精品解析：江苏省泰州市靖江市滨江学校、兴化市明升实验2024-2025学年八年级下学期第一次学业水平调研测试数学试卷

2024-2025学年度第二学期学业水平调研测试八年级数学 (考试时间：120分钟 满分：150分) （请注意：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效） 一、选择题（每题3分） 1. 如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据分式的基本性质对分式变形，下列等式一定正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式： 中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在中，的平分线交于点E，过点C作，垂足为点F，若，，则的长为（　　） A. 16 B. 14 C. 13 D. 8 5. 如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，点E、F分别是上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形的面积为（　　） A. 17 B. 19 C. 18.5 D. 23 二、填空题（每空3分） 7. 在中，若，则_________°． 8. 若分式有意义，则的取值范围是______． 9. 分式 与最简公分母是______________． 10. 用反证法证明：“已知：在中，，求证：．”则第一步应先假设______． 11. 关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是_____． 12. 已知，则________． 13. 已知，且，则的值为___________． 14. 在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为_________． 15. 如图，在矩形中，，，连接，把线段绕点逆时针方向旋转得线段．在边上取点，使，连接交延长线于点，则线段长为__________． 16. 如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为_____． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简：，然后从1，，2025中选择一个合适的数代入求值． 19. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，O是的中点，． （1）请你从以下条件①；②；③中，选择一个条件______（填序号），使得四边形为菱形，并说明理由； （2）请用尺规作图方法作一个矩形，使为矩形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 【阅读材料】 老师的问题： 如图，在中，点E在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的作法： （1）连接，相交于点O； （2）连接并延长，交于点F； （3）连接．四边形即为所求． 【解答问题】请根据材料中的信息，对小明的作法进行证明． 21. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 22. 已知图1，图2均为的正方形网格，且A，B，C均为格点．备注：只需分别画出一个符合要求的图形． 图1 图2 （1）在图1中确定格点D，画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形为轴对称图形，但不是中心对称图形； （2）在图2中确定格点D，画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形为中心对称图形，但不是轴对称图形． 23. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A（0，8），C（6，0）．动点P从点B出发，以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向匀速运动，设运动时间为t秒． （1）当t=　 　s时，以OB、OP为邻边的平行四边形是菱形； （2）当点P在OB的垂直平分线上时，求t的值； （3）将△OBP沿直线OP翻折，使点B对应点D恰好落在x轴上，求t的值． 25. 我们把形如（m，n不为零） ，且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”．例如 为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 ． ∴ 应用上面结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则 ， ． （2）若十字分式方程的两个解分别为求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 26. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形中，点O为对角线的中点，连接．点E在边上，且，线段的延长线交于点F． 猜想证明： （1）“笃学”小组发现与的数量关系是：______； 操作探究： （2）“勤思”小组将图1中的绕B点顺时针旋转（设点O，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； ②若，当线段所在直线与所在直线垂直时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期学业水平调研测试八年级数学 (考试时间：120分钟 满分：150分) （请注意：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效） 一、选择题（每题3分） 1. 如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 2. 根据分式的基本性质对分式变形，下列等式一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质分别计算后判断即可． 【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误； B． ，故原选项错误； C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确； D．，故原选项错误； 故选：C． 3. 下列各式： 中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的概念，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．利用分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进行解答即可． 【详解】解：在中， 是分式，共3个， 故选：C． 4. 如图，在中，的平分线交于点E，过点C作，垂足为点F，若，，则的长为（　　） A. 16 B. 14 C. 13 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的定义等等，先由平行四边形的性质得到，进而由平行线的性质和角平分线的定义得到，即可证明，由三线合一定理得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得到，进而得到，三角形内和定理，求出，再利用三角形内角和求出，即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 6. 如图，中，点E、F分别是上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形的面积为（　　） A. 17 B. 19 C. 18.5 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，利用平行四边形的性质可得，进而求得答案． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ∴ 设，，，则，，， ∴， ， 即阴影部分四边形的面积为23； 故选：D． 二、填空题（每空3分） 7. 在中，若，则_________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的基本性质可知，平行四边形的邻角互补，由已知可得，且与是邻角，故可得的度数，利用即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的邻角互为补角，对角相等是解答本题的关键． 8. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义条件，熟练掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 若分式有意义，则的取值范围是：， 故答案：． 9. 分式 与的最简公分母是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母即可求出答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确地对分母分解因式． 10. 用反证法证明：“已知：在中，，求证：．”则第一步应先假设______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键．根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法；据此即可求解． 【详解】解：假设结论：不成立， 假设； 故答案：． 11. 关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是_____． 【答案】a＜1且a≠0． 【解析】 【分析】先解关于x的分式方程，求得x=a﹣1，然后再依据“解是负数”建立不等式，解不等式即可求得答案． 【详解】解方程，得x=a-1， 又因为方程的解为负数， 所以a﹣1＜0，即a＜1， 又x+1≠0， 即a-1+1≠0， 所以a≠0， 所以a的取值范围是a＜1且a≠0． 故答案为a＜1且a≠0． 【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤以及分式方程解为负数时要满足的条件是解题的关键． 12. 已知，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】先已知等式整理成m2+1=4m，将要求解的式子整理成m+=，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m2-4m+1=0， ∴m2+1=4m， ∴m+===4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入法． 13. 已知，且，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据可得，即，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即． ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到是解答本题的关键． 14. 在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为_________． 【答案】55°或35°． 【解析】 【详解】试题分析：①若E在AD上，如图，∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，∴∠ADB=90°﹣20°=70°，∵AD=BD，∴∠DAB=∠ABD=55°； ②若E在AD的延长线上，如图，∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，∴∠EDB=90°﹣20°=70°，∵AD=BD，∴∠DAB=∠ABD=35°．故答案为55°或35°． 考点：1．平行四边形的性质；2．分类讨论． 15. 如图，在矩形中，，，连接，把线段绕点逆时针方向旋转得线段．在边上取点，使，连接交延长线于点，则线段长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，根据旋转的性质可知：，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，，从而可求，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可得． 【详解】解：如下图所示，过点作的延长线于点， 四边形是矩形， ，， ， ， 根据旋转的性质可知：，， ，， ， 和中， ， ，， ， ，，， 在和中， ， 又， ， ． 故答案为： ． 16. 如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．连接，，在的延长线上截取，连接，，，则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接，， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵，， ∴． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）（2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查分式的化简和解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤． （1）根据分式的混合运算法则进行化简即可； （2）根据解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母，得：， 解得：， 当时，， 是增根，原方程无解． 18. 先化简：，然后从1，，2025中选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算及求值，熟练掌握异分母分式的加减法运算是解题的关键．先把括号内的式子通分，再把除法化为乘法，从而把原式化简，从数值中选取一个合适的数代入即可． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 19. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，O是的中点，． （1）请你从以下条件①；②；③中，选择一个条件______（填序号），使得四边形为菱形，并说明理由； （2）请用尺规作图的方法作一个矩形，使为矩形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）添加①或②；理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，矩形的判定，正确的识别图形是解题的关键． （1）先证明，可得，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐一证明即可得到结论； （2）以点B为圆心为半径作弧，再以点C为圆心为半径作弧，交前弧于点E，连接，则四边形是平行四边形，再根据得出四边形是矩形即可； 【小问1详解】 解：添加①或②；理由如下： ∵是的中点，． ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ①添加：， ∴四边形是菱形， ②添加：， ∴四边形是菱形， ③添加：， 而，， ∴， ∴四边形是矩形．不是菱形． 【小问2详解】 解：如下图，矩形即为所求． 20. 【阅读材料】 老师的问题： 如图，在中，点E在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的作法： （1）连接，相交于点O； （2）连接并延长，交于点F； （3）连接．四边形即为所求． 【解答问题】请根据材料中的信息，对小明的作法进行证明． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质可得，，得，进而证明，得到，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 21. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】这款电动汽车平均每公里充电费为0.2元． 【解析】 【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元． 根据题意，得． 解，得． 经检验，是原方程的根． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 22. 已知图1，图2均为的正方形网格，且A，B，C均为格点．备注：只需分别画出一个符合要求的图形． 图1 图2 （1）在图1中确定格点D，画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形为轴对称图形，但不是中心对称图形； （2）在图2中确定格点D，画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形为中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查画轴对称图形，画中心对称图形．熟练掌握轴对称图形，中心对称图形是解题的关键． （1）根据轴对称图形，中心对称图形的定义作图即可； （2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义作图即可． 【小问1详解】 解：如图1，四边形是轴对称图形，不是中心对称图形，格点D即为所求； 【小问2详解】 解：如图2，四边形是平行四边形，四边形为中心对称图形，但不是轴对称图形，即格点D即为所求； 23. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质和勾股定理： （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， 四边形是菱形， ， ， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A（0，8），C（6，0）．动点P从点B出发，以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向匀速运动，设运动时间为t秒． （1）当t=　 　s时，以OB、OP为邻边的平行四边形是菱形； （2）当点P在OB的垂直平分线上时，求t的值； （3）将△OBP沿直线OP翻折，使点B的对应点D恰好落在x轴上，求t的值． 【答案】（1）16；（2）；（3）t的值为5s或20s． 【解析】 【详解】试题分析：（1）先有菱形的性质得出PC=BC=8，进而得出BP=16即可得出结论； （2）由线段的垂直平分线的性质得出PO=PB=t，再利用勾股定理即可求出结论； （3）分点P在x轴坐标轴和负半轴上，利用勾股定理即可建立方程求解． 试题解析：（1）如图1， ∵A（0，8），∴OA=8，C（6，0），∴OC=6， ∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=8， ∵以OB、OP为邻边的平行四边形是菱形，∴CP=BC=OA=8， ∴BP=BC+CP=16，t=16÷1=16s， 故答案为16； （2）如图2，∵点P是OB的垂直平分线上，∴PO=PB=t，∴PC=BC﹣PB=8﹣t， 在Rt△POC中，OC=6，根据勾股定理得，OC2+PC2=OP2，∴62+（8﹣t）2=t2， ∴t=； （3）当点P在x轴坐标轴上时，如图3， 由折叠知，△OBP≌△ODP，∴PD=PB=t，OD=OB==10，∴CD=OD﹣OC=4， 在Rt△PCD中，CD=4，PC=BC﹣PB=8﹣t，PD=t， 根据勾股定理得，PC2+CD2=PD2，∴42+（8﹣t）2=t2，∴t=5， 当点P在x轴负半轴上时，如图4， 由折叠知，PB=PD=t，OD=OB=10，∴CD=OD+OC=16，PC=t﹣8， 在Rt△PCD中，根据勾股定理得，PC2+CD2=PD2，∴（t﹣8）2+162=t2，∴t=20， 即：满足条件的t的值为5s或20s． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，解答的关键是要掌握矩形的相关性质，勾股定理的应用以及分类讨论思想的渗透. 25. 我们把形如（m，n不为零） ，且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”．例如 为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 ． ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则 ， ． （2）若十字分式方程的两个解分别为求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】（1），； （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义即可得； （2）先根据十字分式方程的定义求出的值，再化简代入计算即可得； （3）先根据十字分式方程的定义求出，，从而可得，，再代入计算即可得． 【小问1详解】 解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ． 【小问3详解】 解：方程是十字分式方程，可化， 当时，， 关于的十字分式方程的两个解分别为， ，， ，， ． 26. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形中，点O为对角线的中点，连接．点E在边上，且，线段的延长线交于点F． 猜想证明： （1）“笃学”小组发现与的数量关系是：______； 操作探究： （2）“勤思”小组将图1中的绕B点顺时针旋转（设点O，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； ②若，当线段所在直线与所在直线垂直时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①菱形，理由见解析；②41或137 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质得和，结合直角三角形的性质可证明，有．结合即可； （2） ①由旋转得，结合矩形的性质可证，有．由 (1) 得 ，则，即可判定四边形是菱形； ②在中求得，结合中点可得，分两种情况：当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转．将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N，作于点P，可得，可求得，利用勾股定理即可；将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H，作于点P，则，得，可求得，利用勾股定理即可． 【详解】解：（1），理由如下：如图， ∵四边形 是矩形； ∴， ∴． ∵点O为的中点， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2） ①四边形为菱形， 理由如下： ∵旋转得到， ∴，． ∵四边形为矩形； ∴． ∴， ∴， ； ∴． ， ， ∴． ∴． 由（1）得 ， ∴， ∴四边形是菱形． ②在中， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， 当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转， 如图，将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N，作于点P， 则， ∴， ， ， ， ， ， ， ； 如图，将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H，作于点P， 则， ， 同上， ， ∴， ∴， 故或41． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性、菱形的判定、旋转的性质、勾股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉旋转的性质和解直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$