吉林省松原市吉林油田高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024一2025学年第一学期高二期中考试 数学答案 1.c 【分析】直接利用空间向量数量积的坐标形式计算即可. 【详解】因为向量a=(1,2,4),b=(-1,0,2),所以a-b=1×(-1)+2×0+4x2=7. 故选：C 2.C 【分析】结合基底的概念，根据空间向量基本定理逐项判断即可. 【详解】向量a,b,c是不共面的三个向量， 对于A,3a=2(a-b)+(a+2b),则向量3a,a-五，a+2b共面，A不能构成空间基底： 对于B,2b=(⑦-2+（⑥+2，则向量2b,b-2a,b+2a共面，B不能构成空间基底： 对于D,2c=(a+c)-(a-c,则向量c,a+c,a-c共面，D不能构成空间基底： 对于C,假定向量a,2b,b-c共面，则存在不全为0的实数2,2， 使得a=22b+26-c), 整理得a-(22+2)b+2,c=0,而向量a,b,c不共面， 1=0 则有}21+元=0，显然不成立， 2=0 所以向量a,2b,五-c不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底。 故选：C 3.D 【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可. 【详解】根据题意可得直线为y-2=x-3,化简得x-y-1=0. 故选：D 4.C 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得。 答案第1页，共12页 【详解】依题意B正=A正-4B=4+4正-AB=4-B+】4B+4D =4-恋+号丽+D--西+号D, 又BE=4+xAB+AD,所以x=2,y=2 1 故选：C 5.A 【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入(3，-2)，解方 程组即可. 【详解】由+-1知，焦点为N5,,←5,0)，即c=5,2-B=5 9 4 261,则9+4 设所求椭圆方程为兰+少」 则2+示-1，解得6=10，a2=15, 故所求椭圆方程为+二=1 1510 故选：A 6.B 【分析】由两圆的位置关系列式计算即可. 【详解】由题意圆O:(x-3)2+y-4)2=25的圆心为Q(3,4),半径为R=5: 圆O:(x+2)2+(y+8)}=2(5<r<10)的圆心为O(2,-8),半径为r(5<r<10); 则9O=V(3+2)+(4+8)=13,所以当两圆外切时，9O=R+r=5+r=13,解得r=8: 当两圆内切时，QO=-R=r-5=13,解得r=18,不合题意： 所以P=8 故选：B 7.A 【分析】将问题转化为以AB为直径的圆与圆C有交点，结合图形可得. 【详解】因为圆C上存在点P,使得∠APB=90°， 所以，以AB为直径的圆与圆C有交点， 又以AB为直径的圆，圆心为O(0,0),半径为b,圆C的圆心为C(-5,12),半径为2， 所以OC-2≤b≤OC+2,即13-2≤b≤13+2，即11≤b≤15. 故选：A 答案第2页，共12页 B 8.D 【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解 【详解】解：直线1：x-uy十4-3=0(m∈R)即为(x-3)+(4-y)m=0, 所以直线过定点Q(3,4), 所以点P到直线1的距离的最大值为0网+r=V3+4+1=6, 故选：D 9.BD 【分析】借助空间向量的线性运算可得答案。 【详解]=AB+BC+CM-B+AD+)CD4CC,) -B+AD奶+M-语+AD+A,故A错误、B正瑞： a0=a4+40=M+}ac-4+aD+c+CC) =4+号而+极-网号丽+40+知，故C错误、D正确 51 故选：BD D 4 B 10.ACD 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判 断B选项；利用空间向量的模长公式可判断CD选项」 【详解】对于A选项，5ā+7b=5(-3,-1,2)+7(3,3,1)=6,16,17), 答案第3页，共12页 则a.(5a+75)=-3×6-1x16+2×17=0,所以，a1(5a+7b),A对： 对于B选项，3ā+2b=3(3,-1,2)+β，3,1)=（6,0,7)，=（-3，-1,2)， 因为亨号-号，所以ā6125不类线，B: 对于C选项，=V(-3)+(-1)+2=√4，C对： 对于D选项， =32+32+F=9,D对. 故选：ACD 11.AC 【分析】对A:由方程求ab,c,进而求e=C;对B:根据方程结合题意运算求解；对C: 设直线A,利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解：对D:根据椭圆定义分析求解. 【所解1由圆方起号户-，得22-1=1，所以c=1a=,所以e=三5，板A a 2 项正确： 当=1时 国到B的距窝为2，所以ARAB的面积为)×V2×2=反，故B项 错误： 因为点A在第一象限，所以直线AF的斜率一定存在，设直线A耳的斜率为k,点 A(,片)，E(x,2), ,(-1,0),则直线A:y=k(x+1), =1得到-2)r+2-2-0 y=k(x+1) 联立方程{x2 .x1+X= 42 2k2-2 1+2k书=1+2k :4(,为)在桃圆上，则字+-1，即y=1- 2 4=c+s1号25+229 同理E=V5+2、 2 答案第4页，共12页 1 1 1 1 √2，√2√2(2+x+2+6) 于是A网网2+2 :+2.2+52+。