精品解析：广东省东莞实验中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

东莞实验中学2024-2025学年第二学期第一次段考 高二数学 2025.3.24 命题人：罗晓莹 审题人：薛新建 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. （ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数求导公式及复合函数的求导法则即可求解. 【详解】. 故选：C. 2. 从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（ ） A. 60种 B. 50种 C. 40种 D. 30种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，按选出的男女人数不同，分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①选出的3人为2男1女，有种选法； ②选出的3人为1男2女，有种选法； 所以一共有种选法. 故选：D. 3. 日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用单位：元为那么净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是（ ）元/t. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出函数的导函数，然后令即可求解． 【详解】因为， 所以， 则， 故选：． 4. 已知函数，则在定义域上（ ） A. 有极小值 B. 有极大值 C. 有最大值 D. 无最小值 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，得出函数的单调性，结合极值与最值的概念与求法，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，解得， 当时，，函数在单调递减； 当时，，函数在单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 也是函数的最小值，所以A正确，D错误； 同时，函数无极大值，也无最大值，所以B、C错误. 故选：A. 5. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数在上单调递增，可得，从而可求出实数的取值范围 【详解】由，得， 因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立，即恒成立， 因为，所以， 所以， 所以实数的取值范围为， 故选：A 6. 在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合. A. 18 B. 15 C. 12 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件，通过分类求解即可. 【详解】若发出2种光，则有种；若发出3种光，则有种， 则共有种. 故选：C 7. 下列图象中有一个是函数的导函数的图象，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的导函数发现为开口向上的抛物线，由得到的图象必为第3个图，由图象知解得a的值，即可求出 【详解】解： ∴导函数的图象开口向上. 又的图象必为第3图. 由图象特征知，且对称轴 故 故选：D. 8. 已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求定义域，令得有两个根，构造，求导得到其单调性，得到最值，结合函数图象特征得到实数a的取值范围. 【详解】的定义域为， 令得，即有两个根， 令，则， 令，显然在单调递减， 又，故当时，，当时，， 故时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为，当时，恒成立， 当趋向于0时，趋向于， 故要想有两个根，需满足 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 9. 现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中任选1个球，有15种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分步与分类计数原理计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有74种不同的选法，所以选项C错误. 【详解】A. 从中任选1个球，有种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出1个球，有种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出2个球，有种不同的选法，所以该选项正确. 故选：ABD 10. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则关于的论述错误的是（ ） A. 在上为减函数 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数 D. 在处取极大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断的符号，进而确定的区间单调性和极值，即可得答案. 【详解】由图知：在区间上，即递增； 在区间上，即递减； 所以、处取极大值，处取极小值， 综上，A、B、D错，C对. 故选：ABD 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A. 在上是增函数 B. 在上是增函数 C. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 D. 若有两个零点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数求函数的单调性，可判断选项A,B；将不等式进行等价转化，参变分离即可判断选项C；根据有两个零点，构造函数应用极值点偏移可判断选项D. 【详解】对于A，， 又当时，，当时，； 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误； 对于B，当时，，令，则，， 因为，所以在上单调递增； 因为在上单调递增，根据复合函数的单调性可知： 在上单调递增，故选项B正确； 对于C，当时，，又因为为正实数，所以， 因为，所以当时，恒成立， 所以函数在上单调递增，则由得：， 即，令，则， 当时，；当时，； 故函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，则正实数的最小值为，故选项C正确； 对于D，函数有两个根，等价于函数有两个零点， 因为，则在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有零点，则，解得， 设，令， 因为， 当时，，函数单调递减； 所以函数在上单调递减，所以， 即当时，，由题意， 因为，所以，且在上单调递增， 所以，即，故选项D错误， 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 若，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用组合数公式，列式求解作答. 【详解】依题意，，即，因，解得， 所以. 故答案为：5 13. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出f（x）在的导数值，根据导数的几何意义即可求切线方程. 【详解】， 则曲线在处的切线斜率， ∴切线方程为，即． 故答案为：． 14. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形的圆心角__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为，高为 ，那么，再根据，代入得到 ，利用导数求得函数的最大值，以及和，而圆心角. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则， 因此， 则，令 ，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时容积最大， 把代入，得 由，得， 即圆心角为时容积最大. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1）单调递增区间为；递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性求最值. 【小问1详解】 易知函数的定义域为， 令，得或， 令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴函数的单调递增区间为；递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以. 16. 如图，在三棱台中，平面ABC，，，，，M为的中点． （1）证明：平面AMC； （2）求平面和平面AMC夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接，由题意知平面， 所以，又，， 所以，因为M是的中点，所以． 因为平面ABC，所以， 又，，所以平面，所以． 因为，所以平面AMC． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，可证，由平面ABC，得，利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，由（1）知平面AMC的一个法向量为，利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，以直线AB，AC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则，取， 由（1）知平面AMC的一个法向量为， 因为， 所以平面和平面AMC夹角的余弦值为． 17. 已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项的性质得到，即可求出，从而求出通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 因为，，成等比数列，又， 所以，即，解得或， 当时数列的通项公式； 当时数列的通项公式； 所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形是面积为8的正方形. （1）将椭圆的标准方程； （2）过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点. 【答案】（1）； （2）证明： 设直线斜率存在，设其方程为， 由， 由题意得，设， 所以， 因为， 所以 ， 整理得， 所以直线方程为， 所以直线恒过定点， 若直线斜率不存在，设其方程为，， 由题意得， 此时直线，显然过点， 综上，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据四边形是面积为8的正方形即可求出的值，得到椭圆的标准方程. （2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，结合根与系数的关系式化简，即可求得直线过定点. 【小问1详解】 因为四边形是面积为8的正方形，， 所以， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知，，，. （1）讨论的单调性； （2）若，曲线的任意一条切线，都存在曲线的某条切线与它垂直，求实数b的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）分析和时函数的单调性可得结果. （2）根据导数的几何意义表示切线斜率，结合两函数值域之间的包含关系可求b的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，函数定义域为. ∵，∴. 若，则，在上单调递减. 若，令得， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减. 综上得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，， ∵，∴， ∴曲线上任意一点处的切线斜率为，曲线上的任意一点处的切线斜率为. 由题意得，对任意的，总存在，使得等式成立， 将等式变形为，则函数的值域是函数值域的子集. 由得，，故函数的值域为， ∴. ∵， ∴，解得或， ∴实数b的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞实验中学2024-2025学年第二学期第一次段考 高二数学 2025.3.24 命题人：罗晓莹 审题人：薛新建 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. （ ） A. B. C. D. 2 2. 从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（ ） A. 60种 B. 50种 C. 40种 D. 30种 3. 日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用单位：元为那么净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是（ ）元/t. A. B. C. D. 4. 已知函数，则在定义域上（ ） A. 有极小值 B. 有极大值 C. 有最大值 D. 无最小值 5. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合. A. 18 B. 15 C. 12 D. 9 7. 下列图象中有一个是函数的导函数的图象，则（ ） A. B. 或 C. D. 8. 已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 9. 现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中任选1个球，有15种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 10. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则关于的论述错误的是（ ） A. 在上为减函数 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数 D. 在处取极大值 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A. 在上是增函数 B. 在上是增函数 C. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 D. 若有两个零点，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 若，则_________． 13. 曲线在点处的切线方程为______． 14. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形的圆心角__________． 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 16. 如图，在三棱台中，平面ABC，，，，，M为的中点． （1）证明：平面AMC； （2）求平面和平面AMC夹角的余弦值． 17. 已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列满足，求数列的前n项和. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形是面积为8的正方形. （1）将椭圆的标准方程； （2）过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点. 19. 已知，，，. （1）讨论的单调性； （2）若，曲线的任意一条切线，都存在曲线的某条切线与它垂直，求实数b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $