【变式2-3】 已知正三棱柱的六个顶点在球上，又球与此三棱柱的个面都相切，求球与球的体积比与表面积之比. 【例3】.已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（    ）    A． B． C． D．    【变式3-2】如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为（       ） A．64π B．40π C．84π D．72π 【变式3-3】将一个母线长为3cm，底面半径为1cm的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（　　） A．2πcm2 B．πcm2 C． D． 【变式3-4】 如图，在圆锥的轴截面中，，有一小球内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球的体积为，圆锥的体积为，则的值为(　　) A． B． C． D． 【例4】．已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知圆台O1O2存在内切球O（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台O1O2的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为5：8，设圆台O1O2与球O的体积分别为V1，V2，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】．已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（　　） A．49π B．56π C．65π D．130π 【变式4-3】．若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为，则此圆台与其内切球的表面积之比为（　　） A． B．2 C． D． 1.已知正四面体ABCD（各面均为正三角形）的棱长为2，其内切球面上有一动点P，则AP的最小值为（　　） A． B． C． D． 2.在四棱锥中，平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形.若四棱锥存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3.已知四面体，且，，面面，则四面体的外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 4．某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是　　 A．16 B．8 C．32 D．24 5.已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（       ） A． B． C． D． 6．每年的农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，该六面体由正四面体M﹣ABC和N﹣ABC，则其中正四面体M﹣ABC的内切球半径为　　；若该六面体内有一球，则该球半径的最大值为　　． 7．如图，半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切，且圆台的下底半径是上底半径的2倍，则球的体积与圆台的体积之比为（　　） A． B． C． D． 8.如图，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且2r1+r2＝12，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（　　） A．36π B．64π C．72π D．100π 9．已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为（　　） A． B． C． D． 10.（多选）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为，则（　　） A．正四面体的棱长为6 B．正四面体的内切球的表面积为6π C．正四面体的外接球的体积为8 D．线段MN的最大值为2 11.若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 . 12.将一个棱长为的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为 . 题型十六：多球与多面体相切问题 【例1】 个半径为的中球，上层个、下层个两两相切叠放在一起. 有个空心大球能把个中球装在里面，求大球的半径至少是多少？ 在它们围成的空隙内有个小球与这个中球都外切，求小球的半径？ 【变式1-1】已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________. 【变式1-2】在棱长为的正方体内有两个球外切且有分别与正方体内切. 球两球的半径之和； 球的半径分别为多少时，两球体积之和最小. 【变式1-3】．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的表面积和为（　　） A．6π B．9π C． D．21π 1.将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个四面体的高的最小值为 . 2.将个半径为的球和个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放个较小的球，个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$