精品解析：广东省普宁市勤建学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

勤建学校高二年级下学期第一次调研考试 数学试卷 2025.3 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 3. 用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 24个 B. 30个 C. 36个 D. 42个 4. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 5. 若向量和向量平行,则 A. B. C. D. 6. 函数在区间上的最小值是 A. -9 B. -16 C. -12 D. 9 7. 若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（ ） A. e B. C. D. 8. 已知函数是定义域为，是函数的导函数，若，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分． 9. (多选)在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为（ ） A. (1，1) B. (－1，－1) C. D. 10. 已知为函数导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ） A. 有个极值点 B. 是的极大值点 C. 是极大值点 D. 在上单调递增 11. 函数的一个单调递减区间是（ ） A. （e，+∞） B. C. （0，） D. （，1） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的焦点坐标为________． 13. 曲线在点（2，6）处切线方程为_______． 14. 曲线在点在时的切线斜率为______. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导数. （1） （2） （3） 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上最值． 17. 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点. （1）证明：平面 （2）求与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数和有相同的最大值，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 勤建学校高二年级下学期第一次调研考试 数学试卷 2025.3 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先运用列举法求得集合M，由此可判断得选项． 【详解】由已知得集合，又， 所以不成立，不成立，不成立，成立， 故选：D． 2. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 3. 用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 24个 B. 30个 C. 36个 D. 42个 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，按个位数字是0和不是0分类，再利用排列知识求解作答. 【详解】计算偶数个数有两类办法： 个位数字是0，十位和百位从另4个数字中选两个进行排列有种结果， 个位数字不是0，从2和4中选一个作个位，从除0外的另3个数字中选一个作百位， 再从余下3个数字中选一个作十位，共有种结果， 由分类加法计数原理得，偶数共有种结果. 故选：B 4. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用积的导数和复合函数的求导法则，求出函数的导数作答. 【详解】函数，求导得. 故选：B 5. 若向量和向量平行,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量平行列方程求出，进而可得的坐标，则可得. 【详解】由题意得,,得， 即,故， ∴. 故选：C. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，模的坐标表示，是基础题. 6. 函数在区间上的最小值是 A. -9 B. -16 C. -12 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求得函数在上的单调区间、极值，比较区间端点的函数值和极值，由此求得最小值. 【详解】，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.，，，故最小值为.所以选B. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最小值.首先利用函数的导数求得函数的单调区间，利用单调区间得到函数的极值点，然后计算函数在区间端点的函数值，以及函数在极值点的函数值，比较这几个函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.本小题属于基础题. 7. 若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（ ） A. e B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义得出实数k的值. 【详解】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为， 则，解得. 故选：C 8. 已知函数是定义域为，是函数的导函数，若，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令，，则．因为，所以，所以函数在上单调递增．易得 ，因为函数的定义域为，所以，解得，所以不等式等价于，即．又，所以，所以等价于．因为函数在上单调递增，所以，解得，结合可得．故不等式的解集是．故选C． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分． 9. (多选)在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为（ ） A. (1，1) B. (－1，－1) C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由导数的几何意义，即可得到所求切点 【详解】切线的斜率k＝tan π＝－1， 设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1， 又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1， ∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1)． 故选:AB． 10. 已知为函数导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ） A. 有个极值点 B. 是的极大值点 C. 是的极大值点 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象判断出的符号，由此确定正确答案. 【详解】根据函数的图象可知， 在区间，单调递增； 在区间，单调递减. 所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增， 是的极小值点， 所以ABD选项正确，C选项错误. 故选：ABD 11. 函数的一个单调递减区间是（ ） A. （e，+∞） B. C. （0，） D. （，1） 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数求得的一个单调递减区间. 【详解】的定义域为， ， 所以在区间上，递减， 所以AD选项符合题意. 故选：AD 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 13. 曲线在点（2，6）处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出，即可. 【详解】因为，所以， 所以切线方程为，即 故答案为： 14. 曲线在点在时切线斜率为______. 【答案】3 【解析】 【分析】求导，将代入导函数即可求解. 【详解】，当时，，故曲线在点在时的切线斜率为3. 故答案为：3 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导数. （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 利用导数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2） ； （3）. 【点睛】本题考查导数的运算法则，注意复合函数的导数方法：由外向内，层层求导，本题是一道基础题. 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）最大值为16，最小值为. 【解析】 【分析】(1)利用导数求解函数的单调区间即可. (2)利用导数求解函数在闭区间上的最值即可. 【小问1详解】 令.则， 则当和时，单调递增， 当时，单调递减， 所以单调递增区间为和，单调递减区间为 【小问2详解】 由(1)知当时，取极大值为，当时，取极小值为， ，则在上最大值为16，最小值为. 17. 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量与平面的法向量后，借助空间向量计算即可得； （2）求出空间向量与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 在正四棱柱中，，，两两垂直，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，. 因为，分别为的中点，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则有，，即， 因为，所以， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知，， ， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）18. 【解析】 【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程； (2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值. 【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即. 当y=0时，解得，所以a=4， 椭圆过点M(2，3)，可得， 解得b2=12. 所以C的方程：. (2)设与直线AM平行的直线方程为：， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值. 联立直线方程与椭圆方程， 可得：， 化简可得：， 所以，即m2=64，解得m=±8， 与AM距离比较远直线方程：， 直线AM方程为：， 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：， 由两点之间距离公式可得. 所以△AMN的面积的最大值：. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数和有相同的最大值，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，求导函数，可得，再求出，利用直线方程的点斜式得答案； （2）利用导数分别求出与的最大值，由最大值相等可得关于的方程，再构造关于的函数，然后利用导数求最值即可． 【小问1详解】 当时，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，而， 若，则， 此时函数在上单调递减，无最大值，不符合题意，故. 令，得，当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以的最大值为. 的定义域为，而. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值为. 因为和有相同的最大值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$