精品解析：河南省驻马店高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

驻马店高中高二下期第三次考试数学试题 命题：李磊 审题：时光 注意事项： 1．答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．满分：150分 考试时间：120分 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化为标准方程，根据准线方程的定义求解． 【详解】抛物线的方程为， 则其焦点坐标为，准线方程为． 故选： 2. 已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ） A. 120 B. 15 C. 25 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为. 故选：B. 3. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 4. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）. A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得的值，再由导数的概念即可得正确答案． 详解】因为函数的图象在点处的切线方程是， 切点的横坐标为， 由导数的几何意义可得， 所以， 故选：D. 5. 如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ） A. 540 B. 600 C. 660 D. 720 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可. 【详解】第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择,即共有种涂色方案. 故选：D 6. 如图，已知，是双曲线的左、右焦点，、为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解. 【详解】 延长与双曲线交于点，因为，根据对称性可知， 设，则，可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：A. 7. 设函数，其中，若恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式恒成立，按照的符号进行分类讨论，推出，再利用基本不等式即可求得所求式的最小值. 【详解】由恒成立，可得恒成立， 当，即时，恒成立，故得； 当时，即时，显然不等式恒成立； 当时，即时，恒成立，故得. 综上分析，可得. 因，则，当且仅当时等号成立， 则， 即的最小值是. 故选：A. 8. 棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（ ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面方程，点关于平面的对称点坐标，结合对称求出最小值. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，平面的截距式方程方程为， ，设的法向量，则， 令，得，令点关于平面的对称点为， 则，解得，即， 连接交平面于点，则在内，且， 因此的周长， 当且仅当与重合时取等号，所以周长的最小值为. 故选：D 二、多选题（每小题6分 共计18分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据求导公式依次判定选项即可得到答案. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC 10. 如图是导函数的导函数的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取极大值 D. 函数在处取极小值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由导函数与原函数的关系以及极值的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由图像可知，当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 所以当时，函数有极大值，故C正确，A错误； 当时，，则函数单调递增，故B正确； 且，即不是函数的极值点， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递增， 所以不是函数的极值点，故D错误. 故选:BC 11. 函数 ，则下列说法正确的是 （ ） A. 当 时， 的极小值为 B. 为奇函数 C. 当 时， 一定有三个零点 D. 若直线 与 有三个交点 ，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数确定极值判断A；利用奇函数的定义判断B；由极大值、极小值的正负判断C；利用中心对称的性质判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 当时，，当时，，为极大值，A错误； 对于B，令，则， 函数是奇函数，B正确； 对于C，，当时，令的二根， ，当或时，；当时，， 函数在上递增，在上递减，， 由三次函数的图象特征知，函数的图象与轴有3个交点，C正确； 对于D，由选项B知，函数的图象关于点对称，而直线关于点对称， 因此函数的图象与直线的3个交点关于点对称， 其交点的横坐标满足，D正确. 故选：BCD 三、填空题 （每小题5分，共计15分） 12. 若，则______. 【答案】190 【解析】 详解】则 ，所以 故答案为190 13. 《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式_____．（用数字作答） 【答案】84 【解析】 【分析】根据已知条件，分两种情况进行排列组合即可. 【详解】由题知共分两种情况： 第一种情况：风、火灵珠选出一个，水、雷、土三种灵珠均被选出， 共有种法阵组合； 第二种情况：风、火灵珠均被选出，水、雷、土三种灵珠选出两个， 先从水、雷、土三种灵珠中选出两个进行排列，共有种方法， 再将风、火灵珠进行插空，共有种方法， 则共有种法阵组合， 所以共有种法阵组合. 故答案为：84 14. 已知恒成立，则正数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解. 【详解】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以, 所以有：， 设平面的法向量为，则有 所以，令，有， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为：. 16. 现有一个六个面分别标有数字的正方体骰子，连续抛掷两次，设分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，. （1）求的概率； （2）求的数学期望. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及列举法求出、对应概率，应用互斥事件加法求概率即可； （2）的所有可能值为，同（1）方法求对应可能值的概率，进而求期望. 【小问1详解】 由题设，，即或， 连续抛掷两次骰子，得到朝上的点数构成的数组共有36种可能， 的情况有共6种，故， 的情况有共10种，故， 所以的概率为. 【小问2详解】 由题意，的所有可能值为，同（1）分析， 的情况有共8种，则， 的情况有共6种，则， 的情况有共4种，则， 的情况有共2种，则， 所以. 17. 若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． （1）判断函数在区间上否具有性质？并说明理由． （2）设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】（1）函数在区间上具有性质； （2）存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； （3）的最大值为. 【解析】 【分析】（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可； （2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围； （3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值. 【小问1详解】 令，， 则，， ，， 当时，恒成立， ∴函数在区间上具有性质； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵在处取得极值，且为奇函数， ∴在处也取得极值， ∴，解得， ∴， ， 当时，令，解得；令，解得； 故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值， ∴， 当时，恒成立， ∴存在实数，使在区间上恒成立， ∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； 【小问3详解】 ∵， ∴， 令， 则， 令， 则， 当时，，在区间上单调递增， 又∵，， ∴存在，使， ∴当时，，，在区间上单调递减， 当时，，，在区间上单调递增， ∴当时，的最小值为， 由，有， ∴， ∵，∴， 又∵恒成立， ∴， ∵且， ∴的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题中存在无法求解零点，使用了虚设零点的方法，设，再通过的代换，求得的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一. 18. 设数列的前项和为．已知． （1）求通项公式； （2）设数列，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，先求，当时，由即可求解. （2）由，分和即可求. 【小问1详解】 由，当时，，，解得， 当时，由有， 所以，即，所以数列是以首项为1，公比为的等比数列， 所以； 【小问2详解】 因为， 当时，，， 当时，， ， 所以. 19. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列最值大即可. 【小问1详解】 因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 驻马店高中高二下期第三次考试数学试题 命题：李磊 审题：时光 注意事项： 1．答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．满分：150分 考试时间：120分 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ） A. 120 B. 15 C. 25 D. 90 3. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 4. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）. A. 1 B. 3 C. D. 5. 如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ） A. 540 B. 600 C. 660 D. 720 6. 如图，已知，是双曲线的左、右焦点，、为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ） A B. C. D. 7. 设函数，其中，若恒成立，则最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（ ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分 共计18分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 10. 如图是导函数的导函数的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取极大值 D. 函数处取极小值 11. 函数 ，则下列说法正确是 （ ） A. 当 时， 的极小值为 B. 奇函数 C. 当 时， 一定有三个零点 D. 若直线 与 有三个交点 ，则 三、填空题 （每小题5分，共计15分） 12. 若，则______. 13. 《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式_____．（用数字作答） 14. 已知恒成立，则正数的取值范围为______． 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 16. 现有一个六个面分别标有数字的正方体骰子，连续抛掷两次，设分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，. （1）求的概率； （2）求的数学期望. 17. 若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． （1）判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． （2）设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 18. 设数列的前项和为．已知． （1）求通项公式； （2）设数列，求的前项和． 19. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $