四川省南江中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

答案第 1页，共 9页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D A D B B CD BC 题号 11 答案 ABC 1．C 【分析】根据 / /a b  即可得出 4k  ， 解出 k即可. 【详解】 / /a b  ，∴4 k  ∴ 4k   . 故选： C. 2．B 【分析】根据正切函数定义求出 tan ，利用两角和的正切公式求解. 【详解】由题意，可得 4tan 3    ， 4π 1tan tanπ 134tan π 44 71 tan tan 1 4 3                . 故选：B. 3．D 【分析】由已知条件结合向量的线性运算即可得答案. 【详解】在 ABM 中， AM AB BM     ；① 在 ACM△ 中， AM AC CM AC MC        ；② ①+② 4 ，得5 4 4AM AB AC B MCM        因为 4BM MC   ，所以5 4AM AB AC    ， 即 1 4 5 5 AM a b    故选：D. 4．D 【分析】利用平方法即可求解. 【详解】由题意， 2 2 2 12 (2 ) 4 4 4 9 4 3 3 9 3 3 2 a b a b a a b b                      . 答案第 2页，共 9页 故选：D. 5．A 【分析】利用向量的加法法则，得到 AB BD   ，从而可得结论. 【详解】 5AB a b      ， 2 8BC a b      ， 3 3CD a b    ， 5BD BC CD a b          ， AB BD    ， AB  与 BD  共线， 因为两向量有一个公共点 B， A 、B、D三点共线，故 A正确． 由 5AB a b     ， 2 8BC a b      ，可得 1 5 2 8   ， 所以不存在 使得 AB BC   ，故 A、B、C三点不共线，故 B不正确； 由 2 8BC a b      ， 3 3CD a b    ，可得 2 8 3 3    ， 所以不存在 使 BC CD   ，故 B、C、D三点不共线，故 C不正确； 因为 5AB a b     ， 2 8BC a b      ， 所以 5 2 8 13AC AB BC a b a b a b                  ， 又 3 3CD a b    ，可得 1 13 3 3   ， 所以不存在 使 AC CD   ，故 A、C、D三点不共线，故 D不正确； 故选：A. 6．D 【详解】试题分析： 5 5 2 2 5sin( ) , sin sin cos , sin cos 4 13 4 4 13 2 2 13 x xcos x x x            ，即 5 2sin cos 13 x x   ，两边同时平方可得， 119sin 2 2sin cos 169 x x x   ，选 D 考点：三角恒等变换 7．B 【分析】利用韦达定理求出 tan tan , tan tan    ，再利用两角和的正切公式求出  tan   ， 即可得解. 【详解】因为 tan , tan  是方程 2 6 3 7 0x x   的两根， 所以 tan tan 6 3, tan tan 7       ， 所以 tan 0, tan 0   ， 答案第 3页，共 9页 因为 π π, , 2 2         ，所以 π, ,0 2         ，所以  , π,0    ， 则   6 3tan 3tan tan tan t1 1 7an              ， 所以 2π 3     . 故选：B. 8．B 【分析】对  f x 进行化简，然后根据平移规则得到平移后的解析式，再根据奇函数的特点， 求出的值. 【详解】由   sin 2 3 cos 2 2sin 2 3 f x x x x         ， 向右平移个单位后得到   2sin 2 2 3 g x x         因为  g x 为奇函数，所以  0 0g  ， 所以 2sin 2 0 3        ，得 2 3 k    ， Zk 即 1 , 2 6 k k Z     因为 0  ，所以的最小值为 6  ， 故选 B项. 【点睛】本题考查三角函数辅助角公式，函数的平移，奇函数和正弦型函数的性质，属于简 单题. 9．CD 【分析】利用共线向量定理或坐标运算判断 1 2e e   、 是否共线. 【详解】对于 A， 1 (1,0)e   ， 2 (0,1)e   ，设存在 使得 1 2e e   ，即    1,0 0, ，明显不可 能，则 1 2e e   、 不共线，所以可以作为一组基底，故 A错误； 对于 B，假设 1 (1,2)e   ， 2 ( 2,1)e    共线，则  1 1=2 2   ，明显不可能，则 1 2e e   、 不共线，所 以可以作为一组基底 ，故 B错误； C.因 1 2e e    ，则 1 2e e   、 共线，所以不可以作为一组基底，故 C正确； D. 因 1 22e e    ，则 1 2e e   、 共线，所以不可以作为一组基底，故 D正确； 答案第 4页，共 9页 故选：CD. 10．BC 【分析】根据共线向量的定义即可判断 A；根据向量的定义即可判断 B；根据零向量与任意 向量共线即可判断 C；根据单位向量的定义即可判断 D. 【详解】对于 A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故 A正确； 对于 B，向量无法比较大小，故 B错误； 对于 C，若 b  是零向量，则不成立，故 C错误； 对于 D，对任一非零向量 a， a a   是一个与 a方向相同且模长为 1的单位向量，故 D正确． 故选：BC． 11．ABC 【分析】由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及投影向量 的公式求解即可. 【详解】对于 A， 4 1 5, 1 9 10a b       ，则 3b a   ，所以 A错误； 对于 B， 2 3 1 1   ，则 ,a b   不平行，所以 B错误； 对于 C， 2 1 1 3 2cos , 25 10 a ba b a b           ，又0 , 180a b    ，则 , 45a b    ，所以 C错 误； 对于 D， a  在b  上的投影向量的模为 2 1 1 3 10 210 a b b         ，所以 D正确. 故选：ABC. 12． 3 【分析】由向量垂直坐标表示可得答案. 【详解】因 a b   ，  ,1a x ，  3, 3b   ，则 3 3 0 3x x    . 故答案为： 3 . 13． 4 5  【分析】先利用诱导公式求得 tan 2  ，再利用诱导公式化 πcos 2 2 q + 为 sin2q- ，结合二 倍角公式构造齐次式，再利用同角三角函数基本关系弦化切即可求解. 答案第 5页，共 9页 【详解】 ( )tan π 2q+ = ， tan 2  ， 2 2 2 2 π 2sin cos 2tan 2 2 4cos 2 sin2 2 sin cos 1 tan 1 2 5                          . 故答案为： 4 5  14．6 【分析】利用向量加法的平行四边形法则即可计算. 【详解】如图，作平行四边形 1 1OBCA，则 1 1OC OB OA     ， 因为OA  与OB  的夹角为120，OA  与OC  的夹角为30， 所以 1 90BOC  ． 在 1Rt OBC 中， 1 30 ,| | 2 3OCB OC     ， 所以 1 12, 4OB BC    ， 所以 1 1 4OA BC    ， 所以 4 2OC OA OB     ，所以 4, 2   ， 所以 6   ． 故答案为：6. 15．（1） 12 2 10a b     ， 49 1 5 2a b     ，（2）10 221 221 . 【详解】（1）由    3, 2 , 4,1a b    ，得 12 2 10a b     ，（3分） 而  7, 1a b    ，则 49 1 5 2a b     ；（6分） （2） | | 10 10 221 cos , 22113 17 a b a b a b        ， 即 a  与 b  的夹角的余弦值为 10 221 221 .（13分） 答案第 6页，共 9页 16.(1) a=1 (2)  f x 是R 上的增函数. 【小问 1详解】 因为函数   4 1 4 1 x x af x    是定义在R 上的奇函数，所以   10 0 1 1 1 af a     ， 所以   4 1 4 1 x xf x    ， 检验：因为    4 1 1 4 4 1 1 4 x x x xf x f x            ，故满足题意（6分） 【小问 2详解】  f x 是R 上的增函数，（8分）证明如下： 设任意 1x ， 2 Rx  ， 1 2x x ，           1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 4 42 2 2 21 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 x x x x x x x x f x f x                       ，（10 分） 1 2x x ，∴ 1 24 4x x< ， 14 1 0x   ， 24 1 0x   ，    1 2 0f x f x  ，（13分） ∴  f x 是R 上的单调增函数．（15分） 17.(1)由图可知 A = 1（2分），T 2 = π 2 ，则 T = π，ω = 2（5分），所以 f(x) = cos (2x + φ)， 又因为点( π 3 , 0)在函数图象上，所以 cos ( 2π 3 + φ) = 0，即2π 3 + φ = π 2 + 2kπ，（7分）解得φ =− π 6 + 2kπ，又−π < φ < π，所以φ =− π 6，（9分）即 f(x) = cos (2x − π 6 )。（11分） （2）令−π + 2kπ ≤ 2x − π 6 ≤ 2kπ，解得− 5π 12 + kπ ≤ x ≤ π 12 + kπ, k ∈ Z，（14分）又 x ∈ [0, π]， 所以 f(x)的单调递增区间为[0, π 12 ]、[ 7π 12 , π]。（17分） 答案第 7页，共 9页 18.【答案】（1）当 2π2 π 3 x k  ， Zk 时，  f x 取得最小值： 2 . （2）最小正周期为： π；单调递减区间为： π 5ππ , π 3 6 k k     ， Zk 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数的有关公式（诱导公式、和角公式、辅助角公式）把函数化成  siny A ωx φ  的形式，再求函数的最小值及对应的 x的值. （2）先根据三角函数的图象变换确定  g x 的解析式，再分析其性质即可. 【小问 1详解】   π π πsin cos sin 6 3 2 f x x x x                      3 1 1 3sin cos cos sin cos 2 2 2 2 x x x x x         3 sin cosx x  π2sin 6 x      .（3 分） 所以  f x 的最小值为 2 ，（5分） 此时： π π2 π 6 2 x k   ， Zk ，即 2π2 π 3 x k  ， Zk .（7分） 【小问 2详解】 将   π2sin 6 f x x      图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 （纵坐标不变），得到 π2sin 2 6 y x      的图象，再将 π2sin 2 6 y x      的图象向右平移 π 6 个单位，得到   π π π2sin 2 2sin 2 6 6 6 g x x x                 .（9分） 由 2π π 2 T   ，得函数  g x 的最小正周期为 π .（11分） 由 π π 3π2 π 2 2 π 2 6 2 k x k     ， Zk 得 2π 5π2 π 2 2 π 3 3 k x k    ， Zk ， 所以 π 5ππ π 3 6 k x k    ， Zk （13分） 答案第 8页，共 9页 所以函数  g x 的单调递减区间为： π 5ππ , π 3 6 k k     ， Zk .（15分） 19.【答案】（1） 7 2 （2） 4 5 （3）6 4 2 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算和向量数量积的运算律直接求解即可； （2）设CO nCD   ,利用向量线性运算可得 3 2 4 n nCO CA CE     ，根据 , ,A O E三点共线得 4 5 n  ，然后计算 2 2 5 5 CO CA CB     即可求解； （3）由（2）知 2 2 5 5 CO CA CB     ，利用向量线性运算可得 2 2 5 5 CO CM CN      ，根 据 , ,M O N三点共线得 5 2    ，然后使用基本不等式计算即可. 【小问 1详解】 因为D为 AB中点， 2 2, 60AC BC ACB     , 所以 1 1 2 2 CD CA CB     ,（1分） 所以 2 2 21 1 1 1 1 7| | | | | | 1 2 1 cos60 4 2 4 2 4 4 CD CA CA CB CB                 ，（3分） 所以 7| | 2 CD  .（4分） 【小问 2详解】 因为 1 3 BE BC   ，所以 2 3 CE CB   , 设CO nCD   , 则 1 1 3( ) 2 2 2 2 2 n nCO nCD n CA CB CA CE            ，（6分） 答案第 9页，共 9页 又因为 , ,A O E三点共线， 所以 3 1 2 4 n n  ，即 4 5 n  .（8分） 所以 4 4 1 1 2 2( ) 5 5 2 2 5 5 CO CD CA CB CA CB           , 因为CO xCA yCB     , 所以 2 5 x y  ，即 4 5 x y  .（10分） 【小问 3详解】 由（2）可知， 2 2 5 5 CO CA CB     ， 因为 ,CA CM CB CN       , 所以 2 2 5 5 CO CM CN        , 因为 , ,M O N三点共线， 所以 2 2 1 5 5      ， 5 2    ，（13分） 即 1( 1) ( 1) 2      , 所以 1 2 1 22( )[( 1) ( 1)] 1 1 1 1                 1 2( 1) 1 2( 1)2[1 2] 2(3 2 ) 6 4 2 1 1 1 1                          ， 当且仅当 1 2( 1) 1 1          时，即 2 1 4 2, 2 2     取等号，（16分） 所以 1 2 1 1     的最小值为6 4 2 .（17分） 试卷第 1页，共 4页 2024-2025 学年高一下学期3月月考数学试题 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答案无效。 5．考试结束后，只将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知向量    2, 1 ,2 .a b k    ， 若 / /a b  ，则 k （ ） A． 1 B．1 C． 4 D．4 2．已知角 的终边过点  3,4P  ，则 πtan 4       （ ） A． 1 7 B． 1 7  C．7 D． 7 3．在 ABCV 中，设 ,AB a AC b     ，若 4BM MC   ，则 AM   （ ） A． 1 3 4 4 a b  B． 3 1 4 4 a b  C． 4 1 5 5 a b  D． 1 4 5 5 a b  4．已知向量 a和 b  满足 3,a b a    与 b  的夹角为60o，则 2a b   （ ） A． 3 B．2 C．2 3 D．3 3 5．已知 5AB a b     ， 2 8BC a b      ， 3 3CD a b    ，则（ ） A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线 C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线 6．已知 5sin( ) , 4 13 x    则 sin 2x的值等于 A． B． C． D． 119 169  7．设 tan , tan  是方程 2 6 3 7 0x x   的两根，且 π π, , 2 2         ，则   （ ） 试卷第 2页，共 4页 A． π 3 B． 2π 3  C． π 3 或 2π 3  D． 2π 3 8．已知函数   sin 2 3 cos 2f x x x  ，将函数  f x 向右平移  0   个单位后得到一个奇 函数的图象，则的最小值为 A． 12  B． 6  C． 3  D． 2 3  二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A． 1 (1,0)e   ， 2 (0,1)e   B． 1 (1,2)e   ， 2 ( 2,1)e    C． 1 (3, 4)e    ， 2 ( 3, 4)e    D． 1 (2,6)e   ， 2 ( 1, 3)e     10．下列叙述中错误的是（ ） A．已知非零向量 a与b  且 //a b  ，则 a  与 b  的方向相同或相反 B．若 a b  ，则3 2a b  C．若 //a b  ， //b c   ，则 //a c  D．对任一非零向量 a， a a   是一个单位向量 11．如果平面向量 (2,1)a   ， (1,3)b   ，那么下列结论中错误的是（ ） A． 3b a   B． //a b   C．a  与 b  的夹角为30 D． a  在b  上的投影向量的模为 10 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．设 xR ，向量  ,1a x ，  3, 3b   ，且 a b ，则 x  ． 13．已知  tan π 2  ，则 πcos 2 2       . 14．如图，已知平面内有三个向量 , ,OA OB OC    ，其中OA  与OB  的夹角为120 ,OA uur 与OC  的夹 角为30，且 1, 2 3OA OB OC      ．若 ( , )OC OA OB     R    ，则    ． 试卷第 3页，共 4页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知向量    3, 2 , 4,1a b    . (1)求 a b  与 a b  ; (2)求 a与 b  的夹角的余弦值. 16.（15分）已知函数   4 1 4 1 x x af x    是定义在R 上的奇函数． （1）求 a的值； （2）判断函数  f x 在 R 上的单调性，并用定义证明. 17.（15分）已知函数 f(x) = Acos (ωx + φ)(A > 0，ω > 0，|φ| < π)的部分图象大致如图 所示。 (1)求函数解析式； (2)当 x ∈ [0，π]时，求函数 f(x)的单调递增区间. 试卷第 4页，共 4页 18.（17分）已知函数   π π πsin cos sin 6 3 2 f x x x x                      ． （1）求函数  f x 的最小值，及  f x 取最小值时的 x的值； （2）将函数  f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 12 （纵坐标不变），再向右平移 π 6 个 单位，得到函数  g x 的图象，求函数  g x 的最小正周期和单调递减区间． 19.（17分）如图，在 ABCV 中，D是 AB的中点， 1 3 BE BC   ． （1）若 2 2AC BC  ， 60ACB  ，求 CD ； （2）若CO xCA yCB     ，求 x y 的值； （3）过点O作直线分别于边CA、CB交于M 、N 两点（点M 、N 与点 B、C不重合）， 设CA CM ，CB CN ，求 1 2 1 1     的最小值．