广东省深圳实验学校初中部2024-2025学年下学期九年级3月测试数学试卷（一模）

2024-2025 学年度第二学期初三年级 3 月测试 数学试卷 第 1 页，共 6 页 2024-2025学年度第二学期初三年级 3月测试 数学试卷 考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分 一．选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24分） 1．将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 2．下列各数中，最小的数是 ( ) A． 5 B． 3 C．0 D．  3．下列运算正确的是 ( ) A． 2 2( 2) 4m m   B． 5 3 2m m m  C． 2 3 6 3( )m n m n   D． 3 4 22 (2 ) 4 2m m m m m     4．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若 20  ，则  的度数 为 ( ) A． 45 B． 40 C． 25 D． 20 5．在一个不透明的箱子里装有m 个球，其中红球 4 个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后， 任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在 0.5，那么可以估算出m 的 值为 ( ) A．8 B．12 C．15 D．20 6．如图， ABC 中， AB AC ，以点 B为圆心，适当长为半径画弧，交 BC于点M ，交 AB于点 N ．分 别以点M ， N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径画弧，两弧在 ABC 的内部相交于点 P．射线 BP与 AC 相 交于点D．若 40A  ，则 BDC 的度数是 ( ) A． 75 B．80 C．105 D．110 第 4 题图 第 6 题图 2024-2025 学年度第二学期初三年级 3 月测试 数学试卷 第 2 页，共 6 页 7．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送 到 800 里外的城市，需要的时间比规定时间多 1 天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少 3 天．已知 快马的速度是慢马的 2 倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为 x里 /天，则可列方程为 ( ) A． 800 800 2 1 3x x     B． 800 800 1 3 2x x    C． 800 800 2 1 3x x     D． 800 800 1 3 2x x    8．如图，AB是半圆O的直径，点C ，D在半圆上， CD DB ，连接OC ，CA，OD，过点 B作 EB AB ， 交OD的延长线于点 E．设 OAC 的面积为 1S ， OBE 的面积为 2S ，若 1 2 2 3 S S  ，则 tan A 的值为 ( ) A． 2 B． 2 2 3 C． 7 5 D． 3 2 二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15分） 9．已知实数 a， b，满足 6a b  ， 7ab  ，则 2 2a b ab 的值为 ． 10．已知m是方程 2 2 0x x   的一个根，则代数式 2 2025m m  的值为 ． 11．如图，矩形 ABCD中， 4AB  ， 4 2AD  ．以 A为圆心， AD为半径作弧交 BC 于点 E，则图中阴 影部分的面积为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ ABC的斜边 AB在 x轴上， 90ACB  ， 30CAB  ，点 A的坐 标为 (1,0)，将△ ABC绕着点 B旋转 60得到△DBE，若反比例函数 k y x  的图象经过点 D和点 E，则 k的 值为 ． 13．在等腰△ ABC 中， AB AC ， D 是 BC 上一点，过点 D 作 DE AD 交 AC 延长线于点 E ，若 24 2 tan , 7 5 BD BAC AB    ，则 AC CE 的值为 ． 第 13题图第 12题图第 11 题图 第 8 题图 2024-2025 学年度第二学期初三年级 3 月测试 数学试卷 第 3 页，共 6 页 三．解答题（本题共 7 小题，其中第 14 题 5 分，第 15 题 7 分，第 16 题 8 分，第 17 题 8 分，第 18 题 9 分，第 19 题 12分，第 20题 12 分，共 61 分） 14．（5 分）计算： 2025 0 1 1 ( 1) (3.14 ) ( ) | 4 | 2cos30 2          ． 15．（7 分）先化简，再求值： 2 1 ( 2) (1 ) 1 1 a a a a      ，其中 1a  ，2，3 中选取一个合适的数代入求值． 16．（8 分）在实验教育集团“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中， A、 B两所学校各有 10 名学生进入决赛，现对他们的成绩（满分 100分）进行整理分析，得到如图表信息： 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m  ， n  ； （2） A、B两所学校决赛成绩的方差分别记为 21S 、 2 2S ，请判断 2 2 2 1 ______S S （填“ ”“ ”或“”）； （3）本次比赛的前 4 名分别来自 A、B两所学校，该区决定从这 4 位学生 (A校 3 位，B校 1 位）中随机 选取 2 位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率． 平均数 众数 中位数 A学校 85.5 80 n B学校 85.5 m 86 2024-2025 学年度第二学期初三年级 3 月测试 数学试卷 第 4 页，共 6 页 17．（8 分）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测 角仪，如图 1 所示． （1）如图 2，在 P点观察所测物体最高点C ，当量角器零刻度线上 A，B两点均在视线 PC上时，测得视 线与铅垂线所夹的锐角为 ，设仰角为  ，请直接用含 的代数式表示  ． （2）如图 3，为了测量广场上空气球 A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点 B，C 分别测得 气球 A的仰角 ABD 为 37， ACD 为 45，地面上点 B，C ， D在同一水平直线上， 20BC m ，求气 球 A离地面的高度 AD．（参考数据： sin 37 0.60  ， cos37 0.80  ， tan 37 0.75)  18．（9 分）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进 价是 40 元，并规定每盒的利润率不低于 50%，且每盒售价不得高于 80 元．根据以往销售经验发现，当每 盒售价定为 50 元时，日销售量为 500 盒，每盒售价每提高 1 元，日销售量减少 10 盒．设每盒售价为 x元， 日销售量为 p盒． （1）当 60x  时， p  ； （2）当每盒售价定为多少元时，日销售额 y（元 )最大？最大日销售额是多少元？ 2024-2025 学年度第二学期初三年级 3 月测试 数学试卷 第 5 页，共 6 页 19．（12 分）【问题背景】 人们从城市中的一点到另一点时，通常只能沿着城市中的街道行走．因此，人们发现，用 19 世纪数学家 闵可夫斯基提出的曼哈顿距离来计算城市内街道上两点之间的距离更符合生活现实．曼哈顿距离（简称为 “曼距” )的定义如下：坐标平面内的两点 1(P x ， 1)y ， 2(Q x ， 2 )y 之间的距离为 2 1 2 1| | | |PQd x x y y    ．例 如，在平面直角坐标系中，点 ( 3, 2)M   与点 (2,2)N 之间的“曼距” | 2 3 | | 2 2 | 5 4 9MNd        ． 【初步理解】 （1）在一座理想的棋盘式布局的城市内，“110”的调度员收到信息，有一个突发事故发生在 ( 1,4)X   处．而 在该地区附近有两辆警车， A车位于 (2,1)处， B车位于 ( 1, 1)  处，那么以“曼距”大小衡量，按“就近 优先出警”的原则，应该派 车（填 A或 )B 前去处理事故． （2）如图 1，正方形 ABCD的中心位于坐标原点O，四个顶点均位于坐标轴上，且 4OA  ．则下列说法： ①若点 P是正方形 ABCD一边上的一点，则 4opd  ；②若点 P是正方形 ABCD内的一点，则 4opd  ； ③若点 P是正方形 ABCD外的一点，则 4opd  ；④若点 P是正方形 ABCD内的一点，则 8DP PCd d  ． 其中不正确的是 （填序号）． 【探究应用】 （3）如图 2，某消防支队位于坐标原点O， x轴是一条城市主干道，“月牙湖”位于城市边陲，其西、南 岸可近似看作一段圆弧．已知圆弧形湖岸经过 (11,8)A ， (13,2)B ， (17,2)C 三点．今该消防支队要在湖岸边， 建一个训练基地（记为点 )D ，为使该消防支队官兵，平时前往基地参训时的“曼距”最短，需探究：点D 的位置应选在何处？请作答以下问题： ①圆弧所在的圆的圆心 P的坐标为 ，该圆的半径大小为 ； ②请利用网格格点，在图 2 中，画出使 ODd 最小时点D的位置（不要求证明）； ③ ODd 的最小值为 ． 2024-2025 学年度第二学期初三年级 3 月测试 数学试卷 第 6 页，共 6 页 20．（12 分）【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题： 将一大一小两个等腰直角三角板如图 1 放置， 90BAC AFD    ，点 F 在△ ABC内，连接 BF 并延长到 点 E，使 EF BF ，连接 BD，CD， DE．探究线段DE与CD的关系． 【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段DE借助平行线进行平移，如图 2，过点 B作 BG 平行DE交 DF的延长线于点G ，这样可以将证明DE和CD的关系转化为 BG 和CD的关系； “善思小组”的解题思路：结合 F 为 BE 的中点构造三角形的中位线，如图 3，过点 B作 BH 平行DF交 ED 延长线于点H ，从而借助三角形中位线性质，将DE和CD的关系转化为 DH 和CD的关系． （1）请你写出线段DE与CD的数量关系__________，位置关系___________， 并证明线段DE与CD的数量关系（写出一种方法即可）； 【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题： （2）如图 4，在△ ABC中， 90ACB  ， 30A  ，D为 AB上一点，将CD绕点C 逆时针旋转 60得 到CE ，连接 BE ，DE，O为DE中点，连接 BO并延长交CD的延长线于点 F ，若 2EBO BCE   ，探 究OF ，OB， BE 之间的数量关系________________，并说明理由； 【能力提升】 （3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE ，若 F 为平面内一点， / /AD CE， 2CD  ， 3AC  ，其他条件不变，请直接写出 AD的值（参考图 5、图 6）． 图 5 图 6图 4 图 3图 2图 1