精品解析：广西南宁市兴宁区兴园路初级中学 2024－2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2025年春季学期学科素质调研（3月份）八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，再用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂熙） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 以线段a，b，c为三边的三角形是直角三角形的是（ ） A. a＝5，b＝4，c＝3 B. a＝1，b＝2，c＝3 C. a＝5，b＝6，c＝7 D. a＝2，b＝2，c＝3 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 6. 已知一个直角三角形的两条直角边长为5和13，则第三边的平方是（ ） A. 12 B. 144 C. 194 D. 169 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 9. 如图，在中，是的中点，，若，则的长等于(　) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为多少尺?（ ）（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺） A. 4尺 B. 4.5尺 C. 4.55尺 D. 5尺 11. 如图，有一个圆柱形物体，一只蚂蚁要绕着圆柱外壁从点爬到点，圆周率取3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（ ） A. 当时，四边形为平行四边形 B. 当时，四边形为菱形 C. 当时，四边形为矩形 D. 当时，四边形为正方形 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请你将答案直接写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效） 13. 要使得式子有意义，则a的取值范围是_____． 14. 如图，，长为，长为，正方形的周长为______． 15. 如图，在矩形中，与相交于点，，，则的长为________． 16. 如图，将四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”．设直角三角形较长直角边长为x，较短直角边长为y．已知，大正方形边长为5，则小正方形的面积为___． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤） 17. （1）计算：． （2）已知，求代数式的值． 18. 如图是一块地的平面图，，，，，． （1）求A、C两点间的距离； （2）求这块地的面积． 19. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证： （1）△AEF≌△BEC； （2）四边形BCFD是平行四边形． 20. 【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）；的有理化因式是___________． （2）把下列式子分母有理化：． 21. 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． （1）【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ （2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端外移的距离是多少米？ （3）【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 22. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长； （3）在的条件下，已知点是线段上一点，且，则的长为 ． 23. 【活动探究】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，正方形中，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为，延长交线段于点P，连接．求的度数． 【追本溯源】 （2）小瑞受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图②，正方形的边长为6，点E，F分别在上运动，连接．若，试猜想的数量关系是_____________，并加以证明． 【拓展迁移】 （3）小波深入研究以上两个问题，发现并提出新的探究点：如图③，是的高，，若，求的面积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期学科素质调研（3月份）八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，再用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂熙） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的根指数是3，故不是二次根式； B．的根指数是3，故不是二次根式； C．的被开方数是负数，故不是二次根式； D．是二次根式． 故选D． 2. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．由平行四边形中，，，可求得与的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选C． 3. 以线段a，b，c为三边的三角形是直角三角形的是（ ） A. a＝5，b＝4，c＝3 B. a＝1，b＝2，c＝3 C. a＝5，b＝6，c＝7 D. a＝2，b＝2，c＝3 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐—分析． 【详解】解：A、∵，即，∴能构成直角三角形，故此选项符合题意； B、∵，∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：A中，不是最简二次根式，故不符合要求； B中，是最简二次根式，故符合要求； C中，不是最简二次根式，故不符合要求； D中，不是最简二次根式，故不符合要求； 故选：B． 5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 6. 已知一个直角三角形的两条直角边长为5和13，则第三边的平方是（ ） A. 12 B. 144 C. 194 D. 169 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边长为5和13， ∴第三边长的平方，即斜边长的平方． 故选C． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加减、乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】A. ，计算错误，故此选项不符合题意； B. 和不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C. ，计算正确，故此选项符合题意； D. ，计算错误，故此选项不符合题意； 故选C． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 9. 如图，在中，是的中点，，若，则的长等于(　) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得出，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10. 如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为多少尺?（ ）（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺） A. 4尺 B. 4.5尺 C. 4.55尺 D. 5尺 【答案】C 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：1丈=10尺 设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 答：折断处离地面的高度是4.55尺， 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 11. 如图，有一个圆柱形物体，一只蚂蚁要绕着圆柱外壁从点爬到点，圆周率取3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，圆柱的侧面展开图的长方形的长为，长方形的宽等于圆柱的高，根据题意，爬行到对面的意义即为求图中的长，利用勾股定理解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，正确确定展开图中各线段的长度是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设圆柱的侧面展开图为长方形，，，， 如图所示：， 故选：A． 12. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（ ） A. 当时，四边形为平行四边形 B. 当时，四边形为菱形 C. 当时，四边形为矩形 D. 当时，四边形为正方形 【答案】B 【解析】 【分析】当时，四边形为平行四边形，列方程求出t的值，可判断A；当时，四边形为平行四边形，再根据求t的值，可判断B；根据当时，四边形为矩形，列方程求出t的值，可判断C；当时，四边形为矩形，再根据列方程求出t的值，可判断D． 【详解】解：A． ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴，故A不符合题意； B． 由A知，当时，四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形． 作于点H，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故B符合题意； C．∵，， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴，故C不符合题意； D． ∵当时，四边形为矩形， ∴当时，四边形为正方形， ∴，故不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握判定方法是解答本题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请你将答案直接写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效） 13. 要使得式子有意义，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 14. 如图，，长为，长为，正方形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出的长，然后根据正方形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，长为，长为， ∴， ∴正方形的周长为． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，与相交于点，，，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理．根据矩形的性质得，，证明是等边三角形得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 16. 如图，将四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”．设直角三角形较长直角边长为x，较短直角边长为y．已知，大正方形边长为5，则小正方形的面积为___． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的面积． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ， ， 即小正方形的面积为9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤） 17. （1）计算：． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及代数式求值，注意计算的准确性即可. （1）利用二次根式的混合运算法则即可求解； （2）将代入求值即可； 【详解】解：（1）原式 （2） 18. 如图是一块地的平面图，，，，，． （1）求A、C两点间的距离； （2）求这块地的面积． 【答案】（1）5 （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用． （1）连接，利用勾股定理即可求出A、C两点间的距离． （2）利用勾股定理的逆定理，证明，进而求出，最后根据 即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴． 即A、C两点间的距离为5． 【小问2详解】 在中， ∵，，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 即这块地的面积为24． 19. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证： （1）△AEF≌△BEC； （2）四边形BCFD是平行四边形． 【答案】 证明：（1）∵E是AB中点， ∴AE=BE， ∵△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∵∠CAB=30°，∠ACB=90°， ∴∠ABC=60°， 在△AEF和△BEC中 ， ∴△AEF≌△BEC（ASA）； （2）∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠DAB=60°，∠CAB=30°， ∴∠DAC=90°， ∴， ∵E是AB的中点，∠ACB=90°， ∴EC=AE=BE， ∴∠ECA=30°，∠FEA=60°， ∴∠EFA=∠BDA=60°， ∴， ∴四边形BCFD是平行四边形．     【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质得出∠DAB=60°，即可得出∠ABC=60°，进而求出△AEF≌△BEC（ASA）； （2）利用平行线的判定方法以及直角三角形的性质得出，进而求出答案． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定方法，得出∠ABC=60°是解题关键． 20. 【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）；的有理化因式是___________． （2）把下列式子分母有理化：． 【答案】（1）（答案不唯一）；（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理化因式，以及分母有理化，理解有理化因式的定义是解答本题的关键． （1）根据有理化因式的定义求解即可； （2）把分子、分母都乘以计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：． 21. 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． （1）【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ （2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端外移的距离是多少米？ （3）【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】（1） （2） （3）能 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，运用勾股定理可得，根据即可求解； （3）根据题意可得相对安全的距离为不小于，运用勾股定理可得云梯能达到的高度，进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，， ∴这架云梯顶端距地面的距离的高为； 【小问2详解】 解：，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：能，理由如下， 云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于， ∵云梯的长为， ∴， ∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 22. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长； （3）在的条件下，已知点是线段上一点，且，则的长为 ． 【答案】（1） 证明：， ， 为的平分线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键． 根据平行 线的性质可证：，根据角平分线的定义可证，根据等角对等边可证，从而可证结论成立； 根据菱形的性质和直角三角形的性质可得，再求出，在中利用勾股定理求出，从而可得； 先根据勾股定理求出，再结合图形分情况求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； 【小问3详解】 解：如下图所示， 由可知，，， ， ， 或． 故答案为：或． 23. 【活动探究】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，正方形中，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为，延长交线段于点P，连接．求的度数． 【追本溯源】 （2）小瑞受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图②，正方形的边长为6，点E，F分别在上运动，连接．若，试猜想的数量关系是_____________，并加以证明． 【拓展迁移】 （3）小波深入研究以上两个问题，发现并提出新的探究点：如图③，是的高，，若，求的面积 【答案】（1）； （2）解：，证明如下： 如图：延长到G，使，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． （3）135 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了折叠性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键． （1）先证得出，由直角三角形的性质可得出答案； （2）如图：延长到G，使，连接，则，证明可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； （3）将沿翻折得到沿翻折得到，延长交于点Q，证明四边形是正方形，得出，设，则，由勾股定理列方程求得x，进而求得，然后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：（1）∵将正方形沿折叠，得到点B的对应点为， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：将沿翻折得到，沿翻折得到，延长交于点Q， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∵在中，，即，解得， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $