4.6 两条平行线间的距离 同步练习2024-2025学年湘教版（2024）数学七年级下册

4.6 两条平行线间的距离 同步练习 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在▱中，，，，是对角线上任一点点不与点、重合，且交于，点在边上，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在口中，，是对角线上的两点，且给出下列结论：四边形为平行四边形；；；；；其中正确的结论有(    ) A. B. C. D. 3.如图，，是直线上的任意两个点，，是直线上的两个定点，且直线，则下列说法正确的是  (    ) A. B. 的周长等于的周长 C. 的面积等于的面积 D. 的面积等于的面积 4.如图，，是直线上的任意两个点，，是直线上的两个定点，且直线，则下列说法正确的是(    ) A. B. 的周长等于的周长 C. 的面积等于的面积 D. 的面积等于的面积 5.下列结论中，正确的有 对顶角相等； 两直线平行，同旁内角相等； 面积相等的两个三角形全等； 有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等； 钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.如图，，点是的中点，图中与的面积相等的三角形的个数为(    ) A. ； B. ； C. ； D. 7.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，点、是方格纸中的两个格点即正方形的顶点，在这个的方格纸中，找出格点使的面积为个平方单位，则满足条件的格点的个数是(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，，之间的距离为，，之间的距离为，则的长是(    ) A. B. C. D. 9.如图，三条相互平行的直线，和分别经过正方形的三个顶点，交边于点若与之间的距离为，与之间的距离为，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是(    ) A. B. C. 或 D. 以上都不对 11.如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对下列各值：线段的长；的周长的面积直线，之间的距离的大小其中不会发生变化的是(    ) A. B. C. D. 12.如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为，，之间的距离为，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.如图，，与相交于点，，在直线上方有一点，连接，，，若平分，则下列结论正确的是______写出所有正确结论的序号 ；；；三角形的面积等于三角形的面积． 14.如图，，，，，的面积为，则四边形的面积为_______． 15.如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且若与的距离为，与的距离为，则的面积为______ ． 16.如图，三条直线、、互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上已知，，且、之间的距离为，、之间的距离为，则 ______． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，已知直线． 在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 在的条件下，若与间的距离为，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 18.本小题分 在矩形中，，，在上取一点，将沿直线折叠，得到． 如图，若点刚好落在上时，求的长； 如图，若点从到的运动过程中，的角平分线交的延长线于点，求到的距离． 19.本小题分 按下列要求画图并填空． 已知直线、相交于点，点为这两条直线外一点． 过点画直线，垂足为； 过点画直线，垂足为； 过点画直线，交于点； 点到直线的距离是线段______的长； 直线与间的距离是线段______的长． 20.本小题分 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连接，． 求证：四边形是矩形； 若，，求平行线与间的距离． 21.本小题分 为保持室内空气的清新，某车间的自动换气窗采用以下设计，窗子的形状是六边形，它可以看作是由一个矩形和等腰梯形组成的通风口是一个倒立的等腰其顶点固定在矩形底边的中点上，横杆在和两侧移动且保持与底边平行经测量，，与之间的距离为米，米，米，，． 设等腰的底边上的高为，结合图和图分别表示并写出的范围； 模杆在两侧滑动时，有没有最大值？若有，请求出；若没有，说明理由． 22.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，，． 请回答下列问题： 画出，使其与关于原点成中心对称． 的面积是          ． 与之间的距离是          ． 23.本小题分 如图，已知直线，点为直线、之间的一定点，点、分别在直线、上，按照下列要求作出等边要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹；写出必要的文字说明． 如图，已知点到直线、的距离相等； 如图，已知点为直线、间任意一点． 24.本小题分 如图，是的直径，，，是的弦，． 求证：； 如果弦的长为，与间的距离是，求的长． 25.本小题分 如图，在中，、为对角线上的两点，且． 求证：四边形是平行四边形； 如果，，，求、两平行线之间的距离． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：四边形为平行四边形， ， ， ， 点在边上， ， 图中阴影部分的面积等于的面积， 过作交于，如图， ， ， ， ， ， 即阴影部分的面积等于． 故选：． 由四边形为平行四边形，得，又，则，根据平行线间的距离相等即可得出即有阴影部分的面积等于的面积，过作交于，再由勾股定理，所对直角边是斜边的一半即可求解． 本题考查了勾股定理，平行线之间的距离，三角形的面积，含度角的直角三角形，平行四边形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：连接交于，过作于，过作于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 正确；正确；正确； 根据已知不能推出， 错误； ，， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 正确； ， ， ， 正确； 故选：． 连接交于，过作于，过作于，推出，得出平行四边形，求出，即可求出各个选项． 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】解：对顶角相等．正确； 两直线平行，同旁内角相等，正确； 面积相等的两个三角形全等．错误，面积相等的两个三角形不一定全等； 有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等．错误，不一定全等； 钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部，正确． 故选：． 根据对顶角的性质，平行线的性质，全等三角形的判定，三角形的高等知识，一一判断即可． 本题考查对顶角的性质，平行线的性质，全等三角形的判定，三角形的高等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是平行线之间的距离，线段的中点的有关知识，根据可以得到到之间的距离相等，结合点是的中点得到，进而求出此题． 【解答】 解：， 到之间的距离相等， 点是的中点， ， 与面积相等的三角形有，，共个 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了平行线之间的距离及三角形的面积要注意：根据两条平行线间的距离处处相等，只需在两侧各找一个符合条件的点，再作平行线，即可找到所有符合条件的点．首先分别在的两侧找到一个使其面积是个平方单位的点，再分别过这两点作的平行线．找到所有的格点即可． 【解答】 解：满足条件的点有个，如图平行于的直线上，与网格的所有交点就是． 故选A． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】解：如图所示，过点作于，过点作于， ，与之间的距离为，与之间的距离为， 与之间的距离为， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 同理可证明， 又， ∽， ，即， ， ， 故选：． 过点作于，过点作于，则，，证明≌得到，再证明∽求出的长即可得到答案． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线间的距离，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形与相似三角形的判定定理． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是平行线间的距离，解题关键是熟练掌握两平行线之间距离的定义，还需注意分类讨论． 根据平行线之间的距离的定义：两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫平行线间的距离，平行线间的距离处处相等，由题目分析得，分两种情况直线在直线，之间；直线不在直线，之间，分别讨论即可． 【详解】 解：当直线在，之间时， ，，是三条平行的直线， 而与的距离为，与的距离为， 与的距离． 当直线不在，之间时， ，，是三条平行的直线，而与的距离为，与的距离为， 与的距离． 综上所述，与的距离为或． 故选C． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平行线之间的距离，三角形的中位线定理，三角形的周长和面积公式根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，从而判断出不变；再根据三角形的周长的定义判断出是变化的；根据平行线间的距离相等确定出点到的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出不变；根据平行线间的距离相等判断出不变；根据角的定义判断出变化。 【解答】 解：点、为定点，点、分别为，的中点， 是的中位线， ，即线段的长度不变，故正确； 由于、的长度随点的移动而变化，所以的周长会随点的移动而变化，故错误； 平行线间的距离相等确定出点到的距离不变，的底和高都不变， 的面积不变，故正确； 平行于， 直线、之间的距离不随点的移动而变化，故正确； 在直线上任选一点，做三角形的外接圆，由圆外、内角和圆周角的大小可知的大小会随点的移动而变化，故错误． 综上所述，不会随点的移动而变化的是． 故选C． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的知识点有两平行线间的距离，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解此题的关键是构造全等三角形求出和的长． 过作于，过作于，根据证≌，推出，，由勾股定理求出和，再由勾股定理求出即可． 【解答】 解：过作于，过作于， 则， ， ， ， 在和中 ， ≌， ，， 由勾股定理得：， 由勾股定理得：． 13.【答案】  【解析】解：， ， 平分， ， 设， 是的外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论正确； 设与交于点，如图所示： ， 假设， ， ， ， ， ， 根据已知条件无法证明， 无法判定， 故结论不正确； 设，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故结论正确； 连接，如图所示： ， 与的公共边上的高相同， ， ， 和的公共边上的高相同， ， ， ， ， 故结论正确， 综上所述：正确的结论是． 故答案为：． 先求出，根据平分得，设，根据三角形外角性质得，再根据得，进而得，则，由此得，则，由此可对结论进行判断； 设与交于点，假设，根据得，则，进而得，当时根据已知条件无法证明，由此可对结论行判断； 设，，则，根据得，则，在中，，则，进而得，由此可对结论行判断； 连接，根据得，再根据得，进而得，由此可对结论行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，熟练掌握平行线的判定和性质，平行线间的距离是解决问题的关键． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是平行线间的距离，掌握两平行线间的距离相等和平行四边形的性质以及面积公式是解题的关键．作，，根据的面积为，求出，根据两平行线间的距离相等得到的长，根据平行四边形的面积公式得到答案． 【解答】 解：作于，于， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 又的面积为， 即 ， ， 四边形的面积 故答案为：． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离． 解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，并证明≌． 【解答】 过点作，交于，交于，如图， ，，，， ，． 又，，． 在和中，≌． ，， 在中，，． ． 故答案为． 16.【答案】  【解析】解：过作于，交直线于点，如图所示： ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 根据勾股定理得：， ． 故答案为：． 过作于，交直线于点，证明≌，得出，根据勾股定理得出，根据勾股定理可得答案． 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键． 17.【答案】见解析； 的面积为或．   【解析】【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想： 先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可； 分；；三种情况，结合三角形面积公式求解即可 【详解】解：如图， 直线就是所求作的直线． 当时， ，直线与间的距离为，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：， ， ． 当时， 分别过点作直线的垂线，垂足为， ． ，直线与间的距离为，且与间的距离等于与间的距离， ． ，， ，， ． 在中，由勾股定理得， ． ． 当时，同理可得，． 综上所述，的面积为或． 18.【答案】解：由折叠可知，， ， ， ， ， ， ， 如图：作， 由翻折可得，，则 平分，，， ， ，， ≌， ， ， ，， ， 到的距离为．  【解析】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识． 由折叠可知，，求出，，再根据勾股定理得出方程，即可解答； 作，由翻折可得，，则，证，证≌，得出，再证，即可解答． 19.【答案】解：如图，直线即为所求； 如图，直线即为所求； 如图，直线即为所求； ； ．  【解析】解：见答案； 见答案； 见答案； 点到直线的距离是线段的长． 故答案为：； 直线与间的距离是线段的长． 故答案为：． 根据垂线的定义画出图形即可； 根据平行线的定义画出图形即可； 根据点到直线的距离的定义可得结论； 根据平行线之间的距离可得结论． 本题考查作图复杂作图，点到直线的距离，平行线之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20.【答案】证明：在菱形中，． ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形； 解：，， ， ， ， ， 四边形的面积， 如图，过点作于， ， ， ， ， 四边形， ， 平行线与间的距离为．  【解析】先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形； 根据勾股定理得到，根据平行四边形的面积公式得到四边形的面积，如图，过点作于，根据勾股定理得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确地找出辅助线是解题的关键． 21.【答案】解：横杆在和两侧移动且保持与底边平行， 又米，米，，等腰的底边上的高为， 当时，米， ， 当时，作交于点，交于点， ，四边形为矩形， ， ， ， ， ， 答：或； 模杆在两侧滑动时，有最大值， 当时，此时，有最大值， 当时，根据二次函数的性质可知， 当时，有最大值为， 答：当时，有最大值为，当时，有最大值为．  【解析】根据横杆在和两侧移动的位置，结合三角形的面积公式分类讨论得出； 是一个与有关的函数，利用函数的性质就可以计算出的最大值． 本题考试的重点是三角形面积的计算，要熟练掌握函数的性质，以此判定最大值． 22.【答案】【小题】 略 【小题】 【小题】   【解析】 略  略  略 23.【答案】解：如图，是等边三角形； 说明：先以为圆心，任意长度为半径画弧交两点，再分别以这两点为圆心，大于线段长度为半径画弧交于点，连接分别交，于，，再以为圆心，为半径画圆，分别交直线、于点、，此时，，则，此时是等边三角形； 如图，是等边三角形； 说明：先同一样作于，再以为圆心，为半径画圆，圆上任取一点，以为圆心，为半径画圆交直线于，交于，则，，再分别以，为圆心，长为半径画弧交于点，则为等边三角形，连接交直线于，再以为圆心，为半径画圆交直线于，连接，此时可以证明≌，得到，继而得到，即可得到是等边三角形．   【解析】先以为圆心，任意长度为半径画弧交两点，再分别以这两点为圆心，大于线段长度为半径画弧交于点，连接分别交，于，，再以为圆心，为半径画圆，分别交直线、于点、，此时，，则，此时是等边三角形； 先同一样作于，再以为圆心，为半径画圆，圆上任取一点，以为圆心，为半径画圆交直线于，交于，则，，再分别以，为圆心，长为半径画弧交于点，则为等边三角形，连接交直线于，再以为圆心，为半径画圆交直线于，连接，此时可以证明≌，得到，继而得到，即可得到是等边三角形． 本题综合考查尺规作图，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，正确理解作图的基本原理是解题的关键． 24.【答案】证明：如图，作交于点，延长交圆于点， 是的直径，， ，， ，即， ； 解：，则， ，与间的距离是，即， ， ， ．  【解析】过点作，延长交于点，根据题意可得：，，推出，即可证明； 根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 25.【答案】【小题】 证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， ≌， ，， ， 四边形是平行四边形； 【小题】 解：，， ，． 过点作于，如图，则，即，． 、两平行线之间的距离为．      【解析】  根据平行四边形的性质可得，，继而可得，然后即可利用证明≌，进一步即可证明，，即可证得结论；   先根据勾股定理的逆定理得出，然后根据三角形的面积即可求出结果． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$