2.3 实数 同步练习2024-2025学年 湘教版（2024）初中数学七年级下册

2.3 实数 同步练习 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.深圳外国语学校期中如图，在数轴上，点表示，点表示，则，之间表示整数的点共有  (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.实数、在数轴上表示的点位置如图所示，则下列代数式中最大的是(    ) A. B. C. D. 3.在实数，，，中，最小的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，数轴上与对应的点是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5.实数的整数部分为，小数部分为，则(    ) A. B. C. D. 6.下列说法：有理数和数轴上的点是一一对应的；无理数是开方开不尽的数；负数没有立方根；的平方根是，用式子表示是；某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是其中错误的是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.关于无理数，下列说法正确的有(    ) 无理数都是无限小数； 无限小数都是无理数； 无理数也能用数轴上的点表示； 无理数与有理数的和是无理数； 无理数与无理数的和是无理数． A. B. C. D. 8.如图，下列各数中，数轴上点可能表示的是      A. 的立方根 B. C. 的算术平方根 D. 9.对代数式定义新运算：在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”实数，，在数轴上的位置如图所示例如：，，． 下列说法正确的个数是(    ) ；；至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为；至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A. B. C. D. 10.如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积公式称为海伦秦九韶公式．在中，，，，则的面积是(    ) A. B. C. D. 11.在数轴上对应的点可能是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 12.估计的运算结果应在(    ) A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.下列命题：无理数的相反数是无理数；有理数都是有限小数；有限小数都是有理数；无理数都是无限小数；无理数是有理数开方开不尽得到的数；实数与数轴上的点一一对应；没有最大的负实数，但有最小的正实数．其中是假命题的有          填序号 14.四个互不相等的实数、，，在数轴上的对应点分别为，、、其中，，为整数，． 若，则，，中与距离最小的点为______； 若在、、中，点与点的距离最小，则符合条件的点有______个 15.比较大小：      填“”“”或“”． 16.有如下命题： 任何数都不等于它的相反数； 如果大于，那么的倒数小于的倒数； 一个正数或负数的立方根与这个数同号； 如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是或； 一个数的绝对值越大，它在数轴上表示的点离原点越远其中正确的是______． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 用“”“”或“”填空：           ，           ． 由可知：           ，           ． 计算：． 18.本小题分 数轴上的点，，，依次表示四个实数，，，． 在如图所示的数轴上描出点，，，的大致位置． 求出，两点之间的距离． 19.本小题分 对于任意实数，，定义关于@的一种运算如下：@，例如@，@． 比较@与@的大小，并说明理由． 若@，求的取值范围． 20.本小题分 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，． 化简； 当，时，求的值． 21.本小题分 求出下列各数： 的算术平方根． 的立方根． 的平方根． 将中求出的每个数表示在如图所示的数轴上，并将每个数按从小到大的顺序排列用“”连接． 22.本小题分 计算： ； ． 23.本小题分 简答： 分解因式：； 解分式方程：； 计算：． 24.本小题分 大家知道，它在数轴上表示的点与原点即表示的点之间的距离又如式子，它在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离即点、在数轴上分别表示数、，则、两点的距离可表示为：根据以上信息，回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； 点、在数轴上分别表示实数和． 用代数式表示、两点之间的距离______； 如果，则的值是______． 直接写出代数式的最小值是______及相应的的可取的整数值有______． 25.本小题分 图是由五个边长为的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形． 如图，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴的正半轴交于点，求拼成的正方形的面积及点表示的数． 如图，一个的网格中有一个由个小正方形组成的图形图中实线部分，请仿照图，将它剪开并拼成一个正方形，在所给的网格中画出示意图． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：因为，， 所以，之间表示整数的点有和两个． 故选：． 因为，，即可得出、两点之间表示整数的点的个数． 本题考查了实数与数轴以及无理数的估算，根据数轴的特点，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 2.【答案】  【解析】解：从小到大排列：， 最大的数是：， 故选：． 一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，根据图示，可得：，且，据此判断即可． 本题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征，熟练掌握以上知识点是关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是比较实数的大小，掌握比较两个实数大小的法则是解题的关键．依据正数大于，负数小于，正数大于负数进行判断即可． 【解答】 解：， 其中最小的实数是． 故选A． 4.【答案】  【解析】解：，即， 由数轴知，只有点在和之间， 数轴上与对应的点是点． 故选：． 先估算出的范围，结合数轴可得答案． 本题主要考查的是估算无理数的大小，求出大致范围是解题的关键． 5.【答案】  【解析】本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：实数和数轴上的点是一一对应的，错误； 无理数不一定是开方开不尽的数，例如，错误； 负数有立方根，错误； 的平方根是，用式子表示是，错误； 某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是，正确， 则其中错误的是个， 故选：． 利用实数的分类，无理数定义，立方根及平方根定义判断即可． 此题考查了实数，相反数，绝对值，平方根及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 7.【答案】  【解析】解：无理数都是无限小数，原说法正确，符合题意； 无限循环小数是有理数，原说法不正确，不符合题意； 无理数也能用数轴上的点表示，原说法正确，符合题意； 无理数与有理数的和是无理数；原说法正确，符合题意； 无理数与无理数的和不一定是无理数；原说法不正确，不符合题意； 正确的有， 故选：． 无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数是指无限不循环小数，根据以上内容判断即可． 本题主要考查了无理数，实数、数轴的应用，熟练掌握相关知识的定义是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：的立方根为，故A选项不符合题意； ，，所以，故B选项不符合题意； 因为的算术平方根为，且，故C选项不符合题意； ，，故D选项符合题意， 故选：． 根据立方根、绝对值、算术平方根的定义和实数大小的比较方法即可判断． 本题考查实数与数轴、平方根、算术平方根、实数的大小比较等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9.【答案】  【解析】解：由数轴得：，且， ，故说法正确； ， ， 则，故说法正确； 使运算结果与原代数式之和为，则运算结果与原代数式互为相反数， ， ， 则，即，故说法正确； 运算结果为， 不能加新运算， ， ， 则不存在一种“新运算操作”，使运算结果为，故说法错误． 综上所述，说法正确的有个． 故选：． 由数轴可得，且，再结合新定义的运算进行分析即可． 本题主要考查实数与数轴，二次根式的性质，整式的加减，解答的关键是理解清楚新定义的运算，以及对相应的运算法则的掌握． 10.【答案】  【解析】解：，，， ， ， 故选：． 代入公式，进行二次根式的化简即可． 本题主要考查实数运算，正确计算是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：， 同时开算术平方根得，， 同时乘得，． 即在数轴上对应的点为点． 故选：． 估算在哪两个连续的整数之间，即可解决问题． 本题考查了点在数轴上的表示，解题关键是无理数的估计． 12.【答案】  【解析】解：原式 ， ， ，即， ，即， 即估计的运算结果应在到之间， 故选：． 先化简二次根式，再计算二次根式的除法与乘法，然后计算二次根式的加法与减法，最后根据无理数的估算方法求解即可得． 本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 13.【答案】  【解析】有理数都是有限小数，错误，有理数也可以是无限循环小数；无理数是有理数开方开不尽得到的数，错误，比如；没有最大的负实数，但有最小的正实数，错误，没有最大的负实数，也没有最小的正实数． 归纳总结 14.【答案】    【解析】解：若，则， ，，， ，，中与距离最小的点为点． 故答案为：． ， 若在、、中，点与点的距离最小时，点应在点的左侧， 当，，时符合题意． 故答案为：． 第问较简单，将的值代入求的值，再计算，，中与的距离，即可得出距离最小的点． 第问，都是动点，需要根据与的关系，正确确定的取值范围，再通过为整数，确定的值具体有多少个． 本题考查了数轴上的双动点问题，需要通过数形结合及推理得到正确答案，难度较大． 15.【答案】  【解析】略 16.【答案】  【解析】解：根据相反数定义、立方根的性质、倒数定义、平方根性质及绝对值定义逐一做出判断如下： 因为的相反数是，故任何数都不等于它的相反数，错误； 如，，则，故如果大于，那么的倒数小于的倒数，错误； 一个正数或负数的立方根与这个数同号，正确； 因为的平方根是，则如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是或，错误； 一个数的绝对值越大，它在数轴上表示的点离原点越远，正确； 则其中正确的是：， 故答案为：． 根据相反数定义、立方根的性质、倒数定义、平方根性质及绝对值定义逐一做出判断即可． 本题考查了相反数定义、立方根的性质、倒数定义、平方根性质及绝对值定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 17.【答案】【小题】 【小题】 【小题】   【解析】 略  略  略 18.【答案】【小题】解：如图． 【小题】     【解析】 略  略 19.【答案】解：@@，理由如下， 根据新定义运算分别计算@与@的值可知： @， @，@， @@； 根据新定义运算可得关于的一元一次不等式为： @， 不等式@可转化为， ．  【解析】根据新定义运算分别计算@与@的值，比较即可获得答案； 根据新定义运算可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案． 本题主要考查了新定义运算、有理数比较大小、解一元一次不等式等知识，理解新定义运算是解题关键． 20.【答案】解：由数轴，可得，， ，，， ． 当，时，原式．  【解析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，实数的计算，采用数形结合的思想是解此题的关键． 由数轴可得，，从而得出，，，再根据算术平方根的性质化简即可； 将，代入中化简的式子计算即可得解． 21.【答案】【小题】     【小题】 数轴略，    【解析】 略  略 22.【答案】解：原式； 原式 ．  【解析】直接利用乘方，零指数幂的性质，负整数指数幂的性质求解即可得出答案． 先算乘方，再算乘除即可． 本题考查了实数的混合运算，分式的乘除混合运算和乘方运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关的运算法则是解题关键． 23.【答案】解：原式 ； 原方程去分母得， 解得， 经检验不是原方程的解， 所以原方程无解； 原式 ．  【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； 先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，最后检验即可得出答案； 先去绝对值符号、计算负整数指数幂、零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 本题考查了提公因式及公式法分解因式、解分式方程以及实数的运算．熟练掌握以上知识点是关键． 24.【答案】      或    、、、、、  【解析】解：数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：；； 用代数式表示、两点之间的距离为： ， 故答案为：； ， ， ， 解得：或， 故答案为：或； 代数式表示数轴上实数所对应的点到和所对应的两点距离之和， 当时，代数式取得其最小值， 此时，，， 其最小值为： ， 即：代数式的最小值是，相应的的取值范围是，相应的的可取的整数值有：、、、、、， 故答案为：；、、、、、． 根据题意可得，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是； 根据点、在数轴上分别表示实数和可得，用代数式表示、两点之间的距离为；如果，则，解该绝对值方程即可求出的值； 根据题意可得，代数式表示数轴上实数所对应的点到和所对应的两点距离之和，所以当时，代数式取得其最小值，其最小值是表示的点与表示的点之间的距离，在此基础上即可求出相应的的可取的整数值． 本题主要考查了数轴上两点之间的距离，化简绝对值，列代数式，绝对值方程，不等式的性质，整式的加减运算等知识点，深刻理解绝对值的含义并能融会贯通加以应用是解题的关键． 25.【答案】解：拼成的正方形的面积为，点表示． 如图，两种方法任选其一   【解析】根据正方形的面积公式求解 根据实数与数轴的关系求解 根据剪拼前后面积相等求解． 本题考查了图形的剪拼，算术平方根、正方形的面积公式、实数与数轴的关系是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$