四川省峨眉第二中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

试卷第 1 页，共 4 页 峨眉二中高 2024 级高一下期 3 月考数学试卷 命题人： 黄松 审题人：张远成 本试卷满分 150分，考试时间 120分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡规定的位置上，条码要粘贴在 条码框内。 2.答选择题时,必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5毫米黑色笔迹的签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,只将答题卡交回。 一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.只有一项是符合题目要求的.） 1．已知非零向量 AB 与CD共线，下列说法正确的是（ ） A． AC 与BD共线 B． AC 与BD不共线 C．若 AB CD= ，则 AB CD= D．若 1AB = ，则 AB 是一个单位向量 2．已知角 的终边经过点 ( )2, 1− ，则 sin =（ ） A． 6 3 B． 6 3 − C． 3 3 D． 3 3 − 3．已知单位向量 ,a b 满足 ( ) ( ) 4 2 5 a b a b+  − = − ，则  =a b （ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 5 D． 1 4 4．已知 (1, 1), (1,3)a b= − = ，则 a 在 b 上的投影向量为（ ） A． 1 3 ( , ) 5 5 − − B． 1 3 ( , ) 5 5 C． 10 3 10 ( , ) 5 5 − − D． 10 3 10 ( , ) 5 5 5．已知 ,i j 为一组标准正交基，a i j= + ，b i j= − ，则 1 3 2 2 a b− 在基 ,i j 下的坐标为 （ ） A． ( )1,2− B． ( )1, 2− C． ( )1, 2− − D． ( )1,2 6．已知 tan 2 = - ，则 π cos 2 3π sin(π ) sin 2      +    =   − − −    （ ） A． 2 3 − B． 2 3 C． 2− D．2 试卷第 2 页，共 4 页 7．函数 π sin 2 4 y x   = +    在一个周期内的图象可以是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在△ 𝐴𝐵𝐶中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线 AB， AC 于不同的 两点 ,M N ，若 AB mAM= ， AC nAN= ， 0, 0m n  ，则 2 8 m n + 的最小值（ ） A．2 B．8 C．9 D．18 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分.） 9．下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ） A． ( ) ( )1 20,0 , 1,2e e= = B． ( ) ( )1 21,2 , 5,7e e= − = C． ( ) ( )1 23,5 , 6,10e e= = D． ( )1 2 1 3 2, 3 , , 2 4 e e   = − = −    10．已知函数 ( ) ( ) π π sin 0, 0, 2 2 f x A x A      = +   −      的部分图象如图所示，则 （ ） 试卷第 3 页，共 4 页 A． ( )f x 的最小正周期为 π B．当 π 0, 2 x        时， ( )f x 的值域为 1 1 , 2 2   −    C．将函数 ( )f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到的函 数图象关于点 5π ,0 6       对称 D．将函数 ( )f x 的图象向右平移 π 6 个单位长度可得函数 ( ) sin2g x x= 的图象 11．已知函数 ( ) ( )cos2 2cos 1 cos 1f x x a x x= − − − + ，则下列结论正确的是（ ） A． ( )f x 的图象关于直线 πx = 对称 B．若 ( )f x 在 π 2π , 3 3 −       上恰有三个零点，则 a 的取值范围是 1 1 , 2 2   −    C．当 1 2 a = 时， ( )f x 在 π 2π , 3 3       上单调递增 D．若 ( )f x 在 π 2π , 3 3 −       上的最小值为M ，则 0M ≤ 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分. 12．已知 1 sin cos 3  + = − ，则sin cos  = ． 13．已知 ( )1,2a = ，?⃗? = (−2, 𝑘)，若a b⊥ ，则实数 k 的值为 ． 14．若平面有不共线的五点 A，B，C，D，O，记OA a= ，OB b= ，OC c= ，OD d= − ， 满足 2 1a b a b= =  = . ( ) ( )2 Rc a b  = + −  ， 4 2d b+ = ，则 c d+ 的最小值为 ． 试卷第 4 页，共 4 页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13 分） 已知 1 sin cos 5  + = . (1)求 sin 2的值； (2)若 ( )0,π  ，求 4 4sin cos − 的值. 16．（15 分） 设 1e ， 2e 是两个不共线的向量，已知 1 22 8AB e e= − ， 1 23CB e e= + ， 1 22CD e e= − ． (1)求证： , ,A B D三点共线； (2)若 1 23BF e ke= − ，且 //B BF D，求实数 k的值． 17．（15 分） 已知函数 ( ) π 2 3sin cos sin 2 2 f x x x x a   = + − +    . (1)求 ( )f x 的最小正周期； (2)当 π 0, 2 x        时，若 ( )f x 的最大值为3，求 a 的值. 18．（17 分）如图，点A 、 B 分别是角 、的终边与单位圆的交点， π 0 π 2      . (1)若 3 π 4  = ， ( ) 2 cos 3  − = ，求sin的值； (2)证明角 、在上述范围下的两角差的余弦公式，即 ( )cos cos cos sin sin     − = + . 19．（17 分）在锐角△ 𝐴𝐵𝐶中， 2 cos 2 A = ， 2a = ，点O为△ 𝐴𝐵𝐶的外心. (1)求证： sin 2 cos2 0OA B OB B OC+  −  = ； (2)求 3 2OA OB OC+ + 的取值范围.