精品解析：广东省佛山市南海区九江中学2024-2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题

南海区九江中学2026届高二下学期教学质量检测（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列{an}是等比数列，a1=5，a2a3=200，则a5=（　　） A. 100 B. C. 80 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】设等比数列{an}的公比为q， ∵a1=5，a2a3=200， ∴52×q3=200，解得q=2． 则a5=5×24=80． 故选C． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2. 曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】确定曲线在点处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】因为曲线在点处的切线与直线平行， 故曲线在点处的切线的斜率为2， 因为，所以， 所以， 故选：C. 3. 已知非零实数a，b，c不全相等，则下列结论正确的是（ ） A. 若a，b，c成等差数列，则，，构成等差数列 B. 若a，b，c成等比数列，则，，构成等差数列 C. 若a，b，c成等差数列，则，，构成等比数列 D. 若a，b，c成等比数列，则，，构成等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】A、B、D选项可以通过特值法排除，C选项直接翻译得到，用等比中项的方法可判断C对. 【详解】解：当，，时，,A错误； 当，， 时，,，B错误； 若a，b，c成等差数列，则， 所以， 故，，构成等比数列，C正确； 当，，时，D显然错误． 故选：C． 4. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设各个图形的周长依次排成一列构成数列，观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，判断为等比数列，求出其通项，代入即得 【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的， 则从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有， 故数列是首项，公比为的等比数列，则，故. 故选：B. 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，令即可. 【详解】由可得， 故，得， 故选：A 6. 设，则的递减区间为（ ）． A. B. C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的定义域，然后求函数导数，解导数不等式即可． 【详解】函数的定义域为， 则， 由题意，， 得， 解得，∵， ∴不等式的解为， 故选：B． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，解题关键是正确求导及解不等式，易错点为容易忽略定义域的选取，属于基础题. 7. 设数列的前项之积为，满足（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值． 【详解】因为， 所以，即，所以， 所以，显然， 所以， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以， 即，所以． 故选：C． 8. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，求出，表示出体积表达式，利用导数求出函数的最大值，得到结果． 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么， 因此， ， 令得， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 时，取得极大值，并且这个极大值即是最大值． 把代入，得（负值舍去）， 由，解得， 即圆心角为弧度时，容器的容积最大. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数在定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案． 【详解】对于A中，函数，可得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以A不符合题意, 对于B,函数（），可得，当时，，单调递增；故B符合， 对于C中，,则，故单调递增；故C符合， 对于D，函数，可得，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以D不符合题意； 故选：BC． 10. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，是数列的前项和.以下说法正确的是（ ） A. B. 是数列的第8项 C. 当时，最大 D. 是公差为的等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合题意，得到数列的通项，结合等差数列的求和公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由等差数列的首项，公差，可得， 对于A中，根据题意，可得，，所以公差为， 所以数列的通项公式为，所以A正确； 对于B中，由，令，解得，所以B正确； 对于C中，令，解得， 所以或时，取得最大值，所以C正确； 对于D中，由，可得， 则， 所以是公差为的等差数列，所以D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数在原点处的切线方程为 B. 函数的极小值点为 C. 函数在上有一个零点 D. 函数在R上有两个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解即可；对于B，先对函数求导，然后使导函数等于零，再判断增减区间，从而可函数的极值点；对于C，由于当时，恒成立，所以在上无零点；对于D，令，解方程可得其零点 【详解】函数，得，则； 又，从而曲线在原点处的切线方程为，故A正确． 令得或． 当时，，函数的增区间为，； 当时，，函数的减区间为． 所以当时，函数有极大值，故B错误． 当时，恒成立， 所以函数在上没有零点，故C错误． 当时，函数在上单调递减，且，存在唯一零点； 当时，函数在上单调递增，且，存在唯一零点． 故函数在R有两个零点，故D正确． 故选：AD 【点睛】本小题以函数与导数为载体，考查切线方程、极值、零点等基础知识，考查数学建模能力，考查数形结合思想，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现综合性和应用性． 三、填空题（共3题，每题5分，总共15分） 12. 若函数，则______. 【答案】 【解析】 【详解】利用求导法则求即可. 因，则， 故 故答案为： 13. 已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，则这个数列的前15项和为______. 【答案】210 【解析】 【分析】由等比数列的前项和性质可得，成等比数列，根据等比中项的性质即可求解. 【详解】根据题意，记等比数列的前项和为，则成等比数列，所以 故答案为210 【点睛】本题主要考查等比数列前项和性质及等比中项，考查方程思想，属于基础题. 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间. （2）求在区间的最大值和最小值. 【答案】（1）在上递减，在，上递增；（2）最大值为16，最小值为-16. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导函数的符号即可得出答案； （2）由（1），分别求出端点的函数值和函数的极值，从而可求得函数的最值. 【详解】解：（1）， 当时，，当或时，， 所以函数在上递减，在，上递增； （2）由（1）可得函数在上递减，在，上递增， 又，， ，， 所以在区间的最大值为16，最小值为-16. 16. 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （Ⅰ）依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得、、、、、、、、. 依题意，，， 从而，所以； （Ⅱ）； （Ⅲ）. 【解析】 【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出； （Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ） 依题意，是平面的一个法向量， ，． 设为平面的法向量， 则，即， 不妨设，可得． ， ． 所以，二面角的正弦值为； （Ⅲ）依题意，． 由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是． 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题. 17. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式列方程组求解即可. （2）根据错位相减法及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，则前项和为. 所以，即， 解得，，所以. 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 . ， ， 所以 ， 即， 所以. 18. 已知是公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，且，数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式及其前n项和； （2）设求数列的前n项和； （3）设集合，求集合M中所有元素的和． 【答案】（1），； （2）； （3）900. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量表示，再根据三个数是等比数列，列式求解首项和公差，即可求解数列的通项公式和前项和； （2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和； （3）根据（1）的结果，再根据不等式求解集合中的项数，再根据等差数列的前项和公式，即可求解. 【小问1详解】 因为是公差不为零的等差数列，，，成等比数列， 所以，即，又， 所以，，，； 【小问2详解】 ， 则数列的前n项和； 【小问3详解】 集合， 故，故集合M中所有元素的和即求数列的前30项和， 则． 19. 已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：函数在区间内有且只有一个极值点； （3）证明：. 【答案】（1）； （2） . 当时，因为和都是增函数， 所以是增函数. 又因为， 所以，使得. 当时，：当时，. 于是，在上单调递减，在上单调递增. 因此，在区间内有且只有一个极小值点，无极大值点. （3） 令，则. 当时，：当时，. 于是，在上单调递减，在上单调递增. 因此，. 令，则， 当且仅当时取等号. 于是，是增函数. 因此，当时，. 综上，，即. 【解析】 【分析】（1）求导得，再求出，从而得到切线方程； （2）求导得，利用隐零点法即可证明； （3）令，则，得到，再令，同样求导得，则，则原不等式即证明. 【小问1详解】 的定义域为，且. 因为，所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是构造两函数和得到，，再相加即可得到原题不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海区九江中学2026届高二下学期教学质量检测（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列{an}是等比数列，a1=5，a2a3=200，则a5=（　　） A. 100 B. C. 80 D. 2. 曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知非零实数a，b，c不全相等，则下列结论正确的是（ ） A. 若a，b，c成等差数列，则，，构成等差数列 B. 若a，b，c成等比数列，则，，构成等差数列 C. 若a，b，c成等差数列，则，，构成等比数列 D. 若a，b，c成等比数列，则，，构成等比数列 4. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 6. 设，则的递减区间为（ ）． A. B. C. ， D. 7. 设数列的前项之积为，满足（），则（ ） A. B. C. D. 8. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数在定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，是数列的前项和.以下说法正确的是（ ） A. B. 是数列的第8项 C. 当时，最大 D. 是公差为的等差数列 11. 已知函数，则（ ） A. 函数在原点处的切线方程为 B. 函数的极小值点为 C. 函数在上有一个零点 D. 函数在R上有两个零点 三、填空题（共3题，每题5分，总共15分） 12. 若函数，则______. 13. 已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，则这个数列的前15项和为______. 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间. （2）求在区间的最大值和最小值. 16. 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 18. 已知是公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，且，数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式及其前n项和； （2）设求数列的前n项和； （3）设集合，求集合M中所有元素的和． 19. 已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：函数在区间内有且只有一个极值点； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $