专题7.6 重难点突破之外接球与内切球问题（十四大重难点题型精讲）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题7.6 重难点突破之外接球与内切球 知识点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 知识点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 知识点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 知识点六：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点七：侧棱为外接球直径模型 方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形． 知识点八：共斜边拼接模型 如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径． 知识点九：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 知识点十：最值模型 这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等 知识点十一：二面角模型 如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 知识点十二：坐标法 对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度． 知识点十三：圆锥圆柱圆台模型 1、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 2、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 3、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 知识点十四：锥体内切球 方法：等体积法，即 知识点十五：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 重难点题型(一) 外接球之正方体、长方体模型（正四面体、对棱相等） 例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，， 设长方体的长、宽、高分别为， 则，，， 解得，，． 所以三棱锥外接球的半径． 三棱锥外接球的体积． 故选：C 例2．（2023·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球的表面积是 【答案】 【解析】由题意可知：长方体的长宽高为2，3，4，所以长方体的体对角线长为：，故长方体的外接球的半径为，球的表面积为：， 故答案为： 【变式训练1】．（2023·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ． 【答案】 【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a， 所以该正四面体的表面积为，所以， 又正方体的面对角线可构成正四面体， 若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1， 所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为，半径为， 所以球O的体积为． 故答案为： 【变式训练2】．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设四面体的外接球的半径为, 则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 故选：C 重难点题型(二) 外接球之直棱柱或直棱锥模型 例3．（2023·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱的体积为，则其外接球表面积的最小值为（　　） A．12π B．6π C．16π D．8π 【答案】A 【解析】设正三棱柱底边为，高为，外接球半径为，如图所示，取上下底面正三角形的 的中心分别为（D在中线CE的三等分点靠E处），易知三棱柱的外接球球心在的中点处. 故 由题意可得: 外接球表面积为： 当且仅当时取得最小值. 故选：A 例4．（2024·西藏·模拟预测）已知圆锥的轴截面是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点，，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】取点D在母线SA上且，可证明三棱锥与三棱锥外接球相同，再由正弦定理求出三角形的外接圆半径即为外接球半径得解. 【详解】如图， 设点D在母线SA上且， 因为是直角三角形，所以三棱锥外接球的球心E在SO上， 由 ≌，可得， 即三棱锥外接球的球心E也是三棱锥外接球的球心，且两个外接球的表面积相等． 由，得的外心即为三棱锥外接球的球心E． 在中，， 所以的外接圆的直径， 所以三棱锥外接球的表面积是， 故选：C． 【变式训练3】．（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ． 【答案】52π 【解析】设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则， 正六棱柱的体积， 当且仅当，即时，等号成立，此时正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的连线的中点， 其半径为，∴外接球的表面积为． 故答案为：． 【变式训练4】．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知正方形ABCD的顶点均在表面积为的球O的球面上，则当四棱锥的体积取得最大值时，点O到平面ABCD的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】设正方形ABCD的中心为E，连接OE，设球O的半径为R，设正方形ABCD的边长为x，则由题意可得，，表示出，则四棱锥的体积为，令，换元化简后，利用导数可求出的最大值，从而可求得答案. 【详解】设正方形ABCD的中心为E，连接OE，由球的性质可知平面ABCD， 设球O的半径为R，所以，解得． 设正方形ABCD的边长为x， 因为正方形ABCD的顶点均在表面积为的球O的球面上，且不在大圆上， 所以， 所以， 所以四棱锥的体积为． 令，则， 令，则，令， 解得，， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以当时，有最大值， 所以，当且仅当时等号成立， 此时，即点O到平面ABCD的距离为． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：此题考查球的表面积，考查棱锥的体积，考查导数的应用，解题的关键是将棱锥的高用底面边长表示，从而可表示出棱锥的体积，然后利用导数可求得答案，考查数学转化思想、空间想象能力和计算能力，属于难题. 重难点题型(三) 外接球之正棱锥、正棱台模型 例5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球表面积为（    ）    A．64 B． C． D． 【答案】B 【解析】设外接球球心为，等边三角形的外心为，等边三角形的外心为， 三点共线，则是正三棱台的高， 设台体的高为，设外接球的半径为， 过作，垂足为，根据正棱台的性质可知， 所以平面，平面，所以， 设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得. 设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得. 在直角三角形中，， 所以. 当球心O在线段上，则，解得， 当球心O在的延长线上时，则，无解， 所以正三棱台的外接球表面积为. 故选：B 例6．（2024·福建·模拟预测）已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（  ） A．49π B．56π C．65π D．130π 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出正四棱台及其内切球的轴截面，求出正四棱台的上底面边长，再求出外接球半径即可得解. 【详解】正四棱台下底面边长，设其内接球半径为，则，解得， 取的中点，则四边形内切圆是正四棱台内接球的截面大圆， 则四边形是等腰梯形，，而， ，整理得，而，则， 设为正四棱台外接球球心，为该球半径，则， 令分别为正四棱台上下底面的中心，则，， ，， 当球心在线段时，，解得，球的表面积为； 当球心在线段的延长线时，，无解， 所以所求外接球表面积是. 故选：C 【变式训练5】．（2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥中，，若四棱锥的体积为，则该四棱锥外接球的体积为 ． 【答案】 【解析】如图所示： 作平面，垂足为H．连接，则H为的中点． 设，则，，从而，故四棱锥的体积为，解得． 由题意可知正四棱锥外接球的球心O在上，连接． 设正四棱锥外接球的半径为R， 则，即 解得，故该四棱锥外接球的体积为． 故答案为： 【变式训练6】．（2024·全国·二模）（多选题）已知正方体外接球的体积为是空间中的一点，则下列命题正确的是（    ） A．若点在正方体表面上运动，且，则点轨迹的长度为 B．若是棱上的点（不包括点），则直线与是异面直线 C．若点在线段上运动，则始终有 D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】立体几何中的轨迹问题、线面垂直证明线线垂直、异面直线的判定、锥体体积的有关计算 【分析】根据正方体的几何特征可根据外接球的体积得棱长为2，即可由圆的周长求解A,根据异面直线的定义即可求解B，利用线面垂直即可求解C，利用等体积法即可求解D. 【详解】方体外接球的体积为.设外接球的半径为，则，解得.    设正方体的棱长为，则. 对于，在平面中，点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆弧；同理，在平面ABCD和平面中，点的轨迹都是以为圆心，2为半径的圆弧.故点的轨迹的长度为.故错误； 对于B，利用异面直线的判定定理可以判断直线与是异面直线.故正确； 对于，在正方体中，有平面平面平面平面.故C正确；    对于，在正方体中，平面为定值.故D正确. 故选：BCD 重难点题型(四) 外接球之侧棱相等的棱锥模型 例7．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为，，所以由余弦定理可得，解得，所以， 所以是以为斜边的直角三角形， 因为， 所以点P在平面内的射影是的外心， 即斜边的中点，且平面平面， 于是的外心即为三棱锥的外接球的球心， 因此的外接圆半径等于三棱锥的外接球半径． 因为，， 所以， 于是， 根据正弦定理知的外接圆半径R满足， 所以三棱锥的外接球半径为， 因此三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为： 【变式训练7】．（2023·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的体积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点为，连接，易知 在中： 又平面 为外心球心在上 设半径为，球心为 在中： 故答案选A 重难点题型(五) 外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 例8．（2024·广东佛山·一模）已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】台体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】首先画出组合体的截面图，再利用几何关系，列方程组，即可求解，最后代入表面积公式. 【详解】如图，圆台与外接球的轴截面，如下，      设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为， 由下底面的面积为，则， 圆台的体积， 即，解得或（舍）， 设， 和中，，，两式联立， 解得，， 所以圆台外接球的表面积为. 故选：C 例9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为，该圆锥内接于球，则球的表面积为 . 【答案】/ 【解析】作圆锥的轴截面，则该轴截面等边△的外接圆圆心即为圆锥的外接球球心，且△ABC外接圆半径等于圆锥的外接球半径，如下图所示， 因为圆锥的侧面积，所以, 设球的半径为R，由正弦定理得， 因此，这个球的表面积为. 故答案为： 【变式训练8】．（2023·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得圆台的高为， 设圆台的上下底面圆心为，，，球的半径为， 当圆台的两个底面在球心异侧时，， 所以， 解得，； 当圆台的两个底面在球心同侧时，， ， 解得，， 此时，不合题意，舍去， 故球的体积， 故选：B． 【变式训练9】．（2023·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆台外接球的表面积，所以球的半径， 设圆台的上､下底面圆心分别为，在上､下底面圆周上分别取点， 连接，如图， 因为圆台上､下底面的半径分别为3和4， 所以，， 所以，, 所以， 所以圆台体积. 故选：D. 重难点题型(六) 外接球之垂面模型 例10．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图甲，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使得三点重合于点，如图乙，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】运用补形法，结合长方体外接球问题计算. 【详解】根据题意可得，且1，， 所以三棱锥可补成一个长方体，三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 如图所示，设长方体的外接球的半径为，可得，所以， 所以外接球的体积为. 故选：A. 例11、（2023·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】取的中点E，连接AE，如图． 因为，所以． 又面面，面面，且面， 所以面，面，所以． 在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以． 又AE，面，且AE，相交，所以面，面， 所以． 设，则，解得， 所以． 所以三棱柱外接球的表面积． 故答案为： 【变式训练10】．（2023·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .    【答案】 【解析】在平面四边形中设， 即在Rt中，. 在等腰中，.设外接圆圆心为，外接圆半径为，由正弦定理可得. 设三棱锥外接球球心为，则平面. 又平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，则，所以四边形为直角梯形. 设外接球的半径为，在平面四边形中，过做于， 在中，为的中点，， 由， 所以 . 令，则， 因为，当且仅当，即时（满足）等号成立. 所以， 所以外接球表面积的最小值为. 故答案为： 【变式训练11】．（2023·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为 ．    【答案】 【解析】设，由矩形的性质可知：， 则三棱锥的外接球的球心即为，半径， 所以三棱锥的外接球的体积. 故答案为：. 重难点题型(七) 外接球之二面角模型 例12．（2024·江西鹰潭·三模）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】二面角的概念及辨析、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答. 【详解】如图所示： 由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足， ， 由勾股定理得， 所以， 设点为外接圆的圆心， 则外接圆的半径为，， 设点为外接圆的圆心，同理可得外接圆的半径为， ， 如图所示： 设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点， 而均垂直平分， 所以点在面，面内的射影分别在直线上， 即， 由题意，且二面角为直二面角， 即面面，， 所以，即，可知四边形为矩形，所以， 由勾股定理以及， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 例13．（2023·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变， 故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接， 因为，DA=DC，所以，，故即为二面角的平面角， △ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示； 在平面ABC内，设，则，， 因为，所以，所以， 所以 令，则， 所以，当且仅当时取等， 故选:B 【变式训练12】．（2023·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（    ） A．52π B．54π C．56π D．60π 【答案】A 【解析】如图所示，取的中点，连接，分别取和的外心与， 过两点分别作平面和平面的垂线，交于点， 则就是外接球的球心，连接， 则为二面角的平面角，即， 则是等边三角形，其边长为，， 在中，，所以， 又由，所以， 所以四面体的外接球的表面积为. 故选：A. 【变式训练13】．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，设E，F，G分别是BC，AC，BD的中点，则， 因为，所以， 则二面角的平面角为，且平面EFG， 又因为，所以，所以， 因为平面EFG，所以，所以平面ABC． 又因为F是外接圆的圆心，所以FG经过球心，且G是外接圆的圆心， 所以G是三棱锥外接球的球心， 设外接球的半径为，则， 故三棱锥外接球的表面积． 故选：D. 重难点题型(八) 外接球之侧棱为球的直径模型 例14．（2023·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点，连接， 因为，，所以，. 因为平面平面，所以平面. 设， 所以， 所以球的体积为. 故选： 【变式训练14】．（2023·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由是其外接球的直径，得中点是外接球球心，设是的外心，则平面，且等于到平面的距离的一半．求出中长（用余弦定理），由正弦定理求得外接圆半径，求出面积，求体积求出，从而可得外接圆半径，得表面积．如图，是中点，则是外接球球心，设是的外心，则平面，且等于到平面的距离的一半． ∵，，∴， ，， ，， ， ∴， ． 故选：D. 重难点题型(九) 外接球之空间多面体 例15．（2024·吉林·模拟预测）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为 ；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 . 【答案】 27 【难度】0.65 【知识点】求组合多面体的表面积、多面体与球体内切外接问题 【分析】该组合体一共有 24 个面，每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形，则可求出其表面积；该组合体的外接球也是任意一个正四面体的外接球，可用一个正四面体来看，求出外接球半径为 ，两正交四面体公共部分一共有 8 个面，且每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形，则中间部分的体积为 ，设其内切球半径为 ，由 ，求出 ，即可得到体积的比值. 【详解】该组合体一共有 24 个面，每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形， 则其表面积为 ; 该组合体的外接球也是任意一个正四面体的外接球，可用一个正四面体来看， 是 的中心， 是球心， 则 ，则 ， ， 设外接球半径为 ，则 ， 又 ，解得 , 两正交四面体公共部分一共有 8 个面，且每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形， 则其表面积为 ， 大正四面体的体积为 则每个小正四面体的体积为 ， 则中间部分的体积为 ， 设其内切球半径为 ，则中间部分的体积也可表示为 ，解得 ， 故外接球和内切球体积之比为 故答案为：；. 例16．（2023·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】 设正方体的中心为，为棱的中点，连接， 则为矩形的对角线的交点， 则， 同理，到其余各棱的中点的距离也为， 故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为， 故答案为： 例17．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，则，所以， 又因为，，，则，所以， 由，，，则，所以， 又由，，，则，所以， 可得为三棱锥的外接球的直径， 又由， 所以此三棱锥的外接球半径为， 所以球的表面积为． 故选：C． 【变式训练15】．（2023·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】 过C作面于H， 则三棱锥的体积为，所以， 取AD中点M，连接CM，MH， 因为为等边三角形，所以， 又面，面，所以， 又，所以面， 面，所以， 在中，所以 以AB，AD为轴，垂直于AB，AD方向为轴，建立如图所示空间坐标系， 设球心，在面的投影为， 由得， 所以N为的外接圆圆心，所以N为斜边的中点，故设 由得，解得， 所以， 故外接球的表面积为， 故答案为： 【变式训练16】．（2023·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】因为棱长为的正四面体的高为， 所以截角四面体上下底面距离为， 序曲其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，则垂直于平面与平面，则, 所以，解得， 所以该截角四面体的外接球的表面积为, 故答案为： 【变式训练17】．（2024·全国·模拟预测）如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据侧面积与底面积的关系求出相应的边长，进而利用外接球的性质求出半径，从而求出外接球的表面积. 【详解】如图1，设以为底边的等腰三角形的中位线为，连接，分别交于点， 则点分别为的中点． 设，则，，①． 折叠后形成的正六棱台如图2所示，设上底面的中心为，连接， 则． 连接，则是正六棱台的高，即． 过点作，垂足为，则底面，故． 在Rt中，②， 由①②得，解得， 所以正六棱台的上、下底面的边长分别为1和2． 由，可知正六棱台的外接球球心必在线段上， 连接，则为外接球的半径，设为． 在Rt和Rt中，由勾股定理得， 可得， 又因为，，， 即，解得， 则， 所以所求外接球的表面积为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，几何体外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置. 重难点题型(十) 与球有关的最值问题 例18．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、轨迹问题——圆、由线面角的大小求长度 【分析】根据给定条件，探求点在平面内的投影的轨迹，确定当三棱锥体积最小时点的位置，进而可得并求出外接球半径，求出球的表面积. 【详解】设点在平面内的投影为，由直线与平面所成角分别为，且，    则，，，于是， 以为轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，    令，由，，得，，， 则，化简得， 因此点在以为圆心，为半径的圆上， 当最小时，最小，即三棱锥的体积最小， 此时，，，， 因此点在底面上的射影在上，且，又， 显然的中点到点的距离相等，此时三棱锥的外接球的球心为的中点， 外接球的半径，表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再求出球半径即可 例19．（2023·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱中，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】由余弦定理得： 设，则， 由得：，解得：， 因为，故 由基本不等式得：当且仅当，且时，即时取最小值.底面三角形外接圆半径， . 故答案为： 【变式训练18】．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面为等腰直角三角形且，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】如图所示：设球心为所在圆面的圆心为，则平面． 因为为等腰直角三角形且，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的表面积为. 故答案为：． 【变式训练19】．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】依题意可知，当侧面底面ABCD时，四棱锥S－ABCD的体积最大． 设球心为O，半径为R，正方形ABCD和外接圆的圆心分别为，，正方形ABCD外接圆半径为，则平面ABCD，平面SAB． 因为和正方形ABCD的边长均为3，设AB的中点为E， 所以，， 由勾股定理得， 所以球O的表面积． 故答案为： 重难点题型(十一) 内切球之正方体、正棱柱模型 例20．（2023·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正三棱柱的底面边长为高为， 对三个侧面进行展开如图， 要使线段的最小值是，则连接（左下角，右上角）， 此时在连接线上，故①， 因为正三棱柱内部存在一个半径为的内切球， 所以整理得， 将代入①可得， 所以正三棱柱的底面外接圆半径为， 所以正三棱柱的外接球半径为， 所以该棱柱的外接球表面积为 故选：B 例21．（2024·江苏宿迁·一模）在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆锥内的空隙处放入个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则的最大值为 （取）    【答案】10 【难度】0.4 【知识点】圆锥中截面的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】在圆锥的轴截面中求出大球、小球半径及正三角形边长的关系，然后再根据空隙处放入个小球相切的关系，利用三角函数性质求出小球最多的个数. 【详解】由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，设边长为.    设实心球半径为，由得：， ，，，. 设小球的半径为，同理，，，， 到直线的距离为. 空隙处放入个小球相邻相切，排在一起，则球心在一个半径为的圆上，如下图所示：   为相邻两球的切点，，分别为球心， 设，则，， 由三角函数性质可知：，， ，，又，， 故小球个数最多为10个,即的最大值为. 故答案为： 【变式训练20】、（2023·全国·高三专题练习）已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直三棱柱的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r， 由题意可知球O的表面积为，解得r＝2，∴h＝4， 又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4， ∴连接OA，OB，OC，可将直三棱柱分成5个棱锥， 即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥， 两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥， ∴由体积相等可得直三棱柱的体积为h＝ahr＋bhr＋chr＋2×r， 即4＝（a＋b＋c）hr＋，∴＝， ∴三棱锥的体积为h＝×4×4＝． 故选：B． 【变式训练21】．（2023·江苏·高一专题练习）正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为，令正的中心为，连接， 显然点在上，令正四面体的内切球与外接球半径分别为，即， 而，则， 在中，，解得，， 所以它的内切球与外接球的表面积之比为. 故选：D 重难点题型(十二) 内切球之棱锥模型 例22．（2023·广西·高二校联考期中）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为四棱锥的各棱长均为2，所以四棱锥是正四棱锥， 则， 过P作底面垂线，垂足为H，则， 所以，则， 故其内切圆表面积为， 故选：B． 例23．（2023·湖北武汉·高二校联考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于， 在三棱锥中，，， 三棱锥是正四面体，是的中心，平面， 三棱锥的内切球的表面积为， ，解得球的半径， 设，则，， ， ，，， 解得，， 此三棱锥的体积为. 故选：D. 【变式训练22】．（2023·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为平面，平面，平面，平面， 所以，，， 又， 所以平面，所以， 所以均为直角三角形， 设球的半径为r，则， 而，， 所以，解得， 所以球的表面积为， 故选：A. 【变式训练23】．（2024·浙江金华·一模）已知正方体的棱长为，为正方体内部一动点，球为正方体内切球，过点作直线与球交于，两点，若的面积最大值为4，则满足条件的点形成的几何体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据几何性质可得，则，从而可得满足条件的点形成的几何体，根据几何体的体积计算即可得结论. 【详解】    因为正方体的棱长为，则正方体内切球球的半径， 所以， 因为，则， 若的面积最大值为4，即，由于在上，则， 则满足条件的点形成的几何体为正方体去掉以为球心，2为半径的球体，故其体积为. 故选：D. 重难点题型(十三) 内切球之圆锥、圆台模型 例24．（2023·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆锥的母线长为，取圆锥的轴截面如下图所示： 设该圆锥的内切球的半径为，则， 所以，， 因此，球的体积为. 故选：C. 例25．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）某圆锥的轴截面是等边三角形，且其侧面积为，则该圆锥内切球的体积为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据给定条件，由圆锥侧面积公式求出等边三角形边长及内切圆半径，再求出内切球的体积. 【详解】设圆锥底面圆半径为，则，解得， 圆锥轴截面等边三角形边长为，其内切圆半径为， 圆锥轴截面等边三角形内切圆是圆锥内切球截面大圆，因此球半径为1，球体积为. 故答案为： 【变式训练24】．（2023·全国·高一专题练习）已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的表面积为 C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 D．圆锥的内切球表面积为 【答案】B 【解析】由题设，底面直径，故半径为，体高为， 所以圆锥的体积为，A正确； 圆锥的表面积为，B错误； 底面周长为，侧面展开扇形半径为2，故圆心角为，C正确； 由轴截面是腰长为2的等腰直角三角形，圆锥的内切球最大截面为其内切圆， 所以内切球半径为，故球体表面积为，D正确. 故选：B 【变式训练25】．（2023·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，内切球圆心为， 则，， 因为⊥，⊥，所以∽，则， 设，， 故，由得：， 由得：， 故，所以，， 解得：， 所以圆锥的表面积为， 令，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在时取得最小值，， 此时，， 设圆锥的外接球球心为，连接，设， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：，故其外接球的表面积为. 故选：A 重难点题型(十四) 多球相切问题 例26．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某冷饮店为了吸引顾客，特推出一款蛋仔冰淇淋，其底座造型如图所示，外部为半球型蛋壳，内有三个特制的球型蛋仔，蛋仔两两相切，且都与蛋壳相切，蛋仔的顶端正好与半球型的蛋壳的上沿处于同一水平面，如果球型蛋仔的半径为，求这个蛋壳型的半球的容积为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算 【分析】根据相切得到，，然后利用勾股定理计算长度得到半径，最后求体积即可. 【详解】 取半球的球心为，三个小球的球心分别为， 则有，取的重心，则可有， 在中易求得， 则有， 则半球的半径， 半球的容积. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据相切得到，，然后求半径即可. 例27．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取的中点，连接，，则，， 过点作⊥底面，垂足在上，且， 所以，故， 点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥， 设最大球的半径为，则， 因为∽，所以，即，解得， 即，则，故 设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为， 连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为， 则，则， 又，所以，解得， 又，故，解得， 所以， 模型中九个球的表面积和为. 故选：B 例28．（19-20高三下·浙江杭州·开学考试）如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1，4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，则截面所表示的椭圆的离心率为（    ） （注：在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，由相切的几何性质可知，，于是，为椭圆的几何意义）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设两球的球心分别为，设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H，连接，连接交于点K，则根据题意易得，，再由，可得，从而可得，从而可得，，再根据椭圆离心率的定义，即可求解． 【详解】如图，设两球的球心分别为，    设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H， 连接，连接交于点K， ∵顶角为，，又两球的半径分别为1，4， ， ，， ，， ， 又， ∴，又， ∴，∴， ∴， ∴， ∴该椭圆的离心率为． 故选：C． 【变式训练26】．（2023·山东德州·高一德州市第一中学校考期末）如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为， 的中点为，连接，，，，，， 则，正四面体的高. 因为，所以，所以， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的体积为. 故选：C 【变式训练27】．（2023·全国·高一专题练习）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和. 易得，，， 由， 可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即小球的最大半径为. 所以小球的表面积最大值为. 故选：A 【变式训练28】．