重难点04 解直角三角形中常见四种模型及其综合题综合训练（4大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

重难点04 解直角三角形中常见四种模型及其综合题综合训练 在广东数学中考中，解直角三角形通常与实际问题相结合进行考查。如通过测量物体高度、距离，或是确定方向等情境，让学生将实际问题转化为数学模型，利用解直角三角形的知识来求解。具体涉及到仰角、俯角、方位角、坡度等知识点。例如，给出建筑物的仰角和观测点与建筑物的距离，求建筑物的高度；或根据船只的方位角和行驶距离，确定船只的位置等。 解直角三角形一般以解答题的形式出现，题目数量通常是一道。分值方面，由于解直角三角形的题目常作为中等难度的解答题，一般分值在8 - 12分左右。2025年广东数学中考预计仍会延续这种考查方式和题型，分值也不会有太大变化，主要还是侧重考查学生运用解直角三角形知识解决实际问题的能力。 考向一：解直角三角形模型之背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 1．（2024·广东中山·一模）如图，线段分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高为多少？ 2．（2025·广东清远·模拟预测）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当  之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） (1)求的长． (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 3．（2024·广东韶关·二模）【操作探究】在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动． 【学生】查阅学校资料得知树前的教学楼高度为12米，如图1，某一时刻测得小树、教学楼在同一时刻阳光下的投影长分别是米，米． （1）请根据同学的数据求小树的高度； 【学生】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度米，在处测得小树顶部的仰角，测角仪到树的水平距离米． （2）请根据同学的数据求小树的高度（结果保留整数，，）． 考向二：解直角三角形模型之叠合模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 1．（2023·广东阳江·一模）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为，观测旗杆底部B点的仰角为（参考数据：）． (1)若已知米，求建筑物的高度； (2)若已知旗杆的高度米，求建筑物的高度． 2．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． (1)求点到墙面的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 3．（2024·广东中山·一模）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，米．点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东．（参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？ 考向三：解直角三角形模型之拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 1．（2024·广东中山·三模）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：点、、在同一水平线上． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 2．（2025·广东佛山·一模）如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩，，垂直于地面放置，醒狮少年从点跳跃到点，随后纵身跃至点，已知，，，．（参考数据：，，） (1)在图2中，________； (2)醒狮少年在某次演出时需要从点直接腾跃至点进行“采青”，请求出“采青”路径的长度； (3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点处，梅花桩的影子顶端恰好与点重合，请在图3中画出梅花桩，的影子并计算出的高度； (4)如图4，保持不变，通过调整梅花桩的高度，使得的值最小，请求出此时的高度（结果精确到）． 考向四：解直角三角形与其他问题综合 利用解直角三角形的知识解决其他实际问题。 1．（2024·海南海口·模拟预测）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备厢，车后盖落在处，与水平面的夹角． (1)填空： ， ； (2)求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的距离； (3)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，） 2．（2024·广东肇庆·二模）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夾角为，点在同一平面内．当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传遥到铁环上，会有较好的启动效果． (1)求证：． (2)实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得，已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长． 一、单选题 1．（2025·广东深圳·一模）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·一模）某仓储中心有一个斜坡，，B、C在同一水平地面上，其横截面如图，现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（    ）米（参考数据：） A．13 B．15 C．20 D．25 二、填空题 4．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）    5．（2024·广东深圳·模拟预测）一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽为，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变，如图2，当门闭合时，，则的长为 ． 6．（2025·广东清远·一模）图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ．（参考数据：，，） 三、解答题 7．（2024·广东·模拟预测）测速仪是协助道路安全工作必不可少的装置，如图．为保障学生安全，某中学入口处的街道安装了车辆自动测速仪，测速仪置于路面上方横杆的点位置，点到路面的距离米．已知，点，在同一平面内．求测速区间的距离．（结果保留整数，参考数据：，） 8．（2024·广东东莞·模拟预测）图1是一种阅读支架，图2是其侧面示意图，托板、支撑杆可分别绕点B，D 转动，B 为的中点．研究发现，阅读最佳视觉角度是眼视线与水平面夹角为，小涵想要以此视角使用阅读支架．已知支撑杆长，其与桌面夹角，托板长，点E 是小涵眼睛的位置，是小涵阅读书本的视线，于点F，小涵眼睛与桌面的距离为．请你计算的长度． （结果精确到，参考数据： ） 9．（2024·广东广州·三模）广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组成广州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在离塔底水平距离450米的地点，测得塔身主体的顶端C的仰角为，天线桅杆的顶端的仰角为．    (1)根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直） (2)求天线桅杆的高度．（参考数据：） 10．（2024·广东广州·二模）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． 请你选择一个方案，求出塔的高度．（参考数据：，，，，，） 11．（2024·广东清远·二模）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． (1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示． (2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：） 12．（2024·广东广州·二模）小亮同学将一辆自行车水平放在地面上．如示意图，车把头下方处与坐垫下方处的连线平行于地面水平线，处为齿盘的中轴，测得，， (1)求的长度（结果保留整数）； (2)若点到地面的距离为，坐垫中轴与点的距离为，根据小亮同学身高比例，坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，，，） 13．（2024·广东东莞·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把 称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线． (1)如果入射角，则 °； (2)现在测得dm，dm．（参考数据：，，） ①求入射角α的度数； ②如果光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 14．（2024·广东深圳·三模）钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人． 图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况． 定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）． 问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度． 问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示． 问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：） 15．（2024·广东深圳·二模）如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个圆，即弧，已知和遮阳棚杆子在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知长为． (1)求遮阳棚半径的长度． (2)如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐C点正下方E点的F点处有一株高为的植物，请问植物顶端能否会被阳光照射？请说明理由． (3)如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮阳棚上最高点仍为A点，且外檐点到的距离为、到的距离为．现需过遮阳棚上一点P为其搭设架子，架子由线段、线段两部分组成，其中与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点P（不含A点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备______m的钢材搭设架子． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 解直角三角形中常见四种模型及其综合题综合训练 在广东数学中考中，解直角三角形通常与实际问题相结合进行考查。如通过测量物体高度、距离，或是确定方向等情境，让学生将实际问题转化为数学模型，利用解直角三角形的知识来求解。具体涉及到仰角、俯角、方位角、坡度等知识点。例如，给出建筑物的仰角和观测点与建筑物的距离，求建筑物的高度；或根据船只的方位角和行驶距离，确定船只的位置等。 解直角三角形一般以解答题的形式出现，题目数量通常是一道。分值方面，由于解直角三角形的题目常作为中等难度的解答题，一般分值在8 - 12分左右。2025年广东数学中考预计仍会延续这种考查方式和题型，分值也不会有太大变化，主要还是侧重考查学生运用解直角三角形知识解决实际问题的能力。 考向一：解直角三角形模型之背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 1．（2024·广东中山·一模）如图，线段分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高为多少？ 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用：仰角俯角问题，易得四边形是矩形，由矩形的性质得，在中，由的正切函数可求出的长，进而根据即可算出答案． 【详解】解：由题意得：四边形是矩形， ， 在中，， ， 答：乙建筑物的高为． 2．（2025·广东清远·模拟预测）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当  之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） (1)求的长． (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 【答案】(1)海里 (2)最短 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了方位角问题(解直角三角形的应用)，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，得，海里，，然后在中，（海里），则，即可作答． （2）分别算出每条路径的总长，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过D点作的垂线交于E点， 根据题意有：，海里，， 在中，（海里）； 在等腰直角中，， ∴（海里）； （2）解：由（1）知，海里，海里，海里，海里， ∴走路线时，（海里）； ∴走路线时，（海里）, 则（海里）, （海里）； ∴（海里）， 则 即选择最短． 3．（2024·广东韶关·二模）【操作探究】在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动． 【学生】查阅学校资料得知树前的教学楼高度为12米，如图1，某一时刻测得小树、教学楼在同一时刻阳光下的投影长分别是米，米． （1）请根据同学的数据求小树的高度； 【学生】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度米，在处测得小树顶部的仰角，测角仪到树的水平距离米． （2）请根据同学的数据求小树的高度（结果保留整数，，）． 【答案】（1）大树高是4米；（2）米 【知识点】相似三角形实际应用、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了相似三角形的性质和解直角三角形应用，解此题的关键是利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解，解题时还要注意认识图形． （1）根据题意可得，根据相似三角形的性质即可求解； （2）在中，根据解直角三角形即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可知，， ， ，     ， 即大树高是4米． （2）如图，在中， ∵， ∴米． 考向二：解直角三角形模型之叠合模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 1．（2023·广东阳江·一模）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为，观测旗杆底部B点的仰角为（参考数据：）． (1)若已知米，求建筑物的高度； (2)若已知旗杆的高度米，求建筑物的高度． 【答案】(1)25米 (2)20米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用． （1）由题意可知是等腰直角三角形，所以； （2）直接利用，进而得出的长求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵米， ∴米， 答：建筑物的高度为25米； （2）解：设米， 根据题意可得：， 解得：， 答：建筑物的高度为20米． 2．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． (1)求点到墙面的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， 【详解】（1）解：过点A作，垂足为F， 在中，（米）， ∴（米）， ∴点A到墙面的距离约为米； （2）解：过点A作，垂足为G， 由题意得：，（米）， ∵（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 在中， ∴（米）， ∴（米）． 3．（2024·广东中山·一模）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，米．点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东．（参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？ 【答案】(1)283米 (2)经过点B到达点D较近 【知识点】含30度角的直角三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． （1）过作的垂线，垂足为，可得四边形是矩形，从而得到米，再证得为等腰直角三角形，即可求解； （2）分别求出两种路径的总路程，即可求解． 【详解】（1）解：过作于，如图： 由已知可得四边形是矩形， 米， ∵点在点的北偏东，即， ∴是等腰直角三角形， 米， 答：步道DE的长度约为283米． （2）解：由（1）知是等腰直角三角形，米， 米， ∵点在点的北偏东，即， ∴， ∵米， ∴米，米， ∵米， ∴经过点到达点路程为米， 米， 米， 米， ∴经过点到达点路程为米， ， ∴经过点到达点较近． 考向三：解直角三角形模型之拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 1．（2024·广东中山·三模）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：点、、在同一水平线上． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)1米 (2)米 【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活应用所学知识成为解题的关键． （1）如图：过点D作交于点H，设米，米，在中运用勾股定理列方程求解即可； （2）如图，过点作交于点，设米，再证四边形为矩形可得米、， 进而得到，最后根据正切函数列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点D作交于点H， 由题意知米， 斜面的坡度为， ， 设米，米， 在中，， ，解得：，舍， 米． 答：王刚同学从点到点的过程中上升的高度为米． （2）解：如图，过点作交于点， 设米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， ， 在中，， ，解得：， 米． 答：大树的高度是米． 2．（2025·广东佛山·一模）如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩，，垂直于地面放置，醒狮少年从点跳跃到点，随后纵身跃至点，已知，，，．（参考数据：，，） (1)在图2中，________； (2)醒狮少年在某次演出时需要从点直接腾跃至点进行“采青”，请求出“采青”路径的长度； (3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点处，梅花桩的影子顶端恰好与点重合，请在图3中画出梅花桩，的影子并计算出的高度； (4)如图4，保持不变，通过调整梅花桩的高度，使得的值最小，请求出此时的高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)的长度约为 (3)见解析，的高度约为 (4)的高度约为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、其他问题（解直角三角形的应用）、根据平行线的性质求角的度数、用勾股定理解三角形 【分析】（1）延长至，根据平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作直线，分别交，于点，，过点作直线，交于点，连接，则四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，由矩形的性质可得，，，再解直角三角形结合勾股定理计算即可得解； （3）线段，为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子．再利用相似三角形的性质求解即可； （4）作点关于的对称点，连接交于，连接，，则，则就是的最小值，由（2）得，由轴对称得，再利用相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：延长至， 由题意可得：， ∴，， ∴； （2）解：如图，过点作直线，分别交，于点，，过点作直线，交于点，连接． 由题意得， ∴四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴． 即“采青”路径的长度约为． （3）解：如图，线段，为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子． ∵，， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， 解得． 经检验且符合题意，所以的高度约为米． （4）解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接并延长交于，连接，， ∴，则就是的最小值， 由对称性质可知：， 同理（2）得， 由轴对称得， ∴． ∵ ∴， ∴． 即， 解得， ∴， ∴此时的高度约为． 【点睛】本题考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 考向四：解直角三角形与其他问题综合 利用解直角三角形的知识解决其他实际问题。 1．（2024·海南海口·模拟预测）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备厢，车后盖落在处，与水平面的夹角． (1)填空： ， ； (2)求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的距离； (3)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)， (2)车后盖最高点到地面的距离为； (3)没有碰头危险，见解析 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． （1）由题意得，利用平行线的性质即可求解； （2）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （3）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【详解】（1）解；由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：如图，作，垂足为点， 在中， ，， ， ， 平行线间的距离处处相等， ， 答：车后盖最高点到地面的距离为； （3）解：没有碰头危险，理由如下： 如图，过作，垂足为点， ，， ， ， ， 在中，， ． 平行线间的距离处处相等， 到地面的距离为． ， 没有碰头危险． 2．（2024·广东肇庆·二模）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夾角为，点在同一平面内．当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传遥到铁环上，会有较好的启动效果． (1)求证：． (2)实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得，已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】切线的性质定理、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用； （1）过点作，分别交于点，交于点，根据切线的性质可得，进而得出，根据为的切线得出，得出，等量代换得出，即可得证； （2）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得出，解得出，根据矩形的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点作，分别交于点，交于点． 与相切于点 ， 为的切线， ； （2）解：如图1，在中 由（1）知， 在中， 四边形为矩形， ． 一、单选题 1．（2025·广东深圳·一模）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 在中，，， ， 这枚火箭此时的高度为， 故选：D． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．过点A作于点C，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，在中，根据，求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点C，如图所示： 则， 由题意得，，， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2025·广东深圳·一模）某仓储中心有一个斜坡，，B、C在同一水平地面上，其横截面如图，现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（    ）米（参考数据：） A．13 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正方形的性质以及已知条件可得，再根据三角形内角和定理得到，根据余弦和正切的定义求出，根然后根据线段的和差，再解直角三角形求得，最后求得即可． 【详解】解：∵正方形， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵米， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 二、填空题 4．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡的坡比为得出，再根据米，得出的值，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴（米）， ∴（米）． 故答案为：． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽为，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变，如图2，当门闭合时，，则的长为 ． 【答案】18 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形是解题的关键． 根据题意，过点作于点，可求得，则，因此，得出结论垂直平分，因此． 【详解】解：过点作于点，如图： 则， 在中， ， ， ，即垂直平分， ， 故答案为：18． 6．（2025·广东清远·一模）图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ．（参考数据：，，） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案．正确进行计算是解题关键． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， ， 同理可得，， 双翼边缘的端点与之间的距离为， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 故答案为：． 三、解答题 7．（2024·广东·模拟预测）测速仪是协助道路安全工作必不可少的装置，如图．为保障学生安全，某中学入口处的街道安装了车辆自动测速仪，测速仪置于路面上方横杆的点位置，点到路面的距离米．已知，点，在同一平面内．求测速区间的距离．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】测速区间的距离约为19米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，解直角三角形分别求得和的长，再根据求解即可． 【详解】解：由题可知，，则． 在中， (米)， 在中， (米)， (米)， 答：测速区间的距离约为19米． 8．（2024·广东东莞·模拟预测）图1是一种阅读支架，图2是其侧面示意图，托板、支撑杆可分别绕点B，D 转动，B 为的中点．研究发现，阅读最佳视觉角度是眼视线与水平面夹角为，小涵想要以此视角使用阅读支架．已知支撑杆长，其与桌面夹角，托板长，点E 是小涵眼睛的位置，是小涵阅读书本的视线，于点F，小涵眼睛与桌面的距离为．请你计算的长度． （结果精确到，参考数据： ） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质等知识，过点B作，垂足分别为，即得出四边形是矩形，；结合题意，，从而求得，进面可求，最的根据求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足分别为． ， 四边形是矩形， ， 在中，， ，   ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 9．（2024·广东广州·三模）广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组成广州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在离塔底水平距离450米的地点，测得塔身主体的顶端C的仰角为，天线桅杆的顶端的仰角为．    (1)根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直） (2)求天线桅杆的高度．（参考数据：） 【答案】(1)见详解 (2)150米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意，画出几何示意图即可； （2）利用三角函数，分别解得、的值，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，画出几何示意图如下；    （2）根据题意，米，，， ∴米， 米， ∴米． 答：天线桅杆的高度为150米． 10．（2024·广东广州·二模）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． 请你选择一个方案，求出塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】塔的高度为52米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数定义和相似三角形的判定方法． 按照方案一，证明，得出，代入数据求出结果即可； 按照方案二，根据三角函数定义得出，，根据，得出，求出即可． 【详解】（方案一）解：如图， 由题意可知，， ， ， ， 即， 解得， 答：塔的高度为52米； （方案二）解：如图， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 即． 米 答：塔的高度为52.5米． 11．（2024·广东清远·二模）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． (1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示． (2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：） 【答案】(1) (2)气球离地面的高度为 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用； （1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案； （2）根据题意，作于点，在中，，由等腰直角三角形性质得到；在中，，由，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：    由题意知， 在中，，则，即， ； （2）解：如图所示：作于点    在中，，由等腰直角三角形性质得到， 在中，， 由， 即， 解得， 气球离地面的高度为． 12．（2024·广东广州·二模）小亮同学将一辆自行车水平放在地面上．如示意图，车把头下方处与坐垫下方处的连线平行于地面水平线，处为齿盘的中轴，测得，， (1)求的长度（结果保留整数）； (2)若点到地面的距离为，坐垫中轴与点的距离为，根据小亮同学身高比例，坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，，，） 【答案】(1)的长度 (2)小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度，理由见详解 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握构造直角三角形，运用锐角三角形求解是解题的关键． （1）在中，运用解直角三角形的方法可求出的值，在中，可求出的值，有次即可求解； （2）过点作，过点作于点，在中，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，根据可得点到地面的距离，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 在中，，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度； （2）解：如图所示，过点作，过点作于点， 由（1）可知，，，， ∴，， 在中，，则， ∴， ∵点到地面的距离为， ∴点到地面的距离为, ∵坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，， ∴小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度． 13．（2024·广东东莞·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把 称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线． (1)如果入射角，则 °； (2)现在测得dm，dm．（参考数据：，，） ①求入射角α的度数； ②如果光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【答案】(1) (2)①；② dm 【知识点】矩形性质理解、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了三角函数在物理学科中的应用，正确理解题意，注意计算的准确性即可． （1）由题意得，根据、即可求解； （2）①求出即可求解；②根据题意可得，进而可求出，据此即可求解； 【详解】（1）解：由题意得： ∴ ∵四边形为矩形， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：①∵dm，dm． ∴ ∴ 由（1）可得： ∴ ②如图所示： 由①可知： ∵ ∴ ∵ dm， ∴ dm， ∵ dm． ∴ dm 14．（2024·广东深圳·三模）钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人． 图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况． 定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）． 问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度． 问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示． 问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】问题一：影长米；问题二：；问题三： 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据等角对等边证明等腰三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】问题一：过点D作，交于点F，过点N作，交于点H，则可得四边形为矩形，则有；在中，由勾股定理求得，则可求得的值，在在中，利用正弦函数关系则可求得； 问题二：延长交于点，由平行线分线段成比例定理得G点是中点；及中，利用三角函数分别求出，分点N在点E右侧、点N在点E左侧、点N与点E重合三种情况，即可求解； 问题三：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R，利用解直角三角形知识分别求出，由，即可求得h的范围． 【详解】问题一 解：当点E和点N重合时，过点D作，交于点F，过点N作，交于点H， ， ， 四边形为矩形，米， ， ， 由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得米， 则， 在中，， 解得米，即影长为米， 问题二 解： 延长交于点， ， ，即， 中，，则， ， 在中，， ，则， 当点N在点E右侧时，， 则， 当点N在点E左侧时，， 则， 当点N与点E重合时，，即， 综上所述，； 问题三 解：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R， 当时，都为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 由题可知：， ， 当时，解得： ， 即． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，构造适当辅助线得到直角三角形是解题的关键． 15．（2024·广东深圳·二模）如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个圆，即弧，已知和遮阳棚杆子在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知长为． (1)求遮阳棚半径的长度． (2)如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐C点正下方E点的F点处有一株高为的植物，请问植物顶端能否会被阳光照射？请说明理由． (3)如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮阳棚上最高点仍为A点，且外檐点到的距离为、到的距离为．现需过遮阳棚上一点P为其搭设架子，架子由线段、线段两部分组成，其中与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点P（不含A点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备______m的钢材搭设架子． 【答案】(1) (2)植物顶端不能被太阳照射，理由见解析 (3) 【知识点】切线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、其他问题（解直角三角形的应用）、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）解直角三角形，求得结果； （2）连接，延长交于，可证得，从而得出，，从而求得的值，进而得出，从而得出，进一步得出结果； （3）以所在直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，可求得抛物线的解析式为，从而可设设，从而表示出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， ，， ， ； （2）如图2， 植物顶端不能被太阳照射，理由如下： 连接，延长交于， 与相切， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 植物顶端不能被太阳照射； （3）解：如图3， 以所在直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系， ，， 设抛物线的解析式为：， ， ， ， 设， ， 当时， 有最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，圆的切线的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理解题意，列出函数关系式． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$