精品解析：山东省滕州市第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

滕州二中2024-2025学年高一下学期第一次阶段检测数学试题 一、单选题 1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 0或2 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在△ABC中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 二、多选题 9. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中错误的是（ ） A. 在中，若，则 B. 若，，，则有两个解 C. 在中“”是“”的必要不充分条件 D. 若，则角 10. 已知是边长为3的等边三角形，点P在内或边界上，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则点P的轨迹长度为 D. 若，则 11. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在（单位：s）时相对于平衡位置（图中处）的高度（单位：cm）由关系式确定，其中，，，.小球从最高点出发，经过0.5s后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 小球在内经过的路程为10cm D. 时，小球正在向上运动 三、填空题 12. 已知向量，，若，则________. 13. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 14. 如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为_____________米． 四、解答题 15. 已知复数. （1）求复数的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标； （2）若，试求实数、的值. 16. 已知向量，，其中. （1）若，求实数的值； （2）若，求. 17. 已知函数． （1）求函数在上的单调递增区间； （2）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的值． 18. 在平行四边形中，是的中点，交于点，，，的夹角为. （1）若，求的值： （2）当点在平行四边形的边和上运动时，求的取值范围. 19. 如图，半圆的直径为4cm，为直径延长线上的点，cm，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设，问： （1）当为何值时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； （2）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求； （3）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滕州二中2024-2025学年高一下学期第一次阶段检测数学试题 一、单选题 1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 0或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数的值. 【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数的和角公式与诱导公式即可得到结果. 【详解】因为，故， 故. 故选：D. 3. 在中，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形面积公式计算. 【详解】. 故选：A. 4. 在△ABC中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理及线性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义及向量的数量积、模长的坐标运算求投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：D 6. 在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】用射影定理即可化简求值. 【详解】如图所示，过点A作于点D， 则， 同理可证， 因为，所以， 整理得，因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 故选：D 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求． 【详解】因为， 所以 故选：C． 8. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解. 【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接， 所以，，设， 则 ， 又是的外心，所以 ， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将转化为，再一个就是利用数量积的几何意义求出. 二、多选题 9. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中错误的是（ ） A. 在中，若，则 B. 若，，，则有两个解 C. 在中“”是“”的必要不充分条件 D. 若，则角 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由正弦定理和倍角公式可得，再结合充分必要条件的定义即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果. 【详解】对于A，在中，由正弦定理知，， 结合大边对大角可得，故A正确； 对于B，因为，，， 由正弦定理，得， 由知，只有一解，所以有一个解，故B错误； 对于C，若，由正弦定理得：， 则， 因为，可知或，即或， 所以“”是“”的不充分条件， 若，则，，所以， 所以“”是“”的必要条件， 故“”是“”的必要不充分条件，C正确； 对于D，因为， 由余弦定理得：，即， 因为，所以或，故D错误. 故选：BD. 10. 已知是边长为3的等边三角形，点P在内或边界上，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则点P的轨迹长度为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据为的中点，即可根据数量积的定义求解A，根据余弦定理即可求解B，根据圆的性质以及弧长公式即可求解C，根据勾股定理即可求解D. 【详解】对于A,当时，为的中点，则,故，A正确， 对于B，，则，由余弦定理可得，B正确， 对于C, 若，则点P的轨迹为以圆心，以为半径的圆（在内部及边界部分），故长度为，C错误， 对于D，当，则位于边的高上，故,又，故，D正确， 故选：ABD 11. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在（单位：s）时相对于平衡位置（图中处）的高度（单位：cm）由关系式确定，其中，，，.小球从最高点出发，经过0.5s后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 小球在内经过的路程为10cm D. 时，小球正在向上运动 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由函数周期可得，由时，小球位于最高点，可得，再由条件可得，然后结合正弦型函数的性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】由题意，，，， 当时，小球位于最高点，则，，，故A，B正确； 对于C，由题意，当，小球经过一个周期，则其路程为，故C错误； 对于D，当时，由周期性，等价于， 此时， 由正弦函数的图像可知，图像自下而上穿过轴，小球正在向上运动，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知向量，，若，则________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得. 【详解】，由于， 所以. 故答案为：0 13. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及共线向量定理列式计算得解. 【详解】由，得， 由三点共线，得，而， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 14. 如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为_____________米． 【答案】 【解析】 【分析】通过作出两条垂线，利用解直角三角形求出,再利用等角证明等边求出，再利用解直角三角形求出，最后可得高度. 【详解】 过点作,垂足为,过作,垂足为， 在直角中，,可得, 在直角中，,可得：, 在直角中，,可得：, 所以可得：, ,即, 所以,再由, 再由图中三个直角可知四边形是矩形，所以, 即, 故答案为：. 四、解答题 15. 已知复数. （1）求复数的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标； （2）若，试求实数、的值. 【答案】（1）复数的实部为、虚部为、模长为，坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简复数.直接求出实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标； （2）将代入方程，利用复数相等的条件即可求解. 【小问1详解】 因为. 则复数的实部为，虚部为，模长为， 表示复平面上的点的坐标为. 【小问2详解】 将代入方程得：， ∴，∴. 16. 已知向量，，其中. （1）若，求实数的值； （2）若，求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到方程组，变形得到，结合，求出，从而得到； （2）根据垂直得到，得到，结合角的范围得到，利用正弦和角公式得到答案. 【小问1详解】 由题意得，即， 则，即，， 因为，所以， 故，， ； 【小问2详解】 ， ， ， 故 ， 故，所以，， 又，，故， ， 则 . 17. 已知函数． （1）求函数在上的单调递增区间； （2）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的值． 【答案】（1）单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再令，令和与取交即可得出答案； （2）由求出，再由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 已知函数， 则， 令， 则， 因为，令，则；令，则， 即函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 已知，即，即， 又，则，即， 又， 由余弦定理可得， 又，则，则，. 18. 在平行四边形中，是的中点，交于点，，，的夹角为. （1）若，求的值： （2）当点在平行四边形的边和上运动时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为基底表示出，再通过向量的数乘运算及加减运算表示出，可以得到的值，计算即可； （2）利用向量的数乘运算表达点的位置，以为基底表示出，根据向量数量积的定义和运算律，结合参数的范围计算即可. 【小问1详解】 如图，由题意，因为，所以， 且是的中点，即, 即, . 【小问2详解】 当在上运动时，设，则, ， ， ， 又，. 当在上运动时，设，则， ， 又， 综上所述，的取值范围是 19. 如图，半圆的直径为4cm，为直径延长线上的点，cm，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设，问： （1）当为何值时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； （2）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求； （3）求面积的最大值． 【答案】（1）时，四边形的面积取得最大值为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解长度，然后根据三角形面积公式，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解最值； （2）根据定理可求解等号成立的条件，根据互补关系以及余弦定理可求解，即可代入余弦定理求解； （3）由三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 在中由余弦定理得， 所以， 于是四边形的面积为 ， 当，即时，四边形的面积取得最大值为． 【小问2详解】 因为，且为等边三角形，， 所以，所以， 即的最大值为6，取等号时， 所以，不妨设， 则，解得， 所以，所以． 【小问3详解】 设，（，所以为锐角）， 在中，由正弦定理得到，，又， ∴ ． 当，即时，的面积取得最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $