精品解析：陕西省西安市第八十三中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

西安市第八十三中学 2024—2025学年度第二学期高二年级第一次月考数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 函数的极大值点是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 设函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如55，696，3773等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A. 36个 B. 56个 C. 64个 D. 84个 4. 已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 当时，设函数存在导数，且满足，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 6. 已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对部分分，有错选的得0分） 9. 已知函数，则（     ） A. 为奇函数 B. 的单调递增区间为 C. 的极小值为3 D. 若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 的零点个数为4 B. 的极值点个数为3 C. 若，则 D. 轴为曲线的切线 三、填空题（每小题5分，共20分） 12. 函数的单调递减区间为__________． 13. 在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为______. 14. 已知函数，则的最小值是_____________． 四、解答题（本大题共5小题，共72分） 15. 已知函数在处取得极大值为9. （1）求的值; （2）求函数在区间上的最大值. 16. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0， . （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和. 17. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式． （Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 18. 在四棱锥中，点是棱上一点，，，，. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 19. 已知函数，其中． （1）若函数的最小值为，求a的值； （2）若存在，且，使得，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市第八十三中学 2024—2025学年度第二学期高二年级第一次月考数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 函数的极大值点是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数的区间单调性求极大值点即可. 【详解】由题设，当时，当或时， 所以在、上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值点是1. 故选：B 2. 设函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出导函数，再得出切线的斜率进而得出点斜式方程即可. 【详解】由题意得， 于是当时，曲线在点处的切线斜率为， 此时切线方程为，即. 故选:D. 3. 回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如55，696，3773等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A. 36个 B. 56个 C. 64个 D. 84个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①位“回文数”中数字全部相同，②位“回文数”中有个不同的数字，求出每种情况下位“回文数”的数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分种情况讨论： ①位“回文数”中数字全部相同，有种情况，即此时有个位“回文数”； ②位“回文数”中有个不同的数字，有种情况，即此时有个位“回文数”； 则一共有个位“回文数”； 故选：C． 4. 已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后由恒成立来求得的取值范围. 【详解】由，解得， 所以的定义域是， 依题意可知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 由于， 所以的最大值为， 所以. 故选：D. 5. 当时，设函数存在导数，且满足，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【详解】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 6. 已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，求得函数的单调性得到，转化为函数和的图象有2个公共点，结合图象，即可求解. 【详解】由题意， ，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 当时，可得， 当 所以函数的图象如图所示，函数和的图象有2个公共点， 结合图象可得实数的取值范围. 故选：B. 7. 若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点，再求导函数得出点斜式即切线方程，结合公切线列方程求解得出点，最后应用两点间距离求解. 【详解】设，， 因为，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 因为直线是两函数图象的公切线，所以， 由①可得，代入②得， 因为，所以，所以，， 所以. 故选：C． 8. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意构造函数，得到，表示出，再借助导数求出的最小值即可. 【详解】∵，， ∴， 令， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴， ∴的最小值为， 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对部分分，有错选的得0分） 9. 已知函数，则（     ） A. 为奇函数 B. 的单调递增区间为 C. 的极小值为3 D. 若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用判断A选项；利用导数求出函数的单调区间和极值，从而判断选项B,C,D. 【详解】对于A，，故，又其定义域为R， 故为奇函数，故A正确； 对于B，，所以在上，，单调递减； 在和上，，单调递增，故B错误； 对于C，由B知，在处取极小值，极小值，故C错误； 对于D，方程恰有3个不等的实根，即恰有3个解， 且在和上，单调递增；在上，单调递减， 所以，即，故D正确. 故选：AD 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数运算法则计算导函数与二阶导函数，根据题目所给定义可确定选项. 【详解】A.定义域为，，，故A正确. B.定义域为，，，故B正确. C.定义域为，，，故C正确. D.定义域为，，， 当时，，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 的零点个数为4 B. 的极值点个数为3 C. 若，则 D. 轴为曲线的切线 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导函数研究函数的大致图象判断ABD，作出函数的图象判断C即可. 【详解】由题意可得， 令得， 分别画出和的图象如图所示， 由图可知有三个解，即有三个解，分别为，，， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，当时，取得极大值， 所以有两个零点，三个极值点，A错误，B正确； 设，作出的图象如图所示：    ，方程有四个不同的解， 此时，但，故C错误； 因为取得极大值为，所以轴为曲线的切线，D正确. 故选：BD 三、填空题（每小题5分，共20分） 12. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，得到导函数小于零的不等式，结合定义域求解集即可. 【详解】由题意，函数的定义域为， 求导可得， 令，因为，所以解得. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 13. 在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为______. 【答案】18 【解析】 【分析】根据长方体的体积公式求得，求得函数的定义域，利用导数法求得最大值即可. 【详解】设小正方形的边长为，依题意，箱子容积， 由，解得，所以的定义域为. 则， 所以在区间单调递增； 在区间单调递减， 所以当时，取到最大值，且最大值为. 故答案为：18 14. 已知函数，则的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值. 【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. ［方法二］： 三元基本不等式的应用 因为， 所以 ． 当且仅当，即时，取等号． 根据可知，是奇函数，于是，此时． 故答案为：. ［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式 ， ， 当且仅当，即时，． 根据可知，是奇函数，于是． 故答案为：. ［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. ［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值 设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知， 当时，有最小值． 故答案为：. ［方法六］： 配方法 ， 当且仅当即时，取最小值． 故答案为：. ［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法 因为，所以， 即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值． 当时，， 当时， 因为 ，令，解得或，由，，，所以的最小值为． 故答案为：. 【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法； 方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出； 方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高； 方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高； 方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规； 方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙； 方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解． 四、解答题（本大题共5小题，共72分） 15. 已知函数在处取得极大值为9. （1）求的值; （2）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1） （2）9． 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导函数，极值点导函数的值为0，联立此处函数值为极大值，求解的值。 （2）求出导函数，由导函数正负求函数单调区间，由单调性得出对应区间的最值。 【小问1详解】 ， 依题意得， 即，解得． 检验，当时， ∴ 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 满足题意，所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 令，得；令，得或， 在上的单调递减区间是，单调递增区间为． ，函数在区间上的最大值为9． 16. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0， . （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和. 【答案】（Ⅰ）. .（Ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，. 由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得. 所以，的通项公式为，的通项公式为. （Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有 ， ， 上述两式相减，得 . 得. 所以，数列的前项和为. 【考点】等差数列、等比数列、数列求和 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和. 17. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式． （Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元． 【解析】 【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为. 再由，得，因此. 而建造费用为 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 （Ⅱ），令，即. 解得，（舍去）. 当时，，当时，，故是 的最小值点，对应的最小值为． 当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元． 18. 在四棱锥中，点是棱上一点，，，，. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，，. 因为，，，所以， 所以，. 又，所以平面，从而. 因为，，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，证明出，从而证明出线面垂直； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以，，又， 所以. 因为，所以. 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，， 因为，所以，. 设平面的一个法向量为， 由，得， 令，则，，所以. 因为，，所以平面，所以平面的一个法向量为， 所以，，即二面角的正弦值为. 19. 已知函数，其中． （1）若函数的最小值为，求a的值； （2）若存在，且，使得，求a的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论求解即可； （2）由题知，进而令，，，将问题转化为函数在区间上有零点，再讨论时，函数在区间无零点，进而进一步转化为，当时则有两不等正实根和，且函数在减区间上存在零点问题，再根据导数研究函数的零点即可. 【小问1详解】 解：函数定义域为，． 若，则，函数为减函数，无最小值． 若，由得． 所以，，，的变化情况如下表： － 0 ＋ 极小值 所以，的最小值即极小值为． 所以，，即．设，则， 所以，为上的增函数， 又因为． 所以，． 【小问2详解】 解：由，得， 即，将代入， 有：，得． 令，，， 所以，将问题转化为函数在区间上有零点． 所以，．其中． 因为函数的对称轴方程为． 所以，当，则恒成立，得在区间为减函数， 又， 所以，函数在区间无零点． 当，则有两不等正实根和， 设，有，且． 所以，，，的变化如表： ＋ 0 － 极大值 又，得． 下面证明函数在减区间上存在零点． 考虑到中含参数a， 取．则， 当时，，则． 令，则， 令，当时，有， 所以，函数在时为减函数，由，知恒成立． 所以，为上的减函数． 所以． 又，于是， 所以，函数在减区间上存在零点． 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意，利用换元方法，将问题转化为证明函数在区间上有零点，进而先排除当函数在区间无零点，进一步将问题转化为函数在减区间上存在零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $