第四章因式分解基础讲义 2024—2025学年北师大版数学八年级下册

八下第四章因式分解基础讲义 八下第四章因式分解基础讲义 知识点整理： 一，概念 1， 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。 ①因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，结果是整式的积。 ②因式分解是有范围的，现阶段要求必须在有理数范围内，如-3=（x+）（x-）就不是因式分解。 ③因式分解的结果中，每个因式必须是整式，不能是分式。且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数。如+1=x（x+）不是因式分解。 ④因式分解必须分解到结果中的每个因式都不能再分解为止。如4-16=（2x+4）（2x-4）就没有分解到最简，正确结果应为4-16=4（x+2）（x-2）. 2， 因式分解与整式乘法的关系是一组互逆变形，如（a+b）（a-b）=是整式乘法，但 =（a+b）（a-b）就是因式分解。 2， 因式分解的方法： （一）提公因式法： 1，多项式各项都含有的相同因式叫做这个多项式各项的公因式。 2，多项式中各项的公因式是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。 3，公因式必须是多项式每一项都含有的因式，不能是其中部分项的公因式。 4，公因式可以是单项式，也可以是多项式，还可以是多项式幂的形式。 5，提公因式法就是把一个多项式的公因式提出来，从来把多项式化为两个因式乘积的形式。 6，提公因式法的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的逆用。 7，若多项式的第一项（最高次数项）的系数是负数，则应先提出负号，如-3+x=-x（3x-1）. 8，某项与公因式相同时，提出公因式后应保留的因式是1而不是0，如3+x=x（3x+1）。 9，涉及互为相反数的公因式的变形：a-b=﹣（b-a），（a﹣b）2 =（b﹣a）2， （a﹣b）3 =（b﹣a）3 （2） 公式法： 1， 平方差公式：=（a+b）（a-b） 2， 完全平方公式：(a+b =+2ab+ ，(a-b=-2ab+ 注：上述公式中的字母可以是单项式，也可以是多项式整体。 3， 因式分解的一般步骤：一提、二套、三检验。 ①分解一个多项式，首先考虑提公因式。 ②提完公因式后的剩余部分，若是能写成两项的平方差的形式，则套用平方差公式尝试继续分解。若是能写成三项式的形式，则套用完全平方公式尝试继续分解，直到不能再分解为止。 ③可以反向乘一下几个因式，看看结果是否与原多项式相符。 4， 若原多项式目测无法直接分解时， ①若原多项式有括号，需要对原多项式进行开括号、合并同类项操作，然后对最终结果再进行因式分解。 ②若原多项式没有括号，则可尝试先对其中有公因式的几项部分提取下公因式，然后看看提取完的结果是否与多项式其它剩余项再构成公因式。 ③对于复杂多项式，可选取其中出现频率较多的因式看做一个整体来进行处理。 【题型一：概念】 1．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　A　） A．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 B．a（x+y）＝ax+ay C．x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+1 D．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） 2.下列各式从左边到右边的变形,属于因式分解的是(　D　) A.18x2y=2x2·9y B.ab-ac+d2=a(b-c)+d2 C.a(x+y)=ax+ay D.2x2-=2 3.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（C　） A．a2+2ab+b2﹣1＝（a+b）2﹣1 B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．x4﹣1＝（x+1）（x﹣1）（x2+1） D．2y2+2y＝2y2（1+） 4.下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ A ） A. B. C. D. 【题型二：提公因式法】 1.下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是（　B　） A．x2﹣y B．x2+2x C．x2+y2 D．x2﹣xy+y2 2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ C ） A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c 3．把多项式分解因式，应提取的公因式是（  C  ） A． B． C． D． 4.把多项式(x+1)(x-1)-(1-x)提取公因式(x-1)后，余下的部分是( D ) A.(x+1) B.(x-1) C.x D.(x+2) 5．计算的结果是（ A ）A． B． C． D． 6．计算所得的结果是（ D  ）A． B．2 C． D． 7．分解因式的结果是（  C ） A． B． C． D． 8.化简：________. 9．已知，，则（  A  ）A． B． C．3 D．4 【题型三：公式法】 1．下列单项式中，使多项式16a2+M能用平方差公式因式分解的M是（D　　） A．a B．b2 C．﹣16a D．﹣b2 2. 已知多项式可以运用平方差公式分解因式，则单项式可以是(  D  ) A. B. C. D. 3．若等式4a2﹣ka+9＝（2a+3）2（恒成立），则k＝　 -12 　． 4．已知，，则的值为_____9____． 5、已知多项式x+81b4可以分解为（4a2+9b2）(2a+3b)(3b-2a),则x的值是（ B ） A.16a4 B.-16a4 C.4a2 D.-4a2 【题型四：利用因式分解判断整除问题】 1.216-1可以被10~20之间的两个整数整除,这两个整数是 (　D　) A.13和15　　　　　　B.12和16 C.14和17　　　　　　D.15和17 2．对于任何整数a，多项式（2a+5）2﹣5都能（　B　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被a整除 3．若为任意整数，则的值不一定能（  C  ） A．被2整除 B．被4整除 C．被6整除 D．被8整除 4、(-8)2020+(-8)2019能被下列的数整除的是（ C ） A.3 B.5 C.7 D.9 5．若m为自然数，则（2m+3）2﹣4m2的值总能（　A　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【题型五：利用因式分解进行简算】 1，. 计算：    996000       ． 2，计算：＝___0.25_____ 3，利用因式分解简便计算：．1 4，计算：12-22+32-42+.......+20232-20242＝____-2049300____ 5.计算：1.22222×9-1.33332×4＝__6.3332______ 6，计算：= 1 【题型六：首项提符号的分解】 1．将分解因式得 -3 ． 2，因式分解：（1）-4a3b2+6a2b-2ab （2）-a+2a2-a3 （3）2xy-x2-y2 (4)-4ax2+8axy-4ay2; -2ab(2b-3a+1) -a - -4a 【题型七：互为相反数的因式分解】 1， 若，互为相反数，则的值为  (x-2y)(a-b)        ． 2. 若，，在不解方程组的条件下，求的值．-175 3，因式分解： （1）m(a-3)+2(3-a) （2）3(x-1)3y-(1-x)3z （3）10a(x-y)2-5b(y-x)（4）-ab(a-b)2+a(b-a)2 (a-3)(m-2) (3y+z） 5（x-y）（2ax-2ay+5b） a((1-b) 【题型八：利用因式分解与整式乘法关系求字母取值】 1. 若因式分解x2＋px＋q的结果为(x－3)(x＋5)，则q的值为(　A　) A.－15 B．－2 C．8 D．2 2.若，则的值为（  C  ） A. B． C． D． 3.多项式可以因式分解成，则的值是( C   ) A. B. C. 或 D. 4.已知可因式分解为，其中，均为整数，则 -31     ． 5.当k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成x+my+1与x+ny+2的积？-3 6．若，则n的值是（　A　）A．12 B．10 C．8 D．8×9 7.阅读：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式为x＋3，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为x＋n，由题意得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，则有解得所以另一个因式为x－7，m的值是－21. 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若x2＋bx＋c＝(x－1)(x＋3)，则b＝____2____，c＝___-3_____； (2)已知二次三项式2x2＋5x＋k有一个因式为2x－3，求另一个因式以及k的值． (x+4) ,-12 8.若是多项式的一个因式，则等于（ A ）A. B. C. D.  9.若是多项式为系数的一个因式，则的值是(  C  ) A. B. C. D. 10.若，则为( D   ) A. B. C. D. 11、已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），则m的值= -2 。 【题型九：利用面积法探究多项式的因式分解】 1 ．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到 一个等式，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图,可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（　C　） A．（a+b）（2a+b） B．（a+b）（3a+b） C．（a+b）（a+2b） D．（a+b）（a+3b） 2．有足够多如图的长方形和正方形的卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不重叠、无缝隙拼成右图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子：___=(a+b)(a+2b)___ ． 3.如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m 的大正方形，两块是边长都为 n 的小正方形，五块是长为 m，宽为 n 的全等小矩形，且m＞n,观察图形，可以发现代数式 2m2+5mn+2n2 可以因式分解为 (2m+n)(m+2n) ； 4.用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（　C　　） A.3a2 + 3ab + b2 = （a + b）（b + 3a） B.3a2 - 3ab + b2 = （a - b）（3a + b） C.3a2 + 4ab + b2 = （a + b）（3a + b） D.a2 + 4ab + 3b2 = （a + b）（3a + b） 【题型十：整体法代入求值】 1.材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1. 解:将“x+y”看成整体,令x+y=A, 则原式=A2+2A+1=(A+1)2.再将“A”还原得,原式=(x+y+1)2.上述解题时用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题: （1）因式分解:(x-y)2-6(x-y)+9=　　　　　;  （2）因式分解:(a+b)(a+b-4)+4. （3）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81； （4）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． （5）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1值一定是某个整数的平方． 【题型十一：因式分解与几何问题】 1. 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若a2＋2ab＋b2＝c2＋24，a＋b－c＝4，则△ABC的周长是(　B　) A．3 B．6 C．8 D．12 3， 已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2-b2+ac-bc=0,试判断△ABC的形状.等腰三角形 3，.若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）＝0，那么△ABC的形状是（　A　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 4．已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式的值是（　A　） A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．大小不确定 5．在△ABC中，∠A，∠B，b，c，且a2+b2+c2＝ab+bc+ca，则△ABC的形状是（B） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．只有两边相等的三角形 D．无法确定 6，若三角形的三边长a，b，c满足（a﹣c）2+（a﹣c）b＝0，则这个三角形形状一定是 　等腰 　三角形． 7．一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为12，面积为5, 则ab3+2a2b2+a3b的值为 　 180 　． 8. 已知、、为的三边，且满足，则是（ C） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 9.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2＝2ab+2bc﹣2b2，则△ABC是（　B　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 10．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　A　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 11.已知正方形的面积是，则正方形的周长是(  D  ) A. B. C. D. 【题型十二：分组分解】 1. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2） 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b） 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： （Ⅰ）因式分解：x2﹣a2+x+a；（x+a）(x-a+1) （Ⅱ）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．(a-b)(a-b+x) 2,已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　D　） A．24 B．18 C．﹣24 D．﹣18 3，分解因式：__(a+b)(x+y)_. 4，因式分解：_(x+y)(x-y+a)__. 5，把分解因式的结果是(a-b+c)a-b-c)___. 6，分解因式：_(m-n)(m-5)__. 7，分解因式：_(x-y)__. 8，因式分解：（1）xy﹣x+y﹣1； （2）ab-c+b-ac (y-z)(x+1) (a+1)(b-c) （3）x2+6xy+9y2-16 a2+8a-1 （4）-ab+ac-bc (x+3y+4a-1)(x+3y-4a+1) （a-b）(a+c) 【题型十三：配方法分解】 1．我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值等． 例1 用因式分解：a2＋6a＋8． 原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）． 例2：求式子2x2+4x﹣6的最小值． 2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，则当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8． 根据阅读材料解决下列问题： （1）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27；（x-9）(x+3) a2－12a＋35．(x-5)(x-7) （2）当x为何值时，多项式﹣x2﹣4x+1有最大值，并求出这个最大值．X=-2时，最大值5 （3）已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为__-1______ 2，先阅读，再因式分解：x4＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2)，按照这种方法把多项式x4＋324因式分解． (-6x+18)(+6x+18) 3. 已知 ， 满足等式 ，，则 ， 的大小关系是（ D ） A. B. C. D. 以上都不对 4．当多项式－a2＋2a－1取最大值时，a的值为（ B ）A．0 B．1 C．2 D．－1 5、无论a,b为任何实数，a2+b2-6a+10b+35的值总是（B ） A.非负数 B.恒为正数 C.恒为负数 D.非正数 6.十字相乘法因式分解： (1)4m2+8mn+3n2 (2)6a2+a－35 (3)x2-7x+12 (4)2X² +3x+1； (2m+n)(2m+3n) (2a+5)(3a-7) (x-3)(x-4) (2x+1)(x+1) (5)2y2+y－6； (6)6x2－13x+6 (7)3a2－7a－6； (8)10x2－21xy+2y2 (y+2)(2y-3) （2x-3）(3x-2) (3a+2)(a-3) (10x-1)(x-2) 【题型十四：看错问题】 1，对多项式x3y＋ax2y＋bxy进行因式分解时，甲同学看错了a的值，因式分解的结果为xy(x－3)(x－5)，乙同学看错了b的值，因式分解的结果为xy(x＋2)(x－8)，则该多项式为_y-6___________________． 2，两位同学将一个二次三项式ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣4），另一个同学因看错了常数项而分解成（x﹣5）（x+1）．求原多项式ax2+bx+c的二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值．b=-4 a=1 c=4 3.小红准备完成题目:计算(x2x+2)(x2-x).她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了.老师说:“这个题目的正确答案是不含三次项的.”请通过计算说明原题中被墨水遮挡住的一次项系数是多少.1 【题型十五：特殊求值】 1，若x- =-2,则代数式x3+3x2-2x+3的值为　7　　　.  2．若x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2+2020值是（ C ）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 3.若实数满足，则值为( )A. B. C. D. 4.已知x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣6x2+2x+1＝（　A　）A．﹣1 B．5 C．﹣3 D．1 5．已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（  B  ）A． B．1 C． D．3 6．已知实数满足，则 -1 ． 7、已知1+x++=0 ，则的值＝　 1 　． 8.已知(2019－a)(2017－a) ＝1000，请猜想(2019－a)2＋(2017－a)2＝___2004___ 9．已知a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022, a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　D　）A．0 B．1 C．2 D．3 【题型十六：新定义类型】 1. 若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即x＝a2－b2(其中a、b、x为正整数)，则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是(　A　) A．2 022 B．2 021 C．2 020 D．2 019 2. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如，，，因此，，都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”(  B  )A. B. C. D. 3．下列各数中，可以写成两个连续偶数的平方差的（　A　） A．500 B．520 C．250 D．205 4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”.如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“和谐数”. (1)36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？是 (2)请你说明“和谐数”一定是4的倍数. 【题型十七：因式分解的特殊类型】 1，多次连续分解： （1）m4-1 （2）81a4-b4 （3）-6(-1)+9 （+1）(m+1）（m-1） （9+)(3a+b)(3a-b) ( ( （4） -4 (5)(x2+y2)2-4x2y2 (6) ( ( ( ( x(x+2)(x-2) (7)x4-8x2y2+16y4 (8)(x2+1)3-4x2 （+)(x+2y)(x-2y) ( ( 2.特殊系数分解： （1）+xy+y2 （2）2+2x+ （3）y2+y+ ( 2( ( 3.整体法分解 （1）(x+y)2+6(x+y)+9 （2）(m+n)2-n2 （3）a2-2a(b+c)+(b+c)2 ( m(m+2n) ( (4) (a+b+c)2-(a+b-c)2 （5）4(2p+3q)2-(3p-q)2 （6）（x2＋4)2－16x2. 4c(a+b) (7p+5q)(p+7q) ( ( (7)(x2+2)2-22(x2+2)+121.．； ( ( 4 ( ( 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八下第四章因式分解基础讲义 八下第四章因式分解基础讲义 知识点整理： 一，概念 1， 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。 ①因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，结果是整式的积。 ②因式分解是有范围的，现阶段要求必须在有理数范围内，如-3=（x+）（x-）就不是因式分解。 ③因式分解的结果中，每个因式必须是整式，不能是分式。且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数。如+1=x（x+）不是因式分解。 ④因式分解必须分解到结果中的每个因式都不能再分解为止。如4-16=（2x+4）（2x-4）就没有分解到最简，正确结果应为4-16=4（x+2）（x-2）. 2， 因式分解与整式乘法的关系是一组互逆变形，如（a+b）（a-b）=是整式乘法，但 =（a+b）（a-b）就是因式分解。 2， 因式分解的方法： （一）提公因式法： 1，多项式各项都含有的相同因式叫做这个多项式各项的公因式。 2，多项式中各项的公因式是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。 3，公因式必须是多项式每一项都含有的因式，不能是其中部分项的公因式。 4，公因式可以是单项式，也可以是多项式，还可以是多项式幂的形式。 5，提公因式法就是把一个多项式的公因式提出来，从来把多项式化为两个因式乘积的形式。 6，提公因式法的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的逆用。 7，若多项式的第一项（最高次数项）的系数是负数，则应先提出负号，如-3+x=-x（3x-1）. 8，某项与公因式相同时，提出公因式后应保留的因式是1而不是0，如3+x=x（3x+1）。 9，涉及互为相反数的公因式的变形：a-b=﹣（b-a），（a﹣b）2 =（b﹣a）2， （a﹣b）3 =（b﹣a）3 （2） 公式法： 1， 平方差公式：=（a+b）（a-b） 2， 完全平方公式：(a+b =+2ab+ ，(a-b=-2ab+ 注：上述公式中的字母可以是单项式，也可以是多项式整体。 3， 因式分解的一般步骤：一提、二套、三检验。 ①分解一个多项式，首先考虑提公因式。 ②提完公因式后的剩余部分，若是能写成两项的平方差的形式，则套用平方差公式尝试继续分解。若是能写成三项式的形式，则套用完全平方公式尝试继续分解，直到不能再分解为止。 ③可以反向乘一下几个因式，看看结果是否与原多项式相符。 4， 若原多项式目测无法直接分解时， ①若原多项式有括号，需要对原多项式进行开括号、合并同类项操作，然后对最终结果再进行因式分解。 ②若原多项式没有括号，则可尝试先对其中有公因式的几项部分提取下公因式，然后看看提取完的结果是否与多项式其它剩余项再构成公因式。 ③对于复杂多项式，可选取其中出现频率较多的因式看做一个整体来进行处理。 【题型一：概念】 1．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 B．a（x+y）＝ax+ay C．x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+1 D．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） 2.下列各式从左边到右边的变形,属于因式分解的是(　　) A.18x2y=2x2·9y B.ab-ac+d2=a(b-c)+d2 C.a(x+y)=ax+ay D.2x2-=2 3.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．a2+2ab+b2﹣1＝（a+b）2﹣1 B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．x4﹣1＝（x+1）（x﹣1）（x2+1） D．2y2+2y＝2y2（1+） 4.下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【题型二：提公因式法】 1.下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是（　　） A．x2﹣y B．x2+2x C．x2+y2 D．x2﹣xy+y2 2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ） A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c 3．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 4.把多项式(x+1)(x-1)-(1-x)提取公因式(x-1)后，余下的部分是( ) A.(x+1) B.(x-1) C.x D.(x+2) 5．计算的结果是（  ）A． B． C． D． 6．计算所得的结果是（   ）A． B．2 C． D． 7．分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 8.化简：________. 9．已知，，则（    ）A． B． C．3 D．4 【题型三：公式法】 1．下列单项式中，使多项式16a2+M能用平方差公式因式分解的M是（　　） A．a B．b2 C．﹣16a D．﹣b2 2. 已知多项式可以运用平方差公式分解因式，则单项式可以是(    ) A. B. C. D. 3．若等式4a2﹣ka+9＝（2a+3）2（恒成立），则k＝　 　． 4．已知，，则的值为_________． 5、已知多项式x+81b4可以分解为（4a2+9b2）(2a+3b)(3b-2a),则x的值是（ ） A.16a4 B.-16a4 C.4a2 D.-4a2 【题型四：利用因式分解判断整除问题】 1.216-1可以被10~20之间的两个整数整除,这两个整数是 (　　) A.13和15　　　　　　B.12和16 C.14和17　　　　　　D.15和17 2．对于任何整数a，多项式（2a+5）2﹣5都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被a整除 3．若为任意整数，则的值不一定能（    ） A．被2整除 B．被4整除 C．被6整除 D．被8整除 4、(-8)2020+(-8)2019能被下列的数整除的是（ ） A.3 B.5 C.7 D.9 5．若m为自然数，则（2m+3）2﹣4m2的值总能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【题型五：利用因式分解进行简算】 1，. 计算：           ． 2，计算：＝________ 3，利用因式分解简便计算：． 4，计算：12-22+32-42+.......+20232-20242＝________ 5.计算：1.22222×9-1.33332×4＝________ 6，计算：= 【题型六：首项提符号的分解】 1．将分解因式得 ． 2，因式分解：（1）-4a3b2+6a2b-2ab （2）-a+2a2-a3 （3）2xy-x2-y2 (4)-4ax2+8axy-4ay2; 【题型七：互为相反数的因式分解】 1， 若，互为相反数，则的值为          ． 2. 若，，在不解方程组的条件下，求的值． 3，因式分解： （1）m(a-3)+2(3-a) （2）3(x-1)3y-(1-x)3z （3）10a(x-y)2-5b(y-x)（4）-ab(a-b)2+a(b-a)2 【题型八：利用因式分解与整式乘法关系求字母取值】 1. 若因式分解x2＋px＋q的结果为(x－3)(x＋5)，则q的值为(　　) A.－15 B．－2 C．8 D．2 2.若，则的值为（    ） A. B． C． D． 3.多项式可以因式分解成，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 4.已知可因式分解为，其中，均为整数，则      ． 5.当k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成x+my+1与x+ny+2的积？ 6．若，则n的值是（　　）A．12 B．10 C．8 D．8×9 7.阅读：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式为x＋3，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为x＋n，由题意得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，则有解得所以另一个因式为x－7，m的值是－21. 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若x2＋bx＋c＝(x－1)(x＋3)，则b＝________，c＝________； (2)已知二次三项式2x2＋5x＋k有一个因式为2x－3，求另一个因式以及k的值． 8.若是多项式的一个因式，则等于（ ）A. B. C. D.  9.若是多项式为系数的一个因式，则的值是(    ) A. B. C. D. 10.若，则为(    ) A. B. C. D. 11、已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），则m的值= 。 【题型九：利用面积法探究多项式的因式分解】 1 ．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到 一个等式，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图,可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（　　） A．（a+b）（2a+b） B．（a+b）（3a+b） C．（a+b）（a+2b） D．（a+b）（a+3b） 2．有足够多如图的长方形和正方形的卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不重叠、无缝隙拼成右图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子：______ ． 3.如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m 的大正方形，两块是边长都为 n 的小正方形，五块是长为 m，宽为 n 的全等小矩形，且m＞n,观察图形，可以发现代数式 2m2+5mn+2n2 可以因式分解为 ； 4.用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（　　　） A.3a2 + 3ab + b2 = （a + b）（b + 3a） B.3a2 - 3ab + b2 = （a - b）（3a + b） C.3a2 + 4ab + b2 = （a + b）（3a + b） D.a2 + 4ab + 3b2 = （a + b）（3a + b） 【题型十：整体法代入求值】 1.材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1. 解:将“x+y”看成整体,令x+y=A, 则原式=A2+2A+1=(A+1)2.再将“A”还原得,原式=(x+y+1)2.上述解题时用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题: （1）因式分解:(x-y)2-6(x-y)+9=　　　　　;  （2）因式分解:(a+b)(a+b-4)+4. （3）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81； （4）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． （5）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1值一定是某个整数的平方． 【题型十一：因式分解与几何问题】 1. 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若a2＋2ab＋b2＝c2＋24，a＋b－c＝4，则△ABC的周长是(　　) A．3 B．6 C．8 D．12 2，已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2-b2+ac-bc=0,试判断△ABC的形状. 3，.若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）＝0，那么△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 4．已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式的值是（　　） A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．大小不确定 5．在△ABC中，∠A，∠B，b，c，且a2+b2+c2＝ab+bc+ca，则△ABC的形状是（　　） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．只有两边相等的三角形 D．无法确定 6，若三角形的三边长a，b，c满足（a﹣c）2+（a﹣c）b＝0，则这个三角形形状一定是 　 　三角形． 7．一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为12，面积为5, 则ab3+2a2b2+a3b的值为 　 　． 8. 已知、、为的三边，且满足，则是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 9.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2＝2ab+2bc﹣2b2，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 10．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 11.已知正方形的面积是，则正方形的周长是(    ) A. B. C. D. 【题型十二：分组分解】 1. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2） 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b） 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： （Ⅰ）因式分解：x2﹣a2+x+a； （Ⅱ）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2． 2,已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　） A．24 B．18 C．﹣24 D．﹣18 3，分解因式：___. 4，因式分解：___. 5，把分解因式的结果是___. 6，分解因式：___. 7，分解因式：___. 8，因式分解：（1）xy﹣x+y﹣1； （2）ab-c+b-ac （3）x2+6xy+9y2-16 a2+8a-1 （4）-ab+ac-bc 【题型十三：配方法分解】 1．我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值等． 例1 用因式分解：a2＋6a＋8． 原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）． 例2：求式子2x2+4x﹣6的最小值． 2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，则当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8． 根据阅读材料解决下列问题： （1）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27；a2－12a＋35． （2）当x为何值时，多项式﹣x2﹣4x+1有最大值，并求出这个最大值． （3）已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________ 2，先阅读，再因式分解：x4＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2)，按照这种方法把多项式x4＋324因式分解． 3. 已知 ， 满足等式 ，，则 ， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 4．当多项式－a2＋2a－1取最大值时，a的值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．－1 5、无论a,b为任何实数，a2+b2-6a+10b+35的值总是（ ） A.非负数 B.恒为正数 C.恒为负数 D.非正数 6.十字相乘法因式分解： (1)4m2+8mn+3n2 (2)6a2+a－35 (3)x2-7x+12 (4)2X² +3x+1； (5)2y2+y－6； (6)6x2－13x+6 (7)3a2－7a－6； (8)10x2－21xy+2y2 【题型十四：看错问题】 1，对多项式x3y＋ax2y＋bxy进行因式分解时，甲同学看错了a的值，因式分解的结果为xy(x－3)(x－5)，乙同学看错了b的值，因式分解的结果为xy(x＋2)(x－8)，则该多项式为____________________． 2，两位同学将一个二次三项式ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣4），另一个同学因看错了常数项而分解成（x﹣5）（x+1）．求原多项式ax2+bx+c的二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值． 3.小红准备完成题目:计算(x2x+2)(x2-x).她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了.老师说:“这个题目的正确答案是不含三次项的.”请通过计算说明原题中被墨水遮挡住的一次项系数是多少. 【题型十五：特殊求值】 1，若x- =-2,则代数式x3+3x2-2x+3的值为　　　　.  2．若x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2+2020值是（ ）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 3.若实数满足，则值为( )A. B. C. D. 4.已知x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣6x2+2x+1＝（　　）A．﹣1 B．5 C．﹣3 D．1 5．已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（    ）A． B．1 C． D．3 6．已知实数满足，则 ． 7、已知1+x++=0 ，则的值＝　 　． 8.已知(2019－a)(2017－a) ＝1000，请猜想(2019－a)2＋(2017－a)2＝______ 9．已知a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022, a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）A．0 B．1 C．2 D．3 【题型十六：新定义类型】 1. 若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即x＝a2－b2(其中a、b、x为正整数)，则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是(　　) A．2 022 B．2 021 C．2 020 D．2 019 2. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如，，，因此，，都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”(    )A. B. C. D. 3．下列各数中，可以写成两个连续偶数的平方差的（　　） A．500 B．520 C．250 D．205 4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”.如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“和谐数”. (1)36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？ (2)请你说明“和谐数”一定是4的倍数. 【题型十七：因式分解的特殊类型】 1，多次连续分解： （1）m4-1 （2）81a4-b4 （3）-6(-1)+9 （4） -4 (5)(x2+y2)2-4x2y2 (6) (7)x4-8x2y2+16y4 (8)(x2+1)3-4x2 2.特殊系数分解： （1）+xy+y2 （2）2+2x+ （3）y2+y+ 3.整体法分解 （1）(x+y)2+6(x+y)+9 （2）(m+n)2-n2 （3）a2-2a(b+c)+(b+c)2 (4) (a+b+c)2-(a+b-c)2 （5）4(2p+3q)2-(3p-q)2 （6）（x2＋4)2－16x2. (7)(x2+2)2-22(x2+2)+121.．； 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$