精品解析：江苏省无锡市锡山区锡东片2024-2025学年下学期九年级中考第一次模拟数学试卷

2024-2025第二学期锡东片初三数学第一次模拟试卷 （满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是． 2. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件计算即可． 【详解】∵函数有意义， ∴． 即， 故选A． 【点睛】本题考查了函数有意义的条件，熟练掌握分母不为零是解题的关键． 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. x3+x3=x6 B. x3•x6=x18 C. （x2）3=x5 D. x2÷x=x 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算法则即可求解． 【详解】x3+x3=2x3，∴A错误； x3•x6=x3+6=x9，∴B错误； （x2）3=x2×3=x6，∴C错误； x2÷x=x2﹣1=x，∴D错误． 故选：D． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式及法则． 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； B． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意； C． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 人数 3 6 4 4 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A. 14，14 B. 14，14.5 C. 14，15 D. 15，14 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】由表可知，这组数据中14出现6次，次数最多，所以这组数据的众数为14岁， 这18个数据的中位数是第9、10个数据的平均数，即14、15的平均数，所以这组数据的中位数为（14+15）÷2=14.5（岁）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 6. 一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形是（　　）边形． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）×180 ，根据多边形的内角和为1800 ，就得到一个关于n的方程，从而求出边数． 【详解】根据题意得：（n﹣2）×180=1800， 解得：n=12． 故选：D． 【点睛】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知n边形的内角和是（n﹣2）×180 ． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 平行四边形一定是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可判断不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，可判断不符合题意；对角线相等的菱形既是菱形又是矩形，则对角线相等的菱形是正方形，可判断符合题意；平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， 故不符合题意； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形， 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， 故不符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形， 对角线相等的菱形既是菱形又是矩形， 对角线相等的菱形是正方形， 故符合题意； 平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形， 故不符合题意， 故选：． 【点睛】此题考查平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、轴对称图形等知识，正确理解和掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的定义和判定定理是解题的关键． 8. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若AD=2，CD=4，则DF的最大值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】延长CD交⊙O于点G，连接GE、OC，根据垂径定理得到CD=DG，推出DF=GE，得到当GE取最大值时，DF也取得最大值，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：延长CD交⊙O于点G，连接GE、OC， ∵CD⊥AB，即CG⊥AB，且AB是⊙O的直径，∴CD=DG， ∵点F为CE的中点， ∴DF=GE， 当GE取最大值时，DF也取得最大值， 设⊙O的半径为x时，则OD=r-2， 在Rt△OCD中，OC2=OD2+CD2， ∴r2=(r-2)2+42， 解得：r=5， ∴GE的最大值为10，则DF的最大值为5． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 9. 如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形与正方形的面积之比为（ ） A. B. 13 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，全等三角形的性质，设中，，，，根据，可得，设，可得，，进而可得，问题随之得解． 【详解】设中，，，， ∴，， ∵， ∴，即， 设， ∴，， ∴在中，， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之比为：， 故选：B． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与 轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊点判断④；最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与 轴交于负半轴， ∴， ∴；故①错误； 由图可知，抛物线与 轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∵抛物线关于直线对称， ∴抛物线与 轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∴方程（）必有一个根大于2且小于3；故②正确； ∵， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大， ∵是抛物线上的两点，且， ∴；故③错误； ∵ ∴， 由图象知：，， ∴；故④正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最小为：， ∴对于任意实数m，都有， 即：， ∴；故⑤正确； 综上：正确的有3个； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确的识图，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 12. 月球的直径约为3500000米，将3500000这个数用科学记数法表示应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，其表现形式为，其中，为整数，正确确定和的值是解题的关键． 