精品解析：江苏省淮阴中学教育集团2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期诊断性测试 高一数学试题 满分：150分 时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 3. 已知为锐角,，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，， （ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别为，已知，点在所在的平面内，满足，且，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 7. 平行四边形中，，，，，垂足为，是中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，的对边分别是，，．若，的面积等于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则是等边三角形 10. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，满足，，与的夹角为，则的值为________． 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，要使该三角形有两解，则实数m的取值范围为_______. 14. 已知的三条边，，满足，，分别以边，为一边向外作正方形，如图，分别为两个正方形的中心其中，，三点不共线，则当的值最大时，的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，有两条相交成的直路，，交点是，甲、乙两人分别在，上行走，一开始，甲在距点的点处，乙在距点的点处，现在他们同时以的速度行走，且甲沿的方向，乙沿的方向，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）若过小时后，甲到达点，乙到达点，请用，表示 （2）若过小时后，甲到达点，乙到达点，请用，表示 （3）什么时间两人间的距离最短 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求； （2）若的夹角为，，求在上的投影向量的坐标. 17. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求四边形的周长； （2）求四边形的面积． 18. 由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． （1）试用表示 （2）求的值 （3）已知方程在上有三个根，记为，，，求证：． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，. （1）求证：是直角三角形； （2）已知，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为，求的最小值； ②记，.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期诊断性测试 高一数学试题 满分：150分 时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示以及平面向量垂直的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得的值. 【详解】因为，，则， ， 因为，则，① 因为，则，可得，② 联立①②可得，因此，. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件，结合两角差的正切公式求，利用商的关系将所求表达式转化为由表示的形式，代入可得结论. 【详解】因为，所以，解得， 所以， 故选：D. 3. 已知为锐角,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用正切的和角公式得到，再利用商数关系和平方关系，即可求解. 【详解】由,， 则， 得到①，又为锐角，②，由①②解得， 故选：A. 4. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及共线向量的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】，则，整理得， 而向量均为非零向量，则反向共线且，有； 反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知，，， （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用两角和差的正弦公式化简，再利用二倍角公式和两角和差的余弦公式，结合的范围求出，代入化简即可. 【详解】， 即，则， 因，则，化简得， 即，即， 因，，则，， 故或，即（舍）或， 则 故选：B 6. 在中，角所对的边分别为，已知，点在所在的平面内，满足，且，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合向量线性运算可得平分，即可得，再结合余弦定理及基本不等式计算即可得. 【详解】由，则，即， ， 故，由、都为单位向量，故平分， 故， 则，则， 当且仅当时，等号成立， 即，即有最小值. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助，结合向量线性运算得到平分. 7. 平行四边形中，，，，，垂足为，是中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可得，，从而可求出,的长，在中，求出和的值，进而可求出 【详解】解：因为，，， 所以，所以， 因为，所以， 因为， 所以，所以，， 所以， 所以在中，， 所以， 因为是中点，所以， ， 故选：C 8. 在中，内角，，的对边分别是，，．若，的面积等于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得，结合余弦定理可得，由正弦定理可得，则，再求出的范围，利用三角函数的性质可求得答案 【详解】因为的面积等于， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为， 所以， 因为，所以由正弦定理得, 可得， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则是等边三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】直接利用诱导公式和关系式的变换及函数的性质的应用判定的结果． 【详解】解：对于选项， 利用诱导公式，整理得或， 所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于选项，整理得或， 故，或，故错误； 对于选项，必有一个负值， 假若为，则， 所以，故为钝角三角形，故正确． 对于选项：由于， 所以， 故， 整理得， 所以为等边三角形． 故正确． 故选：． 10. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据各选项中向量的关系求得参数，再计算数量积、模、夹角．然后判断各选项． 【详解】A. 若与垂直，则，，正确； B. 若，则，，，正确； C. 若，，，正确； D. 若，，，D错误， 故选：ABC． 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A、B．利用两角和的正弦公式将条件展开，然后两边同除得到所满足的等式， 结合基本不等式确定出和的取值范围； C．根据两角和的正弦和余弦公式化简C选项，从而可计算出的值并进行判断； D．根据两角和的正切公式以及的取值范围化简并计算出的取值范围. 【详解】由，得， 同除，得， 由，故， 则， 解得，取等号时， 注意到， 于是，故A，B正确； 对于C选项，结合条件可得： ， 解得或， 但由AB选项可知都不可能成立，故C选项错误； 对于D选项，， 由知，， ∴，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，满足，，与的夹角为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算直接算出答案即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以 故答案为： 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，要使该三角形有两解，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理直接判断. 【详解】要使三角形有两解，由正弦定理，只需， 即，解得：. 故实数m的取值范围为. 故答案为： 14. 已知的三条边，，满足，，分别以边，为一边向外作正方形，如图，分别为两个正方形的中心其中，，三点不共线，则当的值最大时，的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正余弦定理在三角形中的应用，考查三角函数的化简以及三角形的面积公式．在三角形中使用余弦定理，表示出的长度，将边和角度均用三角形的边和角度来表示并化简，利用三角函数的性质求出最值，再利用三角形的面积公式计算出此时的面积值即可． 【详解】解：连接和， 在三角形中， ，， 设， 由余弦定理得： ，① 又， ，② 在三角形中， 由余弦定理可得：， 解得：，③ 将②，③代入①可得： ， 当且仅当时取等号， 此时，的面积为：， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，有两条相交成的直路，，交点是，甲、乙两人分别在，上行走，一开始，甲在距点的点处，乙在距点的点处，现在他们同时以的速度行走，且甲沿的方向，乙沿的方向，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）若过小时后，甲到达点，乙到达点，请用，表示 （2）若过小时后，甲到达点，乙到达点，请用，表示 （3）什么时间两人间的距离最短 【答案】（1） （2） （3）过小时后两人间的距离最短 【解析】 【分析】（1）利用数乘向量的运算以及向量的减法运算即可； （2）利用数乘向量的运算以及向量的减法运算即可； （3）利用数量积以及求模公式，计算的最值. 【小问1详解】 若过小时后，甲到达点，乙到达点， 则，， 故． 【小问2详解】 若过小时后，甲到达点，乙到达点， 则，， 故． 【小问3详解】 ， 则 当时，有最小值，故过小时后两人间的距离最短 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求； （2）若的夹角为，，求在上的投影向量的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积垂直的坐标运算求参，再求模即可； （2）先求出,再求出数量积结合投影向量公式计算即可. 【小问1详解】 因为, 所以, 所以. 【小问2详解】 因为 所以在上的投影向量为. 17. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求四边形的周长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式得到，再根据余弦定理得到及的值，即可求得周长； （2）根据三角形面积公式得到的面积，即可求得结果 【小问1详解】 因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 18. 由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． （1）试用表示 （2）求的值 （3）已知方程在上有三个根，记为，，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式展开整理即可证明； （2）利用第（1）问的结论对进行代换得到关于的方程，解出即可，最后注意检验. （3）利用（1）中结论得到，再得到三根代入式子化简即可. 【小问1详解】 解：（1）因为， 【小问2详解】 所以， 因为， 因为， ， 即 因为，解得（已舍）. 【小问3详解】 （3）因,故可令， 故由可得: 由（1）得:， 因，故， 故,或,或 即方程的三个根分别为， 又，故， 于是， 【点睛】本题需要对两角和差的余弦即二倍角的余弦公式运用熟练，推导出三倍角的余弦公式，再利用此公式进行应用证明后面的结论，计算和迁移应用要求高.一定要抓住第（1）问所证明的结论去证明. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，. （1）求证：是直角三角形； （2）已知，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为，求的最小值； ②记，.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）①②存在，， 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理和诱导公式将化为，再利用两角和差公式和二倍角公式进行化简，进而判定三角形的形状； （2）①设，利用正弦定理求出、，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解； ②假设存在实常数，利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为进行求解. 【小问1详解】 证明：在中，因为， 且， 所以， 即， 所以或者. 当时，即，所以为直角三角形； 当时，， 从而，因此，所以为直角三角形. 综上所述，是直角三角形. 【小问2详解】 解：①因为，所以， 又，，所以，. 如图，设，， 则在中，由正弦定理，得， 所以. 在中，由正弦定理，得， 所以. 所以， 因为，所以， 故当，即时，. ②假设存在实常数，对于所有满足题意的， 都有成立， 则存在实常数，对于所有满足题意的， 都有. 由题意，是定值， 所以，是定值， 对于所有满足题意的成立， 故有， 因为，从而， 即， 因为为的内角，所以， 从而，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $