四川省南充高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

试卷第 1页，共 4页 南充高中高 2023 级第四学期第一次月考 数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分 命审题：童俊璋 杨秦飞 ） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦 干净后，再选涂其它答案标号。 3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。 第 I卷（选择题） 一、单选题：本题共 8题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．在等比数列 na 中，�3, �9是方程�2 − 8� + 2 = 0的两根，则 �6 =（ ） A． 2 B．− 2 C．± 2 D．3 ± 5 2. 已知圆�: �2 + �2 + 2� − 4� + 1 = 0关于直线�� + 2� − 1 = 0对称，则实数� =（ ） A．6 B．4 C．3 D．7 3. 下列求导运算正确的是（ ） A． ��� � 4 ' =− ��� � 4 B． ��(2� − 1) ' = 12�−1 C． 2� ' = 2� D． 1 + ��� ' = 1� 4.已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，�3 = 16，�6 = 8，则�12 =（ ） A．− 203 B．−80 C．−24 D． 8 3 5.已知抛物线�: �2 = 2�� � > 0 的焦点为  2,0F ，过点 F 的直线 l与抛物线C的一个交点为  ,8A m ， 则直线 l的方程为（ ） A．4� + 3� − 8 = 0 B．3� + 4� − 6 = 0 C．4� − 3� − 8 = 0 D．3� − 4� − 6 = 0 6.设函数  f x 在� = �0处存在导数为 2，则 �����→0 � �0+�� −� �0−�� �� =（ ） A．1 B．2 C． 2 3 D．4 7.记� �,￡ 表示点�到曲线￡上任意一点距离的最小值.已知圆�1：�2 + � − 3 2 = 1，圆�2： � − 4 2 + �2 = 4，若点�为圆�1上的一点，则�(�,�2)的最大值为（ ） A．4 B．5 C．8 D．3 试卷第 2页，共 4页 8．已知双曲线 2 2 2 2: 1 x yC a b   的两焦点分别为 1F 、 2F ，过右焦点 2F 作直线�交右支于�、�点，且�� = 3��2 ， 若∠�1�� = � 3，则双曲线�的离心率为（ ） A． 7 5 B． 3 2 C． 5 3 D． 7 3 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.已知数列 �� 是公差小于 0的等差数列，前n项和为 nS ，满足�1 + 5�3 = �8，下列选项正确的有（ ） A．�10 = 0 B．�7 = �12 C．�10最小 D．�20 = 0 10．如图，正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 的棱长为 2, ,E F分别是 1,AD DD 的中点，点 P是底面 ABCD内一动 点，则下列结论正确的为（ ） A．不存在点 P，使得�� ∥平面 1 1ABC D B．过 , ,B E F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C．三棱锥�1 − �1�1�的体积为 4 D．三棱锥� − ���的外接球表面积为 9� 11.在 2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以 69.800分的成绩夺得金牌，这是中 国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它 可看作由抛物线�: �2 = 2�� � > 0 绕其顶点分别逆时针旋转 90∘, 180∘, 270∘后所得三条曲线与C围成 的（如图阴影区域）， ,A B为�与其中两条曲线的交点，若� = 1，则（ ） A．开口向上的抛物线的方程为 22y x B． 4AB  C．直线 x y t  截第一象限花瓣的弦长最大值为 2 2 D．阴影区域的面积大于 4 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15分. 12.已知函数 �(�) = �'( �4 ) ��� � − ��� �，则 � � 在 � = � 4 的导数是 . 13．一个袋子中有 2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出 2个球，则两次都取到 白球的概率为 . 14.若数列 �� 满足 �1 = 1， ��+1−�� �� = ��+2−��+1 ��+2 � ∈ �∗ ，若 �1�2 + �2�3 + . . . + �6�7 = 3，则 �2025 = . 试卷第 3页，共 4页 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题共 13分） 某高校的入学面试中有 3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是 0.6．若每位面试者共有 三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 3次答完为止． (1)求李明第二次答题通过面试的概率； (2)求李明最终通过面试的概率． 16. （本小题共 15分） 已知函数� � = �� � � − 2��2. (1)若� = 1，求�' � ； (2)若� � 在 1, � 1 处的切线与直线�� − 3� − 2 = 0垂直，求 a. 17．（本小题共 15分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为菱形，且 60ABC  ，PA 平面 ABCD， 2PA AB  ， 点 ,E F为 ,PC PA的中点. (1)求证：平面 BDE 平面 ABCD； (2)二面角 E BD F  的大小； (3)线段��上是否存在点�，使得直线��与平面���所成夹角为 � 6.若存 在，求出�点的位置；若不存在，请说明理由. 18．（本小题共 17分） 已知数列 na 的前 n项和为 1 *1 1, 2, 2 ,nn n nS a a S n   N ． (1)求证：数列 ��2� 是等差数列； (2)设�� = �� 3� , �� 的前 n项和为��； ①求��； ②若对任意的正整数 n，不等式 6 − �� < �﹒ 3 4 � 恒成立，求实数�的取值范围．（结果可保留幂的形 式） 试卷第 4页，共 4页 19．（本小题共 17分） “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰 富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）． 步骤 1：用圆规作一个圆：(x − 1)2 + �2 = 16，设圆心为 E，在圆内异于圆心处取 一点(−1,0)，标记为 F； 步骤 2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 F； 步骤 3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤 4：不停重复步骤 2和 3，就能得到越来越多的折痕． 已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．且折痕均与椭圆相切，设点�为两条折痕的交点，且过点� 的两条折痕与椭圆相切与�、�两点，�为坐标原点，���、���分别表示直线��与直线��的斜率. (1)求���﹒���的值； (2)若�� ⊥ ��； ①求�点轨迹方程; ②��﹒�� 的取值范围. 《南充高中高2023级第四学期第一次月考数学试卷》参考答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C D C A D AB BD BCD 12.V2+1 13.0.1 14、3 10 “1015 15.(1)解：用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目： 由题意知，P(Y门=0.6P(N)=1-P(Y)=0.4.3分 所以第二次答题通过面试的概率P(W=P(PC们=0.4×0.6=0.24域号6分 (2)解：由题意，李明未通过的概率为P(NNN)=0.4×0.4×0.4=0.064,9分 所以李明通过面试的概率为P=1-P(WN)=1-0.064=0.936或兴13分 16.(1)因为f)=-2x3,所以f()=1如x-4x=1- x2 x2 6分 (2)因为f(x)=1-mx-4ax,所以f(1)=1-4a,10分 x2 由题意知，(1-4a)·=-1,即4a2-a-3=0, 所以(4a+3a-1)=0.所以a=1或a=-至15分 17.(1)证明：连接AC与BD交于点O,连接E0, :底面ABCD为菱形，点O为AC的中点， 点E为PC的中点÷E0IPA, 2分 又：PA⊥平面ABCD,EO⊥平面ABCD, 又yE0C平面BDE,平面BDE⊥平面ABCD:.4分 (2)÷E0⊥平面ABCD,且底面ABCD为菱形，÷OB,OC,OE两两垂直， 以0为原点，以ōB,0C,O正向量方向为x,y,z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 答案第1页，共5页 D ~底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，PA=AB=2,AC=2,B0=V3, “0,E分别为AC,PC的中点，0E=PA=1,0C=0A=1, 则0(0,0,0)，B(3,0,0),C(0,1,0),D(-3,0,0),F(0,-1,1), 则FB=(31,-1),DE=(23,0,0),0元=(0,1,0) 设平面BFD的一个法向量为m=(x,y,z), 则m丽50。 ly=z' 令y=1,则m=(0,1,1), .6分 底面ABCD为菱形，÷OC⊥BD, ~平面BDE⊥平面ABCD,且平面BDEO平面ABCD=BD,OCC平面ABCD, ∴OC⊥平面BDE, .OC=(0,1,0)为平面BDE的一个法向量， 设二面角E-BD-F大小为8， 则cos0=lcos(侃，0C=o匹 10+1+01 m0元V0+1+1V0+1+ō ② 2 所以二面角E-BD-F的大小为9分 (3)不存在，理由如下：… 10分 因为点M在线段PB上，设PM=PC(0≤1≤1)， P(0,-1,2),C(0,1,0),A(0.-1,0)则PC=(0,2,-2), 则PM=(0,2入-2)，则M(0,21-1,2-2),则AM=(0,22,2-2),…12分 由题知直线AM与平面BDF所成夹角为号 则sn=kos成4A网=质 10+21+2-2月 1 V0+1+1V2aP+(2-2元= 即16=2(82-8A+4,解出=514分 2 因为0≤1≤1，且不在区间[0,1)里，故线段PC上不存在这样的点M15分 2 答案第2页，共5页 18(1)因为an+1=Sn+2n+1,所以Sn+1-Sn=Sn+2n+1,2分 所以Sn+1=2Sn+2n+1,所以a=费+1，所以a#-费=1， 所以{月是公差为1的等差数列：5分 (2)①因为≥=2=1，所以2=1+0a-1)×1=n,所以5=n:2, 2 江-i+2图++-眉+眉 五-2+周++a-+周 两式相减得。=+自+目'++)-n×(目， T=6-(2n+6) 11分 ②6-I<A.(月”对任意的n∈N恒成立， 所以(2n+6),2n<.(側"则A>2m+6).()”对任意的m∈N恒成立， 令c=2n+6)·()”; 所以G-G.=(（月（2m+8)-(周”2n+6)=(周a0-20.13分 则当n<5时，{Cn为递增数列，C1<C2<C3<C4<Cs: 当n=5时，C5=C6: 当n>5时，{Cn]}为递减数列，C6>C7>.Cn-1>Cn15分 当n=5或6时，(Gn=G-器故1>器 17分 答案第3页，共5页 19(1)由题，折痕轨迹是椭圆，E(1,0),F(-1,0),半径R=4,IPF1+1PE=4>FE 设椭圆标准方程为后+芳=1，其中a=2,c=1,6=V5 故椭圆标准方程为污+号-1.2分 设M(xo,yo),A(x1,y),B(x2,y2):两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为k,则设直 线MA方程为y-y1=k(x-x1).由 + =1, 消去y有 y-y1=k(x-x1) (4k2+3)x2-8k(kx1-y1)x+4(kx1-y1)2-12=0. 令=0，整理得(x12-4)k2-2x1y1k+y12-3=0 注意到方程(x12-4)k2-2x1y1k+y12-3=0的4=4x12y12-4(x12-4)0y12-3) 又4(x)满足椭圆方程+客=1，代入上式，4=0 故方程(x2-4)k2-2x1yk+y2-3=0有两个相等的实根，即k=-3 4y1 04分 又k=-=0兰，整理有3x0+4y0y=4y2+3x2=12: 4y1x0-x1 同理，点B(x2,y2)也满足方程3xox2+4yoy2=4y22+3x22=12: 则直线AB方程为3xox+4oy=12,即kaB=-瑞即koM·kAB=- 综上koM,kAB的值为-是 6分 (2)①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A,B两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点， 此时M的坐标为（仕2，士V3).7分 当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为k,交点为M(xo,yo), 则过M的切线方程为y-yo=k(x-xa).由 +皆=1， 消去y有 (y-yo=k(x-xo) (4k2+3)x2-8k(kx0-y0)x+4(kx0-yo)2-12=0. 令4=0，整理得(x2-4)k2-2xoy0k+y02-3=0(x2≠4). 因为kMA,kMB是关于k的一元二次方程的两个根， 所以kA·kwB=装由ka·ke=-1,得二=-1， .9分 即x02+y%2=7(x2≠4)，点M(士2，士V3)也在圆x2+y%2=7上， 综上，动点M的轨迹方程为x2十y2=7.11分 答案第4页，共5页 ②设M(xo,y0)A(x1),B(x2,y2):由（知，直线AB方程为：g+g=1 三+号L清去y有4+3xx-24xox+48-16o2=0. 由 +=1, 4 3 x1+x2= 24x0 4y02+3x。2 48-16y%2 13分 X1x2= 4%2+3x021 又0i.0i=+2:且0%=需 则0.0丽=x+%为=4器+= 4y%2+3x02 15分 且M(xay%)满足x02+y02=7,即x02=7-yg2代入上式， 0i.0i=-7y2+21 y%2+21 -7+168 y%2+21 因为w2e07所以0所.0丽=-7+e-1, 综上，0石.0的取值范围为[-1,1)… 17分 答案第5页，共5页