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）如图装满水的圆台形容器内放进半径分别为1和3的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】台体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先由题意作出轴截面，根据四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似，可得，求出，由体积公式计算可得结果. 【详解】大球体积，小球体积. 圆台的高为. 根据切线长定理可得：，. 由图易知四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似， 即. 解得：，则， 则圆台体积为 则水的体积为： . 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.6 重难点突破之外接球与内切球 知识点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 知识点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 知识点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 知识点六：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点七：侧棱为外接球直径模型 方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形． 知识点八：共斜边拼接模型 如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径． 知识点九：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 知识点十：最值模型 这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等 知识点十一：二面角模型 如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 知识点十二：坐标法 对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度． 知识点十三：圆锥圆柱圆台模型 1、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 2、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 3、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 知识点十四：锥体内切球 方法：等体积法，即 知识点十五：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 重难点题型(一) 外接球之正方体、长方体模型（正四面体、对棱相等） 例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球的表面积是 【变式训练1】．（2023·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ． 【变式训练2】．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 重难点题型(二) 外接球之直棱柱或直棱锥模型 例3．（2023·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱的体积为，则其外接球表面积的最小值为（　　） A．12π B．6π C．16π D．8π 例4．（2024·西藏·模拟预测）已知圆锥的轴截面是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点，，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ． 【变式训练4】．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知正方形ABCD的顶点均在表面积为的球O的球面上，则当四棱锥的体积取得最大值时，点O到平面ABCD的距离为（    ） A． B． C． D． 重难点题型(三) 外接球之正棱锥、正棱台模型 例5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球表面积为（    ）    A．64 B． C． D． 例6．（2024·福建·模拟预测）已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（  ） A．49π B．56π C．65π D．130π 【变式训练5】．（2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥中，，若四棱锥的体积为，则该四棱锥外接球的体积为 ． 【变式训练6】．（2024·全国·二模）（多选题）已知正方体外接球的体积为是空间中的一点，则下列命题正确的是（    ） A．若点在正方体表面上运动，且，则点轨迹的长度为 B．若是棱上的点（不包括点），则直线与是异面直线 C．若点在线段上运动，则始终有 D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值 重难点题型(四) 外接球之侧棱相等的棱锥模型 例7．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【变式训练7】．（2023·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的体积为 A． B． C． D． 重难点题型(五) 外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 例8．（2024·广东佛山·一模）已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 例9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为，该圆锥内接于球，则球的表面积为 . 【变式训练8】．（2023·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9】．（2023·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 重难点题型(六) 外接球之垂面模型 例10．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图甲，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使得三点重合于点，如图乙，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 例11、（2023·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为 ． 【变式训练10】．（2023·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .    【变式训练11】．（2023·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为 ．    重难点题型(七) 外接球之二面角模型 例12．