期中重难点真题特训之压轴满分题型（85题14个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

期中重难点真题特训之压轴满分题型（85题14个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、无理数整数部分的有关计算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： (1)的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小． （1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值； （2）根据平方根即可解答． 【详解】（1）解：， 即， ， ∴的整数部分是，的小数部分是， ； （2）解：由（1）可知，， ， 的平方根是． 2．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）任意实数x均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数，例如：，其中，；又如，其中， 回答下列问题： (1)______，______； (2)______； (3)若，，则所有可能的值为______． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是理解已知条件中新定义的含义． （1）先估算的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的基本性质求出的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可； （3）根据已知条件的定义，求出，的取值范围，再利用不等式的性质求出的范围，进行解答即可． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）， ， ， 即， ， 故答案为：； （3），， ，， ， 或， 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：即， 则，； （2）解：， ， 是整数，， ，， ． （3）解：， 根据题意得：，， ． 4．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了无理数估算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）估算无理数的大小即可得出整数部分和小数部分； （2）估算，的大小，确定的值，即可求解； （3）估算的大小，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵，即， ∴的小数部分为， ∵，即， ∴的整数部分为， ∴ ； （3）解：， ∴的整数部分为，小数部分是， ∴， ∵，x是整数，且， ∴，， ∴， ∴， ∴的相反数为． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，再求出a、b的值，再代入求解即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的小数部分为； （2）解：， ，， ，， ； （3）解： ， ∴， ∴， 又∵，其中是整数，且， ∴， ∴， ∴的平方根是． 压轴满分题二、新定义的实数运算 6．（2025七年级下·全国·专题练习）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)不是，见解析 【分析】本题考查了新定义运算，实数混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“平衡数”的定义，即得答案； （2）若与是关于1的“平衡数”，则，求得，但是当时，，即可判断答案． 【详解】（1）解：， 4与是关于1的“平衡数”， ， 与是关于1的“平衡数”； 故答案为：，； （2）解：与不是关于1的“平衡数”． 理由：若与是关于1的“平衡数”， 则， ， 当时，， 故与不是关于1的“平衡数”． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）我们知道，同底数幂的除法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中都为正数），请根据这种新运算回答下列问题： (1)若，则____________； (2)若，求（用含k的代数式表示，其中）． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了新定义运算法则，解题的关键是理解新定义的运算法则，从运算中找到规律用来解答． （1）由新运算法则直接求解； （2）同过新定义的运算法则，推导出前几项的结果，同过前几项发现规律，利用规律来解答． 【详解】（1）解：根据新运算：， ， 故答案是：． （2）解：；；； …； ． 8．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，，其结果4，6，12都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求的值． 【答案】(1)这三个数是“完美组合数”，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了新定义，算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据新定义即可判断； （2）分两种情况讨论：①当时，②时，分别计算即可． 【详解】（1）解：这三个数是“完美组合数”，理由如下： ，，， ∵都是整数， ∴这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵， ①若这两个数的乘积的算术平方根为，则： ， 解得：， 此时，，，， ∴三个数是“完美组合数”， ②若这两个数乘积的算术平方根为，则： ， 解得：，不合题意， 综上所述，． 9．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）我们约定，关于的代数式、，在代数式成立的范围内，都有（为常数），则称代数式、互为“差值代数式”，为“差值”．例如：，，，∴、互为“差值代数式”，“差值”为；根据该约定，解答下列问题： (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．（在括号中填写“是”或“不是”） ①与（   ）    ②与（   ） ③与（   ）    ④与（   ） (2)已知关于的整式，，若、互为差值代数式，且“差值”为，求的值． 【答案】(1)①不是；②是；③是；④是 (2)或0 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到了二次根式及绝对值的非负性，代数式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用，分别代数运算判断即可； （2）列出的式子运算即可． 【详解】（1）解：①：，当时，，当时，，故①不是； ②：，故②是； ③：，故③是； ④：，故④是； 故答案为：①不是；②是；③是；④是； （2）解：依题意得：， ， 解得：或0． 10．（23-24七年级·安徽安庆·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次 ，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 【答案】（1）， （2），， （3） （4） 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （1）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （2）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （3）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （4）由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：，，， 故答案为：，，； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 压轴满分题三、幂的新定义运算 11．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）对于有理数、规定新运算，其中、是常数，已知，． （1）求、的值； （2），，求的值． 【答案】（1），；（2）12． 【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简，求出与的值即可； （2）原式利用同底数幂的乘除法则变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】（1）根据题中的新定义得：， 解得：，； （2），， 原式． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 12．（23-24七年级下·安徽马鞍山·阶段练习）定义一种新运算（其中），例如，依据上面的公式解决下列问题： (1)求的结果； (2)若，求k的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）根据新定义运算计算即可； （2）根据新定义运算即可列方程，进而可求出值． 【详解】（1）根据新定义运算可得：， （2）由题意可得：， ． ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查新定义运算及整数指数幂，解题关键是理解新定义运算并进行运用． 13．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个数、，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，代入，即可求解， （2）根据，代入，即可求解， （3）根据两种新定义运算规则，代入后得到：，根据幂的运算法则，整理后，得到，即可求解， 本题考查了，实数的新定义运算，幂的运算，解题的关键是：熟练应用新定义运算法则． 【详解】（1）解：， 故答案为：， （2）解：， （3）解：由题意，得：，则：， ∴， ∴，解得：， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）如果，那么称b为n的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空： ， ； (2)劳格数具有如下性质：，根据运算性质，填空：① （a为正数）；②若， ， ． 【答案】(1)1， (2)①2；②， 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）由新定义可得， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为：1，； （2）① ； 故答案为：； ②∵， ∴； 由题意得，， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）对于两个非零实数a，b定义一种新运算，记作． 定义：如果，那么（，，x为整数）． 例如：因为，所以；因为，所以． 根据上述运算的定义，回答下列问题： （1）计算：___________，___________； （2）如果，那么___________； （3）如果，，那么___________； （4）如果，，那么___________． 【答案】（1）3，；（2）；（3）12；（4）0 【分析】(1)由定义的新运算法则直接求出； （2）由定义的新运算法则建立等式，计算可得； （3）由定义的新运算法则建立等式，再通过幂的混合运算，计算可得； （4）由定义的新运算法则建立等式，两个等式左右分别相乘，再利用零次幂可得出结果． 【详解】解：（1），； ，， 故答案是：； （2）， ， 解得：； 故答案是：； （3），， ， ， ， 故答案是：； （4），， 不妨设，， 则， ，， ， ， ， 故， 故答案是：． 【点睛】本题考查了新定义运算问题，解题的关键是：理解新定义的运算，再结合所学知识． 压轴满分题四、与实数运算相关的规律题 16．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）设，，，…，依此规律，解答下列问题． （1） ； （2）计算的值为 ． 【答案】 （或） 【分析】本题考查了数字规律探索以及算术平方根的运算，解题的关键是找出的规律表达式．先通过观察已知的的表达式，找出的一般规律，再根据规律分别计算的值以及的值． 【详解】（1）解：； 可得规律． 当时，； （2）解：由可得： 其中1有10个， ． 故答案为：；（或）． 17．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知有理数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是的差倒数是，如果是的差倒数，是的差倒数是的差倒数．．．依此类推，解答下面的问题： (1)___________，___________，___________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了差倒数的定义及数列循环规律的应用，解题的关键是找出数列的循环周期并利用周期计算总和． （1）根据差倒数定义依次计算； （2）确定数列循环周期，计算单个周期和，结合总项数求总和． 【详解】（1）由题知， 故答案为：； （2）根据（1）的计算结果可知， 所以从开始相邻三个数的和为定值． 又， 18．（23-24七年级下·安徽池州·期末）阅读与理解： (1)观察一组有规律的等式：① ，②，③，…发现规律，第⑩个等式是________； (2)利用第一小题发现的规律计算：； (3)已知一组有规律的数： …，它们的和为 ，试探究这组数共有几个？ 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）根据规律即可求解； （2）利用第（1）小题发现的规律进行计算； （3）先找到这组数的规律，然后利用规律进行加法计算． 【详解】（1） （2） （3） ∵ …，它们的和为， ∴， ∴， ∴ ∴这组数共有9个 【点睛】本题考查规律题目，解题的关键是明确规律的意思，根据规律进行运算． 19．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题： (1)求，，的平方根； (2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来． 【答案】(1)；； (2)见详解 【分析】本题属于探究规律的题目，理解材料中的定义是解题的关键； （1）根据定义可得，，，据此不难求出、、的平方根； （2）根据定义分别求出，，，，，的值，从中寻找出规律即可使问题得解． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是． ， ∴的平方根是． ， ∴的平方根是． （2）解：∵， ， ， ， ， ， 规律：i每四个相邻次方为一个循环，若指数是4的整数倍，值为1； 若指数除以4余1，值为； 若指数除以4余2，值为； 若指数除以4余3，值为． 压轴满分题五、算术平方根和立方根的综合应用 21．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为 ； (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用、算术平方根的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意计算即可得解； （2）设长方形的长为，宽为，根据题意得出，求出，再结合题意判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，大正方形的边长为； （2）解：不能，理由如下： ∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形的长为，宽为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为． 22．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 23．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 24．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见详解 【分析】本题主要考查图形的探究、算术平方根等知识，解题关键是正确理解题意，灵活运用相关知识． （1）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （3）设长方形的长宽分别为，，，则根据面积可求得的值，易得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （3）解：能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 则有：，解得，， ∵为长方形的长， ∴， ∴， 则长为， ∵， ∴能沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为． 25．（23-24七年级下·安徽池州·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________． （2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________； 【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 【类比探索】（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 【拓展应用】（1）根据定义求一个数的四次方根； （2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【类比探索】（1），，；表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 【拓展应用】（1）； 故答案为： （2）∵，∴． 故答案为： 压轴满分题六、解特殊的不等式（组）问题 26．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 【答案】(1)0 (2)，，1，2 【分析】题目主要考查新定义的不等式的计算，理解新定义是解题关键． （1）根据题意得出，然后求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据题意列出不等式，结合题意求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴； （2）当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， ∵在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数， ∴， ∵m为整数， ∴或， ∴或； 当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， 当时，，不成立； 当时，，此时，成立； 当时，，此时，成立； 当时，，不成立； 综上可得：或2或或． 27．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 【答案】或或无解． 【分析】按照题中的思路解不等式即可． 【详解】解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时， 当即时，此不等式为无解． 【点睛】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的思想方法是解题的关键． 28．（23-24七年级下·安徽六安·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题． （2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题． 【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得： ①或②， 解不等式组①，无解；解不等式组②， 的解集为 （2）由两数相除，同号为正，得： ①或②， 解不等式组①，；解不等式组②， 不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 29．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 【答案】 【分析】根据有理数相除异号得负，故可得①；②，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得： ①；② 解不等式组①，得无解 解不等式组②，得 原不等式的解集为 【点睛】本题主要考查了分式不等式，根据有理数除法同号得正，异号得负的法则，判断出分式不等式分子，分母的正负，组成不等式组是解题的关键． 30．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 【答案】（3）①或；② 【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可； ②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：（3）①， ∴当时，解得：； 当时，解得：； ∴原不等式的解集为或； ② ∴当时，解得：； 当时，不等式组无解； ∴原不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解． 压轴满分题七、不等式与数轴的问题 31．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）请你从下列三个关于的不等式中，选择其中两个组成一个关于的一元一次不等式组，解该不等式组并把解集在数轴上表示出来． （1）（2）（3） 【答案】见解析 【分析】本题考查解不等式组及在数轴上表示解集，解题的关键是分别解出不等式，结合同大取大，同小取小，相交取中间即可得到答案．分别组合不等式组，解出不等式在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：组成的不等式组为 由①，解得， 由②，解得， 该不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 或组成的不等式组为 由①，解得， 由②，解得， 该不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 或组成的不等式组为 由①，解得， 由②，解得， 该不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 32．（24-25七年级下·安徽马鞍山·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），所有整数解为，， 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，进而得到它的所有整数解； 本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，求不等式组的整数解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： （）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，． 33．（2024·安徽·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 【答案】，；数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意正确列出不等式组成为解题的关键． 设大器容x斛，小器容y斛，由题意得则，再根据可得，当，即时可得、，进而完成解答． 【详解】解：设大器容x斛，小器容y斛，由题意得: , 可得：，即：， ∵ ∴， 当，即时，，即，， ∴，； 小器容米数量范围的解集在数轴上表示如下 ： ． 34．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 去分母，得………第一步 去括号，得…………第二步 移项，得……………第三步 合并同类项，得…………………第四步 两边都除以7，得…………………第五步 任务一：以上解题过程中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二：请正确解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：一；去分母时，常数项漏乘；任务二：，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 任务一：根据运算法则求解即可； 任务二：根据运算法则求解并在数轴上表示即可． 【详解】任务一：解：∵去分母所有项乘后结果为：，故第一步错误，去分母时，常数项漏乘； 故答案为：一；去分母时，常数项漏乘； 任务二： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以7，得， 解集在数轴上表示如图： ． 35．（2024·安徽亳州·二模）（1）计算：． （2）解不等式组： 下面是小星的部分解答过程． 解：由①，得，第1步 ，第2步 ，第3步 ，第4步 ．第5步 Ⅰ．小星的解答过程中第______步出现了错误；不等式①的正确解集是______； Ⅱ．解不等式②，写出该不等式组的解集并在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2）Ⅰ．，Ⅱ．，图见解析 【分析】本题主要考查含三角函数的实数运算和解一元一次不等式组及再数轴上表示解集， （1）根据实数运算法则，先去绝对值、求得负指数幂和特殊角三角函数值，再进行加减即可； （2）根据解：一元一次不等式的计算方法求解找到其错误点，再将不等式②求解，取的公共部分，并在数轴上表示即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）Ⅰ．小星的解答过程中第5步出现了错误；不等式①的正确解集是， 故答案为： Ⅱ．由②，得：， ， ， 该不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下： 压轴满分题八、求一元一次不等式组的解集求参数 36．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集是，求不等式的解集； (3)若关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提供的信息列出关于x的不等式，解不等式即可； （2）先根据关于x的不等式的解集是，求出，然后把代入求不等式的解集即可； （3）解关于x的不等式组得出，根据关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解，得出，求出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， 解得：， 又∵关于x的不等式的解集是， ∴， 解得：， ∵， ∴， 把代入得：， 解得：； （3）解：关于x的不等式组可变为： ， 解得：， ∵关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了新定义计算，解不等式和不等式组，根据不等式组解集清楚求参数，解题的关键是理解题意，列出相应的不等式或不等式组． 37．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于三个互不相等的数a、b、c，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数． 规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数． 例如：，； (1)______，______； (2)若，则x的取值范围为______； (3)若关于x的不等式组恰有三个整数解，求t的取值范围； (4)若，请直接写出x的值． 【答案】(1)； (2)0且； (3) (4)2或 【分析】（1）根据新定义，即可求解； （2）根据新定义，可得，解出即可； （3）分别求出两个不等式的解集可得原不等式组的解集为，再根据原不等式组恰有三个整数解，可得关于t的不等式组，即可求解； （4）根据新定义，可得，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 解得：且； 故答案为：且； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：且， ∴原不等式组的解集为且， ∵原不等式组恰有三个整数解， ∴， 解得：； （4）解：∵， ∴， 当，即时，， ，解得：； 当，即时，， ，解得：（舍去）； 当，即时，， ，解得：； 综上所述，x的值为2或． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分类讨论，理解新定义是解题的关键． 38．（24-25七年级下·安庆·阶段练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， ． 39．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）阅读下列材料： 在自然数中，一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y．如果，那么称这个四位数为“对称四位数”． (1)在四位数2112与4051中，其中_________是“对称四位数”； (2)最小的“对称四位数”是_________； (3)一个“对称四位数”Ｍ，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为8，且千位数字a使得不等式组恰有4个整数解，请求出所有满足条件“对称四位数”M的值． 【答案】(1)4051 (2)1010 (3)1335或2626 【分析】（1）根据“对称四位数”的定义进行求解即可； （2）根据“对称四位数”的定义进行求解即可； （3）先解不等式组确定出或，设十位数字为x，则个数数字为，再分和两种情况，利用“对称四位数”的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴四位数不是“对称四位数”； ∵， ∴四位数是“对称四位数”； （2）解：由题意得，最小的“对称四位数”为， （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵千位数字使得不等式组恰有个整数解， ∴， ∴， ∵， ∴或， 设十位数字为x，则个数数字为 当时，则百位数字为， ∴， ∴， ∴， ∴这个“对称四位数”M的值为； 当时，则百位数字为6， ∴， ∴， ∴， ∴这个“对称四位数”M的值为； 综上所述，这个“对称四位数”M的值为或． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键． 40．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程的解，再分和解不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：   解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是③． 故答案为：③； （2）解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴，解得：； （3）解：解方程，得：， 当时，解不等式组，得：， ∴不等式组得解集为， 则不在范围内，故不符合题意； 当时，解不等式组，得：， 由题意，得，解得， 则． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 压轴满分题九、实数运算的综合实际应用 41．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 【答案】（1）10；（2）见解析 【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积； （2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2）边长为的正方形，则面积为， 则每个三角形的面积为， 则作图如下： . 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长． 42．（23-24七年级下·重庆·期中）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”． 定义：对于一个自然数，如果这个数除以余数为，且除以余数为，则称这个数为“差一数”． 例如：，，所以是“差一数”； ，但，所以不是“差一数”． （1）判断和是否为“差一数”？并说明理由； （2）求大于且小于的所有“差一数”． 【答案】（1）54是“差一数”，64不是“差一数”；（2）614，629，644，659，674，689． 【分析】（1）直接利用“差一数”的定义解答即可； （2）直接利用“差一数”的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵59÷5=11…… 4，59÷3=19……2； 64÷5=12…… 4，64÷3=21……1； ∴54是“差一数”，64不是“差一数”； （2）∵大于600且小于700的数除以5余数为4的有604，609，614，619，624，629，634，639，644，649，654，659，664，669，674，679，684，689，694，699，其中除以3余数为2的有614，629，644，659，674，689. ∴大于600且小于700的所有“差一数”有614，629，644，659，674，689． 【点睛】本题主要考查了整数问题的综合运用以及新定义题的理解，灵活运用新定义的特征是解答本题的关键． 43．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 【答案】(1)①3；② (2)①7；②4 【分析】（1）①根据两点间的距离公式解答即可；②根据两点间的距离公式解答即可； （2）①根据两点间的距离的几何意义解答；②根据两点间的距离公式填空． 【详解】（1）解：①，两点之间的距离为； 故答案为：3； ②设点对应的数是， 则有， 解得或1（舍去）， 故答案为：； （2）解：①根据数轴的几何意义可得和3之间的任何一点均能使取得的值最小， 当时，的最小值为7． 故答案为：7； ②， ，， ， 的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，实数与数轴，解题的关键是了解两点间的距离公式和两点间距离的几何意义． 44．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】8或0 【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值． 【详解】解：∵， ∴（x2-2y-8）+（y-4）=0， ∴x2-2y-8=0，y-4=0， 解得，x=±4，y=4， 当x=4，y=4时，x+y=4+4=8， 当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0， 即x+y的值是8或0． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值． 45．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与　　　　　　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数　　　　　　表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.    【答案】（1）2 (2)①②-5，3（3） 【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-2与2重合； （2）根据对称性找到折痕的点为-1， ①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值； ②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数； （3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值． 【详解】操作一， （1）∵表示的点1与-1表示的点重合， ∴折痕为原点O， 则-2表示的点与2表示的点重合， 操作二： （2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合， 则折痕表示的点为-1， ①设表示的点与数a表示的点重合， 则-（-1）=-1-a， a=-2-； ②∵数轴上A、B两点之间距离为8， ∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4， ∵A在B的左侧， 则A、B两点表示的数分别是-5和3； 操作三： （3）设折痕处对应的点所表示的数是x， 如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，    设AB=a，BC=a，CD=2a， a+a+2a=9， a=， ∴AB=，BC=，CD=， x=-1++=， 如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，    设AB=a，BC=2a，CD=a， a+a+2a=9， a=， ∴AB=，BC=，CD=， x=-1++=， 如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，    设AB=2a，BC=a，CD=a， a+a+2a=9， a=， ∴AB=，BC=CD=， x=-1++=， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或． 压轴满分题十、一元一次不等式组的综合实际应用 46．（2024七年级下·河南·模拟预测）为实现“乡村振兴”的战略目标，幸福乡实施了“村村亮化”工程． 计划投入40万元分三批次购买甲、乙两种型号的路灯（每种型号的路灯单价不变）安装在村公路两旁．第一批次购买甲型路灯300盏、乙型路灯400盏，共花资金150000元； 第二批次购买甲型路灯400盏，乙型路灯300盏，共花资金144000元． (1)求甲、乙两种型号路灯的单价分别是多少元； (2)由于工程的需要，第三批次购买的甲型路灯不能少于350盏，那么第三批次最多能购进乙型路灯多少盏？ 【答案】(1)甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元； (2)第三批次最多能购进乙型路灯盏． 【分析】（1）设甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元，依题意列出方程组求解即可； （2）设第三批次最多能购进乙型路灯盏，依题意列出不等式求解即可． 本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元，依题意得： ， 解得：， 答：甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元； （2）解：第三批次的资金为： （元）， 设第三批次最多能购进乙型路灯盏，则 ， 解得：， 答：第三批次最多能购进乙型路灯盏． 47．（23-24七年级下·安徽池州·期末）已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”． (1)当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________． A． B． C． (2)不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________． (3)不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________． 【答案】(1)B (2) (3)3，5，7 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，理解不等式组的“关联解”定义以及熟练掌握一元一次不等式组的解法是解此题的关键． （1）先求出每个不等式组的解集， 再根据不等式组的“关联解”定义判断即可； （2）先求出不等式组的解集是，求出，根据题意得出不等式组并求出即可． （3）先求出不等式组的解集是，根据“关联解”定义得出解出a的范围，结合是整数即可求出结论． 【详解】（1）解：A．， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，不存在， B．， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当，时，存在， C． 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当存在， 当时，不存在， 故选：B； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 若，且， ， ， ， ， 故答案为：； （3）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 若，且， ， ， ， 解得：， ， ， ， 是整数，， ． 故答案为：3,5,7. 48．（24-25七年级下·安徽·阶段练习）十一期间，某商场打出促销广告，如下表所示．某人两次购物分别用了134元和466元． 优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠方法 没有优惠 按九折优惠 其中的500元仍按照九折优惠，超过500元部分按八折优惠 (1)此人两次购物，若物品不打折，一共值多少钱？ (2)此人两次购物共节省多少钱？ (3)若将两次购物合起来，一次性购买相同的商品，则比分开购买节省多少钱？ 【答案】(1)654元 (2)54元 (3)26.8元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． （1）先确定第一次支付134元，不享受折扣，再确定第二次支付466元属于第三档优惠，则设第二次购物实际价值x元，由题意得：，求解，即可得到一共值多少钱； （2）第一次支付134元，没有折扣，没节省，再计算第二次支付节省的即可； （3）分别计算两次购物合起来的费用和分开购买的费用即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴第一次不打折； ∵ ∴设第二次购物实际价值x元，由题意得：， 解得：， ∴一共值（元）， 答：两次购物，若物品不打折，一共值654元； （2）解：由题意得，（元）， 答：两次购物共节省54元； （3）解：（元）， 答：若将两次购物合起来，一次性购买相同的商品，则比分开购买节省26.8元． 49．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）学校建花坛余下长的漂亮小围栏，经总务处同意，七年级（1）班同学准备在自己教室后的空地上一边靠墙、三边利用这些小围栏，建一个长方形的小花圃，已知墙面长，若要使花圃的长比宽多，求花圃的面积．如下是小强同学的解答，请将其补充完整． 解：设花圃的宽为，则花圃的长为__________m． 因为不知较长边平行于墙还是较短边平行于墙，所以此题应分类讨论，考虑两种情形： ①当较长边平行于墙时，可列方程为_______________…… ②当较短边平行于墙时，可列方程为_______________…… 【答案】，①，②，解答见解析 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设花圃的宽为，则花圃的长为；①当较长边平行于墙时，利用周长公式列方程解答即可，②当较短边平行于墙时，利用周长公式列方程即可． 【详解】解：设花圃的宽为，则花圃的长为； ①当较长边平行于墙时，可列方程为； 解得， ， 此时平行于墙的较长边正好等于，符合题意， ∴花圃的面积为； ②当较短边平行于墙时，可列方程为 解得， ， 此时平行于墙的较短边小于，符合题意 ∴花圃的面积为； 答：花圃的面积为或． 50．（2025七年级下·安徽·专题练习）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展，王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展以“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 （1）如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别为y，，小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组则_________，_________． 任务二：推理分析 （2）第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积． 任务三：设计方案 （3）第三小组领了A，B，C三种类型的矩形卡片，它们的长都为18，宽分别为a，b，c，其中且a，b，c均为正整数，分别取A，B，C卡片2，3，4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A，B，C卡片3，2，5张，则能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠）？如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a，b，c的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）6，10；（2）31；（3）能，图见解析 【详解】3．解：（1）6   10 （2）设小矩形的长为m、宽为n．由题意，得解得则． （3）由题意，得 解得因为且a，b，c均为正整数，所以所以． 所以或．当时，，分别取A，B，C卡片3，2，5张，拼成的不重叠的图形面积为，故此时不能放置；当时，，，分别取A，B，C卡片3，2，5张，拼成的不重叠的图形面积为，此时能放置，放置方式如下图： 压轴满分题十一、因式分解的应用 51．（23-24七年级下·江苏南通·期末）若一个关于x的二次三项式能分解成（其中a为实数，m，n为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． (1)请写出一个关于x的二次三项式，使它关于对称； (2)若关于对称，求t的值； (3)若，且M关于对称，求b，c的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)，，，， 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题新定义是解题的关键． （1）根据定义直接求解； （2）根据定义得到，求出，再回代，即可求出t的值； （3）由题意得，则得到，由于，c为正整数，再枚举即可． 【详解】（1）解：∵关于x的二次三项式，关于对称， ∴， ∴， ∴可取 ∴， ∴一个关于x的二次三项式可以为：． （2）解：∵关于对称， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵关于对称， ∴关于对称， ∴， ∵，c为正整数， ∴，，，，． 52．（24-25七年级下·全国·周测）已知，求的值． 解：因为， 所以原式 ． 请你参照以上方法解答下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题，可得原式，将，整体代入求解即可； （2）仿照例题，可得原式，将，整体代入求解即可． 本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键． 【详解】（1）解：因为， 所以原式 ． （2）解：因为， 所以原式 ． 53．（23-24七年级下·全国·单元测试）若将自然数中能被整除的数，在数轴上的对应点称为“倍点”，取任意的一个“倍点”，到点距离为的点所对应的数分别记为，，定义：若数，则称数为“尼尔数”，例如：若所表示的数为，则，，那么，若所表示的数为，则，，那么，所以，是“尼尔数”． (1)请直接判断和是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被除余； (2)已知两个“尼尔数”的差是，求这两个“尼尔数”． 【答案】(1)6不是，39是；证明见解析 (2)，或， 【分析】本题考查了因式分解的应用，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，理解“尼尔数”的定义是解题的关键． （1）根据“尼尔数”的定义，设点表示的数为，则，，数，令，解方程，如果的解中有能被整除的自然数，那么是“尼尔数”，否则不是；同理可判断是不是“尼尔数”；令是自然数，然后证明被除余即可； （2）设这两个“尼尔数”分别是，、都是自然数，根据两个“尼尔数”的差是列出方程，整理，得，根据、都是自然数，求出、的值，进而求解即可． 【详解】（1）解：设点表示的数为，则，， 数． 令， ， ， 不能被整除， 不是“尼尔数”； 令， ， ， 是能被整除的自然数， 是“尼尔数”； 令是自然数， ， 而， 所有“尼尔数”一定被除余； （2）解：设这两个“尼尔数”分别是，、都是自然数， 根据题意，得， 整理，得． 、都是自然数， ，或， 解得，或， 当时，，， 当时，，． 故这两个“尼尔数”是，或，． 54．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，最小值为； (3)的形状是等边三角形，证明见解析． 【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． （1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当当时，最小值为． （3）解：的形状是等边三角形，理由如下： ∵ ∴， 利用拆项得：， 即：， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是，， 所以可以得到，即：的形状是等边三角形． 55．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）活动准备：在一次数学实践活动中，某兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张其中，纸片A是边长为a的较小正方形，纸片B是长为b、宽为a的长方形，纸片C是边长为b的较大正方形． 操作发现：（1）兴趣小组选用1张纸片张纸片B和1张纸片C拼成一个更大的正方形（如图2所示），并发现该图形的面积关系能够验证一个多项式乘法公式，这个乘法公式是_______； 思考求解：（2）已知纸片A与纸片C的面积之和为169，纸片B的周长为34，求纸片B的面积； 类比探究：（3）兴趣小组经历了实践操作、合作探究，选用m张纸片张纸片B和k张纸片C拼成一个较大长方形，并运用所得图形的面积关系将多项式进行了因式分解． ①写出的值； ②画出所拼成的图形并给出因式分解的结果． 【答案】（1） （2）纸片B的面积为60 （3），，；②，图见解析 【分析】本题主要考查了利用拼图进行因式分解，解题的关键是数形结合，熟练掌握长方形和正方形的面积公式． （1）根据图形的面积得出乘法公式即可； （2）利用完全平方公式求解即可得解； （3）①各项系数即可得解；②根据题意画出图形，然后分解因式即可． 【详解】解：（1）图1中正方形的面积可以表示为，也可以用两个正方形和两个长方形的面积之和表示为， 因此可以得出乘法公式：． 故答案为：． （2）由题意可得，， ∴， ∴， ∴， ∴，即纸片B的面积为60； （3）∵， ∴，，； ②拼图如图所示： ∴． 故答案为：． 压轴满分题十二、多项式乘多项式与图形面积 56．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且． (1)用含、的代数式表示长方形的长______，宽______； (2)用含、的代数式表示阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算以及列代数式，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键． （1）根据图形的组合即可得出； （2）阴影部分的面积长方形的面积个小长方形的面积，利用长方形的面积公式表示出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由图形得：，； （2）解： ． 57．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）2025年2月10日，南水北调东线一期工程正式启动本年度调水工作，计划向黄河以北调水1.51亿立方米．如图，某段河道的横截面是梯形，已知上底的长度为，下底的长度为，河道的最大高度为． (1)求河道横截面的面积； (2)经测量得出，那么长的南水北调的河道最多可以蓄水多少立方米？（棱柱的体积棱柱的底面积高） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，掌握整式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据梯形的面积公式列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可； （2）先代入求出梯形面积，再根据棱柱的体积公式列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：河道横截面的面积为： ； （2）当时， ， ， 答：长的南水北调的河道最多可以蓄水． 58．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，晴晴家有一块长为米，宽为米的长方形耕地，为响应国家“把饭碗牢牢端在自己手中”的号召，爸爸决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地来种植经济作物，其余耕地用来种植小麦． (1)求种植小麦的耕地面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） (2)当米，米时，求种植小麦的耕地面积． 【答案】(1)种植小麦的耕地面积为平方米 (2)种植小麦的耕地面积平方米 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，代数式求值，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知退耕还林的面积为平方米，然后把米，米代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米 （2）解：当，时， 平方米 答：退耕还林的面积平方米． 59．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张即可拼成如图2所示的大正方形． (1)若要拼出一个面积为的长方形，则需要种纸片___________张，种纸片___________张，种纸片___________张． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义，即运用完全平方公式计算，多项式乘以多项式表示面积等知识， （1）（1）计算，即可作答； （2）根据即可作答． 【详解】（1）解： ， 则需要种纸片3张，种纸片2张，种纸片7张； （2）解：∵，， ∴，即． 60．（2025七年级下·全国·专题练习）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 (3) (4)24 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． 压轴满分题十三、多项式乘法中的规律性问题 61．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察下列多项式的乘法计算． ①； ②； ③； ④． (1)计算：_______，________． (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，负指数幂，利用多项式乘多项式法则发现规律是解决本题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则计算，结合①②③④中的规律，即可解题； （2）利用（1）的规律得到，结合，得到，，进而得到m、n的值，将m、n的值代入求解即可． 【详解】（1）解：由①②③④运算情况可知， ； ； 故答案为：，． （2）解：，， ，， 解得， 将代入中，有， ． 62．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② (1)利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； (2)已知，求值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)40 (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值： （1）利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开即可得证； （2）根据非负性求出的值，进而求出的值，进而求出的值即可； （3）先求出的值，整体思想求出的值即可． 【详解】（1）证明： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 63．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是常见的研究数学问题的思路． 问题解决： （1）填空： ________ ________ 猜想： ________ 总结结论： （2）填空：当n为正整数时，________．利用这个结论，请你解决下面的问题：求的值． 【答案】（1）；；；（2）； 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）多项式乘以多项式的法则计算得到结果，归纳总结得到规律即可； （2）由（1）得出一般性规律，将变形为，计算即可得解． 【详解】解：（1） ， ， 猜想： ； （2）当n为正整数时，， ∴的值为． 64．（23-24七年级下·广东广州·期末）【阅读材料】 观察下列式子： ①； ②； ③； ④； 根据上面材料回答以下问题： (1)根据阅读材料猜想：式子⑥：（ ）（ ） (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论． (3)应用你发现的规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目中的式子即可得到答案； （2）根据题题干中的式子总结出规律，再通过计算证明等式的左边等于右边即可； （3）根据（2）中的规律变形，再进行约分即可得到答案． 本题主要考查用代数式表示算式的变化规律以及有理数的混合运算，找出等式的规律．是解题的关键． 【详解】（1）由题意可得，， 故答案为： （2）由题意可得规律为， 证明：∵，， ∴ （3） ． 65．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）阅读下列材料，并完成相应的任务： 杨辉三角 我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，给出了二项式的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律． 如图所示 任务： (1)通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依次为______、______、______； (2)请直接写出展开式中的系数______； (3)观察每行数的和，并归纳出第n行数的和为______（用含有n的式子表示）． (4)若，求的值？ 【答案】(1)4，6，4 (2)10 (3) (4)0 【分析】本题考查与完全平方公式相关数字的变化规律，正确得出“杨辉三角”的规律是解题关键． （1）根据“杨辉三角”的规律写出各项系数即可； （2）根据“杨辉三角”的规律得到的展开式，代入即可得答案； （3）计算前几行的系数和的规律，再总结即可； （4）由，，，，从而可得答案． 【详解】（1）∵“杨辉三角”的特征为两条斜的边都是数字1组成，其余的数是等于它“肩”上的两数之和， ∴（▲）中可填入的数字依次为4，6，4， 故答案为：4，6，4； （2）由（1）可知的展开式中各项系数为1、5、10、10、5、1， ∴， ∴ ∴展开式中的系数是10； 故答案为：10； （3）∵第一行系数为， 第二行的系数和为：， 第三行的系数和为：， 第四行的系数和为：， 归纳可得：第n行数的和为； 故答案为：； （4）∵， ∴当时，， 当时， ∴； 压轴满分题十四、完全平方式、完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用 66．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）求出图、阴影部分面积即可求解； （）利用（）中公式即可求解； （）利用（）中公式即可求解； 本题考查了平方差公式几何背景的应用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：图阴影部分面积为，图阴影部分面积为， 则述操作可以得到一个公式：， 故答案为：； （2）解：由（）得： ； （3）解：原式 ． 67．（23-24七年级下·安徽宣城·阶段练习）【阅读理解】 “若x满足，求的值” 解：设，，则，， 所以． 【解决问题】 (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，则的值为 ； (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是12，分别以为边作正方形，则阴影部分的面积为 ． 【答案】(1)79 (2) (3)32 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，完全平方公式与几何图形的面积： （1）令，利用完全平方公式的变形计算即可； （2）利用完全平方公式变形计算即可； （3）根据题意，得到，，进而得到，再根据阴影部分的面积等于，求解即可． 【详解】（1）解：令，则：，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）由题意，得：，， ∵长方形的面积是12， ∴， 令， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； ∴阴影部分的面积等于． 68．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）我们知道，多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性，如（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2就能利用图1的面积进行验证． （1）写出图2中所表示的数学等式：　                　． （2）请你写出图3所能验证的数学等式，并利用你所学的多项式的乘法写出验证过程． （3）利用（2）得到的结论，解决下面的问题：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a2＋b2＋c2的值． 【答案】（1）（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；（2）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；见解析；（3）45 【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式； （2）利用多项式法则即可求解； （3）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38作为整式代入即可求出． 【详解】解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b）（3a+b）， 各小矩形部分的面积之和＝3a2+4ab+b2， 故答案为：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2； （2）等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （a+b+c）2＝（a+b+c）•（a+b+c）＝a2+ab+ac+b2+ba+bc+c2+ca+cb＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （3）由（2）得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 故a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝112﹣2×38＝45． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答． 69．（23-24七年级下·广东深圳·期末）阅读下面的材料，然后解答后面的问题： 在数学中，“算两次”是一种常用的方法．其思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2． 理解：（1）运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是　　； 应用：（2）七（1）班某数学学习小组用8个直角边长为a、b的全等直角三角形拼成如图3所示的中间内含正方形A1B1C1D1与A2B2C2D2的正方形ABCD，运用“算两次”的方法计算正方形A2B2C2D2的面积，可以得到的等式是　　； 拓展：如图4，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是AB上一动点．求CD的最小值． 【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；拓展：4.8 【分析】（1）利用“算两次”方法，先从整体上看是边长为（a+b+c）的正方形的面积，再利用9块“分面积”的和即可； （2）正方形A2B2C2D2的边长为（a﹣b），因此面积为（a﹣b）2，也可以看做边长为（a+b）的正方形ABCD面积减去四个长为a，宽为b的长方形的面积； （3）当CD⊥AB时，CD最短，由三角形的面积计算可得． 【详解】解：（1）从整体上看为边长为（a+b+c）的正方形， 所以面积为（a+b+c）2， 从各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）正方形A2B2C2D2的边长（a﹣b），因此面积为（a﹣b）2， 也可以看做边长为（a+b）的正方形ABCD面积减去四个长为a，宽为b的长方形的面积， 即（a+b）2﹣4ab， 因此有：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； 由“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”可得， 当CD⊥AB时，CD最短， 由三角形的面积可得， AC•BC＝AB•CD， 即6×8＝10CD， ∴CD＝4.8， 答：CD的最小值为4.8． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键． 70．（23-24七年级下·山东青岛·期中）【发现问题】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题. 例如，求图1中阴影部分的面积，可以得到乘法公式. 请解答下列问题: （1）请写出求图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式(直接写出乘法公式即可). （2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形摆成如图3所示的正方形，请你根据图3中阴影部分的面积写出三个代数式、、之间的等量关系式(直接写出等量关系式即可). 【自主探索】 （3）小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，计算的值. 【拓展迁移】 （4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5是一个棱长为的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式　　　 【答案】（1）；（2）；（3）19；（4） 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，立方公式的几何意义，学会画图是解题的关键． （1）阴影部分是边长为的正方形，这个正方形的面积等于以为边长的大正方形面积减去非阴影区域面积； （2）阴影部分面积大正方形面积长方形面积； （3）先画出大长方形，再按照和的比例进行分割即可画出图形，按照图形数出和的值，再进行计算； （4）大正方体体积各小长方体体积之和． 【详解】解：（1）阴影部分面积大正方形面积非阴影区域面积， 即：； （2）阴影部分面积， 大正方形面积， 长方形面积， 大正方形面积长方形面积阴影部分面积， 即：； （3）将面积为的长方形画出后，按比例分割，如下图所示： ， 看图即可得：，， ∴； （4）大正方体体积各小长方体体积之和， 即：， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．含有无限小数的数都是无理数 B．含有根号的数都是无理数 C．任何实数都有倒数，相反数和绝对值 D．任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点 【答案】D 【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”、倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”、实数与数轴，熟练掌握实数的性质是解题关键．根据无理数、倒数、相反数、绝对值、实数与数轴逐项判断即可得． 【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，则此项错误，不符合题意； B、含有根号的数不一定是无理数，如，则此项错误，不符合题意； C、任何实数都有相反数和绝对值，但实数没有倒数，则此项错误，不符合题意； D、任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点，则此项正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）三个连续正整数的和小于33，这样的正整数共有（   ） A．8组 B．9组 C．10组 D．11组 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设三个数中最小的数为x，则另外两个数分别为，，根据三个数之和小于33，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出这样的正整数有9组． 【详解】解：设三个数中最小的数为x，则另外两个数分别为，， 依题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为1，2，3，4，5，6，7，8，9， ∴这样的正整数有9组． 故选B． 3．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）若关于x的不等式的解均为不等式组的解,则(     ) A． B． C．a D．a 【答案】D 【分析】本题主要考查的是解不等式和不等式组，属于中等难度题型．理解不等式组的解法是解决这个问题的关键． 首先分别求出不等式和不等式组的解集，然后根据两个解之间的关系得出关于a的不等式，从而得出答案． 【详解】解：解可得： ， 解不等式组可得：， ∵的解均为的解， ∴， 解得：， 故选D． 4．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（    ） A．15 B．21 C．28 D．36 【答案】C 【分析】本题考查多项式的展开式，根据图形找出的第三项系数的变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：观察题目发现的第三项系数为， 的第三项系数为， 的第三项系数为， …… ∴的第三项系数为， ∴第三项系数为． 故选C． 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．设甲正方形边长为，乙正方形边长为，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积． 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，， ， ， 点为的中点， ， 图的阴影部分面积， ， ， 图的阴影部分面积 ， 故选：B． 6．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握找一元一次不等式组的解集的规律是解题的关键．先分别求出不等式的解集，再利用找一元一次不等式组的解集的规律求解，即可解题． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 不等式组的解集为， 故答案为：． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若，其中均为整数，则 ． 【答案】0或2或4 【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，先推导与都是非负整数，继而分①当时，②当时，③当时，分钟情况讨论即可得解． 【详解】解：因为，其中均为整数，． 所以与都是非负整数， ①当时， ， 所以； ②当时， 或， 所以或； ③当时， 或， 所以或． 综上所述，的值为0或2或4． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为，到校时间应小于分钟列出不等式即可． 【详解】解：设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为 ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据图形间的关联分析问题是解题的关键．先根据图形间的关联得到，，从而得到第一空答案；求出大正方形的面积，即可求得第二空答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ； 正方形的面积， ． 故答案为：2；． 10．（24-25七年级下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 11．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算．注意有理数的运算律在实数范围内仍然适用． （1）依次利用平方根以及立方根定义对原式计算，然后再依次计算，即可得到结果． （2）先计算乘方，立方根，化简绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）（1）解不等式，并写出它的所有非负整数解； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；非负整数解为：，，，，；（2）；图见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式的运算及不等式组的运算，数轴上表示不等式的解集，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用运算法则运算求解即可； （2）利用运算法则运算求解即可，再把解集在数轴上作出来即可． 【详解】（1）解： ∴不等式的非负整数解为：，，，，； （2）解： 解①可得： 解②可得： ∴不等式组的解集为：， ∴在数轴上表示为： 13．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，见解析 (2) 【分析】本题考查了算术平方根，理解“完美组合数”的定义是解此题的关键． （1）按照已知条件中的方法，分别求出两辆乘积的算术平方根，然后根据“完美组合数”的定义进行判断即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”， 理由如下：，，，且6，3，2都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：其中有两个数乘积的算术平方根为24， 这两个数的乘积为576， 当时，则， ， ， ，， 此时符合题意； 当时，则不符合题意； ． 14．（2025·安徽合肥·模拟预测）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个? 【答案】(1)每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元 (2)最多购买A种娃娃66个 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元，根据题意列出一元一次方程即可得到答案； （2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元． 由题意可得， 解得， 则． 即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元； （2）解：设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个． ， 解得， 因为m为整数，所以m最大为66， 即最多购买A种娃娃66个． 15．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2请写出、、之间的等量关系是___________； (2)根据（1）中的结论，若，，则___________； (3)知识拓展：若，求的值． (4)知识应用：如图①，已知长方形的周长为12，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为20． ①长方形的面积； ②如图②，连接、、，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)①长方形的面积为；② 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解此题的关键． （1）大正方形的面积可以表示为，还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即，由此即可得解； （2）利用（1）中的结论计算即可得解； （3）运用完全平方公式计算即可得解； （4）①设，，则，，再由完全平方公式计算即可得解；②根据，结合完全平方公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由图可得：大正方形的面积可以表示为， 还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即， ∴、、之间的等量关系是； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：①设，， ∵长方形的周长为12， ∴， ∴， ∵分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为20， ∴， ∴， ∴长方形的面积为； ②由题意可得： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之压轴满分题型（85题14个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、无理数整数部分的有关计算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： (1)的值； (2)的平方根． 2．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）任意实数x均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数，例如：，其中，；又如，其中， 回答下列问题： (1)______，______； (2)______； (3)若，，则所有可能的值为______． 3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 4．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 压轴满分题二、新定义的实数运算 6．（2025七年级下·全国·专题练习）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）我们知道，同底数幂的除法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中都为正数），请根据这种新运算回答下列问题： (1)若，则____________； (2)若，求（用含k的代数式表示，其中）． 8．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，，其结果4，6，12都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求的值． 9．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）我们约定，关于的代数式、，在代数式成立的范围内，都有（为常数），则称代数式、互为“差值代数式”，为“差值”．例如：，，，∴、互为“差值代数式”，“差值”为；根据该约定，解答下列问题： (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．（在括号中填写“是”或“不是”） ①与（   ）    ②与（   ） ③与（   ）    ④与（   ） (2)已知关于的整式，，若、互为差值代数式，且“差值”为，求的值． 10．（23-24七年级·安徽安庆·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次 ，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 压轴满分题三、幂的新定义运算 11．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）对于有理数、规定新运算，其中、是常数，已知，． （1）求、的值； （2），，求的值． 12．（23-24七年级下·安徽马鞍山·阶段练习）定义一种新运算（其中），例如，依据上面的公式解决下列问题： (1)求的结果； (2)若，求k的值． 13．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个数、，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 14．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）如果，那么称b为n的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空： ， ； (2)劳格数具有如下性质：，根据运算性质，填空：① （a为正数）；②若， ， ． 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）对于两个非零实数a，b定义一种新运算，记作． 定义：如果，那么（，，x为整数）． 例如：因为，所以；因为，所以． 根据上述运算的定义，回答下列问题： （1）计算：___________，___________； （2）如果，那么___________； （3）如果，，那么___________； （4）如果，，那么___________． 压轴满分题四、与实数运算相关的规律题 16．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）设，，，…，依此规律，解答下列问题． （1） ； （2）计算的值为 ． 17．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知有理数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是的差倒数是，如果是的差倒数，是的差倒数是的差倒数．．．依此类推，解答下面的问题： (1)___________，___________，___________； (2)求的值． 18．（23-24七年级下·安徽池州·期末）阅读与理解： (1)观察一组有规律的等式：① ，②，③，…发现规律，第⑩个等式是________； (2)利用第一小题发现的规律计算：； (3)已知一组有规律的数： …，它们的和为 ，试探究这组数共有几个？ 19．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题： (1)求，，的平方根； (2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来． 压轴满分题五、算术平方根和立方根的综合应用 21．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为 ； (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？ 22．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 23．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 24．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 25．（23-24七年级下·安徽池州·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________． （2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________； 【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________． 压轴满分题六、解特殊的不等式（组）问题 26．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 27．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 28．（23-24七年级下·安徽六安·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 29．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 30．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 压轴满分题七、不等式与数轴的问题 31．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）请你从下列三个关于的不等式中，选择其中两个组成一个关于的一元一次不等式组，解该不等式组并把解集在数轴上表示出来． （1）（2）（3） 32．（24-25七年级下·安徽马鞍山·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 33．（2024·安徽·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 34．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 去分母，得………第一步 去括号，得…………第二步 移项，得……………第三步 合并同类项，得…………………第四步 两边都除以7，得…………………第五步 任务一：以上解题过程中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二：请正确解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 35．（2024·安徽亳州·二模）（1）计算：． （2）解不等式组： 下面是小星的部分解答过程． 解：由①，得，第1步 ，第2步 ，第3步 ，第4步 ．第5步 Ⅰ．小星的解答过程中第______步出现了错误；不等式①的正确解集是______； Ⅱ．解不等式②，写出该不等式组的解集并在数轴上表示出来． 压轴满分题八、求一元一次不等式组的解集求参数 36．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集是，求不等式的解集； (3)若关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求n的取值范围． 37．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于三个互不相等的数a、b、c，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数． 规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数． 例如：，； (1)______，______； (2)若，则x的取值范围为______； (3)若关于x的不等式组恰有三个整数解，求t的取值范围； (4)若，请直接写出x的值． 38．（24-25七年级下·安庆·阶段练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 39．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）阅读下列材料： 在自然数中，一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y．如果，那么称这个四位数为“对称四位数”． (1)在四位数2112与4051中，其中_________是“对称四位数”； (2)最小的“对称四位数”是_________； (3)一个“对称四位数”Ｍ，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为8，且千位数字a使得不等式组恰有4个整数解，请求出所有满足条件“对称四位数”M的值． 40．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 压轴满分题九、实数运算的综合实际应用 41．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 42．（23-24七年级下·重庆·期中）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”． 定义：对于一个自然数，如果这个数除以余数为，且除以余数为，则称这个数为“差一数”． 例如：，，所以是“差一数”； ，但，所以不是“差一数”． （1）判断和是否为“差一数”？并说明理由； （2）求大于且小于的所有“差一数”． 43．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 44．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 45．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与　　　　　　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数　　　　　　表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.    压轴满分题十、一元一次不等式组的综合实际应用 46．（2024七年级下·河南·模拟预测）为实现“乡村振兴”的战略目标，幸福乡实施了“村村亮化”工程． 计划投入40万元分三批次购买甲、乙两种型号的路灯（每种型号的路灯单价不变）安装在村公路两旁．第一批次购买甲型路灯300盏、乙型路灯400盏，共花资金150000元； 第二批次购买甲型路灯400盏，乙型路灯300盏，共花资金144000元． (1)求甲、乙两种型号路灯的单价分别是多少元； (2)由于工程的需要，第三批次购买的甲型路灯不能少于350盏，那么第三批次最多能购进乙型路灯多少盏？ 47．（23-24七年级下·安徽池州·期末）已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”． (1)当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________． A． B． C． (2)不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________． (3)不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________． 48．（24-25七年级下·安徽·阶段练习）十一期间，某商场打出促销广告，如下表所示．某人两次购物分别用了134元和466元． 优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠方法 没有优惠 按九折优惠 其中的500元仍按照九折优惠，超过500元部分按八折优惠 (1)此人两次购物，若物品不打折，一共值多少钱？ (2)此人两次购物共节省多少钱？ (3)若将两次购物合起来，一次性购买相同的商品，则比分开购买节省多少钱？ 49．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）学校建花坛余下长的漂亮小围栏，经总务处同意，七年级（1）班同学准备在自己教室后的空地上一边靠墙、三边利用这些小围栏，建一个长方形的小花圃，已知墙面长，若要使花圃的长比宽多，求花圃的面积．如下是小强同学的解答，请将其补充完整． 解：设花圃的宽为，则花圃的长为__________m． 因为不知较长边平行于墙还是较短边平行于墙，所以此题应分类讨论，考虑两种情形： ①当较长边平行于墙时，可列方程为_______________…… ②当较短边平行于墙时，可列方程为_______________…… 50．（2025七年级下·安徽·专题练习）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展，王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展以“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 （1）如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别为y，，小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组则_________，_________． 任务二：推理分析 （2）第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积． 任务三：设计方案 （3）第三小组领了A，B，C三种类型的矩形卡片，它们的长都为18，宽分别为a，b，c，其中且a，b，c均为正整数，分别取A，B，C卡片2，3，4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A，B，C卡片3，2，5张，则能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠）？如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a，b，c的值；如果不能，请说明理由． 压轴满分题十一、因式分解的应用 51．（23-24七年级下·江苏南通·期末）若一个关于x的二次三项式能分解成（其中a为实数，m，n为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． (1)请写出一个关于x的二次三项式，使它关于对称； (2)若关于对称，求t的值； (3)若，且M关于对称，求b，c的值． 52．（24-25七年级下·全国·周测）已知，求的值． 解：因为， 所以原式 ． 请你参照以上方法解答下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 53．（23-24七年级下·全国·单元测试）若将自然数中能被整除的数，在数轴上的对应点称为“倍点”，取任意的一个“倍点”，到点距离为的点所对应的数分别记为，，定义：若数，则称数为“尼尔数”，例如：若所表示的数为，则，，那么，若所表示的数为，则，，那么，所以，是“尼尔数”． (1)请直接判断和是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被除余； (2)已知两个“尼尔数”的差是，求这两个“尼尔数”． 54．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 55．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）活动准备：在一次数学实践活动中，某兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张其中，纸片A是边长为a的较小正方形，纸片B是长为b、宽为a的长方形，纸片C是边长为b的较大正方形． 操作发现：（1）兴趣小组选用1张纸片张纸片B和1张纸片C拼成一个更大的正方形（如图2所示），并发现该图形的面积关系能够验证一个多项式乘法公式，这个乘法公式是_______； 思考求解：（2）已知纸片A与纸片C的面积之和为169，纸片B的周长为34，求纸片B的面积； 类比探究：（3）兴趣小组经历了实践操作、合作探究，选用m张纸片张纸片B和k张纸片C拼成一个较大长方形，并运用所得图形的面积关系将多项式进行了因式分解． ①写出的值； ②画出所拼成的图形并给出因式分解的结果． 压轴满分题十二、多项式乘多项式与图形面积 56．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且． (1)用含、的代数式表示长方形的长______，宽______； (2)用含、的代数式表示阴影部分的面积． 57．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）2025年2月10日，南水北调东线一期工程正式启动本年度调水工作，计划向黄河以北调水1.51亿立方米．如图，某段河道的横截面是梯形，已知上底的长度为，下底的长度为，河道的最大高度为． (1)求河道横截面的面积； (2)经测量得出，那么长的南水北调的河道最多可以蓄水多少立方米？（棱柱的体积棱柱的底面积高） 58．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，晴晴家有一块长为米，宽为米的长方形耕地，为响应国家“把饭碗牢牢端在自己手中”的号召，爸爸决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地来种植经济作物，其余耕地用来种植小麦． (1)求种植小麦的耕地面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） (2)当米，米时，求种植小麦的耕地面积． 59．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张即可拼成如图2所示的大正方形． (1)若要拼出一个面积为的长方形，则需要种纸片___________张，种纸片___________张，种纸片___________张． (2)已知，求的值． 60．（2025七年级下·全国·专题练习）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 压轴满分题十三、多项式乘法中的规律性问题 61．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察下列多项式的乘法计算． ①； ②； ③； ④． (1)计算：_______，________． (2)若，求的值． 62．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② (1)利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； (2)已知，求值； (3)已知，求的值． 63．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是常见的研究数学问题的思路． 问题解决： （1）填空： ________ ________ 猜想： ________ 总结结论： （2）填空：当n为正整数时，________．利用这个结论，请你解决下面的问题：求的值． 64．（23-24七年级下·广东广州·期末）【阅读材料】 观察下列式子： ①； ②； ③； ④； 根据上面材料回答以下问题： (1)根据阅读材料猜想：式子⑥：（ ）（ ） (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论． (3)应用你发现的规律计算： 65．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）阅读下列材料，并完成相应的任务： 杨辉三角 我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，给出了二项式的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律． 如图所示 任务： (1)通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依次为______、______、______； (2)请直接写出展开式中的系数______； (3)观察每行数的和，并归纳出第n行数的和为______（用含有n的式子表示）． (4)若，求的值？ 压轴满分题十四、完全平方式、完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用 66．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 67．（23-24七年级下·安徽宣城·阶段练习）【阅读理解】 “若x满足，求的值” 解：设，，则，， 所以． 【解决问题】 (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，则的值为 ； (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是12，分别以为边作正方形，则阴影部分的面积为 ． 68．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）我们知道，多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性，如（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2就能利用图1的面积进行验证． （1）写出图2中所表示的数学等式：　                　． （2）请你写出图3所能验证的数学等式，并利用你所学的多项式的乘法写出验证过程． （3）利用（2）得到的结论，解决下面的问题：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a2＋b2＋c2的值． 69．（23-24七年级下·广东深圳·期末）阅读下面的材料，然后解答后面的问题： 在数学中，“算两次”是一种常用的方法．其思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2． 理解：（1）运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是　　； 应用：（2）七（1）班某数学学习小组用8个直角边长为a、b的全等直角三角形拼成如图3所示的中间内含正方形A1B1C1D1与A2B2C2D2的正方形ABCD，运用“算两次”的方法计算正方形A2B2C2D2的面积，可以得到的等式是　　； 拓展：如图4，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是AB上一动点．求CD的最小值． 70．（23-24七年级下·山东青岛·期中）【发现问题】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题. 例如，求图1中阴影部分的面积，可以得到乘法公式. 请解答下列问题: （1）请写出求图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式(直接写出乘法公式即可). （2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形摆成如图3所示的正方形，请你根据图3中阴影部分的面积写出三个代数式、、之间的等量关系式(直接写出等量关系式即可). 【自主探索】 （3）小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，计算的值. 【拓展迁移】 （4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5是一个棱长为的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式　　　 1．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．含有无限小数的数都是无理数 B．含有根号的数都是无理数 C．任何实数都有倒数，相反数和绝对值 D．任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）三个连续正整数的和小于33，这样的正整数共有（   ） A．8组 B．9组 C．10组 D．11组 3．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）若关于x的不等式的解均为不等式组的解,则(     ) A． B． C．a D．a 4．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（    ） A．15 B．21 C．28 D．36 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 6．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）不等式组的解集为 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若，其中均为整数，则 ． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式 ． 9．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 10．（24-25七年级下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ． 11．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）计算 (1) (2) 12．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）（1）解不等式，并写出它的所有非负整数解； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 13．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值． 14．（2025·安徽合肥·模拟预测）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个? 15．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2请写出、、之间的等量关系是___________； (2)根据（1）中的结论，若，，则___________； (3)知识拓展：若，求的值． (4)知识应用：如图①，已知长方形的周长为12，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为20． ①长方形的面积； ②如图②，连接、、，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$