精品解析：辽宁省抚顺市望花区2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题

2024~2025学年度九年级教学质量检测（二）数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 若一元二次方程x2+2x+a＝0有一根为1，则a的值为（　　） A 1 B. ﹣1 C. 3 D. ﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】将x＝1代入方程即可求出a的值． 【详解】解：将x＝1代入方程可得：1+2+a＝0， ∴a＝﹣3， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2. 二次函数的最小值是（　　） A. B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，本题考查了将二次函数写成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值是， 故选：A． 3. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断． 【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心． 故选C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心． 5. 下列事件中，是不可能事件的是（　　） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不可能事件、随机事件、必然事件的概念．必然事件是在一定条件下一定会发生的事件；随机事件即不确定事件是在一定条件下可能会发生，也可能不会发生的事件；不可能事件是在一定条件下一定不会发生的事件，解题的关键是熟练掌握上述概念并区分． 不可能事件就是在一定条件下一定不会发生事件，据此即可解答． 【详解】A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件； B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件； C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件； D. 任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件． 故选：D． 6. 如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（　　） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键， 根据中心对称图形的特点得到，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴， ∴， 在中，， 故选：D ． 7. 某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A. 0.92 B. 0.905 C. 0.903 D. 0.9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据表格中的数据，结合概率是频率的稳定值，且试验次数越多，越趋近稳定值，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，该区初中生体质健康合格的概率约为； 故选：A． 8. 如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（ ） A. 将甲绕点顺时针旋转． B. 将乙绕点逆时针旋转． C. 将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D. 将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 9. 我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，切线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 连接，先求出，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点作的切线， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 阴影部分的面积为4 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象和系数的关系，根据抛物线开口向上，可得，据此判断A；抛物线与轴的交点在轴的下方，据此判断B；根据抛物线的图象，可得时，，即，据此判断C；首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积底高，求出阴影部分的面积是多少即可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 故A不正确； ∵抛物线与轴的交点在轴的下方， ∴， 故B不正确； ∵时，， ∴， 故C不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， 故D正确． 故选：D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知二次函数的图象开口向下，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，否则开口向下．直接利用二次函数的性质得出a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴． 故答案为：． 12. 点关于原点的对称点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】解：点关于原点的对称点Q的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB、AC分别与⊙O交于点D、E，则∠DOE的度数为_________． 【答案】90° 【解析】 【详解】根据圆周角定理得到，∠DOE=2∠A=90°， 故答案为90°． 14. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），每个组共安排场比赛．设每个组邀请个球队参加比赛，则可列方程得为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，利用每组安排比赛的场数每组邀请球队数（每组邀请球队数），即可列出关于的一元二次方程，进而得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 15. 《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超．若铜钱直径4cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油滴恰好落入孔中的概率为____ 【答案】 【解析】 【分析】分别求出铜钱的面积和正方形小孔的面积，由几何概率公式即可得出结果． 【详解】∵直径为4cm的铜钱的面积=π×22=4π，边长为1cm的正方形小孔的面积=1×1=1， ∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率公式、圆的面积公式、正方形面积公式，熟记概率公式，求出圆面积和正方形面积是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：配方，得 由此可得， 解得：； （2）解： 因式分解，得 于是，得，或 解得：． 17. 邮票素有“国家名片”之称，第二十九届、三十一届、三十三届奥林匹克运动会均发行了相关邮票，如图所示（四枚邮票分别用、、、表示）．某班级举行了一个关于奥林匹克运动会的有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． （1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“第二十九届福娃欢欢邮票”的概率为______； （2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表法求恰好抽到的都是“第三十一届奥林匹克运动会邮票”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式； （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到的都是“第三十一届奥林匹克运动会邮票”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，恰好抽到“第二十九届福娃欢欢邮票”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好抽到的都是“第三十一届奥林匹克运动会邮票”的结果有：，共种， ∴恰好抽到的都是“第三十一届奥林匹克运动会邮票”的概率为． 18. 多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似地看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与小王分别站在两点摇绳，两位同学的摇绳点高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求此时抛物线的表达式； （2）若参与跳绳的同学站在点F处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 【答案】（1） （2）该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得：抛物线的顶点E为，从而可设抛物线为，又抛物线过点，将其代入求得a的值即可解答； （2）依据题意可得：F的横坐标为4，从而G的纵坐标即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线的顶点E为，， ∴可设抛物线为． 又∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线为． 【小问2详解】 解：如图：过F作轴交抛物线与G， 由题意可知，F的横坐标为，则断G的横坐标为4， ∴点G的纵坐标为 ∴该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过． 19. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？ （2）设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】（1）当天可盈利1692元 （2）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用等知识点．熟练掌握总利润，每件利润，件数的关系，正确列出式子，列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论； （2）根据“盈利单件利润销售数量”即可列出关于 x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【小问1详解】 解：某天该商品每件降价3元，则每件商品盈利为：元，销售数量件， 当天可盈利（元） 答：当天可盈利1692元； 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理，得 解得， 为了尽快减少库存， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元. 20. 在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯n点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决以下问题： （1）若点P是抛物线“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为________或（请直接写出点P的另一个坐标）． （2）若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标； （3）若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系： （1）根据新定义可得到关于x的方程，解出方程，即可； （2）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于m的方程，解出方程，即可； （3）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于s的方程，利用根的判别式解答即可． 【小问1详解】 解：设点P的坐标为，由定义知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为或； 故答案为： 【小问2详解】 解：设点P的坐标为， 由定义知：，且， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， 由定义知：，且， ∴， 整理得：， ∴， 解得：． 21. 是的直径，，，与相交于点． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，连接，过点作分别交，于点，，交于点，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线判定，圆周角定理、垂径定理以及扇形面积； （1）根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出，再根据切线的判定方法进行解答即可； （2）根据垂径定理，平行线的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， 即， 是的直径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， 即， ， ， ， ， ，， ， ， 22. 如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=30°． (1)将如图中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； (2)将如图中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第　　　秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．(直接写出结果)； (3)将如图中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）150°；（2）9或27　12或30；（3）∠AOM与∠NOC之间的数量关系为∠AOM－∠NOC＝30°，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据邻补角定义求出∠BOC=120°，再根据角平分线的定义求出∠COM，然后根据∠CON=∠COM+90°解答； （2）分别分两种情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解； （3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解． 【详解】解：（1）∵∠AOC=60°， ∴∠BOC=120°， 又∵OM平分∠BOC， ∴∠COM=∠BOC=60°， ∴∠CON=∠COM+90°=150°； （2）∵∠OMN=30°， ∴∠N=90°-30°=60°， ∵∠AOC=60°， ∴当ON在直线AB上时，MN∥OC， 旋转角为90°或270°， ∵每秒顺时针旋转10°， ∴时间为9或27， 直线ON恰好平分锐角∠AOC时， 旋转角为90°+30°=120°或270°+30°=300°， ∵每秒顺时针旋转10°， ∴时间为12或30； 故答案为：9或27；12或30． （3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°， ∴∠AON=90°-∠AOM， ∠AON=60°-∠NOC， ∴90°-∠AOM=60°-∠NOC， ∴∠AOM-∠NOC=30°， 故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM-∠NOC=30°． 【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键 23. 利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点为圆心，，交于点，交于点D．） ②设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 【答案】任务一：①圆弧所在圆的半径为；②抛物线的解析式为； 任务二：货船不能顺利通过抛物线型拱桥，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键． 任务一：①，设的半径为，利用垂径定理，可得，然后在中利用勾股定理求出即可；②设抛物线的解析式为，代入 点和点即可求出抛物线式； 任务二：在抛物线型拱桥中，把代入，利用求出的值即可判断． 【详解】解：任务一：①设计成圆弧形，设的半径为， ，交于点，交于点 ， 在中， ， 解得：． 答：圆弧所在圆的半径为. ②设计成抛物线型 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点和点 解得 抛物线的解析式为. 任务二：货船不能顺利通过抛物线型拱桥．在抛物线型拱桥中 当时，， 货船不能顺利通过抛物线型拱桥. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度九年级教学质量检测（二）数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 若一元二次方程x2+2x+a＝0有一根为1，则a的值为（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 3 D. ﹣3 2. 二次函数的最小值是（　　） A. B. 3 C. D. 5 3. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A. B. C D. 5. 下列事件中，是不可能事件的是（　　） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C. 篮球队员罚球线上投篮一次，未投中 D. 任意画一个三角形，其内角和是 6. 如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（　　） A. 3 B. 5 C. D. 7. 某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A 0.92 B. 0.905 C. 0.903 D. 0.9 8. 如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（ ） A. 将甲绕点顺时针旋转． B. 将乙绕点逆时针旋转． C. 将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D. 将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 9. 我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 阴影部分的面积为4 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知二次函数的图象开口向下，则_______． 12. 点关于原点的对称点的坐标为_______． 13. 如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB、AC分别与⊙O交于点D、E，则∠DOE的度数为_________． 14. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），每个组共安排场比赛．设每个组邀请个球队参加比赛，则可列方程得为______． 15. 《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超．若铜钱直径4cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油滴恰好落入孔中的概率为____ 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）解方程：． 17. 邮票素有“国家名片”之称，第二十九届、三十一届、三十三届奥林匹克运动会均发行了相关邮票，如图所示（四枚邮票分别用、、、表示）．某班级举行了一个关于奥林匹克运动会的有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． （1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“第二十九届福娃欢欢邮票”的概率为______； （2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表法求恰好抽到的都是“第三十一届奥林匹克运动会邮票”的概率． 18. 多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似地看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与小王分别站在两点摇绳，两位同学的摇绳点高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求此时抛物线表达式； （2）若参与跳绳的同学站在点F处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 19. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？ （2）设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 20. 在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯n点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决以下问题： （1）若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为________或（请直接写出点P的另一个坐标）． （2）若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标； （3）若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 21. 是的直径，，，与相交于点． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，连接，过点作分别交，于点，，交于点，若，求图中阴影部分的面积． 22. 如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=30°． (1)将如图中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； (2)将如图中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第　　　秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．(直接写出结果)； (3)将如图中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 23. 利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆半径．（点为圆心，，交于点，交于点D．） ②设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $