精品解析：北京市第十二中学2024-2025学年高一下学期3月练习数学试题

2024－2025学年度第二学期北京市第十二中学高一3月练习 数学 考生须知： 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名、在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码． 2．本次练习所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚． 3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效． 4．本练习卷满分共150分，作答时长90分钟． 第I卷（选择题 共60分） 一、选择题：本部分共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 向量，， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（ ） A. 1.5 B. 2 C. -4.5 D. -3 6. 在中，为的重心，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②若为“凸集”，则集合也是“凸集”； ③若，都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”． 其中，所有正确的命题的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第II卷（非选择题 共100分） 二，填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知向量，，若，则实数______． 12. 已知，，则______． 13. 已知角为第二象限角，且，则______． 14. 已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则__________；__________． 15. 乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题： ①； ②； ③在上的投影向量为； ④若点为正八边形边上一个动点，则的最大值为4． 其中正确命题的序号是______． 三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，． （1）求的大小； （2）若，再从条件①、条件②中任选一个作为已知，求的值． 条件①：的面积为； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，． （1）用，表示向量； （2）求的值； （3）求与夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）若时，不等式恒成立，求实数取值范围． 19. 已知向量，． （1）求与平行的单位向量的坐标； （2）设，，若存在，使得成立，求取值范围． 20. 如图，已知是边长为2正三角形．如图，、是边的两个四等分点． （1）求的值； （2）若为线段上一点，且，求实数的值； （3）若为线段上的动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第二学期北京市第十二中学高一3月练习 数学 考生须知： 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名、在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码． 2．本次练习所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚． 3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效． 4．本练习卷满分共150分，作答时长90分钟． 第I卷（选择题 共60分） 一、选择题：本部分共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，再利用坐标计算模即得. 【详解】向量，，则， 所以. 故选：B 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面向量基底的定义及共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则与共线， 所以不能作为平面向量的基底，故选项A正确， 对于选项B，因为，则与共线， 所以不能作为平面向量的基底，故选项B正确， 对于选项C，，则与共线， 所以不能作为平面向量的基底，故选项C正确， 对于选项D，因为不存在实数，使，即与不共线， 所以能作为平面向量的基底，故选项D错误， 故选：ABC. 3. 已知角的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式即可求出. 【详解】角的终边与单位圆交于点， ， . 故选：C. 4. 在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知边角边，可由余弦定理求第三边即可. 【详解】由余弦定理可得， ， 故选:B. 5. 向量，， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（ ） A. 1.5 B. 2 C. -4.5 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知，，， 则，所以. 故选：D 6. 在中，为的重心，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算可得，结合平面向量基本定理可求，由此可得答案. 【详解】设相交于点，为的重心， 可得为中点，， ， 所以， 所以. 故选：A. 7. 已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】若，， 所以，， 当时，，当时，，此时 故“”是“”的不充分条件， 因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”； 综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 8. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得和的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】由题意，可得，， 因为，，可得，， 则 . 故选：C. 9. 若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形如图所示，设，，由题设知三角形 为等腰三角形，由可得，从而得出结论. 【详解】如图， 设，， 则， 由已知，有， 所以三角形 为等腰三角形. 设C为 的中点，则 ，且， 所以，即， 所以. 故选：C. 10. 向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②若为“凸集”，则集合也“凸集”； ③若，都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”． 其中，所有正确的命题的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中“凸集”的定义，结合集合的运算，证明命题的正确性；利用举反例的方法，证明命题的错误，可得答案. 【详解】由题意得，若对于任意，线段上任意一点，都有， 则集合是“凸集”，由此对结论逐一分析 对于①，，若对于任意满足，则， 由函数的图象知，对线段上任意一点，都有， 即，故为“凸集”，①正确 对于②，若为“凸集”，则对于任意， 此时，其中， 对于任意，，故为“凸集”，②正确 对于③，可举反例，若，， 任取，， 则对于任意任意，， 所以集合是“凸集”， 任取，， 则对于任意任意，， 所以集合“凸集”， 取，， 但， 所以不是“凸集”，故③错误， 对于④，若都是“凸集”， 则对于任意， 任意，则，且， 故，故也是“凸集”，④正确； 故选：B. 第II卷（非选择题 共100分） 二，填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知向量，，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】由，则，解得. 故答案为：. 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】可先对两边平方，求出的值，再将展开并代入的值，最后结合的取值范围确定的值. 【详解】将两边平方可得. 则， . 将 因为，在这个区间内，，所以. 可得. 故答案为： 13. 已知角为第二象限角，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用诱导公式求出，再利用三角函数同角关系求出的值，然后利用正切的二倍角公式可求得结果 【详解】因为， 因为是第二象限角， 所以， 所以， 所以， 故答案：. 14. 已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则__________；__________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由已知可知，两边同时平方可求，然后利用向量数量积公式即可求解；同理可求，即可求得. 【详解】，， ，即，解得， 同理可得：，即，解得. . 故答案为：；. 15. 乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题： ①； ②； ③在上的投影向量为； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4． 其中正确命题的序号是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算判断①，利用向量加法的坐标运算判断②，利用投影向量公式判断③，找到最大时的条件，合理作出图形，将目标式的最大值转化为求的最大值，最后结合二倍角公式求解最大值判断④即可. 【详解】由题意，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离都是2， 有，， 如图，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 因为，所以由正八边形性质得， 则，，，，，， 下面，我们开始逐个分析题目中给定结论的正确性， 对于①，易得，，则，故①错误， 对于②，易得，，， 则，，满足，故②正确， 对于③，易得，， 由投影向量公式得在上的投影向量为，故③正确， 对于④，易得，且设的夹角为， 而，则，易得，故， 如图，延长交的延长线于，连接，此时在上的投影为， 当点在线段上时，此时在上的投影最大， 易得是等腰直角三角形，，则， 由勾股定理得，在直角三角形中，， 在等腰三角形中，， 则的最大值为，故④正确. 故答案为：②③④ 三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，． （1）求的大小； （2）若，再从条件①、条件②中任选一个作为已知，求的值． 条件①：的面积为； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知等式化为，由此可得； （2）若选①，利用三角形面积公式可直接构造方程求得；若选②，由同角三角函数关系可求得，利用正弦定理可得，根据余弦定理可构造方程求得. 【小问1详解】 由得：，即， ，. 【小问2详解】 若选条件①，，； 若选条件②，，，， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 解得：（舍）或，. 17. 如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，． （1）用，表示向量； （2）求的值； （3）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算得到结果即可. （2）由向量的数量积定义和向量模的求法求解即可. （3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 如图，连接， 因为为线段的中点，， 所以，因为，所以， 由向量加法法则得， 故，即成立. 【小问2详解】 由于，可得，又有， 所以； ，故. 【小问3详解】 由向量的减法法则得， 由于，可得，又有， 得到，故， 则， 由上问得，故. 18. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）参变分离可得在上恒成立，求出，即可得解. 【小问1详解】 因为． 令，解得， 所以的单调递减区间为． 【小问2详解】 当时，不等式恒成立，即不等式在上恒成立， 因为，所以，所以， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 19. 已知向量，． （1）求与平行的单位向量的坐标； （2）设，，若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先由坐标计算模长，再得到与其平行的单位向量即可； （2）由数量积的坐标运算化简，转化为方程有解问题，构造函数，利用二次函数的对称轴的取值范围和单调性以及判别式讨论即可. 【小问1详解】 由题意可得，所以与平行的单位向量为或， 即或. 【小问2详解】 因为，，所以， ， ，， .问题转化为关于t的二次方程在内有解. 令， ①当，即时，在内为增函数， ， 方程在内无解. ②当，即时，由，解得或. ③当，即时，在内为减函数，由得.解得. 综上，实数k的取值范围为. 20. 如图，已知是边长为2的正三角形．如图，、是边的两个四等分点． （1）求的值； （2）若为线段上一点，且，求实数的值； （3）若为线段上的动点，求的最小值． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以、为基底表示出，代入原式根据数量积的定义及运算法则进行计算即可. （2）利用平面向量基本定理列方程组进行求解. （3）由平面向量数量积的运算，结合二次函数的最值的求法求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以 . 【小问2详解】 设，则， 所以，解得. 【小问3详解】 记， ， 设， 则，， ，， 所以当，即时，取得最小值，为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$