精品解析：湖南省多校联考2024-2025学年高二下学期3月质量检测数学试题

高二数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式解出两集合，再求并集即可. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 2. 复数的虚部是 A. i B. -i C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：，虚部为1．故选C． 考点：复数的运算，复数的概念． 3. 已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 4. 某校组织校庆活动，由甲、乙、丙三名志愿者负责、、、四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且任务由甲负责，则不同的任务分配方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对甲负责的任务数量进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若甲负责两个任务，则甲还需从、、三个任务中挑选一个任务， 剩余两个任务排给乙、丙两人，此时有种分配方法； 若甲只负责任务，则需将、、三个任务分为两组，再分配给乙、丙两人， 此时，有种不同的分配方法. 由分类加法计数原理可知，不同的分配方法种数为种. 故选：B. 5. 已知某公司有60名男员工、20名女员工，男员工中有的人有驾照，女员工中有的人有驾照，随机从该公司抽取一名员工，若已知该员工有驾照，则该员工是男员工的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设员工有驾照为事件，男员工有驾照为事件，结合题意，由条件概率计算即可. 【详解】设员工有驾照为事件，男员工有驾照为事件， 则，， 则由条件概率可得. 故选：A 6. 牛顿-莱布尼茨公式，又称微积分基本定理，其表述如下：若函数在区间上的导函数为，那么.若，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用微积分基本定理可得出，再结合可求得的值. 【详解】因为，取，则， 所以，， 因为，则，故， 故选：B. 7. 如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先求出底面内切圆半径，再结合题意得到正方体外接球直径等于该内切圆直径时，棱长最大可得. 【详解】在正三棱柱中，，所以底面三角形内切圆半径为， 因为存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，所以正方体的外接球要在该正三棱柱中， 若正方体棱长最大，可知该球体直径应为底面内切圆直径，即，即， 此时三棱柱的高大于球的直径，符合要求. 故选：D 8. 已知函数，过点作该函数图象的切线，则切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】设切点后由导数的意义求出切线方程，再代入点，转化为关于切点横坐标的方程，然后构造函数，分析单调性得到零点即可. 【详解】设切点为，其中， ， 所以切线方程为， 代入可得， 代入整理可得， 分析方程解的个数，令， ， 令可得（舍去）， 所以在上为减函数，在上为增函数， 又， 由函数增长的快慢可知当，；当时，， 所以方程在和处各有一个解. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于二项式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式中各项的二项式系数之和为 B. 若展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则 C. 若展开式中的系数为160，则 D. 若为奇数，令，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二项式定理可得A错误；由展开式中项的系数关系可得B正确；由展开式中项的系数结合组合数的运算可得C正确；令可得D正确. 【详解】对于A，由二项式定理可得，展开式中各项的二项式系数之和为，故A错误； 对于B，若展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，即，故B正确； 对于C，若展开式中的系数为160，即，故C正确； 对于D，令，， 令，， 两式做差可得，故D正确. 故选：BCD 10. 已知过原点且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，是的一个焦点，若的面积大于，则的离心率可以是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】BC 【解析】 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，可得交点坐标，据此可表示出的面积，然后结合题意可得答案. 【详解】不妨设为右焦点，由题意得直线的方程为，设 则有：且， 所以， 所以， 因为，所以， 由，解得，即， 又解得，所以，又， 故选：BC. 11. 已知数列满足，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得A正确；由累加法可得B错误；通过构造等比数列和基本量法求出通项可得C正确；通过方程组解出，再由通过待定系数法求出等比数列的通项，然后可得D正确. 【详解】对于A，若，， 所以数列是以2为公比，以1为首项的等比数列，则，故A正确； 对于B，若，则， 即， 累加法可得，故B错误； 对于C，若，，即， 又，所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以， 所以，故C正确； 对于D，若，则若， 即，解得， 即， 设， 展开可得，即， 所以， 即数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，则， 故，故D正确； 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可得， 又，所以. 故答案为：. 13. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则的焦点到准线的距离为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，求得双曲线右焦点为，抛物线的焦点为，得到，求得，进而求得抛物线的焦点到准线的距离，得到答案. 【详解】由双曲线，可得，则， 所以双曲线右焦点为， 又由抛物线的焦点为， 因为双曲线与抛物线的焦点重合，所以，解得， 所以抛物线，准线方程为 所以抛物线的焦点到准线的距离为. 故答案为：. 14. 已知实数满足，且，若实数使得关于的方程在区间上有解，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意整理可得，，构建函数，结合单调性可得，以为变量，则为直线上的点到原点的距离的平方，可得，构建，利用导数求最值即可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，整理可得， 构建，则， 可知在内单调递减， 由可知，且，则， 则即为， 以为变量，则为直线上的点到原点的距离的平方， 则原点到直线的距离， 可得， 构建，则， 可知在内单调递增，则， 所以的最小值是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记数列的前项和为，已知. （1）求证：是等差数列； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由， 可得， 两式作差变形，可得， 所以. 当时，由，可得， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）仿写后作差，再由等差数列的性质证明即可； （2）先由基本量法求出的通项公式，再确定数列的单调性求出最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则. ，即. 令， 则， 当时，，， 当时，， 所以的最小值为， 则，即的取值范围为. 16. 已知的内角、、的对边分别是、、，且. （1）求； （2）若，的平分线与相交于点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由整理得出，结合余弦定理可得出关于的二次方程，求出的值，再利用三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 即， 因为、，则，所以，所以. 【小问2详解】 因为为的平分线，所以， 又，即，整理得. 又由余弦定理，得， 所以，即，解得或（舍去）， 所以的面积为. 17. 如图，等腰梯形的面积为，过点作于点.将沿翻折到的位置，使得平面平面. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，如图. 由梯形的面积公式可得梯形的高. 因为平面平面，平面平面， 即，平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，利用勾股定理可得， 同理可得， 在中，，所以， 又平面， 所以平面，平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）由平面平面得，利用勾股定理证，即可得平面，即得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，平面的法向量为，利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且. 参考数据：. 【答案】（1） 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2） （3） 当时，，， 令，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又因为，且， 所以存在唯一的，使得，即.① 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以是在上唯一的极小值点. 则，由①可知. 【解析】 【分析】（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间； （2）由已知不等式结合参变分离得出对任意的恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围； （3）当时，利用导数分析函数的单调性，利用极值点与导数的关系结合零点存在定理可证得在上存在唯一的极小值点，并可得出，再结合二次函数的基本性质可证得. 【小问1详解】 因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 当时，恒成立，即恒成立. 令，则，其中， 由可得；由可得. 所以，函数的减区间为，增区间为. 所以，即，故的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，是上除左、右顶点以外的动点，直线与交于另一点，当轴时，. （1）求的方程； （2）求的内切圆面积的最大值； （3）在射线、上分别取点、，满足，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3）因为点、分别在射线、上，且， 所以，，即，， 如图，又因为原点是线段的中点， 所以. 由椭圆的定义可知，所以. 不妨设，则， 所以，，则，可得， 故、、三点共线，因此直线必过原点. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义可求出的值，结合椭圆的焦点坐标可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）由题意，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出面积的最大值，可得出内切圆半径的最大值，结合圆的面积公式可得出结果； （3）由题意可得出，，由已知得出，结合平面向量共线的推论得出、、三点共线，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由的焦点坐标可知，不妨点在第二象限，则， 则，则，故， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题意可知，、、三点不共线，即直线不与轴重合， 设直线的方程为，设点、. 联立得得， ， 所以，， 所以. 又因为 ， 当且仅当，即时等号成立，所以. 又因为的周长为， 又因为， 所以的内切圆半径， 故的内切圆面积的最大值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是 A. i B. -i C. 1 D. -1 3. 已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 某校组织校庆活动，由甲、乙、丙三名志愿者负责、、、四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且任务由甲负责，则不同的任务分配方法种数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某公司有60名男员工、20名女员工，男员工中有的人有驾照，女员工中有的人有驾照，随机从该公司抽取一名员工，若已知该员工有驾照，则该员工是男员工的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 牛顿-莱布尼茨公式，又称微积分基本定理，其表述如下：若函数在区间上的导函数为，那么.若，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知函数，过点作该函数图象的切线，则切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 以上都有可能 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于二项式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式中各项的二项式系数之和为 B. 若展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则 C. 若展开式中的系数为160，则 D. 若为奇数，令，则 10. 已知过原点且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，是的一个焦点，若的面积大于，则的离心率可以是（ ） A. 2 B. C. D. 3 11. 已知数列满足，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则实数__________. 13. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则的焦点到准线的距离为__________. 14. 已知实数满足，且，若实数使得关于的方程在区间上有解，则的最小值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记数列的前项和为，已知. （1）求证：是等差数列； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知的内角、、的对边分别是、、，且. （1）求； （2）若，的平分线与相交于点，且，求的面积. 17. 如图，等腰梯形的面积为，过点作于点.将沿翻折到的位置，使得平面平面. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且. 参考数据：. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，是上除左、右顶点以外的动点，直线与交于另一点，当轴时，. （1）求的方程； （2）求的内切圆面积的最大值； （3）在射线、上分别取点、，满足，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $