2025年人教版九年级数学中考一轮复习：圆的综合

2025年人教版九年级数学中考一轮复习 圆综合练习 1．如图，与的边相交于点，与相切于点、与边交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 2．如图，是的直径，是上两点，平分，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的长． 3．如图，已知为的直径，平分，交于点，交于点，．延长至点，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留） 4．如图，的顶点，在上，，与分别交于点，，为的直径，为的中点，连接，． (1)求的度数． (2)若，，求的长． 5．如图，是圆O的直径，D、E为圆O上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交圆O于点F，连接、、． (1)求证：； (2)设交于点G，若，，E是弧的中点，求的值 6．如图，为内接三角形，已知的半径为，为延长线上一点，连接，则有． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的值． 7．如图，内接于，为直径，平分交于点D． (1)过点D作，求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 8．点 、 是 上的点， 是 的直径，连接、、、，过点 作交 的延长线于 点． (1)如图1，当时，求证； (2)如图2，当时，过点作的切线交 的延长线于点 ，，，求的长度． 9．如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，过点O作的垂线交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．如图，内接于，为的直径，直线切于点D，且，连接，交于点G．    (1)求证：平分； (2)若，求的半径长． 11．如图，为外一点，过点作的切线，切点为，连接交于点为上一点，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．如图，是的直径，点在上，平分交于点，是的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．如图，在中，直径与弦交于点P，，过点C作，与的延长线交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 14．四边形内接于是延长线上一点，． (1)求证：是的切线： (2)若，求图中阴影部分的面积． 15．如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点交于点． (1)求证：是的切线； (2)延长和交于点，若，求的值． 参考答案 1．（1）证明：如图，连接，， ∵与相切于点， ∴，即， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵,是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 设的半径为， ∴， 即， 解得：． 2．（1）证明：， ， 平分， （角平分线的定义）， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（1）证明：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴ ∴，即 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵中，， ∴，则， 由（1）可得是等边三角形， ∴ 过点作于点， ∴， ∴ ∴ 4．（1）解：如图，连接 为直径 为的中点 点，，，均在圆上 （2）解：如图，过点作于点 由（1）可知， 为等腰直角三角形 在中， 可设，则 即 解得（负值已舍去） 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 5．（1）如图，连接 因为是的直径 所以，即 又 所以垂直平分 所以； （2）如图，连接 因为， 所以 因为 所以 所以 所以 所以 在中，， 所以 所以 因为是弧的中点，是的直径 所以 所以 因为是弧的中点， 所以 所以 所以 所以． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，关键在于做辅助线，利用角相等证明相似三角形，结合相似比例计算． 6．（1）解：连接并延长交于点，连接，如图所示： 为直径， ， ， ，， ， ， ，即， 又为直径， 为的切线； （2）解：的半径为， ， 在中，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角等于，等弧对等角，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 7．（1）证明：连接， 平分， ， ∴， ， 又， ， ， 又是半径， 为的切线． （2）解：为直径， ，而，， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 8．（1）∵， 是 的直径， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的切线 ∴ 又∵是直径， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∴ ∴ 即 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，余弦的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，弧长公式等知识点，熟练根据切线，作出辅助线是解题的关键． 10．（1）解：连接，   直线切于点D， ． 又， ． 为的直径， ， ， 平分． （2）解：（同弧所对的圆周角相等），（公共角）， ， ，即， 已知，所以． ，， 是等腰直角三角形． 在等腰直角三角形中， ， 设的半径长为，则， ，则． 的半径长为． 11．（1）证明：∵点A，B，C在上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴； （2）解：过点O作于点E，，    ∴， ∵过点作的切线，切点为A， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴在中， ． 【点睛】此题考查了切线的性质定理、勾股定理、解直角三角形、垂径垂径定理、等边对等角、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的性质定理和垂径定理是解题的关键． 12．（1）证明： 连接，如图． ∵是的切线，切点是D， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∵的平分线交于点D， ∴． ∴． ∴． ∴； （2）解：过点作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵，即， ∴（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质，圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，正方形的判定与性质，解决问题的关键是在圆中利用弧确定角的度数． 13．（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接，延长，交于点， 由（1）已得：垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、弧与弦的关系、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定和圆周角定理是解题关键． 14．（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接，则． 是的直径， ， ， ， 即， 又是半径 是的切线； （2）解： ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆周角定理、切线性质、扇形面积的计算，熟练掌握圆周角定理、切线性质是解题的关键． 15．（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$