专题39 等差数列、等比数列综合应用（6大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题39 等差数列、等比数列综合应用 【题型归纳目录】 题型一：等差数列通项公式及性质 题型二：等差数列前n项和公式及性质 题型三：等比数列通项公式及性质 题型四：等比数列前n项和公式及性质 题型五：等差数列与等比数列的综合应用 题型六：利用定义法证明等差数列或等比数列 【知识点梳理】 一、基本概念 1、数列 （1）定义． 按照一定顺序排列的一列数就叫做数列． （2）数列与函数的关系． 从函数的角度来看，数列是特殊的函数．在中，当自变量时，所对应的函数值就构成一数列，通常记为，所以数列有些问题可用函数方法来解决． 2、等差数列 （1）定义． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，则该数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示，即． （2）等差数列的通项公式． 若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，是关于的一次型函数．或，公差（直线的斜率）（）． （3）等差中项． 若成等差数列，那么叫做与的等差中项，即或．在一个等差数列中，从第2项起（有穷等差数列的末项除外），每一项都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上，等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项． （4）等差数列的前项和（类似于），是关于的二次型函数（二次项系数为且常数项为0）．的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上． 3、等比数列 （1）定义． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个非零常数，则该数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，常用字母表示，即． （2）等比数列的通项公式． 等比数列的通项，是不含常数项的指数型函数． （3）． （4）等比中项 如果成等比数列，那么叫做与的等比中项，即或（两个同号实数的等比中项有两个）． （5）等比数列的前项和 二、基本性质 1、等差数列的性质 （1）等差中项的推广． 当时，则有，特别地，当时，则有． （2）等差数列线性组合． ①设是等差数列，则也是等差数列． ②设是等差数列，则也是等差数列． （3）等差数列的单调性及前项和的最值． 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． （4）其他衍生等差数列． 若已知等差数列，公差为，前项和为，则为等差数列，公差为． 2、等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 3、等差数列与等比数列的转化 （1）若为正项等比数列，则为等差数列． （2）若为等差数列，则为等比数列． （3）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 【典型例题】 题型一：等差数列通项公式及性质 【典例1-1】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【典例1-2】（2022年新高考北京数学高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2025·广东汕头·模拟预测）已知，为和的等差中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·山东·一模）已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-3】（2025·广东·模拟预测）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．18 B．15 C．12 D．9 题型二：等差数列前n项和公式及性质 【典例2-1】（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ． 【典例2-2】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【变式2-1】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式2-2】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【变式2-4】（2025·山东·模拟预测）记为等差数列的前项和，，，则（    ） A．58 B．63 C．75 D．84 【变式2-5】（2025·海南·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．22 题型三：等比数列通项公式及性质 【典例3-1】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等比数列，，，则 . 【典例3-2】（2025·河南·一模）若成等比数列，则（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【变式3-1】（2025·广东湛江·一模）在等比数列中，，，则（   ）． A． B．567 C．451 D．699 【变式3-2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等比数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·湖北·二模）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 题型四：等比数列前n项和公式及性质 【典例4-1】（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 【典例4-2】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【变式4-1】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【变式4-2】（2025·河北沧州·一模）已知为等比数列的前项和，若，则（   ） A．72 B． C．144 D． 【变式4-3】（2025·高二·安徽·阶段练习）已知单调递减的等比数列满足，则（    ） A． B． C．512 D．1024 【变式4-4】（2025·黑龙江·一模）已知等比数列的前项和为，若公比，，则（   ） A．49 B．56 C．63 D．112 【变式4-5】（2023年天津高考数学真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【变式4-6】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【变式4-7】（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 题型五：等差数列与等比数列的综合应用 【典例5-1】（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 【典例5-2】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【变式5-1】（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式5-2】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【变式5-3】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【变式5-4】（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 【变式5-5】（2022年新高考全国II卷数学真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 题型六：利用定义法证明等差数列或等比数列 【典例6-1】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【典例6-2】（2025·高二·辽宁沈阳·阶段练习）为数列的前项和，已知，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 【变式6-1】（2025·河北保定·一模）记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【变式6-2】（2025·江苏南京·一模）已知数列的前项和满足为常数，且. (1)求的值； (2)证明：为等差数列； (3)若，求的取值范围. 【强化测试】 1．（2025·北京·模拟预测）今年高三的“节”活动引用了漫画《龙珠》.在原著中卡林塔上的猫仙人种植了一种仙豆，可以帮助主角疗伤和增长战斗力.仙豆共有7颗，从小到大可以增加的战斗力构成一个递增的等差数列.在下一场挑战前，主角将7颗仙豆全部吃掉，增加21000的战斗力，击败了“比克大魔王”.如果第3小的仙豆可以增加2700的战斗力，那么最小的仙豆可以增加的战斗力为（   ） A．1800 B．2100 C．3600 D．3900 2．（2025·山东济南·一模）若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 4．（2025·河南信阳·一模）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且与的等差中项为4，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）已知为等差数列，若，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．72 6．（2025·辽宁·一模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．4 B．60 C．68 D．52 7．（2025·江西九江·二模）等差数列中，已知，则的前10项和等于（    ） A．36 B．30 C．20 D．18 8．（2025·河北·三模）已知等差数列的前项和为，对任意，“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2025·高三·北京·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．63 B．72 C．84 D．135 10．（2025·山东潍坊·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．42 D．84 11．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（    ） A．80 B．208 C．680 D．780 12．（2025·陕西咸阳·二模）已知数列满足（，），则（   ） A． B． C． D． 13．（2025·河北·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（   ） A． B． C．1 D．2 14．（2025·山西·一模）设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 16．（2025·福建厦门·模拟预测）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A． B． C． D． 17．（2025·高三·安徽·阶段练习）已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（    ） A． B． C． D． 18．（2025·山东·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 19．（2025·四川乐山·一模）设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63 20．（2025·河北保定·模拟预测）记是正项数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025·高三·福建福州·开学考试）金箔是黄金锻制而成的矩形薄片，其规格是指金箔制成后的尺寸.我国南京金箔锻制技艺被国务院列为第一批国家级非物质文化遗产名录.系列的矩形金箔共14种规格，其规格具有下列特点：①较长边长与较短边长的比值都相同；②每一序号的金箔（除外）对裁后，可以得到两张后一序号的金箔.比如1张金箔对裁后可以得到2张金箔.若金箔的较短边长为，则金箔的较长边长约为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·江苏·一模）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．9 C． D． 23．（2025·江西赣州·一模）已知数列的前n项和为，满足，则=（    ） A．11 B．31 C．61 D．121 24．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 25．（2025·安徽安庆·二模）已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（    ） A． B． C． D． 26．（2025·高三·甘肃陇南·开学考试）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，则的值为（   ） A．5 B．10 C．9 D．6 27．（2025·高三·江苏南通·开学考试）已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（   ） A． B． C． D． 28．（2025·高三·辽宁·开学考试）已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论公比（    ） A． B． C． D． 29．（2025·高二·重庆渝中·期末）已知等比数列的前n项和为，则（   ） A．2 B． C． D．4 30．（2025·高三·全国·自主招生）等比数列中， ，则 （    ） A．2 B．4 C．9 D．252 31．（2025·高三·山东济南·开学考试）已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（    ）（参考数据：取） A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天 32．（2025·高二·重庆·期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 33．（2025·四川宜宾·一模）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 34．（2025·高二·广东广州·期末）已知正项等差数列满足，且是与的等比中项，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 35．（2025·高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，成等差数列，是和的等比中项，则（    ） A．81 B．99 C．100 D．121 36．（多选题）（2025·青海海南·模拟预测）若公差为的等差数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 37．（多选题）（2025·广东·一模）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是递增数列 D．当时，的最大值为8 38．（多选题）（2025·高三·河北·开学考试）已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．记，的前n项和为，则 39．（多选题）（2025·云南·一模）已知数列的前项和为，，，则（   ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列的前项和为 40．（多选题）（2025·高三·广东·开学考试）记为正项数列的前项和，已知，则（    ） A． B．数列单调递增 C．数列的单调递增 D． 41．（2025·山西·一模）已知等比数列的前项积为，若，则 . 42．（2025·陕西·模拟预测）记为数列的前项和，若，求 ． 43．（2025·江苏南通·一模）从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为 ． 44．（2025·河南安阳·一模）已知正项等比数列满足，且，则公比为 . 45．（2025·湖北·一模）在数列中，，则数列的通项公式 ． 46．（2025·江西·二模）在等比数列中，，是函数的两个极值点，若，则的值为 ． 47．（2025·山东菏泽·一模）记是等比数列的前项和，若，，则 . 48．（2025·山东淄博·一模）已知等比数列的各项为正数，首项和为，若，则公比 ． 49．（2025·海南海口·模拟预测）数列，都是等差数列，且，，.则数列的前2025项的和是 . 50．（2025·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了 尺布.” 51．（2025·河北·一模）在等差数列中，，则 . 52．（2025·甘肃·一模）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和 . 53．（2025·湖南·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则 . 54．（2025·高二·四川绵阳·阶段练习）正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，．前项和为，则的值为 ． 55．（2025·高三·上海·阶段练习）数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则 . 56．（2025·高三·重庆渝中·期中）定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则 ． 57．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 58．（2025·高三·全国·专题练习）在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 59．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知为数列的前项和，若. (1)求证：数列为等比数列； (2)令，若，求满足条件的最大整数. 60．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 61．（2025·安徽合肥·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题39 等差数列、等比数列综合应用 【题型归纳目录】 题型一：等差数列通项公式及性质 题型二：等差数列前n项和公式及性质 题型三：等比数列通项公式及性质 题型四：等比数列前n项和公式及性质 题型五：等差数列与等比数列的综合应用 题型六：利用定义法证明等差数列或等比数列 【知识点梳理】 一、基本概念 1、数列 （1）定义． 按照一定顺序排列的一列数就叫做数列． （2）数列与函数的关系． 从函数的角度来看，数列是特殊的函数．在中，当自变量时，所对应的函数值就构成一数列，通常记为，所以数列有些问题可用函数方法来解决． 2、等差数列 （1）定义． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，则该数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示，即． （2）等差数列的通项公式． 若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，是关于的一次型函数．或，公差（直线的斜率）（）． （3）等差中项． 若成等差数列，那么叫做与的等差中项，即或．在一个等差数列中，从第2项起（有穷等差数列的末项除外），每一项都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上，等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项． （4）等差数列的前项和（类似于），是关于的二次型函数（二次项系数为且常数项为0）．的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上． 3、等比数列 （1）定义． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个非零常数，则该数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，常用字母表示，即． （2）等比数列的通项公式． 等比数列的通项，是不含常数项的指数型函数． （3）． （4）等比中项 如果成等比数列，那么叫做与的等比中项，即或（两个同号实数的等比中项有两个）． （5）等比数列的前项和 二、基本性质 1、等差数列的性质 （1）等差中项的推广． 当时，则有，特别地，当时，则有． （2）等差数列线性组合． ①设是等差数列，则也是等差数列． ②设是等差数列，则也是等差数列． （3）等差数列的单调性及前项和的最值． 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． （4）其他衍生等差数列． 若已知等差数列，公差为，前项和为，则为等差数列，公差为． 2、等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 3、等差数列与等比数列的转化 （1）若为正项等比数列，则为等差数列． （2）若为等差数列，则为等比数列． （3）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 【典型例题】 题型一：等差数列通项公式及性质 【典例1-1】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 【典例1-2】（2022年新高考北京数学高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 【变式1-1】（2025·广东汕头·模拟预测）已知，为和的等差中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，得到， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故选：D. 【变式1-2】（2025·山东·一模）已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为， 依题意成等差数列，故，得到：， 化简得，即：， 解得：或（舍去） 故选：C 【变式1-3】（2025·广东·模拟预测）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．18 B．15 C．12 D．9 【答案】D 【解析】在等差数列中，， 则. 故选：D. 题型二：等差数列前n项和公式及性质 【典例2-1】（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ． 【答案】2 【解析】由可得，化简得， 即，解得. 故答案为：2. 【典例2-2】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【解析】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 【变式2-1】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 【变式2-2】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 【变式2-3】（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【解析】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 【变式2-4】（2025·山东·模拟预测）记为等差数列的前项和，，，则（    ） A．58 B．63 C．75 D．84 【答案】D 【解析】由，所以， 又，所以， 设该等差数列的公差为d，则由题意可知， 所以. 故选：D 【变式2-5】（2025·海南·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．22 【答案】D 【解析】由，可得：， 所以， 又， 故选：D 题型三：等比数列通项公式及性质 【典例3-1】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等比数列，，，则 . 【答案】 【解析】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 【典例3-2】（2025·河南·一模）若成等比数列，则（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】根据等比中项的概念可得，. 故选：C. 【变式3-1】（2025·广东湛江·一模）在等比数列中，，，则（   ）． A． B．567 C．451 D．699 【答案】B 【解析】因为，所以， 当时，，，舍去， 故，所以，即， 所以. 故选：. 【变式3-2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等比数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由等比数列性质，得，所以. 故选：D 【变式3-3】（2025·湖北·二模）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】因为是方程的两个根， 所以， 又因为在等比数列中，， 又因为是正项等比数列，所以， 所以， 故选:B. 题型四：等比数列前n项和公式及性质 【典例4-1】（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 【典例4-2】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【解析】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 【变式4-1】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【答案】D 【解析】设首项为，因为成等比数列， 所以，则， 解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除， 当时，，此时令， 而其前2025项和为， . 故选：D 【变式4-2】（2025·河北沧州·一模）已知为等比数列的前项和，若，则（   ） A．72 B． C．144 D． 【答案】D 【解析】依题意，，， ，由为等比数列，得， 即，解得或，由，得， 则，所以. 故选：D 【变式4-3】（2025·高二·安徽·阶段练习）已知单调递减的等比数列满足，则（    ） A． B． C．512 D．1024 【答案】A 【解析】在等比数列中，，所以，又，解得， 设的公比为q，则，解得， 因为单调递减，所以． 故选：A 【变式4-4】（2025·黑龙江·一模）已知等比数列的前项和为，若公比，，则（   ） A．49 B．56 C．63 D．112 【答案】B 【解析】∵，∴. 故选：B. 【变式4-5】（2023年天津高考数学真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【解析】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 【变式4-6】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【变式4-7】（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【答案】 【解析】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 故答案为： 题型五：等差数列与等比数列的综合应用 【典例5-1】（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 【答案】 48 384 【解析】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 【典例5-2】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【解析】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 【变式5-1】（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 【变式5-2】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【解析】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 【变式5-3】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【解析】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 【变式5-4】（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 所以， （2）因为，，成等比数列， 所以， ， ， 由已知方程的判别式大于等于0， 所以， 所以对于任意的恒成立， 所以对于任意的恒成立， 当时，， 当时，由，可得 当时，， 又 所以 【变式5-5】（2022年新高考全国II卷数学真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 【解析】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． （2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 题型六：利用定义法证明等差数列或等比数列 【典例6-1】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【解析】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【典例6-2】（2025·高二·辽宁沈阳·阶段练习）为数列的前项和，已知，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 【解析】（1）由，可知 两式相减得， 即， ∵，∴， ∵当时，，∴（舍）或， 则是首项为，公差的等差数列， ∴的通项公式； （2）∵， ∴， ∴数列的前项和 . 【变式6-1】（2025·河北保定·一模）记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）因为，所以， 当时，， 两式相减得，① 则，② ②①得， 所以. 因为， 又，所以当时，； 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列. （2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，， 则， 所以. 【变式6-2】（2025·江苏南京·一模）已知数列的前项和满足为常数，且. (1)求的值； (2)证明：为等差数列； (3)若，求的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以，又， 所以. 又，所以. （2）由（1）可得，所以， 因此， 相减得， 得， 所以为等差数列. （3）由（2）得， 由，得. 因为对恒成立， 所以. 【强化测试】 1．（2025·北京·模拟预测）今年高三的“节”活动引用了漫画《龙珠》.在原著中卡林塔上的猫仙人种植了一种仙豆，可以帮助主角疗伤和增长战斗力.仙豆共有7颗，从小到大可以增加的战斗力构成一个递增的等差数列.在下一场挑战前，主角将7颗仙豆全部吃掉，增加21000的战斗力，击败了“比克大魔王”.如果第3小的仙豆可以增加2700的战斗力，那么最小的仙豆可以增加的战斗力为（   ） A．1800 B．2100 C．3600 D．3900 【答案】B 【解析】由题干可知颗仙豆从小到大可以增加的战斗力构成一个递增的等差数列， 不妨设为，则，颗仙豆可增加的战斗力之和记为， 由等差数列的前项和公式可知， 所以数列的公差，故， 即最小的仙豆可以增加的战斗力为. 故选：B. 2．（2025·山东济南·一模）若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】数列中，， 数列为等比数列，令其公比为，则，， 为常数，因此数列为等差数列； 反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数， 因此数列为等比数列， 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C 3．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【解析】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A 4．（2025·河南信阳·一模）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且与的等差中项为4，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为， 因为与的等差中项为4，所以， 又，所以，所以，解得或（舍去）， 所以的通项公式为， 所以. 故选：B. 5．（2025·河北沧州·模拟预测）已知为等差数列，若，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】D 【解析】已知为等差数列， ． 故选：D． 6．（2025·辽宁·一模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．4 B．60 C．68 D．52 【答案】D 【解析】，∴，∴， 故选：D. 7．（2025·江西九江·二模）等差数列中，已知，则的前10项和等于（    ） A．36 B．30 C．20 D．18 【答案】B 【解析】由等差数列得，故，即， 故选：B. 8．（2025·河北·三模）已知等差数列的前项和为，对任意，“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】对于充分性：当时，单调递增，但不是单调递增的， 所以“数列为递增数列”不能推出“数列为递增数列”，充分性不成立； 对于必要性：当时，单调递增，但不是单调递增的， 所以“数列为递增数列”不能推出“数列为递增数列”，必要性不成立； 所以“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9．（2025·高三·北京·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．63 B．72 C．84 D．135 【答案】A 【解析】等差数列中，，解得， 而，所以. 故选：A 10．（2025·山东潍坊·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．42 D．84 【答案】C 【解析】因为数列为等差数列，所以，所以. 所以. 故选：C 11．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（    ） A．80 B．208 C．680 D．780 【答案】B 【解析】因为，即，解得， 所以，前项和， 所以数列的前20项中，前8项为负数，后12项为正数， 所以 . 故选：B． 12．（2025·陕西咸阳·二模）已知数列满足（，），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则， 故选：B. 13．（2025·河北·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】设等差数列的首项为，公差为d，由，，有，可得． 故选：B． 14．（2025·山西·一模）设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，，解得． 故选: 15．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 【答案】A 【解析】因为是等差数列，所以成等差数列， 又，所以成等差数列， 则，则. 故选：A. 16．（2025·福建厦门·模拟预测）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由有，故A错误； 由，，所以，故C正确； ，故B错误； 由，故D错误. 故选：C. 17．（2025·高三·安徽·阶段练习）已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意， 在两个等差数列中，前项和分别是，， 对于一般等差数列前项和为二次型函数：（为常数）， ∴设，，为常数 ∴， 故选：B. 18．（2025·山东·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【解析】若公差，如数列，，，，…，0，1，2，…，则数列的前项和先减再增； 若是递增数列，如，则为常数列也为等差数列，且； 所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D项正确. 故选：D. 19．（2025·四川乐山·一模）设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63 【答案】C 【解析】由题意得成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：C 20．（2025·河北保定·模拟预测）记是正项数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，， 所以，即，且，所以是以为公比的等比数列. 由得，，解得， 所以. 故选：C. 21．（2025·高三·福建福州·开学考试）金箔是黄金锻制而成的矩形薄片，其规格是指金箔制成后的尺寸.我国南京金箔锻制技艺被国务院列为第一批国家级非物质文化遗产名录.系列的矩形金箔共14种规格，其规格具有下列特点：①较长边长与较短边长的比值都相同；②每一序号的金箔（除外）对裁后，可以得到两张后一序号的金箔.比如1张金箔对裁后可以得到2张金箔.若金箔的较短边长为，则金箔的较长边长约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设矩形金箔较长边长分别为，矩形金箔较短边长分别为， 设，且，所以， 所以，所以为公比为的等比数列， 所以，所以. 故选：D. 22．（2025·江苏·一模）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．9 C． D． 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，显然， 由，即， 则，解得， 所以. 故选：A 23．（2025·江西赣州·一模）已知数列的前n项和为，满足，则=（    ） A．11 B．31 C．61 D．121 【答案】D 【解析】令，得，得， 由， 当时，，两式相减得， ，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 24．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得为方程的两个解，则， 解得，易知. 故选：B. 25．（2025·安徽安庆·二模）已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为等比数列的前项和为，设其公比为， 由已知，故，所以，，则， 故，所以，，故. 故选：D. 26．（2025·高三·甘肃陇南·开学考试）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，则的值为（   ） A．5 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，则，且(由可得)， ，， 又，， ，解得， . 故选：A. 27．（2025·高三·江苏南通·开学考试）已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，公比 ，则， 所以当时，；当时，， 又是数列的前项积，则当时， 取得最大值， 故选：B. 28．（2025·高三·辽宁·开学考试）已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论公比（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于， 若，则， 而，则，所以不符合题意. 当且时，， 即， 即， 则. 故选：A 29．（2025·高二·重庆渝中·期末）已知等比数列的前n项和为，则（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【解析】由等比数列性质有，即，解得， 则， 故选：A． 30．（2025·高三·全国·自主招生）等比数列中， ，则 （    ） A．2 B．4 C．9 D．252 【答案】B 【解析】因为是等比数列，设其公比为，所以，解得， 所以. 故选：B. 31．（2025·高三·山东济南·开学考试）已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（    ）（参考数据：取） A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天 【答案】C 【解析】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、（即天后树的总长度）， 则，， 所以， ， 由，可得， 即，即， 解得或（舍去）， 由则，因为， 即，又，所以的最小值为. 故选：C 32．（2025·高二·重庆·期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 【答案】A 【解析】设1微尘为， 因为微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度， 构成了公比为7的等比数列， 所以1窗尘为，1兔尘为，1羊尘为，1牛尘为， 1虮为，1虱为，1芥子，1大麦，1指节为， 因为，所以1指节是兔尘，A正确，C不正确； 因为，所以1指节是羊尘，BD不正确； 故选：A. 33．（2025·四川宜宾·一模）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造等式求出的值.设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列， 则，所以. 设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列， 则，所以. 所以，即，化简得 解得：或(舍) 故选：C 34．（2025·高二·广东广州·期末）已知正项等差数列满足，且是与的等比中项，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， ， 所以，又因为，即， 可得，又由，即， 即，即， 且正项等差数列，即 解得，则. 故选：C． 35．（2025·高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，成等差数列，是和的等比中项，则（    ） A．81 B．99 C．100 D．121 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，因为，，成等差数列， 所以， 所以，解得． 因为是和的等比中项，所以， 所以，解得，所以． 故选：C． 36．（多选题）（2025·青海海南·模拟预测）若公差为的等差数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设等差数列的首项为，由题有，解得，所以选项A正确，选项B不正确， 又，由，得到，所以是数列前项和的最小值，故选项C不正确，选项D正确， 故选：AD. 37．（多选题）（2025·广东·一模）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是递增数列 D．当时，的最大值为8 【答案】ABD 【解析】设等差数列的公差为， 由是与的等比中项，得， 即，解得，故AB正确； 则，，， 所以，又随的增大而减小，所以数列是递减数列，故C错误； 当时，，所以的最大值为8，故D正确. 故选：ABD 38．（多选题）（2025·高三·河北·开学考试）已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．记，的前n项和为，则 【答案】ACD 【解析】根据题意，根据等差数列的性质可得．所以．故A正确； 因为．所以，可得，即， 结合，计算可得，， 所以，故B错误； ，故C正确； 因为，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ACD． 39．（多选题）（2025·云南·一模）已知数列的前项和为，，，则（   ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列的前项和为 【答案】ACD 【解析】A选项，， 其中，所以是公比为2的等比数列，A正确； C选项，由A知，，所以，C正确； B选项，当时，， 当时，， 显然满足，故，B错误； D选项，，故， 即为公比为的等比数列，且， 所以的前项和为，D正确. 故选：ACD 40．（多选题）（2025·高三·广东·开学考试）记为正项数列的前项和，已知，则（    ） A． B．数列单调递增 C．数列的单调递增 D． 【答案】AB 【解析】对于A:当时，由，得，解得或， 又，所以，故A正确； 对于B：所以，当时，，两式作差得， 即当时，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 故，当时，也符合上式，故易知单调递增，故B正确； 对于C：因为，所以，因为， 所以不是单调递增数列，故C错误； 对于D：，故D错误. 故选：AB 41．（2025·山西·一模）已知等比数列的前项积为，若，则 . 【答案】 【解析】由题意得，， ∵， ∴， ∴. 故答案为：. 42．（2025·陕西·模拟预测）记为数列的前项和，若，求 ． 【答案】64 【解析】由， 当时，，即； 当时，，即， 所以数列是等比数列，首项为1，公比为2， 则，即. 故答案为：64. 43．（2025·江苏南通·一模）从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为 ． 【答案】 【解析】从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，共有种取法， 其中能构成等比数列的有，，，，，，，，，，，，共12种取法， 假设任取三项并能构成等比数列为事件A，所以． 故答案为：. 44．（2025·河南安阳·一模）已知正项等比数列满足，且，则公比为 . 【答案】/ 【解析】设数列公比为q，因，则. 又，则. 故答案为： 45．（2025·湖北·一模）在数列中，，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】由， 可得， 又，所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 故答案为：． 46．（2025·江西·二模）在等比数列中，，是函数的两个极值点，若，则的值为 ． 【答案】16 【解析】的定义域为， ， 由题意得是方程的两个不相等的正根， 故，解得， 由韦达定理得，故， 因为为等比数列，所以， 其中，故， 所以，解得，满足要求. 故答案为：16 47．（2025·山东菏泽·一模）记是等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【解析】因为是等比数列，所以公比故 故答案为： 48．（2025·山东淄博·一模）已知等比数列的各项为正数，首项和为，若，则公比 ． 【答案】 【解析】由，则， 由，，则， 整理可得，分解因式可得， 解得或（舍去）. 故答案为：. 49．（2025·海南海口·模拟预测）数列，都是等差数列，且，，.则数列的前2025项的和是 . 【答案】20250 【解析】因为数列和都是等差数列， 则与均为常数， 故为常数， 所以数列是等差数列， 又因为，，，则， 所以数列的前2025项和为 ， 故答案为：20250. 50．（2025·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了 尺布.” 【答案】11 【解析】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为， 由题得，所以 所以. 故答案为：11 51．（2025·河北·一模）在等差数列中，，则 . 【答案】 【解析】因为， . 故答案为： 52．（2025·甘肃·一模）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，则，解得， 所以，，所以，， 所以，，故数列为等差数列， 所以，. 故答案为：. 53．（2025·湖南·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则 . 【答案】590 【解析】设公差为， 由可得解得， 故， 故答案为：590 54．（2025·高二·四川绵阳·阶段练习）正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，．前项和为，则的值为 ． 【答案】 【解析】正项数列成等比数列的后7项的首项为，设公比为， 则，而，解得， 于是，显然， 所以． 故答案为： 55．（2025·高三·上海·阶段练习）数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则 . 【答案】1或 【解析】由题意可得数列是公差为3的等差数列， ，， 与的等比中项是2，， 即，解得或， 或. 故答案为：1或 56．（2025·高三·重庆渝中·期中）定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则 ． 【答案】 【解析】由数列为“等比差”数列， 则， 所以，即数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，， 则， 所以， 故答案为:. 57．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 【解析】（1），. （2）由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. （3）由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以， 即:. 58．（2025·高三·全国·专题练习）在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）证明：因为， 所以， 即. 因为，所以， 所以， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以， 所以. 59．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知为数列的前项和，若. (1)求证：数列为等比数列； (2)令，若，求满足条件的最大整数. 【解析】（1）证明：由可得， 当时，，解得， 当时，，即， 则 ，即， 即，即， 又， 所以数列是首项为6，公比为2的等比数列. （2）由（1）得，则， 设， 则 令，得， 即，即， 又，，， 所以满足条件的最大整数为为5. 60．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【解析】（1）因为，所以，即， 又因为，所以是首项为1，公差1的等差数列， 所以，所以． （2）证明：因为， 所以 因为，所以 61．（2025·安徽合肥·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； （2），设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$