期中重难点真题特训之易错必刷题型（96题27个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

期中重难点真题特训之易错必刷题型（96题27个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、用科学记数法表示绝对值小于1的数 1．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）杨絮纤维的直径约为米，数据用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，需注意对于一般形式，，n等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．正确的确定的值即可． 【详解】解：； 故选：A 2．（2024·安徽安庆·一模）清代震枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义(将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法)是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定和的值是解题关键．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． （1）将原数写成的形式，即可求解； （2）将原数写成的形式，即可求解； （3）将原数写成的形式，即可求解． 【详解】（1）解：． （2）． （3） 易错必刷题二、幂的混合运算 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求的值； 【答案】． 【分析】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法与除法运算，先根据可得，再求解，再计算种的幂的乘方，同底数幂的乘法，最后计算同底数幂的除法，最后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 6．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，然后计算加减即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可； （3）先计算同底数幂的乘法和积的乘方，然后计算同底数幂的除法，再合并同类项即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，整式的加减运算，幂的混合运算，解一元一次方程等知识点，熟练掌握有理数、整式、幂的运算法则和解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 易错必刷题三、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 7．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）探究发散： (1)完成下列填空①，②，③___________． ④，⑤，⑥___________． (2)根据上述计算结果，若，则___________． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先确定乘方的符号，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：③；⑥； （2）解：由（1）总结归纳可得： 当，则； （3）解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 8．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）【观察】 ，； ，． 【推理】 （1）若，则___________，若，则___________； 【应用】 （2）已知，．若异号，求的值． 【答案】（1）；；（2）6或 【分析】本题考查绝对值，平方根的定义，求代数式的值，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据绝对值得定义解题即可；根据平方根的定义可得结果； （2）利用绝对值和平方根的定义确定a，b的值，即可求出的值． 【详解】解：（1）若，则，若，则； 故答案为：；； （2）∵，， ∴，， 即或，， 异号， 当时，；当时，． 当，时，． 当，时，． 的值为6或． 9．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 【答案】（1）一；（2）；大约需要平方米的铁皮． 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）根据解析（1）中规律进行解答即可；先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】（1）解：根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； 故答案为：一； （2）解：， ； 故答案为：； 正方体的体积为立方米， 正方体的棱长为：（米）， 需要铁皮的面积为： （平方米）， 答：大约需要平方米的铁皮． 易错必刷题四、利用算术平方根的非负性解题 10．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知，则的算术平方根是（   ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根．根据算术平方根和绝对值的非负性得到，得到，根据算术平方根的的定义即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ 解得 ∴ ∴的算术平方根是， 故选：A 11．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方、算术平方根的非负性、代数式的值，熟练掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：由题意得，，． 解得，，， 则， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·安徽马鞍山·阶段练习）已知实数满足关系式 (1)求的值； (2)若，且是整数，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根、平方根的定义、无理数的估算等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性即可求出a，b的值； （2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：． （2）解：∵， 又∵，且是整数， ， 由（1）得，， ∴， ∵的立方根是， ∴的立方根是． 易错必刷题五、无理数的大小估算 13．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）如表中是给定的的值及与其对应的的值： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 则由表格中的数据可知，的值的范围是（    ） A．在3.4～3.5之间 B．在3.5～3.6之间 C．在3.6～3.7之间 D．在3.7～3.8之间 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义以及表格中的对应值可得，,进而得到，即可． 【详解】解：由表格中数值的对应值可得，，， ∴，同理可得， 又∵， ∴， 故选：C． 14．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）一个正方形面积的范围是，且边长为整数，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，根据题意得出正方形的边长范围为，即可求解． 【详解】解：依题意，， 又， ∴整数； 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 易错必刷题六、实数的混合运算 16．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列计算，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的混合运算，求一个数的立方根和算术平方根，根据立方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选A． 17．（23-24七年级下·安徽池州·期末）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“”或“”填空： 0． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，根据数轴判断数的符号，再根据实数的运算法则判断积的符号即可． 【详解】解：观察数轴可知：， ∴， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·安徽六安·期中）计算： （1）．          （2） 求下列各式中x的值： （3）                   （4） 【答案】（1）5；（2）；（3）或；（4） 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及立方根和算术平方根的运算，化简绝对值，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键． （1）先求立方根、算术平方根，化简绝对绝对值，再进行加减计算； （2）先进行乘法运算，再进行加减计算； （3）利用平方根的定义求解； （4）利用立方根的定义求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 解得：或； （4） 解得：． 易错必刷题七、实数与数轴 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“>”连接． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了数轴，实数的大小比较，相反数，平方根，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键．先化简，然后根据正负数把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可． 【详解】解：， 如图所示． 由数轴可知，． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求a的值； (2)求的算术平方根； (3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______． 【答案】(1)； (2)2； (3)0． 【分析】本题主要考查了实数的运算，实数与数轴： （1）根据题意可知，点A与原点的距离为该圆的周长，据此求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的运算法则求解即可； （3）根据题意只需要计算出的结果即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵ ∴ ， ∴的算术平方根为2； （3）解：由题意得按键表示的是． 21．（24-25七年级下·全国·单元测试）（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答： (1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由； (2)点表示的实数是______； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)的长度为，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，利用平方根求解方程，三角形的面积公式等． （1）根据正方形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出正方形的面积，根据求一个数的平方根的方法即可求解； （2）根据题意可得，即可得出点表示的数； （3）根据题意得出，结合图形和三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：的长度为． 理由：根据题意，得， ． （2）解：∵， ∴， 故点表示的实数是． 故答案为：． （3）解：，三角形中边上的高为， ． 易错必刷题八、整式的混合运算 22．（2024七年级下·全国·专题练习）的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 运用整式混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C ． 23．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，解题的关键是明确题意，利用新定义解答．根据新定义列出式子，然后根据单项式乘多项式进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）计算 (1)解方程：； (2)解不等式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘法运算，解一元一次不等式和一元一次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）方程整理后，移项合并，把系数化为，即可求出解； （2）不等式整理后，移项合并，把x系数化为，即可求出解集． 【详解】（1）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． （2）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 易错必刷题九、求一元一次不等式（组）的解集 25．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）解不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解答的关键． （1）根据不等式的性质解一元一次不等式即可； （2）根据不等式的性质解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得． 26．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）解下列一元一次不等式（组），并把解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)；数轴见解析 (2)；数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式或不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，把系数化为1，最后把解集表示在数轴上即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 把解集表示在数轴上，如图所示： 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．据此判断即可． 【详解】解：这句话说的不正确，只是该不等式解集的一部分．如：是不等式的解，但未包含在内，所以这句话不正确． 易错必刷题十、在数轴上表示不等式的解集 28．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．先解一元一次不等式，再根据解集判断答案即可． 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 故选：B． 29．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查不等式的求解．先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解． 【详解】解：设“”表示的数为， 由题意得，解得， 由数轴得到不等式的解集为， 故， 解得． 则“”表示的数为5， 故答案为：5． 30．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）解不等式 的解集，把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的非正整数解． 【答案】，在数轴上表示见解析；它的非正整数解为：，和0 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，先根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再表示在数轴上即可． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 化系数为1得，， 在数轴上表示为： ∴它的非正整数解为：，和0． 易错必刷题十一、解特殊不等式组 31．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 32．（2024七年级下·全国·专题练习）对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d= ． 【答案】3 【分析】首先根据运算符号的定义以及b、d是整数求得b、d的值，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：1＜4-bd＜3， 则-3＜-bd＜-1，即1＜bd＜3， ∵b、d是整数， ∴bd是整数． ∴bd=2， 则或（舍去）或或， 则b+d=3． 故答案是：3． 【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，正确求得b、d的值是关键． 33．（23-24七年级下·全国·单元测试）解不等式：． 解：根据“有理数的乘法法则”，即两数相乘，同号得正，可得①或②．由①，得，所以．由②，得，所以． 所以不等式的解集为或． 请你根据上面的解法解不等式：． 【答案】或 【分析】根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可； 【详解】由题意得：①或②．由①得， ∴．由②得，， ∴．所以不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，准确分析是解题的关键． 易错必刷题十二、由不等式组解集的情况求参数 34．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质，及取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， ∴， 故选：D ． 35．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由，得： 由，得：， ∵不等式组的解集为， ∴ ，， 解得，， 则 故答案为：． 36．（23-24七年级下·全国·阶段练习）填空： (1)不等式组的解集是； (2)不等式组的解集是； (3)不等式组的解集是； (4)不等式组的解集是． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据不等式的解集确定方法：同大取较大，同小取较小．小大大小中间找，大大小小解不了，即可解答． 【详解】（1）不等式组的解集是； 故答案为：； （2）不等式组的解集是； 故答案为：； （3）不等式组的解集是； 故答案为：； （4）不等式组的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的确定方法是解题的关键． 易错必刷题十三、不等式组和方程组结合的问题 37．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于x、y的方程组的解为正数，则a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将看做已知数求出方程组的解表示出与，根据与都为正数， 取出的范围即可． 【详解】解： 解方程组， 得：， 方程组的解为正数， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解， 方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 38．（2024·安徽马鞍山·一模）若方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先将两个方程相加，得到x+y的值，然后求解即可． 【详解】解：解方程组： ①＋②得，x+y=m+2， ∵， ∴m+2>5， 解得：． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查解方程组及不等式，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键． 39．（23-24七年级下·安徽池州·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，∴， ∵，∴，即． ∵，∴．① 同理得．② 由①＋②，得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于，的方程组的解都为非负数． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出方程组的解，再根据方程组的解都为非负数，可得到关于a的不等式组，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到．即可求解． 【详解】（1）解：解方程组， 得， ∵方程组的解都为非负数， ∴，解得． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即． ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合题，理解阅读材料的解法是解题的关键． 易错必刷题十四、运用完全平方公式进行运算 40．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 41．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）你见过像，这样的根式吗这一类根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以化简，如：． 用上述方法化简 ． 【答案】 【分析】仿照题目给出的方法即可求出答案． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，熟练运用完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 42．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算的法则和顺序，解决此题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式进行运算． （1）根据整式的混合运算的法则和顺序，结合平方差公式计算即可； （2）根据整式的混合运算的法则和顺序，结合平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ． 易错必刷题十五、平方差公式、完全平方公式分解因式 43．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据提公因式法进行因式分解即可； （2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原来的二次三项式； (2)将（1）中的二次三项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和分解因式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和几种常见的分解因式的方法． （1）先根据多项式乘多项式法则计算和，再根据两个同学的计算结果，确定原多项式即可； （2）根据（1）中所求原多项式，利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ， ， ∴原来的二次三项式为：； （2）解：． 45．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）小白同学在学习中发现，对于可以使用以下方法分解因式． ． 这种方法是在二次三项式中先加上9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式．请使用小白同学发现的方法把分解因式； 【答案】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，因式分解的完全平方公式和平方差公式，关键是通过配方使二次三项式为完全平方公式．二次三项式中先加上16，使它与的和成为一个完全平方式，再减去16，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式． 【详解】解：， ， ， ． 易错必刷题十六、综合提公因式和公式法分解因式 46．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解．熟练因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 47．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是合理分组，然后运用公式法（平方差公式、完全平方公式等）进行因式分解． （1）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，再提取公因式得出最终结果； （2）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果； （3）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 48．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学的因式分解： 甲： （分成两组） （分别提公因式） ．（再提公因式） 乙： （分成两组） （运用完全平方公式） ．（再用平方差公式） 请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先分组，然后根据提公因式法因式分解，即可求解； （2）根据完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 易错必刷题十七、多项式乘多项式——化简求值 49．（2025·安徽池州·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式以及求值、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将，代入得：原式． 50．（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 51．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，6 (2)， 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，多形式与多项式的乘法－化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据单项式与单项式的乘法法则化简，再把代入计算； （2）先根据多形式与多项式的乘法法则化简，再把代入计算． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ， 当时，原式． 易错必刷题十八、与算术平方根有关的规律探索题 52．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根的规律，根据算术平方根的意义找到规律即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 53．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下表， ． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 256 259.21 262.44 265.69 268.96 【答案】 【分析】直接利用表格中数据得出，则，即可得出答案．此题主要考查了算术平方根，正确理解题意是解题关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ， 故答案为：． 54．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 易错必刷题十九、与实数运算相关的规律题 55．（2024·安徽六安·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：________________． (2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 【答案】(1) (2)，证明见详解 【分析】本题考查了数字类的规律以及实数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题意，直接写出第4个等式，即可作答． （2）结合（1）的结论，易得，再把等式左右边进行变形整理，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第4个等式； （2）解：由第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式： 第4个等式： …… 第个等式： 证明如下： 等式左边为 等式右边为 左边等于右边，即 56．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组： 整数部分为1：，，；，，…，． 整数部分为2：，，…；，，…． 整数部分为3：，，…；，，…． (1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？ (2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？ 【答案】(1)最小值为64，最大值为124 (2)11个 【分析】（1）根据规律利用的整数部分4，即可得出答案， （2）根据规律利用的整数部分5，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： 的最小值64，的最大值124； （2）的最小值25，的最大值35， 可能的值有11种． 【点睛】本题主要考查了根式的计算和性质应用，难度适中． 57．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； （3）解： ． 易错必刷题二十、算术平方根和立方根的综合应用 58．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得：， 是的整数部分， ， ， 的平方根是． 【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 59．（23-24七年级下·安徽池州·期中）已知的平方根为，的立方根为， (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质可得，，从而得到，，再代入，即可求解； （2）先估算出，可得，然后再代入，即可求解． 【详解】（1）解：的平方根为，的立方根为， ，， 解得，， ， 的算术平方根为， 的算术平方根是； （2）解：， 的整数部分为， 即， 由（1）得，， ， 而的平方根为， 的平方根． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． 60．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合．已知条件求得的值是解题的关键． （1）根据平方根的形式求得a的值后代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据算术平方根及立方根的定义求得的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解∶一个正数的两个平方根分别是和， 解得∶， 则， 那么； （2）为的算术平方根，为的立方根，， ∴， 则． 易错必刷题二十一、实数运算的实际应用 61．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）如图，一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？ 【答案】6π平方米 【分析】由题意知，求环形小路的面积，实际是求一个圆环的面积． 【详解】解：∵环形小路的宽为1米，花坛的直径为5米， ∴R=3.5m，r=2.5m； 则圆环的面积为：π×（3.5）2-π×（2.5）2=6π（平方米）， 所以小路的面积为6π平方米． 【点睛】本题培养了学生解决实际问题的能力，解决题目的关键是将实际问题抽象为几何问题，然后再利用所学知识解决问题． 62．（23-24七年级下·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 【答案】甲 【分析】根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【详解】∵ ∴ ∴，，该用电器是甲． 【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识． 63．（18-19七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为. 【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解． 【详解】（1）如图， ∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据题意得， ∴（负值舍去） 答：拼成的正方形边长为． 【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 易错必刷题二十二、列一元一次不等式（组） 64．（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a与1的差是非负数； (2)a的2倍比a与3的和小； (3)x的一半与3的差不大于2； (4)x的3倍与1的和小于x的2倍与6的差． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． （1）根据非负数即列不等式即可． （2）根据题意直接列出不等式即可． （3）根据不大于即列不等式即可． （4）根据题意直接列出不等式即可． 【详解】（1）解：a与1的差是非负数即 （2）解：a的2倍比a与3的和小即 （3）解：x的一半与3的差不大于2即 （4）解：x的3倍与1的和小于x的2倍与6的差即 65．（2025七年级下·全国·专题练习）已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【答案】 【分析】根据题意可求出长方体容器的体积，根据水的高度可以求出容器里现有水的体积，再用总容积减去现有水的体积，即可求出还能注入水的体积． 【详解】解：由题意，得该长方体形状的容器的容积为． 又因为容器内原有的水的体积为， 所以容器内剩余未注水的体积为， 所以的取值范围为． 【点睛】本题主要主要考查了有理数乘法和有理数减法的计算，解决此题的关键是要读懂题意，列出式子． 66．（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 易错必刷题二十三、一元一次不等式（组）的综合应用 67．（2025·安徽淮北·模拟预测）某学校为了满足生物实验教学的需求，决定购买一批显微镜和光照培养箱.经市场调查，显微镜的价格为880元/台，光照培养箱的价格为600元/台.学校准备采购这两种器材共15台，且总费用不超过11000元，则最多可购买多少台显微镜？ 【答案】最多可购买7台显微镜． 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求出购买显微镜数量的取值范围，从而可以得到最多可购买多少台显微镜． 【详解】解：设购买x台显微镜，则购买了台光照培养箱， 由题意可得：， 解得：， 为整数， 的最大值为7， 答：最多可购买7台显微镜． 68．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）为了促进消费，甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，且各自推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费； 乙商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费． 若某顾客准备购买标价为元的商品． (1)在甲商场购买的优惠价为_____元，在乙商场购买的优惠价为_____元（均用含的式子表示） (2)乙商场为了吸引顾客，调整了优惠方案：购物价格累计超过元，但不超元，超出元的部分按付费；超过元，超出元的部分按付费，甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确列出代数式，找出数量关系列出一元一次不等式． （1）根据甲、乙的促销方案进行解答即可； （2）分两种：当时和当时，分别列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：在甲商场购买的优惠价（元）， 在乙商场购买的优惠价（元）， 故答案为：；； （2）解：当时， 由题意可得：， 解得：； 当时， 由题意可得：， 解得：， ∴时，顾客在甲商场购物花费少， 综上所述，顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围为． 69．（2025·安徽宣城·模拟预测）某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年3月份将产品的出厂价定为50元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销售数量． (1)求每件产品的生产成本价； (2)若在生产过程中，平均每生产1件产品产生的污水，为达到环保要求，工厂设计了如表所示的两种污水处理方案并准备实施． 方案 费用 1：排到污水处理厂处理 每处理污水需付12元排污费 2：本厂净化处理后排放 每月排污设备损耗费10000元，且每处理污水需付2元排污费 单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？ 【答案】(1)每件产品的生产成本价为30元 (2)当该工厂月生产量少于5000件时，选择污水处理方案1省钱；当该工厂月生产量等于5000件时，选择两种污水处理方案费用相同；当该工厂月生产量大于5000件时，选择污水处理方案2省钱 【分析】本题主要考查一元一次方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列出方程，不等式是解题的关键． （1）设每件产品的生产成本价为x元，根据该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同列一元一次方程求解即可； （2）设该工厂每个月生产y件产品，则每个月产生的污水，根据题意，运用不等式比较方案1与方案2的费用，由此即可求解． 【详解】（1）解：设每件产品的生产成本价为x元， 依题意，得：， 解得：． 答：每件产品的生产成本价为30元． （2）解：设该工厂每个月生产y件产品，则每个月产生的污水， 当选择方案1费用低时，， 解得：； 当选择两种方案费用相同时，， 解得：； 当选择方案2费用低时，， 解得：． ∴当该工厂月生产量少于5000件时，选择污水处理方案1省钱；当该工厂月生产量等于5000件时，选择两种污水处理方案费用相同；当该工厂月生产量大于5000件时，选择污水处理方案2省钱． 易错必刷题二十四、因式分解的综合应用 70．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）请通过计算说明：当为任意正整数时，能被24整除． 【答案】见解析 【分析】此题考查了因式分解的应用，原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【详解】证明：原式 ， 则当为任意正整数时，能被24整除． 71．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ． ． ． ． 问题：已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的应用，涉及完全平方公式分解因式，读懂题意是解题的关键；模仿例题可得到，然后整理得，继而根据非负数的性质即可作答． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：． 72．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）根据长方形的周长是即可得出的值；由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ， 空白部分的面积为， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 易错必刷题二十五、多项式乘多项式与图形面积 73．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，有A，B，C三种类型的卡片若干张．如果要拼成一个长为、宽为的大长方形，那么分别需要多少张A类、B类、C类的卡片？ 【答案】需要6张类的卡片，2张类的卡片，7张类的卡片 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出各类卡片的面积和对应的系数是解题的关键．利用长方形面积列出式子，展开，找到不同卡片面积对应的系数，就是各自卡片的数量． 【详解】解：． ∵， ∴需要6张类的卡片，2张类的卡片，7张类的卡片． 74．