+2+5+ 25 V24-42 1+2k2 √2(4+8k2-4k2)√2(4+4k) 424k2 ,2k2-2 4+8k2-8k2+2k2-22+2k2 2N2 1+2k21+2k2 故C项正确： 设椭圆的右焦点为乃， 当直线x=m经过椭圆的右焦点耳时，△FAB的周长为4a=4√2， 如果不经过右焦点耳，则连接AF,B凡， 可知△耳AB的周长小于A+B+AF+BF=4a, 所以△AB的周长的最大值为4√2，故D项错误 故选：AC (BY B 12.0或12 5 【分析】首先利用弦长公式求圆心到直线的距离，再设直线的方程，利用点到直线的距 离公式，即可求解 【详解】由条件可知，圆C的半径r=√7，AB=4V2, 所以圆心到直线的距离d=:-h=3, 设直线：y+1=k(x+3),即-y+3k-1=0, 所以圆心(1,2)到直线1的距离d=上k-243-」-3. Vk2+1 解得：k=0或k=- 5 答案第5页，共12页 故答案为0或号 13.x=2或3x-4y+10=0 【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出 方程，求出切线方程。 【详解】①直线的斜率不存在时x=2满足， @直线斜率存在时，设切毁方程为y-4kx-2,则d=2k4=2→k=是 Vk2+1 3 所以切线方程为y-4=x-2,即3x-4y+10=0. 故答案为：x=2或3x-4y+10=0. 14.10 【分析】将oC-+O丽平方化简得c0sA0B=},利用二倍角余弦公式得 4 4 c0s乙A0D,再结合圆心到直线的距离和勾股定理列式计算r即可 【详解】因为0c=5aA+3OB, 4 4 是250m+20108+6丽 4 4 16 即产=252+152c0s∠40B+92,整理化简得cos∠40B=-? 16 8 16 过点O作AB的垂线交AB于D, 则cos∠40B=2cas2A0D-1-号，得cos∠A0D-号 区圆心到直线的距离为OD-号V2,所cos:AOD-OD2 所以r2=10,即r=√10 答案第6页，共12页 故答案为：√0 15.(1)2x+y=0或4x+y+2=0;(2)x+y-1=0或4x+y+2=0 【分析】(1)根据题意，分直线1过坐标原点和直线1不过坐标原点，两种情况分类讨论， 结合直线的点斜式和截距式方程，即可求解： (2)设直线1的方程为y-2=k(x+1),求得围成的三角形的面积为 G+2)×+2 列出 方程，求得k的值，即可求解 【详解】(1)当直线1过坐标原点，可得直线1的斜率为)-0 2-0 -2. 可得直线1的方程为y=-2x,即2x+y=0: 当直线1不过坐标原点，设直线1的方程为+’=1(a≠0)， a Aa 代入点心-12)的坐标，可得-之名1，解得a=- 1 a 4a 可得直线1的方程为-2x+号1，即4+2=0， 所以所求直线1的一般方程为2x+y=0或4x+y+2=0. (2)直线1显然不过坐标原点，设直线1的方程为y-2=k(x+1),即y=x+k+2. 直线1与x轴的交点坐标为 2o 与y轴的交点坐标为(0，k+2), 坐标轴围成的三角形的面积为依+2)×七子分解得k=-4或三工 故直线1的方程为y=-x+1或y=-4x-2, 即直线1的一般方程为x+y-1=0或4x+y+2=0. 16.(1)x-2y+4=0 (2)x-y-8=0或13x+5y-32=0 【分析】(1)求出直线BC的斜率，则可求出直线马的斜率，再利用点斜式可求出直线的 方程： (2)由题意分直线与AB平行和直线马通过AB的中点两种情况求解. 【详解1(1)因为kc=42=6-2,所以BC边上的高所在直线L的斜率为太-1 4-13 1 所以BC边上的高所在直线的方程y-3=二(x-2), 即x-2y+4=0. 答案第7页，共12页 (2)因为点A,B到直线马的距离相等，所以直线l,与AB平行或通过AB的中点， ①当直线马与AB平行， 因为ks 3-2=1=k,且马过点C 2-1 所以☑方程为y+4=x-4,即x-y-8=0. ②当直线马通过4B的中点D(》, -4- 所以kcn= 213 3 4- 2 所以的方程为+4=号6e-9,即13x+5y-32-0 综上：直线马的方程为x-y-8=0或13x+5y-32=0. 17.(1)证明见解析 a时 【分析】(1)利用三角形相似得MD=2MB,结合DQ=2PQ,则有MQ1/BP,利用线面平 行的判定即可证明： (2)以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面 角的空间向量法即可得到答案 【详解】(1)如图，连接BD与AC相交于点M,连接MQ, ,'BC/IAD,AD=2BC,则△AMD~ACMB, :恤-AD=2,D=2B, MB CB DO=2PO,.MO//BP, :BP丈平面ACQ,MQ1平面ACO,.BPI/平面ACQ: (2)AP⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,AP⊥AB,AP⊥AD, 因为底面AB⊥BC,则AB,AD,AP两两垂直， 以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 各点华标如下：4aao.c10.P0o.c0号号引 答案第8页，共12页 设平面ACQ的法向量为=(x,y,), AC.m=x+y=0 33 i=(1-1,1), 由CP=(-1,-1,1),有CPm=1,C@=城=5， 则w@叫55号 故直线PC与半面ACQ所成角的正弦位为兮 18.(1)见解析 2④g 42 【分析】(1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xz,不妨令正方体的 BE.BG 棱长为2，设E(2,a,0),利用cos(BE,BG 解得a=1,即可证得； BE BG n.n (2)分别求得平面B,EF与平面ABC,D的法向量m,n,利用cos(m,n) 同求解即可 【详解】(1)证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xz. 不妨令正方体的棱长为2， 则D(0,0,0),G(1,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),F(0,2,1), 设E(2,a,0),则BE=(0,a-2,-2),BG=(-1,-2,0), BE.BG 所以os(⑧，Bc 4-2d-2 BEBG 5Va-2)y+451 答案第9页，共12页 所以a2-4a+3=0,解得a=1（a=3舍去)，即E为AB的中点. (2)由(1)可得BE=(0,-1,-2),EF=(-2,1,1), 设m=(x,y,)是平面BEF的法向量， 则 m.B,E=-y-2z=0 令z=2,得m=（-1,-4,2) mEF=-2x+y+z=0 易得平面ABC1D的一个法向量为n=DA=(2,0,2), n.n 所以cos(L,n） 2=42 2W2×√2142· 所以所求锐二面角的余弦值为V42 42 Z◆ D A B D 19.(1)证明见解析；(2)2y万，(3)存在， 2v6 > 3 【解析】(1)在图1中，连结AE,连结AC交BE于点F,证明CF⊥AF,CF⊥BE即可； (2)以D为坐标原点，DA,DE分别为x,y轴，FC方向为z轴正方向建立空间直角坐标 系，算出平面ACD的法向量和BC的坐标，然后可算出答案； (3)设DP=DC,2∈(O,1),然后算出平面PBE、平面CBE的法向量，然后可建立方程求 解， 【详解】(1)证明：在图1中，连结AE,由己知条件得AE=2, ,CE/IBA且CE=BA=AE, ∴，四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F, 答案第10页，共12页 D B ∴CF1BE,又：在△ACD中，AC=V3+V5=25, AF=CF=√阝， 在图2中，AC=√6，AF2+CF2=AC,.CF⊥AF, 由题意知CF⊥BE,且BEOAF=F .CF⊥平面ABED,又CFc平面BCE, ∴.平面BCE⊥平面ABED: D B (2)如图，以D为坐标原点，DA,DE分别为x,y轴，C方向为z轴正方向建立空间直 角坐标系.由已知得各点坐标为 D0,0,0),A63,0,0),B(3,2,0）,E0,1,0, 9 所u网-(9-5-ao.5 设平面ACD的法向量为=(xy,),则DA⊥元，DC1元， 答案第11页，共12页 [V3x=0 DA.=0 所以 DC=0 即 3 21 +2+5:=01 令z=V3,解得x=0,y=-2, 所以元=(0，-2，V5),同=V7,记直线BC与平面AC,D所成角为6， 则sin0 BC·列_ 10+1+32√7 BC例2x√7 9)侵设在在，设Dm=c-52e@. 所以9225--1叭，阳（915 :AF1平面CBE,易得平面CBE的一个法向量=(-1，V5,0) 设平面PBE的一个法向量n=(:,), 由5丽0 √3x+4=0 %·P厘=0' 9-到-。限-双- 则o瓦，西 W3元+35元 网园232+92+3(2-1月 Fcos45· 2 解得1子比时G-DC-25 【点睛】关键点睛：用向量方法解决空间中的角的问题时，关键是建立适当的空间直角坐标 系，准确地写出点的坐标和向量的坐标，然后准确地运算出答案. 答案第12页，共12页 绝密★启用前 2024—2025学年第一学期高二期中考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知向量，则的值为（ ） A. 9 B. C. 7 D. 2. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 过点且斜率为1的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆和圆相切，则等于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6. 已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在四棱柱中，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（ ） A. B. 当时，的面积为 C. D. 的周长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为____________. 13. 过点作圆的切线，则切线方程为___________． 14. 在平面直角坐标系xOy中，设直线与圆交于A，B两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，求满足下列条件的直线l的一般方程. （1）经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍； （2）经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为. 16. 已知的三个顶点是，，. （1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，． （1）证明：平面ACQ； （2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值． 18. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，为棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为. （1）证明：为的中点； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 绝密★启用前 2024—2025学年第一学期高二期中考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】0或 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）或；（2）或. 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 【17题答案】 【答案】（1） 如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ， ∵，，则， ∴，， ∵，∴， 平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ； （2） 【18题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $