专题41 数列求和（6大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题41 数列求和 【题型归纳目录】 题型一：错位相减法 题型二：分组求和法 题型三：裂项相消法 题型四：倒序相加 题型五：并项求和法 题型六：奇偶求和 【知识点梳理】 求数列前项和的常见方法如下： （1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式． （2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列． （3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式．常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律． （4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项． （5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和． 【典型例题】 题型一：错位相减法 【典例1-1】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 【典例1-2】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解析】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 【变式1-1】（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知等比数列的公比，且，是的等差中项．数列满足，数列的前n项和为． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列的通项公式． 【解析】（Ⅰ）由是的等差中项得， 所以， 解得. 由得， 因为，所以. （Ⅱ）设，数列前n项和为. 由解得. 由（Ⅰ）可知， 所以， 故，                        . 设， 所以， 因此， 又，所以. 【变式1-2】（2025·高三·青海玉树·开学考试）已知数列的前n项和为，且满足 (1)证明数列为等比数列，并求它的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【解析】（1）由题设，则，整理得， 又， 所以是首项为1，公比为3的等比数列，则. （2）由，则， 所以， 所以， 所以. 【变式1-3】在前项和为的等比数列中，，，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【解析】（1）设数列的公比为， 由，得，所以，解得或， 若，则由，得，所以，与矛盾，所以， 若，则由，得，所以，，符合 ，所以，，所以. 故数列的通项公式为： （2）由， 两边乘以2得 ， 两式相减得：， 故数列的前项和. 题型二：分组求和法 【典例2-1】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【解析】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 【典例2-2】（2007年普通高等学校招生考试试卷（文）试题（辽宁卷））已知数列、满足，且， （1）令，求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式及前项和公式． 【解析】（1）由题设，即 易知是首项为、公差为2的等差数列， ∴通项公式为， （2）由题设，，得是以公比为的等比数列． 由得． 【变式2-1】（2025·青海海南·一模）数列的前100项和（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的前100项和为： . 故选：B 【变式2-2】（2025·山东枣庄·二模）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和的最大值. 【解析】（1）依题意，当时，，则 ，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）得，数列是递减等差数列， 由，得，则数列前10项均为非负数，从第11项起为负数， 而，因此数列前10项和与前9项和相等，都最大， 所以数列的前项和的最大值为. 题型三：裂项相消法 【典例3-1】（2025·陕西安康·二模）数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，证明：数列的前项和． 【解析】（1）由可得，解得，则. 且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证. （2）由（1），故 （3）， 故 ，即得证. 【典例3-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，记． (1)求证：是等差数列； (2)若，求证：． 【解析】（1）由，得， 即， 因为，所以， 所以，① 由，得． 整理得， 即，② 由①②得， 所以是公差为2的等差数列． （2）因为，所以， 即， 所以 ． 【变式3-1】（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【解析】（1）因为，所以，即， 又因为，所以是首项为1，公差1的等差数列， 所以，所以． （2）证明：因为， 所以 因为，所以 【变式3-2】（2025·高三·广西桂林·开学考试）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求数列的前项积. 【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 则，所以的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以， 所以. 【变式3-3】（2025·河北保定·一模）记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）因为，所以， 当时，， 两式相减得，① 则，② ②①得， 所以. 因为， 又，所以当时，； 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列. （2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，， 则， 所以. 【变式3-4】（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【解析】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 题型四：倒序相加 【典例4-1】已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数对任意都有， 数列满足① 又② ①②得：， 得. 故选：B. 【典例4-2】（2025·高三·山东济宁·开学考试），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故， 故……， 故. 故选：D 【变式4-1】已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由数列是公比为的正项等比数列，故， 又，可得， 所以， 由，则，所以， 所以， 则， 故， 故选：B. 【变式4-2】已知，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则 两式相加得 所以， 所以. 故选：A. 题型五：并项求和法 【典例5-1】已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 【解析】（1）因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. （2）由（1）知， 数列的前项和为. （3）因为， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以. 题型六：奇偶求和 【典例6-1】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【解析】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 【典例6-2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，． 【解析】（1）由题意得，                ①， 当时，       ② 由①②得：，即 ． 又时，满足. （2）由得，. ①当n为偶数时， 此时，，故 ②当n为奇数时， 综上，当时，． 【变式6-1】（2025·高三·江苏南通·开学考试）已知数列的前项和为，若， (1)求； (2)若，为数列的前项和，求. 【解析】（1）当时，， 当时，，所以， 所以，所以， 又因为， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 又时也满足上式，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以 . 【变式6-2】已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由可得，解得， 故， （2）， 故， 由于， ， 其中分别为前项中奇数项的和以及偶数项的和， 故 【变式6-3】（2025·天津滨海新·三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和. 【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，化简，得， 整理，得， 解得(舍去)，或，则， ，. （2）由 (1) 可知，， 则， ， . （3）由 (1) 可得， ， ， 令， 两式相减，可得 ， ， 令 , . 【变式6-4】（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，则， 因为数列是等比数列，解得，所以，， 因为，所以，， 因为，则，所以， ，故. （2）当为奇数时，，令， 则， 所以，， 两个等式作差可得 ， 化简得； 当为偶数时，， 令，则 ， 故. 【强化测试】 1．（2025·高三·山东济宁·期中）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，记， 则， 又，两式相加可得 ， 则. 故选：B． 2．（2025·江西景德镇·二模）正项等比数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．20 B．21 C．24 D．28 【答案】B 【解析】设正项等比数列的公比为，由，得，则， 而，所以. 故选：B 3．（2025·高三·河北邯郸·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 则 两式相减得 所以， 故选：D. 4．（2025·四川德阳·一模）已知数列的前项和为，且，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知有，故. 所以，从而. 故选：C. 5．（多选题）（2025·高三·河北·开学考试）已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．记，的前n项和为，则 【答案】ACD 【解析】根据题意，根据等差数列的性质可得．所以．故A正确； 因为．所以，可得，即， 结合，计算可得，， 所以，故B错误； ，故C正确； 因为，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ACD． 6．（多选题）已知数列的前项和为，且，则下列判断正确的是（    ） A． B．当为奇数时， C．当为偶数时， D．数列的前项和等于 【答案】BCD 【解析】由，可得，， 当为奇数且时，，其中符合， 所以当为奇数时，，所以B正确； 当为偶数时，，所以A错误，C正确； 又由，， 所以数列的前项和为 ，所以D正确． 故选：BCD. 7．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知数列满足，则数列的前项和为 ． 【答案】 【解析】因为，则， 所以数列的前项和为， 故答案为：. 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）等比数列的公比为，其通项为，如果，则 ；数列的前5项和为 ． 【答案】 或 或 【解析】等比数列的公比为，由，得， 整理得，所以或； 当时，，数列的前5项和为， 当时，，数列的前5项和为， 所以数列的前5项和为或. 故答案为：或；或 9．（2025·安徽合肥·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； （2），设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 10．（2025·四川德阳·模拟预测）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且. (1)求和的通项公式和的前n项和； (2)若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证:. 【解析】（1）设等比数列的公比为，首项，， 所以，，， 又因为，所以， 令，，又有， 则有 ， 所以， 又因为数列的各项均为正数，所以， 令， 所以①， ②， 由①—②有： ， （2）因为， 所以. 11．在等差数列中，已知公差，其前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的表达式. 【解析】（1）由题意可知 则， 又， 所以， 所以，解得 所以； （2）由（1）可知， 所以， 则， 两式相减，得，整理得. 12．（2025·湖南郴州·三模）已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； (3)已知数列满足：，求数列的前项和. 【解析】（1）因为数列为等差数列，则，可得， 所以，数列的公差为， 故. （2）当时，，解得， 当且时，由得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以，数列是首项和公比均为的等比数列，故. （3）由（1）（2）可得， 所以，， 则， 上述两个等式作差得 ， 整理得. 13．（2025·贵州黔东南·一模）已知数列满足，且．设． (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【解析】（1）由，， 取，则有，解得. （2）由，， 则 ， 所以，则得， 又， 故数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 则有，则. （3）由（2）知，， 则， 所以， 设， 则， 则， 则， 所以. 14．（2025·山东·模拟预测）已知数列各项均为正数，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【解析】（1）因为，又， 所以，即， 由题意得，于是，而， 即是以1为首项，1为公差的等差数列， 从而，即，因此， 而满足上式，故. （2）由（1）知，则， 因此， 则， 显然数列单调递减，于是， 则，故. 15．（2025·云南昆明·一模）已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【解析】（1）由题得， ∴当时，，得， 当时，， 两式作差得，即， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）得. ∴. 16．（2025·吉林·三模）已知等差数列的公差，且满足，，记是数列的前项和，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【解析】（1）由题意得， 解得或（舍）， ， 即数列的通项公式是； （2）①， 当时，，得， 当时，②， 由①②得，， 化简得，，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ， ． 17．在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）证明：因为， 所以， 即. 因为，所以， 所以， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以， 所以. 18．（2025·福建莆田·二模）记为等差数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和． 【解析】（1）设公差为， 由题意得， 解得， 故； （2）， ， 故的前20项为， 故的前20项和为 . 19．（2025·海南·模拟预测）设数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）当时，，得. 当时，，所以. 所以是以4为首项，4为公比的等比数列， 故. （2）由已知得， 所以 . 20．已知数列是由正数组成的等比数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【解析】（1）设等比数列的公比为，由， 得，∵是由正数组成的等比数列，则，， 则，解得或（舍），又，所以， 解得，所以 （2）， 所以 21．（2025·四川自贡·二模）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 【解析】（1）因为， 所以时. 当时，， 所以， ，满足，所以， 数列是正项等比数列，. 所以公比，. （2）由（1）知， ， . 22．（2025·河南郑州·二模）已知等差数列的前项和为，且，，． (1)求的通项公式； (2)设其中是正整数． （i）求，，，； （ii）求． 【解析】（1）由题意得，解得， ∴的通项公式为. （2）（i）∵其中是正整数， ∴，，，. （ii） ． ． 23．（2025·江西·模拟预测）已知数列分别是等比数列和等差数列，是数列的前项和.若. (1)求和及； (2)设是等比数列，对任意的，当时，有恒成立. （i）当时，求证：； （ii）设数列，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，则，所以公比为，从而， 故； 又，则，公差为， 从而. （2）（i）由题意对任意时恒成立， 则； 又对任意时恒成立， 则， 综上，. （ii）由（i）知，， 猜想，否则，若数列的公比，当足够大时，无法保证恒成立； 若数列的公比，当足够大时，无法保证恒成立，所以， . 24．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且． (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，化简，得， 整理，解得（舍去），或， 则， ，，． （2）由（1）可得， ， ， 令， 则， ， 两式相减，可得 ， ， 令， 则 ， ． 25．（2025·高三·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 【解析】（1）因为，① 所以有.② ②-①得. 所以数列成以1为首项，以2为公比的等比数列. 所以. 又数列是等差数列，且. 所以. 所以. （2）因为 设数列的前项和为， 所以 . 故. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题41 数列求和 【题型归纳目录】 题型一：错位相减法 题型二：分组求和法 题型三：裂项相消法 题型四：倒序相加 题型五：并项求和法 题型六：奇偶求和 【知识点梳理】 求数列前项和的常见方法如下： （1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式． （2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列． （3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式．常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律． （4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项． （5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和． 【典型例题】 题型一：错位相减法 【典例1-1】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【典例1-2】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式1-1】（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知等比数列的公比，且，是的等差中项．数列满足，数列的前n项和为． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列的通项公式． 【变式1-2】（2025·高三·青海玉树·开学考试）已知数列的前n项和为，且满足 (1)证明数列为等比数列，并求它的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【变式1-3】在前项和为的等比数列中，，，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 题型二：分组求和法 【典例2-1】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【典例2-2】（2007年普通高等学校招生考试试卷（文）试题（辽宁卷））已知数列、满足，且， （1）令，求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式及前项和公式． 【变式2-1】（2025·青海海南·一模）数列的前100项和（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·山东枣庄·二模）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和的最大值. 题型三：裂项相消法 【典例3-1】（2025·陕西安康·二模）数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，证明：数列的前项和． 【典例3-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，记． (1)求证：是等差数列； (2)若，求证：． 【变式3-1】（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【变式3-2】（2025·高三·广西桂林·开学考试）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求数列的前项积. 【变式3-3】（2025·河北保定·一模）记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【变式3-4】（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 题型四：倒序相加 【典例4-1】已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·高三·山东济宁·开学考试），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 题型五：并项求和法 【典例5-1】已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 题型六：奇偶求和 【典例6-1】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【典例6-2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，． 【变式6-1】（2025·高三·江苏南通·开学考试）已知数列的前项和为，若， (1)求； (2)若，为数列的前项和，求. 【变式6-2】已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式6-3】（2025·天津滨海新·三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和. 【变式6-4】（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【强化测试】 1．（2025·高三·山东济宁·期中）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西景德镇·二模）正项等比数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．20 B．21 C．24 D．28 3．（2025·高三·河北邯郸·开学考试）（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川德阳·一模）已知数列的前项和为，且，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2025·高三·河北·开学考试）已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．记，的前n项和为，则 6．（多选题）已知数列的前项和为，且，则下列判断正确的是（    ） A． B．当为奇数时， C．当为偶数时， D．数列的前项和等于 7．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知数列满足，则数列的前项和为 ． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）等比数列的公比为，其通项为，如果，则 ；数列的前5项和为 ． 9．（2025·安徽合肥·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 10．（2025·四川德阳·模拟预测）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且. (1)求和的通项公式和的前n项和； (2)若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证:. 11．在等差数列中，已知公差，其前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的表达式. 12．（2025·湖南郴州·三模）已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； (3)已知数列满足：，求数列的前项和. 13．（2025·贵州黔东南·一模）已知数列满足，且．设． (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 14．（2025·山东·模拟预测）已知数列各项均为正数，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 15．（2025·云南昆明·一模）已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 16．（2025·吉林·三模）已知等差数列的公差，且满足，，记是数列的前项和，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 17．在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 18．（2025·福建莆田·二模）记为等差数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和． 19．（2025·海南·模拟预测）设数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 20．已知数列是由正数组成的等比数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 21．（2025·四川自贡·二模）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 22．（2025·河南郑州·二模）已知等差数列的前项和为，且，，． (1)求的通项公式； (2)设其中是正整数． （i）求，，，； （ii）求． 23．（2025·江西·模拟预测）已知数列分别是等比数列和等差数列，是数列的前项和.若. (1)求和及； (2)设是等比数列，对任意的，当时，有恒成立. （i）当时，求证：； （ii）设数列，求数列的前项和. 24．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且． (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 25．（2025·高三·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$