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这些形式表示，例如：，就可以用图甲或图乙等图形的面积表示． (1)请写出图丙所表示的代数恒等式； (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，应从整体和部分两方面来理解多项式乘法的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）图丙中大长方形的长为，宽为，根据题意列出恒等式； （2）设计一个长方形的长为，宽为的大长方形即可 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示： 75．（23-24七年级下·安徽宣城·阶段练习）某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为，宽为的矩形板材（如图），另一种是边长为的正方形地砖（如图）．    (1)用几块如图所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）； (2)用如图所示的四块矩形板材铺成如图的大正方形或如图的大长方形，中间分别空出一个小正方形和小长方形（即图中阴影部分）； 请用含、的代数式分别表示图和图中阴影部分的面积； 试比较图和图中阴影部分的面积哪个大？大多少？ 【答案】(1)能，（答案不唯一） (2)①图③中阴影部分面积为；图④中阴影部分面积为；②图中阴影部分的面积较大，大 【分析】本题主要考查列代数式，整式乘法的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握完全平方公式． （1）根据拼成的正方形的边长，求出正方形的面积即可； （2）①根据正方形的边长求出正方形的面积即可；根据长方形的边长求出其面积即可； ②根据求出的正方形面积和长方形面积比较大小即可． 【详解】（1）解：四块即可拼成一个边长的的正方形，则面积是 ； （2）解：图中阴影部分的面积是：； 图中阴影部分的面积是： 故图中阴影部分的面积较大，大． 易错必刷题二十六、多项式乘法中的规律性问题 76．（2025七年级下·全国·专题练习）计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 【答案】；；；； （1）； （2）①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，对计算结果分析找出规律，再利用规律简便计算． 利用单项式与多项式相乘计算各个式子后，发现展开式的一次项系数是原来每个因式的第二项的和，常数项是它们的积．即．然后再计算所给的式子的结果． 【详解】解：； ； ； ． （1）． （2）①； ②． 77．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察下列等式： ； ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：；并用多项式与多项式的乘法证明该等式成立； (3)利用（2）中的等式化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘法运算和探究与表达规律． （1）根据上述式子，即可得出答案； （2）根据上述式子，即可得到规律； （3）利用结论，把看成，进行化简，即可求解． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； 故答案为：； （2）解：由（1）得到规律． 故答案为：； （3）解： ． 78．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 【答案】①；②，，；（2），，，；（3），见解析 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律并计算求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键. （1）①直接计算即可； ②根据规律直接计算求值即可； （2）根据规律直接计算求值即可； （3）根据规律写出式子，证明即可. 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 证明如下： 左边， 右边， 左边右边， . 易错必刷题二十七、完全平方式、完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用 79．（23-24七年级下·安徽池州·期末）学生在学校里的实践环节是教学内容的重要组成部分，是巩固理论知识，汲取新的知识，发展智能的重要途径．某校为了提高学生的探究能力、科学素养和创新意识，特意修建了一个理化生实验中心，如图，长为，宽为的长方形是实验中心的场地示意图，校方计划在场地中间隔出两个边长为的正方形区域，用于摆放备用实验器材，其他区域（阴影部分）用于实验操作． (1)用含a、b的式子表示实验操作区的面积； (2)若米，米，求实验操作区的面积． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积；代数式求值； （1）根据长方形面积减去两个边长为的正方形面积，即可求解； （2）将米，米，代入（1）中的结论，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：依题意，实验操作区的面积为 （2）当米，米， 实验操作区的面积为平方米 80．（24-25七年级下·全国·课后作业）数学活动课上，老师准备了若干个如图①所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片1张、种纸片1张和种纸片2张拼成如图②所示的大正方形． (1)观察图②，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______________； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要种卡片_______张，种卡片_______张，种卡片_______张； (3)两个正方形，按图③所示的方式摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】本题考查完全平方公式及其几何应用，多项式与多项式的乘法，代数式求值，开平方，用不同方法表示图形面积得到等量关系是解答的关键． （1）用两种方法求得正方形的面积，进而得到三者的关系式； （2）利用整式的乘法计算，即可解题； （3）由题意和图形知，则．结合，得出，所以，求出的值，再利用阴影部分的面积和即可求解． 【详解】（1）解：由图②得大正方形的边长为， 则其面积为， 大正方形中四个小长方形（或小正方形）的面积分别为，，，， 利用大正方形的面积可得， 故答案为：； （2）解：由， 又每张种卡片面积为，每张种卡片面积为，每张种卡片面积为， 可知需要种卡片张，种卡片张，种卡片张， 故答案为：，，； （3）解：由正方形得，， 则，， 则， 因为， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以阴影部分的面积和． 81．（24-25七年级下·安徽马鞍山·阶段练习）实践探究题 某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填序号）； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①、②、③ (2)1 (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的验证与运用，掌握平方差公式的计算是解题的关键． （1）根据图示，分别求出阴影部分面积进行比较判定即可； （2）将变形为，运用平方差公式计算即可； （3）将原式添加一个，再运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图①中，左边图形阴影部分的面积为，右图中阴影部分的面积为， ∴，能验证“平方差公式”； 图②中，左边图形阴影部分的面积为，右图中阴影部分的面积为， ∴，能验证“平方差公式”； 图③中，左边图形阴影部分的面积为，右图中阴影部分的面积为， ∴，能验证“平方差公式”； 图④中，左边图形阴影部分的面积为，右图中阴影部分的面积为， ∴不能验证“平方差公式”； 综上所述，能验证“平方差公式”的有①、②、③， 故答案为：①、②、③； （2）解： ； （3）解： ． 1．（2025·安徽淮北·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的除法法则解题． 【详解】解：A．，选项正确； B．，选项错误； C．，选项错误； D．，选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的除法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．（23-24七年级下·全国·期中）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是弄明白图示的意思，列出不等式组． 【详解】根据题意，得 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， 则的取值范围为． 故选D． 3．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）观察表格中的数据： 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 由表格中的数据可知（    ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，由表格可得在和之间，再由是将的小数点向左移动两位即可得解． 【详解】解：由表格可得：，， ∵， ∴在和之间， 由于是将的小数点向左移动两位，故的值在之间， 故选：B． 4．（24-25七年级下·安徽·阶段练习）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了_______道题（   ） A．17 B．18 C．19 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键． 设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有道题，再根据答对一题得5分，答错或不答一道题扣2分列出不等式求解即可． 【详解】设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有道题， 由题意得： 解得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为18， ∴小明至少答对了18道题， 故选B． 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断． 【详解】解：由图1得，阴影部分面积为：， 由图2得，阴影部分面积为：， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）比较大小： ． （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，先估算无理数的大小，进而即可得到答案． 【详解】解：∵，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（23-24七年级下·安徽六安·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，然后再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，在数轴上，以表示数1，2的点为顶点作边长为单位1的小正方形，以表示数1的点为圆心，小正方形的对角线为半径画圆，与数轴分别相交于点（点在右），则点到原点的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数和数轴，数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，点表示的数为，即可得出点表示的数为，从而得出答案． 【详解】解：∵半圆的半径为， ∴的长度为半圆的直径，即， 又∵点表示的数为， ∴点表示的数为， ∴点到原点的距离为， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）某羽毛球馆收费制度为月度会员制，现有两种会员类型，标准如表： 会员类型 购买会员/（元/月） 每次使用缴费/（元/次） A B 假设小明同学每月去该羽毛球馆次，并且小明购买了类型的会员． （1）用含有的代数式表示每月的花费： 元． （2）若小明同学每月去羽毛球馆刚好次，购买的B类型会员没有A类型会员划算，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式和不等式． （1）根据题意，可以用含的代数式表示出小明每月的花费． （2）根据题意，可以得到购买的类型会员分别的花费为多少，结合题意得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得，小明每月的花费为元， 故答案为：； （2）由题意可得，小明同学每月去羽毛球馆次，则购买的B类型会员的花费为：元， 购买的A类型会员的花费为：元， ∵购买的B类型会员没有A类型会员划算， ∴， 解得， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中，我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的因式分解公式，它是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．图1中阴影部分的面积计算方法是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；图2中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，根据这两个图形的阴影部分的面积相等，即可获得答案． 【详解】解：图1中， ∵大正方形面积减去小正方形面积即为阴影部分面积， ∴阴影部分面积可表示为； 图2中， ∵拼接后阴影部分是个长方形，长为，宽为， ∴阴影部分面积可表示为， 由阴影部分面积相等，得因式分解公式． 答案：． 11．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查了利用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再系数化1，再开方，即可作答． （2）先开方，再移项，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 则或 ∴或． 12．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式组，并且把解集表示在数轴上：． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：（1） 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化1得：． （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为 解集在数轴上表示如图所示． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）若（且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘，掌握同底数幂的乘法逆用和幂的乘方是解题的关键． （1）根据幂的乘方法则得到，结合即可求解； （2）根据同底数幂的乘法逆用得到，结合即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 解得：， 的值为． （2）解：，， ， ， ， 解得：， 的值为2． 14．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）某商场计划购买、两种型号的洗衣机共80台．已知购买5台型洗衣机和4台型洗衣机需37元，且3台型洗衣机比2台型洗衣机多9元． (1)求每台型和型洗衣机的价格； (2)若商场用100元购买这两种洗衣机共30台，求最多可以购买多少台型洗衣机． 【答案】(1)型洗衣机每台元，型洗衣机每台元 (2)最多可以购买台型洗衣机 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设每台型洗衣机价格为元，每台型洗衣机价格为元，由数量关系列方程组求解即可； （2）设购买型洗衣机台，则购买型洗衣机台，由数量关系列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每台型洗衣机价格为元，每台型洗衣机价格为元： 根据题意可列方程组， 由，可得，， 与相加得，， 解得，， 把代入得，， 解得，， ∴型洗衣机每台元，型洗衣机每台元． （2）解：设购买型洗衣机台，则购买型洗衣机台： 由题意得，， 去括号得，， 移项合并得， 解得， ∴最多可以购买台型洗衣机． 15．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，4个完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可用两种方法表示，进而得到一个等式． 【基础应用】 (1)方法1： ，方法2： ； (2)这个等式为 ． 【解决问题】 (3)已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)36 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由图可知，阴影部分的面积是4个长方形的面积，也是大正方形的面积减去小正方形的面积，即可解答； （2）由（1）得，方法1和方法2表示的阴影部分面积相等，即可得出答案； （3）令，，代入（2）中的结论得到，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：方法1： 由题意得，1个长方形的面积为， 阴影部分的面积； 方法2： 由题意得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的面积； 故答案为：；． （2）解：由（1）得，方法1和方法2表示的阴影部分面积相等， 这个等式为． 故答案为：． （3）解：由（2）得，， 令，，则， 又，， ， 整理得：． 的值为36． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之易错必刷题型（96题27个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、用科学记数法表示绝对值小于1的数 1．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）杨絮纤维的直径约为米，数据用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽安庆·一模）清代震枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)． 易错必刷题二、幂的混合运算 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求的值； 5．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 6．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错必刷题三、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 7．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）探究发散： (1)完成下列填空①，②，③___________． ④，⑤，⑥___________． (2)根据上述计算结果，若，则___________． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数在数轴上的位置如图所示． 化简： 8．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）【观察】 ，； ，． 【推理】 （1）若，则___________，若，则___________； 【应用】 （2）已知，．若异号，求的值． 9．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 易错必刷题四、利用算术平方根的非负性解题 10．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知，则的算术平方根是（   ） A．3 B． C．－3 D． 11．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）已知，则的值是 ． 12．（24-25七年级下·安徽马鞍山·阶段练习）已知实数满足关系式 (1)求的值； (2)若，且是整数，求的立方根． 易错必刷题五、无理数的大小估算 13．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）如表中是给定的的值及与其对应的的值： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 则由表格中的数据可知，的值的范围是（    ） A．在3.4～3.5之间 B．在3.5～3.6之间 C．在3.6～3.7之间 D．在3.7～3.8之间 14．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）一个正方形面积的范围是，且边长为整数，则的值为 ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 易错必刷题六、实数的混合运算 16．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列计算，错误的是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·安徽池州·期末）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“”或“”填空： 0． 18．（23-24七年级下·安徽六安·期中）计算： （1）．          （2） 求下列各式中x的值： （3）                   （4） 易错必刷题七、实数与数轴 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“>”连接． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求a的值； (2)求的算术平方根； (3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______． 21．（24-25七年级下·全国·单元测试）（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答： (1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由； (2)点表示的实数是______； (3)求三角形的面积． 易错必刷题八、整式的混合运算 22．（2024七年级下·全国·专题练习）的运算结果是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为 ． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）计算 (1)解方程：； (2)解不等式：． 易错必刷题九、求一元一次不等式（组）的解集 25．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）解不等式 (1) (2) 26．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）解下列一元一次不等式（组），并把解集表示在数轴上． (1)； (2)． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 易错必刷题十、在数轴上表示不等式的解集 28．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数为 ． 30．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）解不等式 的解集，把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的非正整数解． 易错必刷题十一、解特殊不等式组 31．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（2024七年级下·全国·专题练习）对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d= ． 33．（23-24七年级下·全国·单元测试）解不等式：． 解：根据“有理数的乘法法则”，即两数相乘，同号得正，可得①或②．由①，得，所以．由②，得，所以． 所以不等式的解集为或． 请你根据上面的解法解不等式：． 易错必刷题十二、由不等式组解集的情况求参数 34．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 35．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 36．（23-24七年级下·全国·阶段练习）填空： (1)不等式组的解集是； (2)不等式组的解集是； (3)不等式组的解集是； (4)不等式组的解集是． 易错必刷题十三、不等式组和方程组结合的问题 37．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于x、y的方程组的解为正数，则a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 38．（2024·安徽马鞍山·一模）若方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 39．（23-24七年级下·安徽池州·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，∴， ∵，∴，即． ∵，∴．① 同理得．② 由①＋②，得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于，的方程组的解都为非负数． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 易错必刷题十四、运用完全平方公式进行运算 40．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）若，则等于（    ） A． B． C． D． 41．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）你见过像，这样的根式吗这一类根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以化简，如：． 用上述方法化简 ． 42．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）计算 (1) (2) 易错必刷题十五、平方差公式、完全平方公式分解因式 43．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 44．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原来的二次三项式； (2)将（1）中的二次三项式分解因式． 45．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）小白同学在学习中发现，对于可以使用以下方法分解因式． ． 这种方法是在二次三项式中先加上9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式．请使用小白同学发现的方法把分解因式； 易错必刷题十六、综合提公因式和公式法分解因式 46．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）将下列各式因式分解： (1)； (2)． 47．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 48．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学的因式分解： 甲： （分成两组） （分别提公因式） ．（再提公因式） 乙： （分成两组） （运用完全平方公式） ．（再用平方差公式） 请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)； (2)． 易错必刷题十七、多项式乘多项式——化简求值 49．（2025·安徽池州·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 50．（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 51．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 易错必刷题十八、与算术平方根有关的规律探索题 52．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 53．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下表， ． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 256 259.21 262.44 265.69 268.96 54．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 易错必刷题十九、与实数运算相关的规律题 55．（2024·安徽六安·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：________________． (2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 56．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组： 整数部分为1：，，；，，…，． 整数部分为2：，，…；，，…． 整数部分为3：，，…；，，…． (1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？ (2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？ 57．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 易错必刷题二十、算术平方根和立方根的综合应用 58．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 59．（23-24七年级下·安徽池州·期中）已知的平方根为，的立方根为， (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的平方根． 60．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 易错必刷题二十一、实数运算的实际应用 61．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）如图，一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？ 62．（23-24七年级下·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 63．（18-19七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 易错必刷题二十二、列一元一次不等式（组） 64．（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a与1的差是非负数； (2)a的2倍比a与3的和小； (3)x的一半与3的差不大于2； (4)x的3倍与1的和小于x的2倍与6的差． 65．（2025七年级下·全国·专题练习）已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 66．（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 易错必刷题二十三、一元一次不等式（组）的综合应用 67．（2025·安徽淮北·模拟预测）某学校为了满足生物实验教学的需求，决定购买一批显微镜和光照培养箱.经市场调查，显微镜的价格为880元/台，光照培养箱的价格为600元/台.学校准备采购这两种器材共15台，且总费用不超过11000元，则最多可购买多少台显微镜？ 68．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）为了促进消费，甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，且各自推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费； 乙商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费． 若某顾客准备购买标价为元的商品． (1)在甲商场购买的优惠价为_____元，在乙商场购买的优惠价为_____元（均用含的式子表示） (2)乙商场为了吸引顾客，调整了优惠方案：购物价格累计超过元，但不超元，超出元的部分按付费；超过元，超出元的部分按付费，甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围． 69．（2025·安徽宣城·模拟预测）某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年3月份将产品的出厂价定为50元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销售数量． (1)求每件产品的生产成本价； (2)若在生产过程中，平均每生产1件产品产生的污水，为达到环保要求，工厂设计了如表所示的两种污水处理方案并准备实施． 方案 费用 1：排到污水处理厂处理 每处理污水需付12元排污费 2：本厂净化处理后排放 每月排污设备损耗费10000元，且每处理污水需付2元排污费 单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？ 易错必刷题二十四、因式分解的综合应用 70．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）请通过计算说明：当为任意正整数时，能被24整除． 71．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ． ． ． ． 问题：已知，求的值． 72．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 易错必刷题二十五、多项式乘多项式与图形面积 73．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，有A，B，C三种类型的卡片若干张．如果要拼成一个长为、宽为的大长方形，那么分别需要多少张A类、B类、C类的卡片？ 74．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这些形式表示，例如：，就可以用图甲或图乙等图形的面积表示． (1)请写出图丙所表示的代数恒等式； (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为： 75．（23-24七年级下·安徽宣城·阶段练习）某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为，宽为的矩形板材（如图），另一种是边长为的正方形地砖（如图）．    (1)用几块如图所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）； (2)用如图所示的四块矩形板材铺成如图的大正方形或如图的大长方形，中间分别空出一个小正方形和小长方形（即图中阴影部分）； 请用含、的代数式分别表示图和图中阴影部分的面积； 试比较图和图中阴影部分的面积哪个大？大多少？ 易错必刷题二十六、多项式乘法中的规律性问题 76．（2025七年级下·全国·专题练习）计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 77．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察下列等式： ； ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：；并用多项式与多项式的乘法证明该等式成立； (3)利用（2）中的等式化简：． 78．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 易错必刷题二十七、完全平方式、完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用 79．（23-24七年级下·安徽池州·期末）学生在学校里的实践环节是教学内容的重要组成部分，是巩固理论知识，汲取新的知识，发展智能的重要途径．某校为了提高学生的探究能力、科学素养和创新意识，特意修建了一个理化生实验中心，如图，长为，宽为的长方形是实验中心的场地示意图，校方计划在场地中间隔出两个边长为的正方形区域，用于摆放备用实验器材，其他区域（阴影部分）用于实验操作． (1)用含a、b的式子表示实验操作区的面积； (2)若米，米，求实验操作区的面积． 80．（24-25七年级下·全国·课后作业）数学活动课上，老师准备了若干个如图①所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片1张、种纸片1张和种纸片2张拼成如图②所示的大正方形． (1)观察图②，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______________； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要种卡片_______张，种卡片_______张，种卡片_______张； (3)两个正方形，按图③所示的方式摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分的面积和． 81．（24-25七年级下·安徽马鞍山·阶段练习）实践探究题 某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填序号）； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 1．（2025·安徽淮北·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·期中）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）观察表格中的数据： 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 由表格中的数据可知（    ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 4．（24-25七年级下·安徽·阶段练习）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了_______道题（   ） A．17 B．18 C．19 D．16 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式（   ）． A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）比较大小： ． （填“”“”或“”） 7．（23-24七年级下·安徽六安·期中）因式分解： ． 8．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，在数轴上，以表示数1，2的点为顶点作边长为单位1的小正方形，以表示数1的点为圆心，小正方形的对角线为半径画圆，与数轴分别相交于点（点在右），则点到原点的距离为 ． 9．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）某羽毛球馆收费制度为月度会员制，现有两种会员类型，标准如表： 会员类型 购买会员/（元/月） 每次使用缴费/（元/次） A B 假设小明同学每月去该羽毛球馆次，并且小明购买了类型的会员． （1）用含有的代数式表示每月的花费： 元． （2）若小明同学每月去羽毛球馆刚好次，购买的B类型会员没有A类型会员划算，则的取值范围是 ． 10．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中，我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的因式分解公式，它是 ． 11．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）求下列各式中的值： (1) (2) 12．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式组，并且把解集表示在数轴上：． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）若（且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 14．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）某商场计划购买、两种型号的洗衣机共80台．已知购买5台型洗衣机和4台型洗衣机需37元，且3台型洗衣机比2台型洗衣机多9元． (1)求每台型和型洗衣机的价格； (2)若商场用100元购买这两种洗衣机共30台，求最多可以购买多少台型洗衣机． 15．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，4个完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可用两种方法表示，进而得到一个等式． 【基础应用】 (1)方法1： ，方法2： ； (2)这个等式为 ． 【解决问题】 (3)已知，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$