陕西省西安市第八十三中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

西安市第八十三中学 2024—2025学年度第二学期高二年级第一次月考数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 函数的极大值点是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 设函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如55，696，3773等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A. 36个 B. 56个 C. 64个 D. 84个 4. 已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 当时，设函数存在导数，且满足，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 6. 已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对部分分，有错选的得0分） 9. 已知函数，则（     ） A. 为奇函数 B. 的单调递增区间为 C. 的极小值为3 D. 若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 的零点个数为4 B. 的极值点个数为3 C. 若，则 D. 轴为曲线的切线 三、填空题（每小题5分，共20分） 12. 函数的单调递减区间为__________． 13. 在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为______. 14. 已知函数，则的最小值是_____________． 四、解答题（本大题共5小题，共72分） 15. 已知函数在处取得极大值为9. （1）求的值; （2）求函数在区间上的最大值. 16. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0， . （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和. 17. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式． （Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 18. 在四棱锥中，点是棱上一点，，，，. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 19. 已知函数，其中． （1）若函数的最小值为，求a的值； （2）若存在，且，使得，求a的取值范围． 西安市第八十三中学 2024—2025学年度第二学期高二年级第一次月考数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对部分分，有错选的得0分） 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题（每小题5分，共20分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】18 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共72分） 【15题答案】 【答案】（1） （2）9． 【16题答案】 【答案】（Ⅰ）. .（Ⅱ）. 【17题答案】 【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元． 【18题答案】 【答案】（1） 取的中点，连接，，. 因为，，，所以， 所以，. 又，所以平面，从而. 因为，，所以平面. （2） 【19题答案】 【答案】（1）1 （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $