精品解析：辽宁省名校联盟2025届高三下学期高考模拟（信息卷）（一）数学试题

辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（信息卷） 数学（一） 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（ ） A. 36 B. 48 C. 54 D. 56 7. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过点的平面与直线垂直，则截正方体所得截面的面积为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 已知是椭圆的左、右焦点，为上第一象限内一点，的平分线经过抛物线的焦点，且与轴交于点，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列选项正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则向量的夹角为 D. 若共线，则 10. 设复数在复平面内对应的点为，则下列选项正确的有（ ） A. 若，则的最大值为6 B. 若，则点的轨迹为椭圆 C. 若，则点的轨迹为椭圆 D. 若，则点轨迹的长度为 11. 已知函数，则（ ） A. 有4个不同零点的充要条件是 B. 是没有零点的充分不必要条件 C. 有2个不同零点的充要条件是 D. 存在，使得有3个不同零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某水产单位对其投放的网箱产量（单位：）进行了样本统计，得到样本数据的频率分布直方图如下图所示，请根据频率分布直方图估计该水产单位所有网箱产量的上四分位数为__________. 13. 已知函数在区间内单调递增，则的最大值为__________. 14. 已知正四棱锥的一个侧面的周长为10，则该四棱锥体积的最大值为__________，此时其外接球表面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）当时，求证：； （2）当时，，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）求的最小值及相应的值； （2）在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，. （1）证明：； （2）若，平面平面为的中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 某商场为了解月投放消费券（单位：千元）和月利润（单位：万元）的关系，进行了数据收集整理，得到下面的表格： 月投放消费券千元 25 64 100 144 196 289 月利润万元 591 595 600 604 607 615 （1）根据表中数据，通过作散点图分析，可把作为关于的经验回归方程，试求该经验回归方程； （2）该商场为进一步提高利润，推出了“购物达千元，玩游戏，送消费券”的活动.在商场游戏活动点放置甲、乙两个袋子，甲袋中放有3个相同的小盒，其中有两个小盒中放有“奖”字条，另一个是空盒，乙袋中也放有3个与甲袋中相同的小盒，都是空盒.游戏活动参加者先从甲、乙两袋中各任取一个小盒交换后再放回袋子中，重复次这样的操作后，记甲袋中恰有2个小盒放有“奖”字条的概率为，恰有1个小盒放有“奖”字条的概率为.若甲袋中恰有2个小盒放有“奖”字条，参加者可得200元消费券；恰有1个小盒放有“奖”字条，参加者可得100元消费券；没有小盒放有“奖”字条，参加者可得50元消费券. （i）求； （ii）记一个游戏活动参加者参加一次活动获得消费券总数为，分别求和的数学期望和，并判断对于和，游戏活动参加者应如何选择？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 19. 已知双曲线的右顶点为，右焦点为，直线与交于两点，且. （1）求的方程； （2）已知是轴的正半轴上点列，是第一象限曲线上点列），且和重合，与轴垂直，直线的斜率为，记点的横坐标为，设的面积为. （i）写出之间的递推公式； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（信息卷） 数学（一） 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出集合，利用集合的交集运算得到，再根据交集中元素的个数计算其子集的个数. 【详解】由题意得， 所以，所以的子集个数为. 故选：C. 2. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形应用基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 又， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 3. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由递推关系可得是以8为一个周期的周期数列，代入计算，即可得到结果. 【详解】由，得且，所以，故， 所以是以8为一个周期的周期数列， 又，所以，所以. 故选：B. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数值的符号可确定为第一象限角，根据同角三角函数关系可求得，代入即可求得结果. 【详解】，， 为第一象限角，， 由得：，，. 故选：D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项. 【详解】由，可得的定义域为， 且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项； ，排除C项； 当时，，排除A项. 故选：D. 6. 树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（ ） A. 36 B. 48 C. 54 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合排列组合，计算求解. 【详解】若只用2种不同的颜色，则正反面的上下区域同色，中间区域涂剩下的一种颜色即可，所以有种涂色方法. 若用3种不同的颜色，当正反面都只用2种颜色时，有种涂色方法； 当正面用2种颜色，反面用3种颜色时，则在正面未用的颜色不能涂在反面的中间，所以有种涂色方法； 同理，当正面用3种颜色，反面用2种颜色时，也有种涂色方法； 当正反两面都用3种颜色时，有种涂色方法. 所以共有54种不同的涂色方法. 故选：C. 7. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过点的平面与直线垂直，则截正方体所得截面的面积为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得四点共面，再由线面垂直的判定定理可得平面，平面，从而得到平面为平面，再结合等腰梯形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】如图，设分别为棱的中点，连接，， 所以，又，所以，故四点共面. 又平面平面，所以， 又，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以. 又平面平面， 所以，又和分别为棱和的中点，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以.又平面， 所以平面，即平面为平面， 由，得，所以， 得等腰梯形的高为， 所以截面的面积. 故选：B. 8. 已知是椭圆的左、右焦点，为上第一象限内一点，的平分线经过抛物线的焦点，且与轴交于点，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设抛物线的焦点为，，根据圆锥曲线的统一定义得，再由角平分线定理得，通过化简变形得到，从而得，再根据∥，求得，将代入求出代入即得结果. 【详解】因为椭圆，所以， 所以，，，离心率. 设抛物线的焦点为，由题意得， 设，则 由角平分线定理得，所以， 所以，即 所以，所以， 所以 由题意，得∥，所以，解得. 将代入，得，解得， 所以. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列选项正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则向量的夹角为 D. 若共线，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由向量垂直的数量积表示可得A正确；由坐标计算模长可得B正确；由坐标计算向量的夹角可得C错误；由坐标表示向量平行可得D错误. 【详解】对于A，若，则，则，解得，故A项正确； 对于B，若，则，解得，故B项正确； 对于C，若，则，解得，则， 所以向量夹角的余弦值为，故C项错误； 对于D，若共线，则，解得或，故D项错误. 故选：AB. 10. 设复数在复平面内对应的点为，则下列选项正确的有（ ） A. 若，则的最大值为6 B. 若，则点的轨迹为椭圆 C. 若，则点的轨迹为椭圆 D. 若，则点轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数几何意义，结合各选项中的条件逐项分析判断. 【详解】在复平面内，设点，复数所对应点， 对于A，两点的距离表示两点的距离，又， 则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，表示两点的距离， 则的最大值为，A正确； 对于B，表示两点的距离，表示两点的距离， 由，则点的轨迹为线段，B错误； 对于C，，则点的轨迹是以为左，右焦点，长轴长为4的椭圆，C正确； 对于D，，即或，由表示以为圆心，1为半径的圆， 同理表示以为圆心，2为半径的圆，点轨迹的长度为，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 有4个不同零点的充要条件是 B. 是没有零点的充分不必要条件 C. 有2个不同零点的充要条件是 D. 存在，使得有3个不同零点 【答案】AC 【解析】 【分析】先作出函数图象，再结合方程，得，分类讨论计算求解. 【详解】作出函数的大致图象如图所示： 当时，. 当0时，由，得， 设，则，易知为奇函数，且在区间内单调递减，其大致图象如图所示： 当时，方程有两根，，且. 当时，有两解，且；当时，有两解，，且. 当时，方程有两根，且1， 当时，，这时只存在一个解；当时，，这时存在一个解. 当时，方程有两根，且， 当时，，无解；当时，无解. 综上，当时，有4个零点； 当时，有2个零点； 当时，没有零点. 故选:AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某水产单位对其投放的网箱产量（单位：）进行了样本统计，得到样本数据的频率分布直方图如下图所示，请根据频率分布直方图估计该水产单位所有网箱产量的上四分位数为__________. 【答案】49.375 【解析】 【分析】根据给定的频率分布直方图，利用上四分位数的定义计算得解. 【详解】上四分位数即为分位数，网箱产量在的频率分别为， 因此分位数，由，解得49.375， 所以所有网箱产量的上四分位数为49.375. 故答案为：49.375 13. 已知函数在区间内单调递增，则的最大值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据正切函数的单调性列不等式计算，再分讨论即可求出最大值. 【详解】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得. 当时，1，又，所以； 当时，； 当时，不等式无解. 综上，最大值为5. 故答案为：5. 14. 已知正四棱锥的一个侧面的周长为10，则该四棱锥体积的最大值为__________，此时其外接球表面积为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意作图，由题意得到关于底面边长和侧棱长以及高的等量关系，代入四棱锥体积公式，得到关于的函数，利用导函数研究其单调性，从而求得最大值.再利用此时各边长求出外接球的半径，计算球的表面积即可. 【详解】 如图，设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，高为， 因为正四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心，侧棱长相等，侧面为等腰三角形，所以，所以，得，又，所以正四棱锥的体积. 设，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以. 此时，， 设该正四棱锥外接球的半径为，则，解得， 故其外接球表面积. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）当时，求证：； （2）当时，，求的取值范围. 【答案】（1） 证明：当时，， 则， 令，解得， 当时，，当时，0， 所以在区间内单调递减， 在区间内单调递增， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，得出函数的最小值是从而得证； （2）时，类似（1）的做法利用导数分析得出的最小值是；时，推出矛盾，从而可以得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得， ，且， 设， 则在区间内单调递增， 当时，在区间内，，单调递增， 所以， 所以在区间内单调递增，所以. 当时，，且， 又，所以当时， 单调递减，所以， 所以在区间内单调递减， 所以，与题设矛盾. 综上，的取值范围为. 16. 已知函数. （1）求的最小值及相应的值； （2）在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦型函数的性质求的最小值及取得最小值时的取值集合； （2）由（1）知.根据为等腰三角形可得，设，，则，.在中，由余弦定理得，.由正弦定理得.将以上关系式代入三角形面积公式化简，再结合正弦型函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ， 当时，， 此时，解得. 【小问2详解】 由（1）知时，. 又，当时，，∴. 又为等腰三角形，所以， 设，，则. 所以. 在中，由余弦定理得， 由正弦定理得，所以 又， 所以 ， 又，所以当时，的面积取得最大值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，. （1）证明：； （2）若，平面平面为的中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：设为的中点，连接，， 由，得， 又，底面为菱形， 所以为正三角形， 又为的中点， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）设为的中点，连接，，先由几何关系得到为正三角形，再由线面垂直的判定定理证明平面，然后可得答案； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，先求出平面的法向量，由直线与平面所成的角代入空间线面角公式可得，再分别求出平面和平面的法向量，代入空间二面角的余弦公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以两两垂直. 以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，， 设，则， ，. 设平面的法向量为， 则 令，则. 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得， 解得或， 又，所以舍去， 故. 设平面的法向量为， 又， 所以 令，则. 设平面的法向量为， 又， 所以 令，则. 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 某商场为了解月投放消费券（单位：千元）和月利润（单位：万元）的关系，进行了数据收集整理，得到下面的表格： 月投放消费券千元 25 64 100 144 196 289 月利润万元 591 595 600 604 607 615 （1）根据表中数据，通过作散点图分析，可把作为关于的经验回归方程，试求该经验回归方程； （2）该商场为进一步提高利润，推出了“购物达千元，玩游戏，送消费券”的活动.在商场游戏活动点放置甲、乙两个袋子，甲袋中放有3个相同的小盒，其中有两个小盒中放有“奖”字条，另一个是空盒，乙袋中也放有3个与甲袋中相同的小盒，都是空盒.游戏活动参加者先从甲、乙两袋中各任取一个小盒交换后再放回袋子中，重复次这样的操作后，记甲袋中恰有2个小盒放有“奖”字条的概率为，恰有1个小盒放有“奖”字条的概率为.若甲袋中恰有2个小盒放有“奖”字条，参加者可得200元消费券；恰有1个小盒放有“奖”字条，参加者可得100元消费券；没有小盒放有“奖”字条，参加者可得50元消费券. （i）求； （ii）记一个游戏活动参加者参加一次活动获得消费券总数为，分别求和的数学期望和，并判断对于和，游戏活动参加者应如何选择？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】（1） （2）（i），； （ii），，游戏活动参加者应选择 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，分别求得，然后结合最小二乘法公式代入计算，即可得到结果； （2）（i）由全概率公式代入计算，即可得到结果；（ii）由条件可得，然后分别求得的分布列，再求得其期望，比较大小，即可得到结果. 【小问1详解】 设，则， ， 所以， ， 所以， ， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 （i）由题意得， 由全概率公式得， . （ii）由题意可知， ， 和的可能取值为，和的分布列分别为 50 100 200 ， 50 100 200 ， 因为， 所以， 故游戏活动参加者应选择. 19. 已知双曲线的右顶点为，右焦点为，直线与交于两点，且. （1）求的方程； （2）已知是轴的正半轴上点列，是第一象限曲线上点列），且和重合，与轴垂直，直线的斜率为，记点的横坐标为，设的面积为. （i）写出之间的递推公式； （ii）求证：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：由， 两边平方得，即， 两边平方得， 所以，所以， 又，所以， 故， 所以当时，， 即， 所以， 所以.又， 所以， 由题意知， 由得， 故 . 【解析】 【分析】（1）利用焦点坐标以及垂直关系联立方程组计算可得结果; （2）（i）设，利用两点间斜率公式计算可得递推公式； （ii）根据递推公式利用双曲线的范围结合放缩法可得，再写出的表达式利用等比数列的前项和公式计算即可. 【小问1详解】 如下图： 易知，不妨设， 则，① 又， 由，得， 即， 所以，即，② 将②代入①得，即， 又， 所以， 由题意知，所以， 故的方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 又在第一象限，所以. 又直线的斜率，即 所以， 即所求递推公式为. （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用递推公式结合放缩法可得，写出关于的表达式并根据等比数列的前项和公式计算即可得出证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $