精品解析：2025年湖北省孝感市孝昌县等5地九年级中考一模数学试题

2025年3月学情调研九年级 数学试卷 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定住置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 将一个直角三角板和一把直尺按如图所示摆放，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 据统计，在发布后的18天内，全球下载数量达到16000000次，是的同期下载数量的2倍．将16000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 6. 下列事件中，属于随机事件的是（　　） A. 太阳从东方升起 B. 抛一枚硬币，正面朝上 C. 用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 D. 通常情况下，温度降到以下，纯净的水会结冰 7. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A B. C. D. 8. 如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，将线段OP平移，使得点O落在点处，则点P的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（为常数，）经过点，开口向下，对称轴为直线．下列结论正确的是（　　） A B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若有意义，的值可以是______（写出一个即可） 12. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其余差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为________． 13. 在物理实验中，弹簧长度与悬挂物质量关系为．当悬挂物质量为时，弹簧长度为_____． 14. 化简______ 15. 如图，正方形边长为4，点在边上，且．将沿翻折至．（1）______；（2）连接．则______． 三、解答题（共9题，共75分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 如图，在中，，，垂足为，点在上．求证：． 18. 根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 19. 为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了名男生至月份的测试成绩．其中，月份测试成绩如表，月份测试成绩如图（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表和图（尚不完整）． 表：月份测试成绩统计表 个数 人数 表：本学期测试成绩统计表 平均数个 众数个 中位数个 合格率 2月 3月 4月 5月 6月 图2请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出，，的值； （2）从不同角度分析本次引体向上训练活动的效果；（写两条即可） （3）该校八年级男生有人，以随机抽查的名男生月份训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点是轴上一点，过点作轴的垂线分别交反比例函数的图像和一次函数图像于点． （1）求值； （2）若，求的长． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点为弧中点，连接，作的平分线交于点，连接． （1）求证：； （2）若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求弧、线段围成的阴影部分面积； 22. 某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． （1）求日销售利润（元）与（元/件）函数关系式；（不要求写的取值范围） （2）在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． （3）在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 23. 已知中，．现将绕点旋转至． （1）如图1，连接，，求证：． （2）如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点． （1）填空：______，_____； （2）若，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为 ①求关于的函数关系式； ②求满足为整数的点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年3月学情调研九年级 数学试卷 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定住置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了温度的比较以及正负数的概念，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．以下记为负数，以上记为正数，温度都小于时，绝对值最大的，温度最低． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴气温最低的是北京． 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义；理解定义：“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．” 是解题的关键． 【详解】A.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； B.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．故本选项不合题意； C.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意； D.正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意． 故选：C． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选A． 4. 将一个直角三角板和一把直尺按如图所示摆放，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，与三角板有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，再结合两直线平行，同位角相等，得出，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵上图为一个直角三角板和一把直尺，且， ∴， ∵平行， ∴， 故选：C． 5. 据统计，在发布后的18天内，全球下载数量达到16000000次，是的同期下载数量的2倍．将16000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将16000000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选D． 6. 下列事件中，属于随机事件的是（　　） A 太阳从东方升起 B. 抛一枚硬币，正面朝上 C. 用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 D. 通常情况下，温度降到以下，纯净的水会结冰 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查是必然事件、不可能事件、随件事件的概念、三角形的三边关系等知识点，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即为随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小来判断相应事件的类型即可解答． 【详解】解：A． 太阳从东方升起，此事件是必然发生的，即必然事件，不符合题意； B． 抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，符合题意； C． 用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形，是不可能事件，不符合题意； D． 通常情况下，温度降到以下，纯净的水会结冰，是必然事件，不符合题意． 故选：B． 7. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：C． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键． 8. 如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法，垂径定理，圆周角定理，由作图可知垂直平分，即得，即可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，将线段OP平移，使得点O落在点处，则点P的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平移，先根据点的坐标确定平移方式，然后再确定平移后点的坐标即可． 【详解】解：∵点O先向左平移个单位长度，然后向上平移2个单位长度得到点， ∴点向左平移个单位长度，然后向上平移2个单位长度得到点， 故选B． 10. 已知抛物线（为常数，）经过点，开口向下，对称轴为直线．下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与轴交点，二次函数的性质等知识，熟记二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的开口、对称轴以及经过的点，即可判断出二次函数的大体图象，进而根据二次函数图象的性质即可判断出各选项． 【详解】解：A.、根据题意，由开口向下可知，对称轴为直线，且经过点，可知，，故该选项错误，不符合题意； B、经过A.选项分析，抛物线与轴有两个交点，，故该选项错误，不符合题意； C、∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴点与点是对称点 当时，代入抛物线解析式得，故该选项错误，不符合题意； D、根据顶点坐标的几何意义，所以当时，函数值最大，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若有意义，的值可以是______（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键． 由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∴x的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一） 12. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其余差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下： 由图知：共有4种等可能结果，其中两次都摸到红球的只有1种结果， 所以两次都摸到红球的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 13. 在物理实验中，弹簧长度与悬挂物质量的关系为．当悬挂物质量为时，弹簧长度为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是将给定的自变量的值代入函数关系式中求解因变量的值． 已知弹簧长度与悬挂物质量的函数关系式，要求当时的值，只需将代入函数式计算． 【详解】当悬挂物质量时，将代入中， ， 故答案为：20． 14. 化简______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的约分、因式分解的应用等知识点，掌握运用平方差公式因式分解成为解题的关键． 先运用平方差公式对分子因式分解，然后再约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 如图，正方形边长为4，点在边上，且．将沿翻折至．（1）______；（2）连接．则______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由正方形的性质以及勾股定理可得，再根据翻折的性质可得，然后根据正切的定义解答即可； （2）如图：连接交于O，作，垂足为G，作，垂足为H，则，由折叠的性质可得垂足平分，即，，；再证明可得，即；再根据平行线的性质、等腰三角形的性质以及等量代换可得，再解直角三角形可得，则；再证明四边形是矩形可得，进而得到，再运用勾股定理以及线段的和差可得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形边长为4， ∴， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∴． 故答案为：． （2）如图：连接交于O，作，垂足为G，作，垂足为H，则， ∵将沿翻折至， ∴垂足平分，即，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、算术平方根、负整数次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据乘方、算术平方根、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，，，垂足为，点在上．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据等腰三角形三线合一的性质，然后利用证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：，， 在和中 ． 18. 根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 【答案】任务一：冬至，；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可； 任务二：过E作于F，利用正切定义求得 【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最小角度，即， 故答案为：冬至，； 任务二：过E作于F，则，米，， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， （层）， 答：乙楼中7层（含2层）以下不能安装该品牌太阳能热水器． 19. 为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了名男生至月份的测试成绩．其中，月份测试成绩如表，月份测试成绩如图（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表和图（尚不完整）． 表：月份测试成绩统计表 个数 人数 表：本学期测试成绩统计表 平均数个 众数个 中位数个 合格率 2月 3月 4月 5月 6月 图2请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出，，的值； （2）从不同角度分析本次引体向上训练活动的效果；（写两条即可） （3）该校八年级男生有人，以随机抽查的名男生月份训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数． 【答案】（1），，； （2）见解析； （3）估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数为人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，折线统计图，统计表，样本估计总体，以及求平均数，众数 ，中位数的意义，掌握相关的统计量的意义是解题的关键． （）根据总人数减去引体向上为其他个数的人数，进而补充条形统计图，根据题意求得合格率，补充折线统计图，根据平均数，众数的定义，即可得出，的值； （）根据平均数，众数，中位数，合格率，分析； （）根据样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：月测试成绩中，引体向上个的人数为（人），补全图， 由表得：月份个数为的出现次数最多，共次， 故， 由图得：， ∴月份的合格率为； 则补全图， 【小问2详解】 解：答案不唯一，写两条即可，如： 本次引体向上训练活动的效果明显， 从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加， 从中位数看，引体向上个数逐月增加， 从众数看，引体向上的个数越来越大； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数为人． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点是轴上一点，过点作轴的垂线分别交反比例函数的图像和一次函数图像于点． （1）求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，函数解析式求点的坐标等知识，解题的关键是熟练掌握点的坐标和函数解析式的关系． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用函数表达式求出点的坐标，利用点的特殊位置关系求线段长度． 【小问1详解】 解：将代入， 解得，， 将代入，得， 解得，． 【小问2详解】 解：由（1）知，反比例函数解析式为，一次函数的解析式为， 轴于， 轴， ， 点的纵坐标都为1，将代入，得， 将代入，得， ， ． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点为弧中点，连接，作的平分线交于点，连接． （1）求证：； （2）若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求弧、线段围成的阴影部分面积； 【答案】（1）见详解 （2）1 【解析】 分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，然后证明得到； （2）连接、，如图，根据垂径定理得到，则利用和都为等腰直角三角形，所以，再根据切线的性质得到，接着证明为等腰直角三角形得到，然后根据扇形的面积公式，利用弧、线段、围成的阴影部分面积进行计算． 本题考查了切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和扇形的面积公式． 【小问1详解】 证明：为的直径， ， 点为弧中点， ， ， 平分， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：连接、，如图， 点为弧中点， ， ∴和都为等腰直角三角形， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 弧、线段、围成的阴影部分面积． 22. 某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． （1）求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） （2）在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． （3）在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】（1） （2）售价的取值范围是 （3）能，60元 【解析】 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． 【小问3详解】 解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 23. 已知中，．现将绕点旋转至． （1）如图1，连接，，求证：． （2）如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）首先求出，得到，然后推出，即可证明； （2）①由得到，然后求出，得到，然后等量代换求解即可； ②延长交于点，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出四边形是矩形，勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 ，． ， ， ，即， ； 【小问2详解】 ①根据（1）得， ， 是边上的中线 ， ， ， ，即， ； ②延长交于点，连接， 由①知，，， 在和中 ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 由（1）知 ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点． （1）填空：______，_____； （2）若，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为 ①求关于的函数关系式； ②求满足为整数的点的个数． 【答案】（1）， （2） （3）①；②8个 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，二次函数与几何的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和待定系数法． （1）利用直线解析式求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用待定系数法求得二次函数解析式； （2）利用相似三角形求得线段长度，进而求得点的坐标； （3）①先求得直线的解析式，然后再分段求关于的函数关系式；②分两段进行求的取值，然后再确定的整数值即可. 【小问1详解】 解：根据直线可得： ，，将两点坐标代入可得 ，， 故答案为：，． 【小问2详解】 解： 由（1）得， 当时，，解得或， 点， 过点作轴于，则， ， ， ， 点的横坐标为，把代入得， 点． 【小问3详解】 解：①设直线的解析式为，并把点，点代入得 ， 直线的解析式为， 当时， ， 即， 当时，， 关于的函数关系式为 ， ②（i）当时， ， 当时，取最大值为， 当时，，当时，， ，其中的整数值有2，3，4三个， 对应的点有5个， （ii）当时，， ，此时随增大而增大， 当时，，当时，， ，其中的整数值有4，5，6三个，对应的点有3个， 因此，满足为整数的点的个数为8个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$