2025年人教版九年级数学中考一轮复习专题：二次函数综合

2025年人教版九年级数学中考一轮复习： 二次函数综合 1．已知抛物线（a，c为常数，）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交点C，顶点为D，． (1)①求点A的坐标； ②求的值 (2)如图，连接交于点，求的值 (3)设P是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点P作轴，交直线于点Q．当时，则点P的横坐标为____________ 2．【定义与性质】 如图1，记二次函数和的图象分别为抛物线和，且与轴都有两个交点． 定义：若抛物线的顶点为抛物线的顶点关于抛物线与轴交点的对称点，则称是关于点的对称抛物线，简称是的对称抛物线． 性质：①一条抛物线有2条对称抛物线； ②若是的对称抛物线，则也是的对称抛物线， 【理解与运用】 (1)试说明二次函数的其中1条对称抛物线为； 【思考与探究】 (2)设抛物线的函数表达式为．若该抛物线与轴交于，两点（且点在点的右侧）． ①若抛物线关于点的对称抛物线与轴的另一个交点为，其中，求的取值范围； ②如图2，抛物线关于点的对称抛物线的顶点为，试问当，满足什么关系时，为等边三角形． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C． (1)如图，直线与抛物线在第一象限交于点，交于点，交轴于点，于点，若为的中点，求的值． (2)直线与抛物线交于，两点，其中．若且，结合函数图象，探究的取值范围． (3)已知二次函数． ①若该函数的取值恒为非负数，求实数的取值范围． ② 当，该二次函数的增减性不发生变化， 求实数的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求点到直线的距离； (3)当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围． 5．综合与实践 【问题提出】 如图（1）在中，，D为边上一点，点P沿折线运动（运动到点C停止），以为边在上方作正方形．设点P运动的路程为x，正方形的面积为y． 【初步感悟】 （1）当点P在上运动时， ①若，则________； ②y关于x的函数关系式为________； （2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在拋物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】 （3）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为M，在（2）的情况下，求点A在内部时x和y的取值范围． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，点是线段上一动点，垂直对称轴，垂足为，连接，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 7．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于C． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作于点M，N是直线上的一动点，连接．当取得最大值时，求的最小值： (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点Q是新抛物线上的一点，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 8．如图，抛物线  经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点，在对称轴上是否存在点 ，使与相似如果存在，请求出点E的坐标：如果不存在，请说明理由； (3)已知点是轴上的动点，连接，直接写出的最小值． 9．许多数学问题源于生活，雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中（坐标系中1个单位长度为），伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．，点A到x轴的距离是，A，B两点之间的距离是． (1)求抛物线的表达式； (2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； (3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位长度，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，若 ，求m的值． 10．新定义：若二次函数为（，，，是常数），则称为的“关联”二次函数，称这两个函数为互为“关联”二次函数． (1)写出的“关联”二次函数的表达式，并写出该互为“关联”二次函数的图象的一个性质； (2)若（1）中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象只有两个交点，求的值； (3)如图，二次函数与互为“关联”二次函数，，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图象的顶点，是的图象与轴正半轴的交点，连接，，，若点为，且为直角三角形，求点的坐标． 11．如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的解析式及，两点的坐标； (2)如图2，将位于直线上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，请求出线段的最大值． 12．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)若无实数解，求t的取值范围； (3)将抛物线沿x轴向右平移m（）个单位长度，当时，它的函数最大值是3，求m的值． 13．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，轴上存在一点，使经过，两点，求点的坐标； (3)如图，连接，点（不与三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴的正半轴，抛物线正方形的顶点，，点为抛物线的顶点，连过接，，． (1)求正方形的边长； (2)求四边形的面积． 15．已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为点，点，为直线上的两个动点（点在的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移，使得新抛物线经过点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的坐标（写出必要的求解过程） 17．如图1，二次函数与轴相交于点、（点A在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)直接写出点、、的坐标； (2)如图1，连接，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图2，直线与抛物线相交于两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点与点的直线交抛物线于，若直线必与某条直线平行，求这条直线的函数解析式． 18．点 、、 的坐标为分别，抛物线经过这三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点，是抛物线上的两个动点，且点 在直线 下方． ①如图1，过 点作轴的垂线，垂足为，交直线 于点，连接，，，猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图2，点 在直线 上，且横坐标为，过点 作轴于点 ，求线段 长度的最大值． 19．已知二次函数．    (1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图象的顶点A的坐标； (2)在（1）的条件下，图像与x轴交于O，C两点，求的面积； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求面积的最大值． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点D，连接，点M是直线上一动点，轴，垂足为N，连接．当取最大值时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，过点P作轴，垂足为Q，交直线于点E，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程． 参考答案 1．(1)①；② (2) (3)或 2．(1)见解析 (2)①；②当时，为等边三角形 3．(1) (2)或 (3)①；②或 4．(1) (2) (3)或 5．（1）①3；②；（2）；（3）点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 6．(1) (2) (3)或 7．(1) (2)2 (3)或 8．(1) (2)存在，或或或 (3) 9．(1) (2) (3)20或40 10．(1)，性质：图象关于原点成中心对称（答案不唯一，合理即可） (2)或 (3)或 11．(1)，， (2)①；② 12．(1)，对称轴是直线 (2) (3)或3． 13．(1) (2) (3)存在， 14．(1) (2) 15．(1) (2)或 (3)存在，或 16．(1) (2) (3)点的坐标为或 17．(1)，， (2)或 (3) 18．(1) (2)①，理由见解析；② 19．(1) (2) (3)最大值为 20．(1) (2) (3) 学科网（北京）股份有限公司 $$