利用科学记数法表示3500000即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若x＝1是关于x的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是__________． 【答案】x2﹣x＝0（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用因式分解法求一元二次方程根的方法进行倒推即可，答案不唯一． 【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是1，则符合条件的一个一元二次方程可以是：x（x﹣1）＝0， 整理得：x2﹣x＝0． 故答案为：x2﹣x＝0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，答案较为开放，符合题意即可，找到合适的方程是解题的关键． 14. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】考查圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟记侧面积计算公式是解题的关键． 根据已知和勾股定理求出母线的长，再根据圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得母线长为， ∴其侧面积为， 故答案为：． 15. 反比例函数y＝的图像经过点（－2，3），则k的值为_______． 【答案】-7 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到k+1=-2×3，然后解方程即可． 【详解】∵反比例函数y=的图象经过点（-2，3）， ∴k+1=-2×3， ∴k=-7． 故答案为-7． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 16. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，△ABC的三个顶点都在格点处，则sin∠ABC的值等于______． 【答案】． 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】过点A作AD⊥BC于点D， 由勾股定理可知：AB=，AC=，BC=， 设BD=x， ∴CD=2﹣x， ∴由勾股定理可知：5﹣x2=13﹣（2﹣x）2， 解得：x=，∴由勾股定理可求出AD==， ∴sin∠ABC=． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是作出适当的辅助线，再根据勾股定理求出AD的长度，本题属于中等题型． 17. 如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE=45°时，则DE= _____ ． 【答案】． 【解析】 【分析】如图，连接．首先求出、的长，证明，可得，即求出． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ∵点M是边AB的中点， ， 在中，， ， ， ∴， ， ∵点F为DM中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 即有． 故答案是：． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 18. 如图，在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，直线相交于点，连接．则的度数是______，面积的最大值为______． 【答案】 ①. ##度 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的相关知识三角形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设相交于点，先证明，得到，求出，即可得到；设到的距离为，，以为底边，当最大时，面积的最大，四点共圆，当垂直且通过圆心时，的值最大，求出面积的最大值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，设相交于点， 在中，，， 绕点沿顺时针方向旋转后得到， ，，， ，， ， ， ， ； 设到的距离为， ，以为底边，当最大时，面积的最大， ， 四点共圆， ， 为此圆直径， 当垂直且通过圆心时，的值最大， 此时， 面积的最大值为； 故答案为：，． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先乘方、求算术平方根，零指数幂，再计算加减即可； （2）先利用完全平方公式及单项式乘多项式法则计算，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ． 20. （1）解方程： ； （2）解不等式： 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）可利用配方法解一元二次方程； （2）先求出每一个不等式的解集，再取它们的解集的公共部分即可得不等式组的解集． 本题主要考查了解一元二次方程和解不等式组，熟练掌握解一元二次方程的方法以及解不等式组的方法是解题的关键． 【详解】（1） ， ， ， ， ，， （2） 由①得：， 由②得：， ∴原不等式的解集为：． 21. 如图，中，点F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）若求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，即可证明； （2）先由，得结合角的运算以及全等三角形的性质，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 22. 2024世界体育舞蹈联合会（WDSF）世界青年霹雳舞锦标赛将在无锡举办，某校从A，B，C，D四名学生中选两名学生参加志愿者服务． （1）若A一定参加，再从其余三名学生中任意选取一名，恰好选中学生C的概率是__________； （2）任意选取两名学生参加志愿者服务，求一定选中学生B的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1）； （2）一定有学生B的概率为． 根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，一定有学生的有6种， 一定有学生的概率是． 【解析】 【分析】本题考查列树状图求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是能从统计图中获取有用的信息． （1）由概率公式可得答案； （2）画树状图，用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：从其余三名学生中任意选取一名，恰好选中学生的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 略 23. 教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列的问题： （1）求图1中的______，本次调查数据的中位数是______，众数是______； （2）补全图2中的条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数． 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如下， （3）估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图的读取，中位数，众数，用样本估计总体， 正确读取统计图中的数据是解题的关键． （1）先求出参与调查的学生人数为人，得到；根据中位数和众数的定义即可求出中位数和众数； （2）根据图1补全图2即可； （3）用乘以及以上的人数占比即可求解． 【小问1详解】 解：参与调查的学生人数为（人）， ， ； 参与调查的学生人数为人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第名和第名的劳动时间分别为， 中位数为； 由条形统计图可知，劳动时间为的人数最多， 众数为； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于另一点D，E为AC上一点，且AE=DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若OB=2，OC=1，tanA=，求AE的长． 【答案】（1） 证明：连接OD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∵AE=DE， ∴∠EDA=∠A， ∵∠ACB=90°， ∴∠B+∠A=90°， ∴∠ODB+∠EDA=90°， ∴∠ODE=90°， ∴DO⊥ED， ∴ED是⊙O的切线； ； （2）AE= 【解析】 【分析】（1）连接OD，证明∠ODE=90°即可； （2）延长BC交圆O于点F，连接DF，证明∠F=∠A，利用正切求得BD，利用勾股定理求得AB，从而得到AD，过点E作EG⊥AD，垂足为G，利用等腰三角形的性质求解即可 【详解】（1）略 （2）延长BC交圆O于点F，连接DF，∵BF是圆O的直径，∴∠BDF=90°， ∵∠BCA=90°，∠B的余角相等，∴∠F=∠A， ∵OB=2，OC=1，tanA=，∴BF=4，tanF=，∴=4，∴BD=； ∵BC=OB+OC=3，tanA=，∴AC=6，∴AB==3，∴AD=AB-BD=； 过点E作EG⊥AD，垂足为G，∵AE=DE，∴DG=AG，设EG=x，则AG=2x，AE=x， ∴4x=，∴x=，∴x==，∴AE=． 【点睛】本题考查了切线的判定，直径上的圆周角是直角，锐角三角函数，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的性质，灵活运用连接半径，构造直径，作等腰三角形底边上的高等辅助线是解题的关键． 25. 如图，已知，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①在上求作点O，使以O为圆心的圆经过A，C两点； ②若交于D，求作点E，使E为劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） （2）在（1）的条件下，连接交于点F，若，，则__________．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）①作图如下：圆O即为所作； ②作图如下：点E即为所作， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，圆周角定理，三角函数等知识， （1）①作出的垂直平分线即可作答；②再作的垂直平分线即可作答； （2）连接，证明，即可得出，问题随之得解． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 连接，如图， ∵为圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E为劣弧的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在，， 故答案为：． 26. 某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 销售量（件） 100 ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 【答案】（1），两种纪念品每件的进价分别是元和元 （2）①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32 【解析】 【分析】（1）设纪念品每件的进价是 元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可； （2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为 ，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值． 【小问1详解】 解：设纪念品每件的进价是 元，则纪念品每件的进价是元， 由题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； 当时：； ∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元； 【小问2详解】 解：①设利润为，由表格，得： 当时，， ∵， ∴随着 的增大而增大， ∴当售价为元时，利润最大为：元； 当，， ∵， ∴当时，利润最大为元； 综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． ②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数， ∴A型纪念品的件数小于100件， ∴，此时该商场购进型纪念品为件， ∴购进型纪念品为件， ∵A型纪念品的件数不小于50件， ∴， ∴， 设总利润为y元，根据题意得： ， ∴ ， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴当时，y有最大值， ∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键． 27. 在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长； （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长； （3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值为1 【解析】 【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC长为4．再根据旋转的性质可知，最后由等腰三角形的性质即可求出的长． （2）作交于点D，作交于点E．由旋转可得，．再由平行线的性质可知，即可推出，从而间接求出，．由三角形面积公式可求出．再利用勾股定理即可求出，进而求出．最后利用平行线分线段成比例即可求出的长． （3）作且交延长线于点P，连接．由题意易证明， ，，即得出．再由平行线性质可知，即得出，即可证明，由此即易证，得出，即点D为中点．从而证明DE为的中位线，即．即要使DE最小，最小即可．根据三角形三边关系可得当点三点共线时最小，且最小值即为，由此即可求出DE的最小值． 【详解】（1）在中，． 根据旋转性质可知，即为等腰三角形． ∵，即， ∴， ∴． （2）如图，作交于点D，作交于点E． 由旋转可得，． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵，即， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∵， ∴，即， ∴． （3）如图，作且交延长线于点P，连接． ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴在和中 ， ∴， ∴，即点D为中点． ∵点E为AC中点， ∴DE为的中位线， ∴， 即要使DE最小，最小即可． 根据图可知，即当点三点共线时最小，且最小值为． ∴此时，即DE最小值为1． 【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键． 28. 如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线交y轴于点E，且． （1）请直接写出A，B两点的坐标：A______，B______． （2）当顶点P与点Q关于x轴对称时，． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上存在点F，使，请直接写出点F的坐标． 【答案】（1）， （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的解析式配方后可得对称轴，根据平行线分线段成比例定理可得点坐标，由对称性可得点坐标； （2）①根据的面积可得的长，表示点和点的坐标，根据两点的距离公式可列方程，解方程可得结论；②如图2，当点在的下方时，连接，根据顶点与点关于 轴对称，结合已知可证得，在此基础上求出直线的解析式和直线的解析式，进而求出点的坐标；当点在上方时，连接，设，，，，每个点的坐标易求出，可得，的长，所以有，易知是的平分线，因此有，然后过作轴，垂足为，由勾股定理可求出，根据等量代换进而求出点的坐标． 【小问1详解】 解： ∵， ∴这个抛物线的对称轴是：直线， ∴， 如图1所示， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 根据抛物线的对称性得， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ①如图1， 将代入二次函数中得：， ∴， ， ∴， ∵顶点与点关于 轴对称， ∴，即， ， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， ∴直线的解析式为：， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴此时抛物线的函数解析式为：； ②如图2， 当点在的下方时，连接， ∵顶点与点关于 轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得：， ∴； 设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式， 设直线的解析式为：， ∵， ∴， 当时，， ， 如图3， 当点在的上方时，连接， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ，， ， ∵， ， ，，， ， 过作轴，垂足为， 在中， ， ， 或 (舍去)． ， 综上所述，在抛物线的对称轴上，存在点或，使． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了一次函数解析式和二次函数解析式的确定，函数图象的平移，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法和一次函数与二次函数的图象与性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025第二学期锡东片初三数学第一次模拟试卷 （满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. x3+x3=x6 B. x3•x6=x18 C. （x2）3=x5 D. x2÷x=x 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 人数 3 6 4 4 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A. 14，14 B. 14，14.5 C. 14，15 D. 15，14 6. 一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形是（　　）边形． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 平行四边形一定是轴对称图形 8. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若AD=2，CD=4，则DF的最大值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 10 9. 如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形 ，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形 与正方形的面积之比为（ ） A. B. 13 C. 5 D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 分解因式：a3－a=___________ 12. 月球的直径约为3500000米，将3500000这个数用科学记数法表示应为______． 13. 若x＝1是关于x的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是__________． 14. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 15. 反比例函数y＝的图像经过点（－2，3），则k的值为_______． 16. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，△ABC的三个顶点都在格点处，则sin∠ABC的值等于______． 17. 如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE=45°时，则DE= _____ ． 18. 如图，在中，，，将绕点 沿顺时针方向旋转后得到，直线相交于点，连接．则的度数是______，面积的最大值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 20. （1）解方程： ； （2）解不等式： 21. 如图，中，点F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）若求的度数． 22. 2024世界体育舞蹈联合会（WDSF）世界青年霹雳舞锦标赛将在无锡举办，某校从A，B，C，D四名学生中选两名学生参加志愿者服务． （1）若A一定参加，再从其余三名学生中任意选取一名，恰好选中学生C的概率是__________； （2）任意选取两名学生参加志愿者服务，求一定选中学生B的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23. 教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列的问题： （1）求图1中的______，本次调查数据的中位数是______，众数是______； （2）补全图2中的条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于另一点D，E为AC上一点，且AE=DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若OB=2，OC=1，tanA=，求AE的长． 25. 如图，已知，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①在上求作点O，使以O为圆心的圆经过A，C两点； ②若交于D，求作点E，使E为劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） （2）在（1）的条件下，连接交于点F，若，，则__________．（如需画草图，请使用图2） 26. 某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 销售量（件） 100 ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 27. 在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长； （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长； （3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 28. 如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线交y轴于点E，且． （1）请直接写出A，B两点的坐标：A______，B______． （2）当顶点P与点Q关于x轴对称时，． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上存在点F，使，请直接写出点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $