2025年北师大版九年级数学中考一轮复习专题：二次函数综合

2025年北师大版九年级数学中考一轮复习： 二次函数综合 1．如图，已知二次函数（）的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），且点．点是该二次函数图象上的一点，其横坐标为，当点不与点、重合时，连接，以、为邻边作． (1)求这个二次函数的解析式及点的坐标； (2)若平行四边形的面积是，求点的坐标； (3)当二次函数（）的图象在平行四边形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之差是时，求的值； (4)当二次函数（）在平行四边形内部的图象随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当P点的横坐标为4时，在抛物线上存在点Q（异于点P），使P、Q两点到直线的距离相等，求出所有满足条件的点Q的横坐标； (3)如图2，连接，，当点在直线上方运动时，过点作于点，交轴于点，过点作交于点，交轴于点，若的面积为，求出点的坐标； (4)过点P作轴交直线于点H，在y轴上是否存在点M，使得以P，H，A，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连接．    (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标； (2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A，C，E，F为顶点，为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点点在的右侧，与轴交于点，若． (1)求、的值； (2)如图，若点是点下方轴上一动点，过作交直线于，求代数式的最小值，并求出取得最小值时点的坐标； (3)如图，在第（2）问当代数式取得最小值时的条件下，将抛物线向右平移个单位长度得到新抛物线，平移后的新抛物线与原抛物线相交于点，为直线上一点，点为平面坐标系内一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的解答过程． 5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其中点，点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在直线的下方抛物线上有一点，过点作轴交于点，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度后得到新抛物线，点在新抛物线上，点是原抛物线对称轴上一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的过程． 6．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时时，求出m的取值范围并写出这个定值； (4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 7．抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点.    (1)求抛物线的表达式； (2)若D是第一象限抛物线上的一个动点，连接，，当四边形的面积最大时，求点D的坐标，此时四边形的最大面积是多少； (3)点E在直线上，点F在平面内，当以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点F的坐标. 8．对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系中，二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为（不与坐标原点重合），以为边构造正方形，则称正方形为二次函数的关联正方形，称二次函数为正方形的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．    (1)如图，直接写出二次函数的关联正方形顶点的坐标______，并验证点是否为伴随点______（填“是”或“否”）； (2)当二次函数的关联正方形的顶点与位于轴的两侧时，请解答下列问题： ①当关联正方形的顶点是伴随点时，求关联函数的解析式； ②关联正方形被二次函数图象的对称轴分成的两部分的面积分别为与，若，请直接写出的取值范围． 9．如图，已知二次函数的图像与轴交于点、点，与轴交于点，且，点为抛物线的顶点，连接． (1)求点的坐标及该抛物线的解析式， (2)如图1，点在直线下方抛物线上的一个动点，过点作交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线对称轴上运动，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程． 10．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 11．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 12．在平面直角坐标系中，拋物线与x轴交于E，F两点，长方形的顶点C，D在x轴上，，． (1)如图1，若拋物线过点A，求拋物线的函数表达式和点E的坐标． (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点B的对应点P落在直线上，点E的对应点Q落在拋物线上，求Q点的横坐标． (3)若拋物线与图2中的三条边恰有两个交点，则的取值范围是________． 13．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，对称轴为，且． (1)直接写出抛物线的解析式为______． (2)如图1，点D为抛物线顶点，点E是第一象限抛物线上一点，使得，，求E点坐标． (3)将抛物线关于y轴翻折得到抛物线，如图2，它与x轴负半轴交于点P，与正半轴交于点Q，与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于M，N两点，且平分，求点P到直线的最大距离． 14．如图，已知抛物线经过坐标原点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 15．如图，二次函数（为常数）图象与轴交于点，顶点为，点的坐标为，连接． (1)求二次函数表达式； (2)如图，求证：是等腰直角三角形； (3)如图，分别是线段上的动点，且，求的最小值． 16．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且过点． (1)求抛物线表达式； (2)如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作轴，交直线于点E，交x轴于点F，连接，若时，求点P的坐标； (3)如图3，点M是抛物线的顶点，点P为抛物线对称轴上的一个动点，连接，求的最小值． 17．如图，已知抛物线，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线相交于A，B两点． (1)求m的值； (2)求直线对应的一次函数表达式； (3)抛物线位于A，B两点之间的部分图形记作W，过点M的直线l与W相交于E，F两点，连接，求面积的最大值及此时对应的E点坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，直线与轴交于点、点、是该抛物线上的两个点．点的横坐标为． (1)该抛物线的顶点坐标为______； (2)当点在轴上，且点是该抛物线的顶点时，______； (3)当点在直线的右侧，点到直线的距离是点的纵坐标时，若点、点之间的部分的图象（包括点、点）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求的值； (4)过点作于点，过点作于点，连结、，当、、三点共线，且的周长是的周长的4倍时，直接写出的值． 19．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得的面积始终为定值，若存在，求出的值及面积的定值；若不存在，请说明理由． (3)若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围． 20．如图，已知二次函数的图象与直线相交于、两点，且点在轴上，直线与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，轴交直线于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，连接．将沿轴方向移动到，连接、，当面积最大时，求点的坐标及的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点是新抛物线上一动点，连接、．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 参考答案 1．(1)二次函数的解析式为，； (2)点的坐标是或； (3)或或； (4)且． 2．(1) (2)点Q的横坐标为：2或或； (3)； (4)存在，点M的坐标为或或． 3．(1)，顶点D的坐标为 (2)或 (3) 4．(1)， (2)取得最小值为：； (3)点的坐标为：或或，解答过程见解析 5．(1) (2)； (3)或 6．(1) (2)的面积为1； (3)当的取值范围为，定值为4； (4)或. 7．(1) (2)；四边形的最大面积是 (3) 或 或 或 8．(1)或；否 (2)①；②或且或 9．(1)， (2)， (3)或或，过程见解析 10．(1) (2)， (3)存在，，，， 11．(1) (2)或 (3)存在， 12．(1) (2) (3)或 13．(1) (2) (3)点P到直线的最大距离 14．(1)抛物线的函数表达式为， (2)点坐标为或 15．(1) (2)证明见解析 (3) 16．(1) (2)P点坐标为或 (3)30 17．(1) (2) (3)或，的最大值为 18．(1) (2) (3)或 (4)或 19．(1)； (2)，面积为3； (3) 20．(1) (2)，的最小值 (3)或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$