精品解析：吉林省长春市九台区第三十一中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

八年级下学业质量监测数学试卷 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 下列式子：，，，，，其中分式有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 互联网已经进入时代，应用网络下载一个的文件只需要秒，这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A B. C. D. 4. 把分式的x、y均缩小为原来的10倍后，则分式的值（ ） A. 为原分式值的 B. 为原分式值的 C. 为原分式值的10倍 D. 不变 5. 分式方程去分母后，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 函数中自变量的取值范围是（　　） A B. C. 或 D. 且 8. 若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 已知点P位于第四象限内，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，则点P的坐标为__． 11. 分式，的最简公分母是___________． 12. 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则m的值是_______． 13. 计算___________． 14. 已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图像反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中表示时间，表示王强离家的距离．则下列结论正确的是_________．（填写所有正确结论的序号） ①体育场离王强家 ②王强在体育场锻炼了 ③王强吃早餐用了 ④王强骑自行车的平均速度是 三、解答题 15. 计算： （1） （2） 16 解方程： 17. 化简： 18. 先化简：，再从，0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值． 19. 同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ （1）请你帮他找出这道题从第___________步开始出错； （2）请完整地解答此分式方程 20. 某服装制造厂要在开学前赶制2400套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的校服比原来多了20%，结果提前4天完成任务．问原计划每天能完成多少套校服？ 21. 已知分式，试解答下列问题： （1）分式有意义的条件是 ，分式的条件是 ； 阅读材料：若分式的值大于，则或， （2）根据上面这段阅读材料，若分式，求的取值范围； （3）根据以上内容，自主探究：若分式，求的取值范围(要求：写出探究过程)． 22. 如图1，某校机器人兴趣小组在长方形水池边上进行机器人测试．机器人从点B处出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：线段，线段，线段，到点A处停止．如果机器人所在的位置用点P表示，那么的面积与机器人出发后的时间t（分钟）之间的关系图像如图2所示． （1）请求出长方形的长和宽； （2）当时，求S与t之间的关系式； （3）若沿途在某处让机器人原地做了分钟的其他性能测试，然后重新出发，前后速度保持不变，请你求出机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程． 23. 某水果超市两次去批发市场采购同一品种的苹果，第一次用800元购进了若干千克，很快实完，第二次用2200元所购数量比第一次多120千克，且每千克的进价比第一次提高了． （1）求第一次购买苹果的进价； （2）求第二次购买苹果的数量； （3）该水果超市按以下方案卖出第二次购买的苹果；先以a元/千克的价格售出m千克，再以15元/千克的价格售出剩余的全部苹果（不计损耗），共获利1500元，若a，m均为正整数，且a不超过第二次进价的2倍，直接写出a和m的值． 24. 综合与探究： 在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的一个动点． 自主探究： （1）点到轴的距离是___________，到原点的距离是___________． （2）点关于轴的对称点坐标为___________，关于原点对称点的坐标为___________． 探索发现： （3）当是直角三角形时，求出点的坐标． （4）当是等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下学业质量监测数学试卷 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 下列式子：，，，，，其中分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：，的分母中含有字母，属于分式，共有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意是常数，是解题的关键． 2. 互联网已经进入时代，应用网络下载一个的文件只需要秒，这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了科学记数法表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、该式子的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，不符合题意； B、该式子的分子、分母中含有公因数，不是最简分式，不符合题意； C、该式子的分子、分母中不含有除1之外的其他公因式，是最简分式，符合题意； D、该式子的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 4. 把分式的x、y均缩小为原来的10倍后，则分式的值（ ） A. 为原分式值的 B. 为原分式值的 C. 为原分式值的10倍 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】将所给分式里的x、y换成、，利用分式的基本性质化简分式，与原分式比较即可求解． 【详解】解：x、y均缩小为原来的10倍后， ， ∴分式的值为原分式值的10倍， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质化简分式是解答的关键． 5. 分式方程去分母后，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程变形后，去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：分式方程变形得：， 去分母得：． 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，去分母之前要找对各分母的最简公分母． 6. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断改点所在的象限． 【详解】解：， ，， 满足第二象限的条件． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标以及象限知识，解题的关键在于熟练掌握各个象限的横纵坐标点的符号特点． 7. 函数中自变量的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零，是解题的关键． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算． 【详解】解：有题意得：，， 解得：且， 故选：D． 8. 若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是负数， ∴，，即， 解得：且， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：若代数式有意义，则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键． 10. 已知点P位于第四象限内，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，则点P的坐标为__． 【答案】（4，﹣2） 【解析】 【分析】已知点P在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断具体坐标． 【详解】解：因为点P在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点P到x轴和y轴的距离分别是2和4， 所以点P的坐标为（4，﹣2）． 故答案为（4，﹣2）． 【点睛】本题主要考查了点在第四象限时点的坐标的符号，点到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为这点横坐标的绝对值，理解点到坐标轴的距离是解题关键． 11. 分式，的最简公分母是___________． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：题中两分式的最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为2a3bc． 12. 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，先去分母，可求出方程的根，再根据原方程有增根，得，可求出m的值． 【详解】， 去分母，得， 解得． ∵原方程有增根， ∴， 即， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简零次幂、负整数指数幂以及乘方，再运算加减，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图像反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中表示时间，表示王强离家的距离．则下列结论正确的是_________．（填写所有正确结论的序号） ①体育场离王强家 ②王强在体育场锻炼了 ③王强吃早餐用了 ④王强骑自行车的平均速度是 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用图象信息解决问题即可． 【详解】解：体育场离张强家，①正确； 王强在体育场锻炼了，②错误； 王强吃早餐用了，③正确； 王强骑自行车的平均速度是，④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算和分式加法运算，解题的关键是熟练掌握分式乘法和加法运算法则，准确计算． （1）根据分式乘法运算法则计算即可； （2）根据分式加法运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，最后检验即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得： ， 移项，合并同类项：， 系数化为1得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 17. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简，掌握因式分解相关知识以及分式运算的相关法则是正确化简分式的关键． 先算括号里面的分式的减法，再算分式的除法即可． 【详解】解： ． 18. 先化简：，再从，0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴， ∴当时，原式． 19. 同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ （1）请你帮他找出这道题从第___________步开始出错； （2）请完整地解答此分式方程 【答案】（1）② （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据去分母，两边同时乘，即可确定； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验． 【小问1详解】 解：， ， 去分母得：， ∴这道题从第②步开始出错， 故答案为：②． 【小问2详解】 解：， ， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，故无解． 20. 某服装制造厂要在开学前赶制2400套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的校服比原来多了20%，结果提前4天完成任务．问原计划每天能完成多少套校服？ 【答案】原计划每天能完成100套校服． 【解析】 【分析】设原计划每天能完成x套校服，则实际每天能完成（1＋20%）x套校服，根据工作时间＝总工作量÷工作效率结合提前4天完成任务．即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】设原计划每天能完成x套校服，则实际每天能完成（1+20%）x套校服， 根据题意得：， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是原方程的解且符合题意． 答：原计划每天能完成100套校服． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 21. 已知分式，试解答下列问题： （1）分式有意义的条件是 ，分式的条件是 ； 阅读材料：若分式的值大于，则或， （2）根据上面这段阅读材料，若分式，求的取值范围； （3）根据以上内容，自主探究：若分式，求的取值范围(要求：写出探究过程)． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】(1)根据分式有意义的条件及分式的值为零的条件即可求解； (2)根据除法法则得出两个不等式组，求出不等式组的解集即可； (3)根据除法法则得出两个不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】(1)当分母，即时，分式有意义； 当分子，且分母，即时，分式； 故答案为： (2)由题意，得或， 解不等式组得：， ∴不等式组解集为：， 解不等式组得：， ∴不等式组无解， 综上， 的条件是； (3)由(2)阅读材料，得，或， 解不等式组得：， ∴不等式组解集为：， 解不等式组得：， ∴不等式组解集为：， 综上，的条件是：或． 【点睛】本题考查了解不等式组的应用，分式有意义的条件及分式的值为零的条件，解此题的关键是能转化成两个不等式组． 22. 如图1，某校机器人兴趣小组在长方形水池边上进行机器人测试．机器人从点B处出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：线段，线段，线段，到点A处停止．如果机器人所在的位置用点P表示，那么的面积与机器人出发后的时间t（分钟）之间的关系图像如图2所示． （1）请求出长方形的长和宽； （2）当时，求S与t之间的关系式； （3）若沿途在某处让机器人原地做了分钟的其他性能测试，然后重新出发，前后速度保持不变，请你求出机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程． 【答案】（1）长是，宽是 （2） （3） 【解析】 分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式： （1）根据函数图象可得到，再根据在上运动时，的面积为，结合三角形面积公式得到，据此即可求出答案； （2）根据（1）所求可得机器人的速度为每分钟走，则，再根据三角形面积公式求解即可； （3）根据题意可求出a的值，进而根据路程等于速度乘以时间求出答案． 【小问1详解】 解：观察图像可知，机器人从B点走到C点用了3分钟，从C点走到走到D点用了6分钟 ∵机器人是匀速运动 ∴， 又从图像可知， ∴， ∴长方形的长是，宽是． 【小问2详解】 解：由（1）可知，机器人3分钟走了的路程， ∴机器人的速度为每分钟走， ∴， ∴当时，S与t之间的关系式为： 【小问3详解】 解：由题意可得 ∴机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程为：． 23. 某水果超市两次去批发市场采购同一品种的苹果，第一次用800元购进了若干千克，很快实完，第二次用2200元所购数量比第一次多120千克，且每千克的进价比第一次提高了． （1）求第一次购买苹果的进价； （2）求第二次购买苹果的数量； （3）该水果超市按以下方案卖出第二次购买的苹果；先以a元/千克的价格售出m千克，再以15元/千克的价格售出剩余的全部苹果（不计损耗），共获利1500元，若a，m均为正整数，且a不超过第二次进价的2倍，直接写出a和m的值． 【答案】（1）第一次购买苹果的进价为10元/千克，第二次购买的进价为11元/千克 （2）200千克 （3）， 【解析】 【分析】本题考查分式方程应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设第一次购买苹果的进价为元，根据第二次用2200元所购数量比第一次多120千克，且每千克的进价比第一次提高了，列出分式方程进行求解即可； （2）用总价除以进价，求出数量即可； （3）根据总利润等于单价利润乘以销量，列出二元二次方程，用含的代数式表示出的值，根据a不超过第二次进价的2倍，求出的范围，求出的正整数解即可． 【小问1详解】 解：设第一次购买苹果的进价为元/千克，则：第二次购买的进价为元/千克， 由题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：第一次购买苹果的进价为10元/千克，第二次购买的进价为11元/千克； 【小问2详解】 第二购买的数量为（千克）； 【小问3详解】 由题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵均为正整数， ∴，． 24. 综合与探究： 在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的一个动点． 自主探究： （1）点到轴的距离是___________，到原点的距离是___________． （2）点关于轴的对称点坐标为___________，关于原点对称点的坐标为___________． 探索发现： （3）当是直角三角形时，求出点的坐标． （4）当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）1，；（2），；（3）或；（4）或或或 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． （1）根据坐标与图形性质得到点到轴的距离，根据勾股定理求出点到原点的距离； （2）根据坐标关于轴以及原点对称的特点即可得出点的对称点的坐标； （3）当或时，分别讨论即可求得答案； （4）因为，当，，时，分三种情况分别讨论即可求得答案． 【详解】解：（1）∵点的坐标为， ∴点到轴的距离是， 点到原点的距离， 故答案为：1，； （2）关于轴对称，纵坐标不变，横坐标为相反数， ∴点关于轴对称点坐标为， 关于原点对称，横、纵坐标都为其相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：，； （3）①如图，当时， 点的横坐标为， ∴点坐标为； ②如图，当时，过点做垂直与轴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （4）∵， ①当时，为等腰三角形，， 若动点在原点左侧，则有； 若动点在原点右侧，则有； ②如图，当时，为等腰三角形，过点作轴于点 则点与点关于直线对称，则有； ③如图，当时，为等腰三角形，过点作轴于点， 则，， 在中，，即， 解得：， ∴， 综上所述，当取值或或或时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$