（2024·江西鹰潭·三模）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例13．（2023·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12】．（2023·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（    ） A．52π B．54π C．56π D．60π 【变式训练13】．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 重难点题型(八) 外接球之侧棱为球的直径模型 例14．（2023·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练14】．（2023·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 重难点题型(九) 外接球之空间多面体 例15．（2024·吉林·模拟预测）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为 ；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 . 例16．（2023·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为 ． 例17．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练15】．（2023·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为 . 【变式训练16】．（2023·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 . 【变式训练17】．（2024·全国·模拟预测）如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 重难点题型(十) 与球有关的最值问题 例18．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为 . 例19．（2023·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱中，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为 . 【变式训练18】．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面为等腰直角三角形且，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为 . 【变式训练19】．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为 ． 重难点题型(十一) 内切球之正方体、正棱柱模型 例20．（2023·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 例21．（2024·江苏宿迁·一模）在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆锥内的空隙处放入个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则的最大值为 （取）    【变式训练20】、（2023·全国·高三专题练习）已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练21】．（2023·江苏·高一专题练习）正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 重难点题型(十二) 内切球之棱锥模型 例22．（2023·广西·高二校联考期中）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（    ）    A． B． C． D． 例23．（2023·湖北武汉·高二校联考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练22】．（2023·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练23】．（2024·浙江金华·一模）已知正方体的棱长为，为正方体内部一动点，球为正方体内切球，过点作直线与球交于，两点，若的面积最大值为4，则满足条件的点形成的几何体体积为（   ） A． B． C． D． 重难点题型(十三) 内切球之圆锥、圆台模型 例24．（2023·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 例25．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）某圆锥的轴截面是等边三角形，且其侧面积为，则该圆锥内切球的体积为 ． 【变式训练24】．（2023·全国·高一专题练习）已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的表面积为 C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 D．圆锥的内切球表面积为 【变式训练25】．（2023·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 重难点题型(十四) 多球相切问题 例26．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某冷饮店为了吸引顾客，特推出一款蛋仔冰淇淋，其底座造型如图所示，外部为半球型蛋壳，内有三个特制的球型蛋仔，蛋仔两两相切，且都与蛋壳相切，蛋仔的顶端正好与半球型的蛋壳的上沿处于同一水平面，如果球型蛋仔的半径为，求这个蛋壳型的半球的容积为 . 例27．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（    ） A． B． C． D． 例28．（19-20高三下·浙江杭州·开学考试）如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1，4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，则截面所表示的椭圆的离心率为（    ） （注：在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，由相切的几何性质可知，，于是，为椭圆的几何意义）    A． B． C． D． 【变式训练26】．（2023·山东德州·高一德州市第一中学校考期末）如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练27】．（2023·全国·高一专题练习）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ） A． B． C． D． 【变式训练28】．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）如图装满水的圆台形容器内放进半径分别为1和3的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$