精品解析：江苏省扬州市扬州大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

2023级高二年级3月份数学检测 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 3. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 4. 函数，是的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知四棱锥，底面ABCD是平行四边形，点E为PD中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 10. 如图是函数的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象在处切线的斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 在时，函数取得极大值 D. 在时，函数取得极值 11. 设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若恒成立，则 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数_______. 13. 已知直线是曲线的切线，则实数______． 14. 已知不等式对恒成立，则的取值范围为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 16. 已知函数，，其中是自然对数的底数． （1）求函数的极值； （2）对，总存在，使成立，求实数的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） （1）求证：平面PBC； （2）求证：平面BDE． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，且函数在上的最大值为，求的值． 19. 已知函数，其中． (1)若曲线在处的切线与直线平行，求a的值． (2)若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围． (3)若不等式对恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二年级3月份数学检测 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基础函数导数的公式计算即可. 【详解】，，，. 故选：D 2. 已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解. 【详解】因为函数在处的导数为3， 所以， 所以． 故选：B. 3. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到两平面法向量共线，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B 4. 函数，是的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，得到，则图象关于原点对称，排除B、D项；在时确定，排除C项，即可得到答案. 【详解】由函数，可得， 则， 所以函数为上的奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项； 当时，，则； 当时，，则， 因此当时，，可排除C项， 所以的大致图象为选项A. 故选:A. 5. 如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则 ， 所以异面直线与所成角为. 故选：D. 6. 已知四棱锥，底面ABCD是平行四边形，点E为PD中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知条件，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为四棱锥的底面ABCD是平行四边形，点E为PD中点， 所以 ， 因为，，， 所以. 故选：C. 7. 如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否. 【详解】由题，，则， 作出与直线平行的函数的所有切线，如图， 各切线与函数的切点的横坐标依次为， 则在，处的导数都等于， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 因此函数有三个极大值点，有两个极小值点. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用每一个的切线斜率作为该点的导数值，利用图形中任意点的切线斜率与比较，就能结合图象得出的正负取值情况，从而可得极值点的情况. 8. 已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出在P,Q两点处的切线斜率，即可得出是的两根，利用韦达定理即可得出的取值范围. 【详解】根据题意可知的定义域为，所以， 又， 由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为, 同理可得，点处切线斜率为； 又因为两条切线与直线平行，可得，即， 所以是关于方程的两根， 所以，即，又，可得； 所以，由，所以， 所以， 所以的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用线面位置关系与向量的关系可判断A选项；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；利用空间向量基底的概念可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方向向量为，平面的法向量为， 则，则，所以，或，A错； 对于B选项，对空间中任意一点，有， 则，整理可得， 故、、、四点共面，B对； 对于C选项，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底， 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，C对； 对于D选项，已知向量，， 则在方向上的投影向量为，D对. 故选：BCD. 10. 如图是函数的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象在处切线的斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 在时，函数取得极大值 D. 在时，函数取得极值 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A，根据导数的意义和正负判断斜率的正负；对于选项B，根据导数的符号与函数的单调性的性质进行判断；对于选项C，根据函数的极大值的定义进行判断；对于选项D，根据函数能取到极值的条件进行判断. 【详解】对于选项A： 题干中的图是导函数的图象，当导数小于0时，斜率小于0， 由图可知，在处的值是大于0的，所以图象在该点的切线的斜率是大于0，所以A错误. 对于选项B： 由图可知，导数在内都是大于等于0的， 所以说明函数在该区间内是单调递增的，所以B正确. 对于选项C： 由图可知，导数在的左侧是小于0，在右侧是大于0， 这说明函数在的左侧单调递减，在右侧单调递增，因而函数在此处取极小值，C错误. 对于选项D： 由图可知，导数在的左侧是大于0，在右侧也是大于0，符号无变化， 这说明不是极值点，函数在此处没有极值，所以D错误. 故选：B. 11. 设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若恒成立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造函数，根据条件计算得，利用导数研究其单调性可判定A、B；分离参数结合函数的单调性与最值可判定C；由题意得出，结合的单调性得出，计算后即可判定D. 【详解】由可得， 设，则，所以（为常数）， 所以因为，所以，即 对于A，因为，所以时，，单调递减； 时，，单调递增，所以在上单调递增.故A正确； 对于B，当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，且由A可知，在单调递增. 所以，解得，故B不正确； 对于C，若即，当时，恒成立； 当时，等价于，即， 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 所以，故C正确； 对于D，，即， 因为当时，，当时，在单调递增，且， 所以，且，则， 又因为，所以，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理列出方程组计算可得结果. 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以， 解得，，. 故答案为： 13. 已知直线是曲线的切线，则实数______． 【答案】## 【解析】 【分析】欲求的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出函数在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【详解】因为，所以. 设切点为，则切线斜率为. 所以切线方程为：. 由切线过点，所以，所以. 所以切线斜率为：，即. 故答案为： 14. 已知不等式对恒成立，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：利用同构转化不等式为，结合函数单调性可得恒成立，结合导数即可得解. 解法二：根据条件，由函数的定义域得到，再将原不等式转化为时，恒成立，构造函数（），利用导数结合与在上的函数图像讨论的最大值，从而得到关于的不等式，即可求解. 【详解】解法一：不等式可转化为， 即对恒成立， 设，易得该函数单调递增，则对恒成立，所以，， 设，则，所以单调递增， 所以，所以， 由函数对恒有意义，所以，， 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 解法二：由题意得：要使有意义，则， 当时，恒成立，即，所以， 当时，令（）， 要使不等式对恒成立， 则时，函数在上恒成立， 又，可知 在上是减函数， 当时，与在上的函数图像必有一个交点， 设其横坐标为，则有，即， 当时，时，的函数图像在下方， 则，所以在单调递减，所以； 当时，时，的函数图像在上方，时，的函数图像在下方， 所以时，；时，； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以. 要使时，函数在上恒成立， 则时，； ①当时，不等式， 设，， 可知在上单调递增，又， 所以时，成立， 故时，，解得：； ②当时，不等式（），则， 又在上单调递增，则时，， 所以时，不等式，解得：， 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，则得，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，则得，由空间向量的夹角公式求解即可． 【小问1详解】 空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得，所以， 则． 【小问2详解】 因为，则，解得， 所以， 故． 16. 已知函数，，其中是自然对数的底数． （1）求函数的极值； （2）对，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得该函数的极大值和极小值； （2）由题意可得，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，该函数的定义域为，则 令，得或，列表如下： x 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ，. 【小问2详解】 解：由题意可得， 由（1）可知在单调递减， ∴，∴在有解，， 令，，令， 单调递增 极大值 单调递减 所以，. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） （1）求证：平面PBC； （2）求证：平面BDE． 【答案】（1）证明如下： 如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明如下： 由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 【解析】 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，且函数在上的最大值为，求的值． 【答案】（1）单调减区间为，增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可求出函数的单调区间； （2）先求出导函数的零点，再分零点是否在区间进行讨论，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，即可得解. 【小问1详解】 当时，，， 当时，，当时，， 所以函数的单调减区间为，增区间为； 【小问2详解】 ， 若，令得（舍负）， 当时，，当，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， 所以函数在上单调递增， 则，得； 当，即时，函数在上递减，上递增， 则， 如若可以，只能，则（舍）； 当，即时，函数在上递减， 则（舍）. 综上可知，. 19. 已知函数，其中． (1)若曲线在处的切线与直线平行，求a的值． (2)若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围． (3)若不等式对恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)2；(2)；(3). 【解析】 【分析】(1)对函数求导，由导数的几何意义即可得解； (2)由函数在定义域内单调递减，可得导函数在该定义域上恒小于等于0，进而求解即得； (3)对给定不等式等价变形，分离参数，再构造函数，利用函数最值求解而得. 【详解】(1)函数定义域为， ， 依题意：，解得； (2)由(1)知，， 令，则， 时，时，即在上递减，在上递增，时， 即，所以a的取值范围是； (3)，， 令，则， 令，则 令，则，即在(0，1]上递减，而， 存在有，时，即，时，即， 于是在上递增，在上递减，而，则时， 时，则在(0，1]上递增，，即， 所以a的取值范围是 【点睛】思路点睛：利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $