精品解析：2025年河南省十二县一区初中毕业班第一次模拟考试数学试题

河南省十二县一区2025届初中毕业班第一次模拟测试 数学试题 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. ，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2025年2月9日，累计下载量已超过1.1亿次，周活跃用户规模高达9700万．其中9700万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日．2025年元宵节时，小明同学用两张纸制作了一个圆柱形的“走马灯”，并量得底面直径与高都为，则此走马灯的体积为________．（ ） A. 400 B. C. D. 4. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B. C. D. 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为________个．（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了________（结果保留）．（ ） A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个次数为3次的单项式：__________． 12. 为了解某班男生做的引体向上的情况，体育委员小刚统计了20名男生所做的引体向上的个数，并制成了条形统计图，则这20名男生做引体向上的平均个数是________． 13. 2025年中央电视台的春节联欢晚会共涉及300多项非遗项目．为弘扬中国文化，增强学生的文化自信，某中学团委准备从“中国书法”、“中国篆刻”、“中国剪纸”、“中国皮影戏”四个项目里随机选取两个项目进行综合实践活动，则选中“中国剪纸”和“中国皮影戏”的概率是________． 14. 如图，在正方形中，点为边上一点，将沿折叠得，若点恰好在对角线上，连接，则________． 15. 如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．在此运动过程中，当________时，线段． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 河南教育厅通知从2025年起，学校每天需开设一节体育课，确保学生每天两小时体育活动．为了解其中跳绳训练活动的效果，某校体育组随机跟踪了本学期八年级20位男生跳绳成绩（一分钟跳绳180个为满分），并制成了跳绳成绩统计表和跳绳满分率统计图． 跳绳成绩统计表 平均数/个 众数/个 中位数/个 方差 2月 145.6 143 142 30.2 3月 156.2 156 153 25.7 4月 163 160 161 18.4 5月 175 180 169 17.9 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）小明某月跳绳150个，他说他比一半男生的跳绳成绩都高，请你判断他在几月份说的？ （2）从多角度分析每月跳绳训练活动的效果； （3）通过分析折线统计图，体育教师发现满分率逐步提高，按照此趋势发展下去，预计6月的满分率大约为多少？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式及的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （3）若点在（2）所作的的角平分线上，当是以为一腰的等腰三角形时，点的坐标为________． 19. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求长． 20. 帆船是一种古老的水上交通工具，已有5000多年的历史．它主要依靠自然风力航行．如图是帆船逆风航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（精确到．参考数据：，，，，，） 21. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 22. 某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量（套）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．所获的利润（元）与销售单价（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元） … 20 30 40 50 60 … 周销量（套） … 40 30 20 10 0 … 所获利润（元） … 0 300 400 300 0 … （1）求与之间的函数关系式； （2）①请在平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上三个格点，再画出二次例函数的图象； ②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的1.8倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？ 23. 小英同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． （1）操作判断 如图1，正方形边长为，则． 如图2，菱形的边长为，则________．（请用含的代数式表示） （2）性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则________．（请用含、的代数式表示） ②如图4，在中，，，猜想与、的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在如图4的中，，，，将点绕点旋转，点的对应点为，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省十二县一区2025届初中毕业班第一次模拟测试 数学试题 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，掌握无理数的概念及常见无理数的形式是关键． 无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：含有的最简式子；开不尽方的数；特殊结果的数（如），由此即可求解． 【详解】解：A、是无限不循序小数，是无理数，符合题意； B、，是有理数，不符合题意； C、，是有理数，不符合题意； D、，是有理数，不符合题意； 故选：A ． 2. ，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2025年2月9日，的累计下载量已超过1.1亿次，周活跃用户规模高达9700万．其中9700万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：9700万， 故选：C． 3. 走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日．2025年元宵节时，小明同学用两张纸制作了一个圆柱形的“走马灯”，并量得底面直径与高都为，则此走马灯的体积为________．（ ） A. 400 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆柱的体积，根据底面积乘高等于圆柱的体积，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵底面直径与高都为， ∴底面积是， 则此走马灯的体积为， 故选：D 4. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先算出，结合两直线平行，内错角相等，得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵光线是平行的， ∴， 故选：A． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示如下：    ． 故选：A． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方法则：每一个因式都分别乘方，进行作答即可． 【详解】解：， 故选：B 7. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 由菱形的判定：对角线垂直的平行四边形是菱形即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形为菱形． 选项A，B，D均不能证明四边形是菱形，故均不符合题意． 故选：C． 8. 已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为________个．（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据判别式求出，据此判断两个函数分布和经过的象限，即可得到答案．熟练掌握两个函数的图象是解答本题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ， 解得， 则函数图象经过第二、四象限，函数的图象分布在第二、四象限， 故两个函数图象有2个交点． 故选：C． 9. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了________（结果保留）．（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，掌握弧长公式的计算是解题的关键． 根据题意，扇形半径为，圆心角的度数为，由（是弧长，是扇形圆心角，是扇形半径），由此即可求解． 【详解】解：半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了， ∴对应的弧长为， ∴重物上升了， 故选：D ． 10. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，平移性质，勾股定理，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点向上平移2个单位为，结合勾股定理以及旋转性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵ ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为， 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个次数为3次的单项式：__________． 【答案】4x 【解析】 【分析】单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和;所以4x,xy,3y等都是三次单项式答案不唯 【详解】所写三次单项式只要单项式中含一个字母时,次数是3,或者含几个字母时,字母的指数和为3即可．如: 4x 【点睛】此题考查单项式，难度不大 12. 为了解某班男生做的引体向上的情况，体育委员小刚统计了20名男生所做的引体向上的个数，并制成了条形统计图，则这20名男生做引体向上的平均个数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是关键． 根据加权平均的计算方法即可求解． 【详解】解：， ∴这20名男生做引体向上的平均个数是， 故答案为：3 ． 13. 2025年中央电视台的春节联欢晚会共涉及300多项非遗项目．为弘扬中国文化，增强学生的文化自信，某中学团委准备从“中国书法”、“中国篆刻”、“中国剪纸”、“中国皮影戏”四个项目里随机选取两个项目进行综合实践活动，则选中“中国剪纸”和“中国皮影戏”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是解题的关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 详解】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，“中国书法”、“中国篆刻”、“中国剪纸”、“中国皮影戏”分别用表示， 共有12种等可能结果，其中“中国剪纸”和“中国皮影戏”的有，共2种， ∴选中“中国剪纸”和“中国皮影戏”的概率是， 故答案为： ． 14. 如图，在正方形中，点为边上一点，将沿折叠得，若点恰好在对角线上，连接，则________． 【答案】112.5 【解析】 【分析】本题考查了正方形、折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的运用，掌握折叠的性质，等腰三角形的判定和性质是关键． 根据正方形、折叠的性质得到，，则，由此得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案： ． 15. 如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．在此运动过程中，当________时，线段． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点D运动，此时得到，点Q从点C出发，以的速度沿运动，此时得到，当时，得到四边形时平行四边形，此时；当不平行时，四边形是等腰梯形，也符合题意，解答即可． 【详解】解：∵在中，，，． ∴，，，； 根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点D运动， ∴， 点Q从点C出发，以的速度沿运动， ∴， 当时，得到四边形时平行四边形，此时， ∴， 解得； 当不平行时，四边形是等腰梯形，也符合题意， 过点Q，C分别作，垂足分别为H，G， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 解得， 综上所述，当t为或时，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的全等判定和性质，特殊角三角函数的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，立方根，算术平方根，熟练计算是解题的关键． （1）根据零指数幂、算术平方根以及立方根进行计算即可； （2）先算括号里，再对分子分母因式分解，最后算除法，再代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， 当时，原式． 17. 河南教育厅通知从2025年起，学校每天需开设一节体育课，确保学生每天两小时体育活动．为了解其中跳绳训练活动的效果，某校体育组随机跟踪了本学期八年级20位男生跳绳成绩（一分钟跳绳180个为满分），并制成了跳绳成绩统计表和跳绳满分率统计图． 跳绳成绩统计表 平均数/个 众数/个 中位数/个 方差 2月 145.6 143 142 30.2 3月 156.2 156 153 25.7 4月 163 160 161 18.4 5月 175 180 169 17.9 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）小明某月跳绳150个，他说他比一半男生的跳绳成绩都高，请你判断他在几月份说的？ （2）从多角度分析每月跳绳训练活动的效果； （3）通过分析折线统计图，体育教师发现满分率逐步提高，按照此趋势发展下去，预计6月的满分率大约为多少？ 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、折线统计图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由表格可得2月份的中位数是，且，即可得出答案； （2）从平均数、众数、中位数、方差的角度分析即可得解； （3）根据折线统计图分析即可得解． 【小问1详解】 解：由表格可得，2月份的中位数是，且， 故他在月份说的； 【小问2详解】 解：由题意可得：跳绳成绩的满分率逐步提高；跳绳成绩的平均数、众数为、众数逐步提高；跳绳成绩的方差逐步减小，成绩越来越稳定； 【小问3详解】 解：从折线统计图可得，满分率逐步提高，2月份的满分率是，3月份的满分率是，4月份的满分率是，5月份的满分率是，按照此趋势发展下去，预计6月的满分率大约为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式及的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （3）若点在（2）所作的的角平分线上，当是以为一腰的等腰三角形时，点的坐标为________． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，角平分线的作法，求反比例函数解析式，勾股定理，熟练利用分类讨论解题是关键． （1）根据待定系数法求得反比例函数的解析式，再把代入即可解答； （2）按照角平分线的作法，作出即可； （3）根据等腰三角的性质，求得的解析式，再分类讨论，利用勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 解：把代入可得，解得， 反比例函数的解析式为， 再把代入可得， 解得， 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问3详解】 解：如图，连接交于点， ， 为等腰三角形， 为的平分线， 点是的中点， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 如图，当时， 设， ， ， 解得（舍去）， 故， 如图，当时， 设， ， ， 解得（负数舍去）， 故， 故答案为：或． 19. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求长． 【答案】（1），理由见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，直径所对圆周角为之间，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握切线的性质是关键． （1）如图所示，连接交于点，设与交于点，证明，得，证明，得到，则，所以，根据是直径，得到，则，由此即可求解； （2）根据切线的性质得到，设，则，在中由勾股定理得到，解得，则，，设，则，在中由勾股定理得到，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下， 如图所示，连接交于点，设与交于点， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是切线， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴，则， 由（1）可得，，， ∴设，则， 在中，，即， 解得，， ∴． 20. 帆船是一种古老的水上交通工具，已有5000多年的历史．它主要依靠自然风力航行．如图是帆船逆风航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先运算得出，再结合代入数值计算得，再运算得出，结合，代入数值计算得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵夹角为，帆与航行方向的夹角为， ∴， ∵与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力以分解为两个力与， ∴，， ∴ 则， 解得， 则，， ∴， 解得． 21. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】（1）购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元 （2）最少要花3210元钱 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， 【小问2详解】 解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、两种哪吒玩偶所需元， ∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且． 22. 某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量（套）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．所获的利润（元）与销售单价（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元） … 20 30 40 50 60 … 周销量（套） … 40 30 20 10 0 … 所获利润（元） … 0 300 400 300 0 … （1）求与之间的函数关系式； （2）①请在平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象； ②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的1.8倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？ 【答案】（1） （2）①见解析；②文具店把初中专用套尺销售单价定为36元时，每周出售这种套尺所获利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练根据题意求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）①求得二次函数的解析式，再描点画图即可； ②利用二次函数的图象和性质即可解答． 小问1详解】 解：周销量（套）与销售单价（元）之间满足一次函数关系， 设周销量（套）与销售单价（元）的一次函数解析式为, 根据表格把代入， 可得， 解得， 周销量（套）与销售单价（元）的一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：①所获的利润（元）与销售单价（元）之间满足二次函数关系， 根据表格可知顶点为， 设所获的利润（元）与销售单价（元）的二次函数解析式为， 把代入可得， 解得， 所获的利润（元）与销售单价（元）的二次函数解析式为， 二次函数图象如图所示： ； ②根据题意可得售价小于等于元， 即， 根据图象可得当时，随的增大而增大， 故文具店把初中专用套尺销售单价定为36元时，每周出售这种套尺所获利润最大，最大利润为元． 23. 小英同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． （1）操作判断 如图1，正方形的边长为，则． 如图2，菱形的边长为，则________．（请用含的代数式表示） （2）性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则________．（请用含、的代数式表示） ②如图4，在中，，，猜想与、的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在如图4的中，，，，将点绕点旋转，点的对应点为，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①，② （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）结合菱形的对角线互相平分且垂直，得，，再根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）①结合矩形的对角线互相平分且相等，得，再根据勾股定理列式计算，即可得．②分别过点作的延长线，运用平行四边形的性质得，，再证明，得，，设，分别运用勾股定理列式，再整理得，即可作答． （3）运用勾股逆定理证明，再由（2）得，则，因为旋转，所以，因为，得，然后证明四边形是矩形，分别运用勾股定理算出两种情况的的长，即可作答． 【小问1详解】 解：∵菱形的边长为， ∴，， 则， ∴， 即； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①在矩形中，，， ∴ 则 ∴， ∵， ∴， ∴； ②分别过点作的延长线，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵分别过点作的延长线， ∴， ∴， ∴，， 设， 在中，则， 在中，则， 在中，则， 则， 小问3详解】 解：∵在中，，，， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， 则（负值已舍去）， 则， ∵旋转， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 过点作，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 则， ∴在中，， ∴在中， ∴， 综上：当时， 的长为或． 【点睛】本题考查了旋转性质，平行线的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$