重难点08 二次函数与四边形存在性三种常考模型及其综合题综合训练（3大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

重难点08 二次函数与四边形存在性三种常考模型及其综合题综合训练 二次函数与四边形存在性问题考查方式 1.平行四边形存在性：给定二次函数图象，让考生探究是否存在点构成平行四边形。常需先明确定点和动点，分“三定一动”“两定两动”等情况讨论。利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质，通过设点坐标，根据中点坐标公式或距离公式列方程求解。 2.特殊四边形存在性：如菱形、矩形、正方形存在性问题。菱形存在性常结合菱形四边相等的性质求解；矩形存在性相当于直角三角形存在性问题，常构造一线三直角模型，利用勾股定理求坐标；正方形存在性则综合菱形和矩形的特征来求解。 二次函数与四边形存在性问题题型与分值预测 在广东数学中考中，这类问题通常以解答题的形式出现，多作为压轴题或倒数第二题。分值一般在8 - 12分左右。因为此类问题综合性强，涉及二次函数、四边形等多方面知识，能很好地考查学生的综合运用能力、逻辑推理能力和分类讨论思想，具有较高的区分度，所以在中考中占据重要地位，是拉开学生分数差距的关键题型之一。 考向一：二次函数中的平行四边形的存在性问题 顶点确定法 1.确定平行四边形中动顶点的位置,常见方法如下(1)三定顶点、一动顶点: 如图①,分别过 A,B,C三个定点作对边的平行线,所作三条直线两两的交点即为所求动点; (2)两定顶点、两动顶点: ①如图②,若 AB为平行四边形的边,平移 AB,确定另外两点位置: ②)如图③,若 AB 为平行四边形的对角线,取 AB 中点,作过中点的直线确定另外两点的位置. 2.根据平移法或坐标公式法求点坐标,具体如下:(1)平移法: 如图④,由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到,的规律(点C到点, 同理); (2)平行四边形顶点坐标公式法 设平行四边形 ABCD 的顶点坐标分别为则 1．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·广东珠海·三模）如图，二次函数图象的顶点为坐标原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点，一次函数图象与轴相交于点． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)如果点在线段上（不与重合），与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，，求点的坐标； (3)当点在直线上的一个动点时，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，以点、为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由． 考向二：二次函数中的矩形的存在性问题 顶点确定法 确定矩形的顶点位置 A,B为两个定点,点C为直线l上的一动点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点作矩形 (1)若AB为矩形的边,如图①,分别过点A,B作⊥AB,,⊥AB 确定点 C,再利用矩形对边平行的性质确定点 D (2)若 AB为矩形的对角线,如图②,以 AB 为直径构造辅助圆,圆与直线l的交点即为所求的点C,过点A,B分别作 BC,AC 的平行线确定点 D. 1．（2024·广东佛山·一模）已知抛物线：与抛物线关于原点对称，和的顶点分别是E． (1)若，直接写出抛物线的解析式： ； (2)如图1，若，点P是x轴上一个动点，过P作x轴的垂线交于A点，交于B点，求的最小长度（用含k的式子表示）． (3)如图2，若两条抛物线和相交于G，H，当四边形是矩形时，求k的值． 2．（2024·广东韶关·二模）如图，抛物线和直线交于，两点，过点作轴于点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求的值； ②当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； (3)直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 考向三：二次函数中的菱形的存在性问题 确定菱形的顶点位置 A,B为定点,C为直线l上一动点,D为平面内一点,以A.B.C,D为顶点作菱形 (1)若AB为菱形的边,如图①,以点B为圆心,AB长为半径作⊙B交直线l于点C,再分别过点 A,C作 BC,AB 的平行线交于点 D;如图②,以点A为圆心,AB 长为半径作⊙A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线交于点D; (2)若 AB 为菱形的对角线,如图③,作 AB 的垂直平分线交直线l于点 C,交 AB 于点 0.再以点0为圆心,以0C长为半径作0,与垂直平分线另一端交于点D. 1．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 2．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM． ①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形； ②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标． 3．（2024·广东中山·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点A、B（点A在点B的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴、线段交于点，过点F作轴于点N，交于点． ①当时，求点F的坐标； ②试判断四边形的形状，并证明． 一、解答题 1．（2023·广东东莞·模拟预测）已知：平面坐标系内点和点，点到点的距离始终等于点到轴的距离． (1)请你求出点满足的函数关系式； (2)如果（）中求出的函数图象记为，是沿着水平方向平移得到的，若点在上，点是平移后点的对应点，点是轴上的点．是否存在这样的点，使得以、、、为顶点的四边形是有一个内角为且为菱形？若存在，请你求出点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·广东江门·二模）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于点、点，直线与抛物线相交于点、点，已知点坐标是，点是抛物线上一动点．      (1)、的值； (2)当点位于直线上方何处时，面积最大？最大面积是多少？ (3)点是直线上一动点，是否存在点、点使得四边形恰好为平行四边形？若存在，求出此时点、点的坐标． 3．（2024·广东广州·一模）已知抛物线：的对称轴是直线，与轴交于A、两点（A在左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在线段上，且，求的值； (3)抛物线向右平移个单位（），平移后A、的对应点分别是、，点在轴的负半轴上，且以点、、为顶点的三角形与相似．点是平移后的抛物线上的一点，若四边形是平行四边形，求的值． 4．（2024·广东清远·模拟预测）如图1抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1连接，过点A作轴，垂足为点B，点E，F分别是线段上的动点，且不与线段的端点重合； ①在直线变化的过程中，若直线平分四边形的面积，且C到直线EF的距离最大，求此时直线的解析式； ②如图2，连接，点N是y轴上一点，点M是二次函数上一点，当四边形为矩形时，求出点E的坐标． 5．（2024·广东湛江·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点在直线下方的抛物线上运动（不含端点），连接，当四边形的面积最大时，求出面积的最大值和此时点的坐标． (3)连接是线段上的一个动点，过点作的平行线．在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024·广东惠州·一模）综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在第一象限抛物线上一点，连接、，若，求点的坐标； (3)若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2023·广东清远·三模）如图，抛物线L：经过点和，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 　 ； (3)点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 8．（2024·广东汕头·一模）综合与探究： 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D． (1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式； (2)当是以为斜边的直角三角形时，求出n的值； (3)直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点08 二次函数与四边形存在性三种常考模型及其综合题综合训练 二次函数与四边形存在性问题考查方式 1.平行四边形存在性：给定二次函数图象，让考生探究是否存在点构成平行四边形。常需先明确定点和动点，分“三定一动”“两定两动”等情况讨论。利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质，通过设点坐标，根据中点坐标公式或距离公式列方程求解。 2.特殊四边形存在性：如菱形、矩形、正方形存在性问题。菱形存在性常结合菱形四边相等的性质求解；矩形存在性相当于直角三角形存在性问题，常构造一线三直角模型，利用勾股定理求坐标；正方形存在性则综合菱形和矩形的特征来求解。 二次函数与四边形存在性问题题型与分值预测 在广东数学中考中，这类问题通常以解答题的形式出现，多作为压轴题或倒数第二题。分值一般在8 - 12分左右。因为此类问题综合性强，涉及二次函数、四边形等多方面知识，能很好地考查学生的综合运用能力、逻辑推理能力和分类讨论思想，具有较高的区分度，所以在中考中占据重要地位，是拉开学生分数差距的关键题型之一。 考向一：二次函数中的平行四边形的存在性问题 顶点确定法 1.确定平行四边形中动顶点的位置,常见方法如下(1)三定顶点、一动顶点: 如图①,分别过 A,B,C三个定点作对边的平行线,所作三条直线两两的交点即为所求动点; (2)两定顶点、两动顶点: ①如图②,若 AB为平行四边形的边,平移 AB,确定另外两点位置: ②)如图③,若 AB 为平行四边形的对角线,取 AB 中点,作过中点的直线确定另外两点的位置. 2.根据平移法或坐标公式法求点坐标,具体如下:(1)平移法: 如图④,由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到,的规律(点C到点, 同理); (2)平行四边形顶点坐标公式法 设平行四边形 ABCD 的顶点坐标分别为则 1．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图像与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． （1）分别将，代入抛物线解析式与直线的解析式，即可得解； （2）过点作轴，交直线于点，设点，则点，得到，，结合，当t＝2时，取最大值，求得； （3）分两种情况：当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解． 【详解】（1）解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ， 当时，取最大值， 此时； （3）在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 2．（2024·广东珠海·三模）如图，二次函数图象的顶点为坐标原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点，一次函数图象与轴相交于点． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)如果点在线段上（不与重合），与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，，求点的坐标； (3)当点在直线上的一个动点时，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，以点、为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)能成为平行四边形，理由见解析 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．平行四边形的性质以及一元二次方程的解法． （1）利用待定系数分别求出二次函数与一次函数的解析式； （2）由轴，，得到，则，设点的坐标为，那么点的坐标为，因此列方程，解方程得到，即可得到点坐标； （3）由，若，以点为顶点的四边形为平行四边形；分类讨论：①当点在点上方，②当点在下方，分别求解即可得到点坐标． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 二次函数的解析式为； 设一次函数的解析式为， 把分别代入得，， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：轴， ， ， ， ，即， 设点的坐标为，那么点的坐标为， ，， 又直线与轴交于点， 当时， 点的坐标为，， ， 解得（不合题意，舍去），， 点的坐标为； （3）解：以点为顶点的四边形能成为平行四边形． 理由如下： 若，则以点为顶点的四边形为平行四边形， ①当点在点上方，， 得（舍去），， （2）当点在下方，，得． 当，； 当，． 所以点的坐标为：或或． 考向二：二次函数中的矩形的存在性问题 顶点确定法 确定矩形的顶点位置 A,B为两个定点,点C为直线l上的一动点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点作矩形 (1)若AB为矩形的边,如图①,分别过点A,B作⊥AB,,⊥AB 确定点 C,再利用矩形对边平行的性质确定点 D (2)若 AB为矩形的对角线,如图②,以 AB 为直径构造辅助圆,圆与直线l的交点即为所求的点C,过点A,B分别作 BC,AC 的平行线确定点 D. 1．（2024·广东佛山·一模）已知抛物线：与抛物线关于原点对称，和的顶点分别是E． (1)若，直接写出抛物线的解析式： ； (2)如图1，若，点P是x轴上一个动点，过P作x轴的垂线交于A点，交于B点，求的最小长度（用含k的式子表示）． (3)如图2，若两条抛物线和相交于G，H，当四边形是矩形时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】其他问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将数字代入，化成顶点式，再根据对称得到顶点代入定点式即可得到答案； （2）根据（1）的原理得到解析式，设，， 表示出，根据二次函数的性质求解即可得到答案； （3）联立两条曲线，求出点的坐标得到点G和点H关于原点对称，结合抛物线对称得到四边形是平行四边形，结合当时四边形是矩形列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵：的顶点是， ∴的顶点为：， ∴的解析式为：， 故答案为：； （2）解：同理（1）可得， 的解析式为：， 设，， ∴， ∵， ∴当时，； （3）解：由得， ， ∴， ∴点G和点H关于原点对称， ∴， 同理可得， 和的顶点关于原点对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时， 四边形GHFE是矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本体考查二次函数的综合应用，解题的关键是根据对称求出另外一个抛物线的解析式，再结合特殊图形性质列等式． 2．（2024·广东韶关·二模）如图，抛物线和直线交于，两点，过点作轴于点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求的值； ②当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； (3)直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 【答案】(1) (2)①；②当时，矩形的面积最小，最小面积为； (3)的值为或或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）①作轴于点E，求出，，证明可求出； ②根据求出函数解析式，化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （3）先表示出点N，M，Q的坐标，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）把代入，得 ， ∴， 把，，代入，得 ， ∴， ∴； （2）①如图，作轴于点E， ∵，， ∴， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴ ， ∴当时，矩形的面积最小，最小面积为； （3）∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， 解得； 把代入，得 ， ∴， 解得或； ∵， ∴， 当Q在抛物线上时，点Q与点A重合， ∴， 解得． 综上可知，当的值为或或或时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质等知识，数形结合是解答本题的关键． 考向三：二次函数中的菱形的存在性问题 确定菱形的顶点位置 A,B为定点,C为直线l上一动点,D为平面内一点,以A.B.C,D为顶点作菱形 (1)若AB为菱形的边,如图①,以点B为圆心,AB长为半径作⊙B交直线l于点C,再分别过点 A,C作 BC,AB 的平行线交于点 D;如图②,以点A为圆心,AB 长为半径作⊙A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线交于点D; (2)若 AB 为菱形的对角线,如图③,作 AB 的垂直平分线交直线l于点 C,交 AB 于点 0.再以点0为圆心,以0C长为半径作0,与垂直平分线另一端交于点D. 1．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为、、或 【知识点】利用平移的性质求解、利用菱形的性质求线段长、一次函数与几何综合、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，当时，最大，此时最大，即可求解； （3）根据题意可设，得到，，，分三种情况讨论：①，②，③，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， 设抛物线解析式为， 抛物线过， ， ， 此抛物线解析式为； （2）过点作轴交于点，如下图所示， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，， 则， ，， 当时，最大，此时最大， ； （3）根据题意可设， ，， ，，， ①，即， ，， ，， ②，即， ， ，， ③，即， （不合题意，舍去）， 综上所述，满足条件的点坐标有、、或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，菱形的性质，平移的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 2．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM． ①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形； ②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或 (3)①见解析；②点P的坐标为或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得，，，点D的坐标为，分当、、为对角线，三种情况讨论，利用中点坐标公式求解即可； （3）①只要利用等边对等角证明，即可得到四边形为菱形； ②先求得直线解析式，设，则，求得，，分和，两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或． 在中， 令，得：， 解得：，， ∴，， 令得， ∴， 存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设点D的坐标为， 如图，分情况讨论： ①当为对角线时，，， 解得：，， ∴； ②当为对角线时，，， 解得：，， ∴； ③当为对角线时，，， 解得：，， ∴； 综上所述，平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或； （3）解：①证明：∵沿对折，P的对应为点N， ∴，，， ∵垂直于x轴在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ②设直线解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：， 设，则， ∴， ∵，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 要使和相似，共有两种可能： 1）当， ∴，即， 解得：，（不合，舍去）； ∴； 2）当， ∴， 即， 解得：，（不合，舍去）， ∴； 综上所述，点P的坐标为或； 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了折叠的性质，二次函数的图象及性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定，折叠的性质，数形结合思想是解题的关键． 3．（2024·广东中山·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点A、B（点A在点B的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴、线段交于点，过点F作轴于点N，交于点． ①当时，求点F的坐标； ②试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1) (2)①；②正方形，证明见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意，得，确定a，c的值即可求该抛物线的表达式； （2）①过点作轴于点，则轴，，根据，利用三角函数，建立等式构造方程解答即可． ②根据即，且，得到，列出等式计算即可． 本题考查了待定系数法，三角函数，比例性质，熟练掌握待定系数法，灵活应用三角函数是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）如图过点作轴于点，则轴，， ， ， ， 由， 解得 设点 ， ， ， 解得， ， ． ②四边形为矩形， 轴， ∴即，且， ， 即， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当，即时，， 时，矩形为正方形． 一、解答题 1．（2023·广东东莞·模拟预测）已知：平面坐标系内点和点，点到点的距离始终等于点到轴的距离． (1)请你求出点满足的函数关系式； (2)如果（）中求出的函数图象记为，是沿着水平方向平移得到的，若点在上，点是平移后点的对应点，点是轴上的点．是否存在这样的点，使得以、、、为顶点的四边形是有一个内角为且为菱形？若存在，请你求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，坐标为、，，． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（）由题意得，轴，轴，利用勾股定理得再计算即可； （）过作轴，由菱形性质得，由直角三角形中度角所对直角边是斜边的一半得，求出，代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）如图，，轴，轴．    在中， ， ∴， ∴， ∴点满足的函数关系式为； （2）如图：过作轴，    设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 根据对称性得或， 综上所述，坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，图象及性质和度角所对直角边是斜边的一半，菱形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用，画出函数图象，再分类讨论是解题的关键． 2．（2023·广东江门·二模）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于点、点，直线与抛物线相交于点、点，已知点坐标是，点是抛物线上一动点．      (1)、的值； (2)当点位于直线上方何处时，面积最大？最大面积是多少？ (3)点是直线上一动点，是否存在点、点使得四边形恰好为平行四边形？若存在，求出此时点、点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为，面积取得最大值 (3)存在，、 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）求出点坐标，再将、代入，即可求、的值； （2）设点坐标为，过点作轴垂线，交直线于点，则，当时，面积取得最大值，此时点坐标为． （3）先求直线的解析式为，当时，求出点，再由四边形是平行四边形，可知，，求出即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， ∴， 将，代入， ∴， 解得， ∴抛物线的方程为． （2）解：设点坐标为， 过点作轴垂线，交直线于点，如图：      ∴， ∴， 当时，面积取得最大值，此时点坐标为． （3）解：存在点、点使得四边形恰好为平行四边形，理由如下：      ∵四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得或舍， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 存在点、，使得四边形恰好为平行四边形． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，求一次函数的解析式等，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 3．（2024·广东广州·一模）已知抛物线：的对称轴是直线，与轴交于A、两点（A在左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在线段上，且，求的值； (3)抛物线向右平移个单位（），平移后A、的对应点分别是、，点在轴的负半轴上，且以点、、为顶点的三角形与相似．点是平移后的抛物线上的一点，若四边形是平行四边形，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、求角的正弦值、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由，得，即可求解； （2）先证明是直角三角形，即可求解； （3）先利用相似用m的代数式表示出点E的坐标，再由平行四边形的对边相等，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：，则，解得， ∴， 当时，，∴， ∴，而， ∴， 过点D作轴，则为等腰直角三角形，    ∴， ∴， ∴，，而， ∴， ∴， ∴而， ∴在中， ． （3）解：由题意得：，， 由得， 故平移后解析式为： ∵， ∴以点、、为顶点的三角形与相似， 有， ∴， ∴， ∴， 当， 则， ∴， ∴ ， ①当时，四边形是平行四边形， 则， ∴ ∴代入得：， 解得或（舍）； 当时， 四边形是平行四边形， 则， ∴ ∴代入得：， 解得：解得或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是二次函数与相似三角形、平行四边形的综合题，考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，相似三角形的性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．（2024·广东清远·模拟预测）如图1抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1连接，过点A作轴，垂足为点B，点E，F分别是线段上的动点，且不与线段的端点重合； ①在直线变化的过程中，若直线平分四边形的面积，且C到直线EF的距离最大，求此时直线的解析式； ②如图2，连接，点N是y轴上一点，点M是二次函数上一点，当四边形为矩形时，求出点E的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题、主要考查了二次函数、特殊平行四边形的性质、点到线的距离等知识先，通过构造横平竖直线并利用三角函数和相似来解决问题是解答本题的关键． （1）直接将B和C点坐标代入到解析式中，解方程组即可； （2）①因为A和C纵坐标相同，所以轴，可证四边形为矩形，别切四个顶点坐标都可求，因为平分四边形，所以经过矩形对角线交点D，过C作于Q，，所以当与重合时，最大，此时Q与D重合，由于此时Q是线段中点，所以，过E作轴于M，可以证得，在中，求得，所以，，设，则，再利用，利用待定系数法，求出直线的解析式；②如图3，过M作于G，设，，进而得到，推导出，得到，进而得到，，解得或，由于E在左侧，则点E为． 【详解】（1）解：将B，C代入到抛物线解析式中得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①如图1，连接相交于D点，过C作于Q点， ∵A和C的纵坐标相同， ∴轴， 又∵轴， ， ∴四边形为矩形， ∵直线EF平分矩形的面积， ∴直线必经过D点， ， ． 如图2：当时，Q与D重合，即于D，此时最大， ∵Q为中点，且， ， 过E作于M，则四边形为矩形，则， ， ， 又，， ， 设，则， 设直线为， 代入点E，F，Q得：，解得：， 直线的解析式为． ②如图3，过M作于G，设，， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ∴， ，即， ， 又∵M在抛物线上， ，解得或， ∵E在左侧， ， ∴点E为． 5．（2024·广东湛江·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点在直线下方的抛物线上运动（不含端点），连接，当四边形的面积最大时，求出面积的最大值和此时点的坐标． (3)连接是线段上的一个动点，过点作的平行线．在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，菱形的性质，图形的面积： （1）运用待定系数支求解即可； （2）如图，作轴交于点，求出直线的表达式为．设点，则点，根据可列出式子求解 （3）根据菱形的性质求解即可 【详解】（1）解：抛物线交轴于点， ， 点的坐标为，对称轴为直线， 点的坐标为， 将点代入， 得，解得， 抛物线的表达式为． （2）解：如图，作轴交于点， 设直线的解析式为， 把代入得： 解得，， 直线的表达式为． 设点，则点， ， ， ， 当时，的最大值为，此时点， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：存在．点的坐标为或． 理由：直线的表达式为， 设点． 点， ， 当四边形为菱形时，点平移到点，点平移到点，则点， ， （舍去）或， 点， 当四边形为菱形时，点平移到点，点平移到点，则点， ， 解得（舍去）或， 点． 6．（2024·广东惠州·一模）综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在第一象限抛物线上一点，连接、，若，求点的坐标； (3)若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线与轴交于、两点，可设抛物线解析式为，知，代入得到完整解析式即可； （2）作，交延长线于点，交轴于点，根据相似三角形的判定证明，设，得出数据代入中求解，得到点的坐标即可； （3）根据抛物线的解析式为，设，结合已知，，分“以为对角线”、“以为对角线”和“以为对角线”三种情况讨论，根据坐标系中平行四边形顶点的相对位置，用含式子表示出点的坐标，求出完整坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴设抛物线解析式为，， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：如图，作，交延长线于点，交轴于点， ∵，，抛物线表达式为， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴数据代入中，得：， 解得：（舍去），， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：存在； ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， ∵抛物线解析式中， ∴， 当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时， ∵，，， ∴，，则， 把代入，得：， ∴； 当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时， ∵，，， ∴，，则， 把代入，得：， ∴； 当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时， ∵，，， ∴，，则， 把代入，得：， ∴． 综上所述，满足条件的点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了图形与坐标、二次函数的综合运用、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、分类讨论是解题的关键． 7．（2023·广东清远·三模）如图，抛物线L：经过点和，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 　 ； (3)点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，P的坐标为或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的性质、利用平行四边形的性质求解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式．根据题意分情况讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）根据全等三角形性质得出可得出，然后进行求解即可； （3）设，，根据平行四边形的对角线互相平分，再利用中点坐标公式建立方程组即可求解，可分三种情况进行讨论． 【详解】（1） 解：（1）将和代入得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图： 由得对称轴为直线，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E， ∴， ∵以P、E、F为顶点的三角形与全等， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：存在， 设，，而， ①以为对角线，则的中点即为的中点，如图： ∴， 解得， ∴， ②以为对角线， ∴， 解得， ∴， ③以为对角线， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P的坐标为或或． 8．（2024·广东汕头·一模）综合与探究： 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D． (1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式； (2)当是以为斜边的直角三角形时，求出n的值； (3)直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，直线的解析式为，直线的解析式为 (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出A、B、C的坐标，再用待定系数法求直线的解析式即可； （2）先求平移后的直线解析式为，则，再由勾股定理可得方程，求出或（舍）； （3）先设，当为邻边时，与为菱形的对角线，轴，可得，再将点P代入直线的解析式中求出n的值，即可求；当为菱形的对角线时，，此时，再由E点向左平移个单位，向上平移个单位得到P点，则，得到方程，求出n的值即可求P点坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 平移后的直线解析式为， ∴， ∴，，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 解得或（舍）； （3）解：存在点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形，理由如下： 当时，解得 ∴， 当为邻边时，与为菱形的对角线， ∴， ∴轴， ∴， ∴， 解得， ∴； 当为菱形的对角线时，， ∴， ∵， ∴E点向左平移个单位，向上平移个单位得到P点， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述：P点坐标为或． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$