精品解析：2025年河南省洛阳市新安县中考一模数学试题

2024~2025学年九年级第一次教学质量检测试卷 数学 友情提示： 1．本试卷共6页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母在答题卡相应位置涂黑． 1. 如图，，与相交于点．若，，，，则长为（ ） A. B. 12 C. 10 D. 20 2. 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表： 鞋码 平均每天销售量/双 如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A B. C. 或 D. 或 8. 抛物线的部分图象如图所示，已知抛物线的对称轴是，且抛物线与轴的一个交点坐标为．下列结论：①②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点坐标是；⑤若点在该抛物线上，则，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 9. 如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图所示网格中，每个小正方形的边长均为1，，，均在小正方形的顶点上，且都在同一个圆的圆弧上，是上一点，连接，，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个大于负无理数______． 12. 若一元二次方程无实数根，则可取的最小整数值是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是______． 14. 关于抛物线（是常数），下列结论正确的是_________（填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 15. 如图，已知正方形的边长为2，另一边长为的正方形的中心与点重合，连接，设的中点为，连接，当正方形绕点旋转时，的最小值为______，最大值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满75分）． 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10台型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98． 10台型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的、型扫地机器人除尘量统计表 型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 90 89 26.6 90 90 30 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）这个月公司可生产型扫地机器人共3000台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数； （3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 18. 在中，，连接． （1）尺规作图：过点A作，交的延长线于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：为的切线； （3）若，，则的半径为______. 19. 如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上） （1）求A、C两点的距离； （2）求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式和点，的坐标． （2）过点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当点在点的下方时，直接写出的取值范围． （3）若点在反比例函数的图象上，点先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点，点恰好也落在反比例函数的图象上，求的值． 21. 风能是一种可再生能源，与传统能源相比有着环保、清洁等优点．某乡镇计划安装甲、乙两种规格的发电风车共15台用来发电．已知3台甲种发电风车和1台乙种发电风车每天共发电79万度，2台甲种发电风车和2台乙种发电风车每天共发电86万度． （1）求甲、乙两种发电风车每台每天的发电量． （2）设这15台发电风车中有m台是甲种规格，且甲种发电风车的安装数量不少于乙种发电风车数量的，问怎样安装可使这15台发电风车每天的发电量最大，最大发电量为多少？ 22. 竖直上抛物体的高度与运动时间的关系可以近似地用公式表示，其中是抛出时的高度，是抛出时的速度．一个小球在离地面处以的速度被竖直向上抛起，小球距离地面的高度与运动时间的关系如图所示． （1）直接写出与的关系式； （2）小球经过多长时间达到最高点，并求出此时离地面的高度； （3）求小球从第到第的运动路径长． 23. 定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年九年级第一次教学质量检测试卷 数学 友情提示： 1．本试卷共6页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母在答题卡相应位置涂黑． 1. 如图，，与相交于点．若，，，，则长为（ ） A. B. 12 C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例知识点，能够熟练运用比例关系是解题关键．利用平行线分线段成比例解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2. 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表： 鞋码 平均每天销售量/双 如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，了解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键；平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故老板最关注的销售数据的统计量是众数． 故选：C． 3. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 4. 如图，在菱形中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理和锐角三角函数的知识，正确得出的长是解题关键． 先根据锐角三角函数定义得出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用菱形的性质得的长，进一部即可求出结果． 【详解】解：， ， 解得：． 四边形是菱形， ． 故选：B． 5. 若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的应用等知识点，根据题意利用同底数幂乘法法则运算即可得解，熟练掌握同底数幂乘法法则是解决此题的关键． 【详解】由题意知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率事件发生的次数所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到同一个阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为， 画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能， ∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是， 故选：D． 7. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 8. 抛物线的部分图象如图所示，已知抛物线的对称轴是，且抛物线与轴的一个交点坐标为．下列结论：①②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点坐标是；⑤若点在该抛物线上，则，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及其性质是解答本题的关键.结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】解：对称轴是y轴的右侧， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ，故错误，不符合题意； ， ，，故正确，符合题意； 由图象得：时，直线与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根，故正确，符合题意； 抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故不正确，不符合题意； 抛物线的对称轴是， 有最大值是， 点在该抛物线上， ，故正确，符合题意， 本题正确的结论有：，3个， 故选：C． 9. 如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故选：A． 10. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，，，均在小正方形的顶点上，且都在同一个圆的圆弧上，是上一点，连接，，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，直角所对的弦是直径，解题的关键是正确寻找圆心O的位置，根据图形得出是直径，进而勾股定理求得，扇形的圆心角为，进而根据扇形面积减去的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，过点作于点， ∵ ∴是的直径， ∵ 设的半径为，则 ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积为 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个大于的负无理数______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数求解即可． 【详解】解：写出一个大于的负无理数可以是： 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若一元二次方程无实数根，则可取的最小整数值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记当时，方程有实数根是解题的关键．由方程没有实数根可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最小整数即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得： ，的最小整数值是， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据题意，由勾股定理可以得到，进而证明得的长度，即可求得点坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴ ∵折叠， ∴ ∴ 又 ∴ ∴即 ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 14. 关于抛物线（是常数），下列结论正确的是_________（填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．①把代入解析式，即可判断；②利用一元二次方程根的判别式，即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的性质，即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，即可判断． 【详解】解：当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确； ∵此抛物线与轴只有一个公共点， ∴方程的有两个相等的实数根， ∴， 解得：，故②错误； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大， ∵点，在抛物线上，且， ∴，故③错误； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 如图，过点A作直线于点B，则点，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确． 故答案为：①④ 15. 如图，已知正方形的边长为2，另一边长为的正方形的中心与点重合，连接，设的中点为，连接，当正方形绕点旋转时，的最小值为______，最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形中位线、旋转变换、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．在的延长线上截取，连接，易知是的中位线，即，再由旋转的性质，可知在以点为圆心，半径为1的圆上，当点在线段与的交点处时，最小，即最小；当点在线段的延长线与的交点处时，最大，即最大，然后求解即可． 【详解】解：如图1，在的延长线上截取（即是的中点），连接， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， 由旋转的性质，可知在以点为圆心，半径为1的圆上， 如图2，当点在线段与的交点处时，最小，即最小， 此时，， ∴，即的最小值为； 如图3，当点在线段的延长线与的交点处时，最大，即最大， 此时， ∴，即的最大值为， 综上所述，的最小值为，最大值为． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共8个小题，满75分）． 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，零指数幂，利用分式的混合运算法则化简， （1）根据二次根式的混合运算，零指数幂负整数指数幂的运算法则计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行化简即可． 【详解】解：（1） （2） 17. 公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10台型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98． 10台型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的、型扫地机器人除尘量统计表 型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 90 89 26.6 90 90 30 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）这个月公司可生产型扫地机器人共3000台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数； （3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）95；90；20 （2）900台 （3）型号更好，在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，b，根据型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和“良好”等级包含的数据可求出m； （2）用总数乘以型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可； （3）可从众数的角度进行分析判断． 【小问1详解】 解：型中除尘量为95的有3个，数量最多， 所以众数a＝95； B型中“良好”等级包含的数据有5个，则所占百分比为50%， 所以m%＝1－50%－30%＝20%，即m＝20； 因为B型中“合格”等级所占百分比为20%， 所以B型中“合格”的有2个， 所以B型中中位数b＝； 故答案为：95；90；20； 【小问2详解】 （台）， 答：估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数有900台； 小问3详解】 型号更好， 理由：在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90． 【点睛】本题考查了众数，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信息是解题的关键． 18. 在中，，连接． （1）尺规作图：过点A作，交的延长线于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：为的切线； （3）若，，则的半径为______. 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合，作一个角等于已知角，切线的判定和性质及等腰三角形的判定和性质等，熟悉相关的知识点是解题的关键， （1）根据题意作，然后连接并延长交于点D即可； （2）连接并延长交于点M，连接，证明是线段的垂直平分线即可； （3）证明即可． 【小问1详解】 如图所示：即为所求 【小问2详解】 如图：连接并延长交于点M，连接， ∵，； ∴是线段的垂直平分线； ∴； ∵； ∴； ∴为的切线． 【小问3详解】 设，； ∵； ∴； ∵； ∴； 即； 解得：； ∴； ∴； ∴； 故答案为：2． 19. 如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上） （1）求A、C两点的距离； （2）求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】（1） （2）树的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等角对等边等等： （1）如图所示，延长交于G，过点C作于H，先得到，进而推出，再求出，则可推出，得到； （2）先解得到，再解得到，则． 【小问1详解】 解：如图所示，延长交于G，过点C作于H， ∵， ∴， ∵小山的斜坡的坡度， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：中，， 在中，， ∴， ∴树的高度约为． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式和点，的坐标． （2）过点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当点在点的下方时，直接写出的取值范围． （3）若点在反比例函数的图象上，点先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点，点恰好也落在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】（1）；； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系法求函数解析式． （1）根据一次函数求得点的坐标，然后把点代入，即可得到反比例函数的表达式，然后将代入，求得点的坐标； （2）结合图象可得在第一象限中，当在的下方时，即为一次函数图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围． （3）点先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点，则代入即可求解． 【小问1详解】 解：把代入一次函数， 得，即， ∴， 把代入反比例函数， 得， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 将代入 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， 观察图象，当在的下方时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 【小问3详解】 解：点先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点，则代入 ∴ 解得： ∴ 21. 风能是一种可再生能源，与传统能源相比有着环保、清洁等优点．某乡镇计划安装甲、乙两种规格的发电风车共15台用来发电．已知3台甲种发电风车和1台乙种发电风车每天共发电79万度，2台甲种发电风车和2台乙种发电风车每天共发电86万度． （1）求甲、乙两种发电风车每台每天的发电量． （2）设这15台发电风车中有m台是甲种规格，且甲种发电风车的安装数量不少于乙种发电风车数量的，问怎样安装可使这15台发电风车每天的发电量最大，最大发电量为多少？ 【答案】（1）每台甲种发电风车每天的发电量为18万度，每台乙种发电风车每天的发电量为25万度 （2）安装甲种发电风车4台，乙种发电风车11台，可使这15台发电风车每天的发电量最大，最大发电量为347万度 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用： （1）设每台甲种发电风车每天的发电量为x万度，每台乙种发电风车每天的发电量为y万度．根据3台甲种发电风车和1台乙种发电风车每天共发电79万度，2台甲种发电风车和2台乙种发电风车每天共发电86万度列二元一次方程组解答； （2）根据甲种发电风车的安装数量不少于乙种发电风车数量的求出，设这15台发电风车每天的发电量为w万度．列得函数关系式，根据一次函数的性质求出安装方式及最大发电量． 小问1详解】 解：设每台甲种发电风车每天的发电量为x万度，每台乙种发电风车每天的发电量为y万度． 由题意，得，解得 答：每台甲种发电风车每天的发电量为18万度，每台乙种发电风车每天的发电量为25万度． 【小问2详解】 由题意，可知乙种发电风车有台，且，解得． 设这15台发电风车每天的发电量为w万度． 则 ∵， ∴w随着m的增大而减小．当m取最小值时，w有最大值． ∵m为正整数， ∴m的最小值为4，则 此时 答：安装甲种发电风车4台，乙种发电风车11台，可使这15台发电风车每天的发电量最大，最大发电量为347万度． 22. 竖直上抛物体的高度与运动时间的关系可以近似地用公式表示，其中是抛出时的高度，是抛出时的速度．一个小球在离地面处以的速度被竖直向上抛起，小球距离地面的高度与运动时间的关系如图所示． （1）直接写出与的关系式； （2）小球经过多长时间达到最高点，并求出此时离地面的高度； （3）求小球从第到第的运动路径长． 【答案】（1） （2）小球经过时间达到最高点，此时离地面的高度为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）将代入解析式，即可求解; （2）化为顶点式，即可求解； （3）求得当时，，结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：依题意， ∴与的关系式为； 【小问2详解】 解： ∴当时，达到最高点，此时离地面的高度为 答：小球经过时间达到最高点，此时离地面的高度为 【小问3详解】 解：当时， ∴小球从第到第的运动路径长为 23. 定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）（2）中的结论不成立，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质与等边三角形的性质，理解对余四边形的性质是解题的关键； （1）根据定义得，进而根据四边形内角和为，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，结合（1）的结论，根据勾股定理，即可求解； （3）根据（2）的方法旋转，并缩小，得出，连接，进而根据相似三角形的性质，证明即可求解． 【详解】解：（1）解：∵四边形是对余四边形， ∴， ∴ 故答案为：． （2）证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ （3）（2）中的结论不成立，理由见解析 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图②，将绕点按逆时针方向旋转，并缩小，得到，连接， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$