专题38 圆锥曲线常规解答题（6大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题38 圆锥曲线常规解答题 【题型归纳目录】 题型一：弦长、面积问题 题型二：定点问题 题型三：定值问题 题型四：非对称韦达问题 题型五：范围与最值问题 题型六：向量问题 【知识点梳理】 一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程 代入圆锥曲线的方程，消去（也可以消去）得到关系一个变量的 一元二次方程，，即，消去后得 （1）当时，即得到一个一元一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时， 若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若为抛物线，则直线与抛物线 的对称轴平行 （2）当时，，直线与曲线有两个不同的交点；，直线与曲 线相切，即有唯一的公共点（切点）；，直线与曲线 二、圆锥曲线的弦 连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦 直线，曲线为与的两个不同的交点，坐标分别为，则是方程组的两组解， 方程组消元后化为关于的一元二次方程（），判别式 ，应有，所以是方程的根，由根与系数关 系（韦达定理）求出，所以两点间的距离为 ，即弦长公式，弦长 公式也可以写成关于的形式 三、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量． （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 四、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法． （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法． 五、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用（把定义作为解题的着眼点）． （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用． （3）重视根与系数的关系在解题中的作用（涉及弦长、中点要用根与系数的关系）． 【典型例题】 题型一：弦长、面积问题 【典例1-1】（2022年新高考天津数学高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 【典例1-2】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【变式1-1】（2023年天津高考数学真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 题型二：定点问题 【典例2-1】（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【典例2-2】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【变式2-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（2025·高三·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【变式2-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为,直线:与抛物线交于两点,且(为坐标原点). (1)求抛物线的方程; (2)求证:直线恒过定点. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标． 题型三：定值问题 【典例3-1】（2024年北京高考数学真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【典例3-2】（2025·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 【变式3-1】（2025·高三·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 【变式3-2】（2025·高三·安徽·阶段练习）已知椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上． （1）求E的方程； （2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值． 题型四：非对称韦达问题 【典例4-1】（2025·高三·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【典例4-2】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 题型五：范围与最值问题 【典例5-1】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【典例5-2】（2025·高二·江西抚州·阶段练习）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程． 【变式5-1】（2025·陕西渭南·模拟预测）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求面积的最小值. 【变式5-2】（2025·高三·陕西·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，． (1)求抛物线的方程； (2)若，是抛物线上两动点，以为直径的圆经过点，点，，三点都不重合，求的最小值 【变式5-3】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点． (1)求p的值和抛物线的焦点坐标； (2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围． 题型六：向量问题 【典例6-1】（2024年天津高考数学真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【典例6-2】（2025·西藏拉萨·二模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，若（为坐标原点），求实数的值． 【变式6-1】（2025·高三·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. (1)求E的方程； (2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 【变式6-2】（2025·高三·上海静安·期末）已知双曲线：，点的坐标为 ． (1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长； (2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围． 【强化测试】 1．（2025·山西运城·模拟预测）已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上． (1)求抛物线C的方程； (2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点． 2．（2025·全国·二模）在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点． (1)证明：MN⊥x轴． (2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 3．（2025·黑龙江大庆·一模）已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知抛物线：的焦点是椭圆的一个焦点. （1）求抛物线的方程； （2）设，，为抛物线上的不同三点，点，且.求证：直线过定点. 5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 6．（2025·陕西西安·三模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程． 7．（2025·广东·二模）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 8．（2025·湖南·模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 9．（2025·高二·湖北·期末）已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 10．（2025·全国·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 11．（2025·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，且当，时，． (1)求抛物线的方程； (2)若，求面积的最小值． 12．（2025·西藏昌都·一模）已知椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为 (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上是否存在一点使得？若存在求的面积，若不存在，请说明理由． 13．（2025·重庆·模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，当时，点M的横坐标为2. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当的面积取最小值时，求直线的方程. 14．（2025·高二·辽宁丹东·期末）已知，是椭圆的焦点，，且过点. (1)求C的方程； (2)若点P在C上，，求的面积. 15．（2025·高三·全国·阶段练习）已知定点，点为圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线与直线交于点． （1）设点的轨迹为曲线，求曲线的方程； （2）若过点且不与轴重合的直线与（1）中曲线交于，两点，当取最大值时，求的面积． 16．（2025·云南红河·一模）已知焦点在轴的椭圆的方程为：，､分别为椭圆的左右顶点，为的上顶点，. （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积. 17．（2025·高三·山西晋城·期末）在平面内，动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3． (1)求动点M的轨迹方程； (2)若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且(O为坐标原点)，求的最小值． 18．（2025·江苏盐城·三模）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 19．（2025·广东梅州·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程： (2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 20．（2025·高三·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题38 圆锥曲线常规解答题 【题型归纳目录】 题型一：弦长、面积问题 题型二：定点问题 题型三：定值问题 题型四：非对称韦达问题 题型五：范围与最值问题 题型六：向量问题 【知识点梳理】 一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程 代入圆锥曲线的方程，消去（也可以消去）得到关系一个变量的 一元二次方程，，即，消去后得 （1）当时，即得到一个一元一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时， 若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若为抛物线，则直线与抛物线 的对称轴平行 （2）当时，，直线与曲线有两个不同的交点；，直线与曲 线相切，即有唯一的公共点（切点）；，直线与曲线 二、圆锥曲线的弦 连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦 直线，曲线为与的两个不同的交点，坐标分别为，则是方程组的两组解， 方程组消元后化为关于的一元二次方程（），判别式 ，应有，所以是方程的根，由根与系数关 系（韦达定理）求出，所以两点间的距离为 ，即弦长公式，弦长 公式也可以写成关于的形式 三、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量． （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 四、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法． （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法． 五、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用（把定义作为解题的着眼点）． （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用． （3）重视根与系数的关系在解题中的作用（涉及弦长、中点要用根与系数的关系）． 【典型例题】 题型一：弦长、面积问题 【典例1-1】（2022年新高考天津数学高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 【解析】（1）， 离心率为. （2）由（1）可知椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得， 由，① ，， 由可得，② 由可得，③ 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为． 【典例1-2】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【解析】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 【变式1-1】（2023年天津高考数学真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【解析】（1）如图， 由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 题型二：定点问题 【典例2-1】（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【解析】（1）设椭圆E的方程为，过， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. （2），所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，， 且 即 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN过定点 【典例2-2】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点. 【变式2-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． （2）   由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 【变式2-2】（2025·高三·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【解析】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，，∴椭圆的方程为. （2）联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 【变式2-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为,直线:与抛物线交于两点,且(为坐标原点). (1)求抛物线的方程; (2)求证:直线恒过定点. 【解析】（1）解:由题知抛物线的焦点为, ,即, 抛物线的方程为:; （2）证明:由(1)知抛物线的方程为:, 联立, 整理可得, , , ,9．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点． (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标． 【解析】（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0 直线，分别为，， 联立得， 由得，则或， 同理，则， 所以k的取值范围为． （2）设，，由（1）得， 所以，则， 所以，则， 同理， 则直线的方程为， 化简整理得 因此直线经过一个定点． , 即, 解得,符合， 直线的方程为:, 故直线恒过定点. 题型三：定值问题 【典例3-1】（2024年北京高考数学真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【解析】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 【典例3-2】（2025·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 【解析】（1）由题可设双曲线的方程为． 因为经过点， 所以，解得， 故的方程为． （2）若直线的斜率存在，设， 由，消去得， 则，即， 设，则， 因为，所以，即， 所以，整理得， 设点到直线的距离为，则由等面积法得，所以， 又，所以； 若直线的斜率不存在，则直线的斜率为， 不妨设直线的斜率为1，则， 将点的坐标代入方程，得， 所以， 所以． 综上，为定值． 【变式3-1】（2025·高三·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 【解析】（1）∵抛物线的焦点为， ∴椭圆的半焦距为， 又，得，. ∴椭圆的方程为 （2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 联立，得. ，即， 设，， 则，， ∴， ∴. ∴为定值 【变式3-2】（2025·高三·安徽·阶段练习）已知椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上． （1）求E的方程； （2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值． 【解析】（1）由题意可知，∴，而， ∴，∴椭圆E的方程为． （2）①若直线l的斜率不存在，易得， ②若直线l的斜率存在，设其方程为，，， 则，联立得 ， 且，， 要使上式为常数，必须且只需，即， 此时易知恒成立，且，符合题意． 综上所述，． 题型四：非对称韦达问题 【典例4-1】（2025·高三·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【解析】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． （2）依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 【典例4-2】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【解析】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 题型五：范围与最值问题 【典例5-1】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【解析】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 【典例5-2】（2025·高二·江西抚州·阶段练习）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程． 【解析】（1）抛物线的焦点为，所以， 因为双曲线的焦点坐标为， 所以则， 所以椭圆E的方程为. （2）设， 联立可得， 因为直线与椭圆E交于A、B两点， 所以解得， 由韦达定理可得， 由弦长公式可得， 点到直线的距离为， 所以 当且仅当即时取得等号， 所以面积的最大值为，此时直线的方程为. 【变式5-1】（2025·陕西渭南·模拟预测）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求面积的最小值. 【解析】（1）由题意，得，抛物线的方程为. （2）设， 联立，消去得， ， ， 易知，直线恒过定点， 故△的面积， 故△面积的最小值为. 【变式5-2】（2025·高三·陕西·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，． (1)求抛物线的方程； (2)若，是抛物线上两动点，以为直径的圆经过点，点，，三点都不重合，求的最小值 【解析】（1）由题知， ∴， ∴，抛物线的方程为． （2）设直线的方程为， 设点，， 由方程组得: ， ∴， 即，且， ∴ ， ， ∵以为直径的圆经过点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴ ∴或 若， 直线：过点，不合题意，舍去． ， ∴． 则 ， 所以当时， 最小，且最小值为11. 【变式5-3】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点． (1)求p的值和抛物线的焦点坐标； (2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围． 【解析】（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以； （2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设． （ⅰ）若直线l的斜率不存在，则． 由得， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以； 因为，所以， 即，所以， 所以因为，所以①． （ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设． 由得，所以， 且，所以（*）， 因为，所以，即，所以， 所以，得， 因为，所以， 即，所以， 所以 则 所以，得， 所以②， 代入（*）得，，所以③， 由②得，所以④， 所以，所以，⑤ 由④，⑤知， 综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是． 题型六：向量问题 【典例6-1】（2024年天津高考数学真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【典例6-2】（2025·西藏拉萨·二模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，若（为坐标原点），求实数的值． 【解析】（1）设焦距为，由已知得 解得，， 故椭圆的方程为． （2）设，， 联立得． ，，， ， 因为，所以， 所以， 即， 解得， 即实数的值为． 【变式6-1】（2025·高三·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. (1)求E的方程； (2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 【解析】（1）由题意，设E的方程为，又E过点， 所以，解得， 所以E的方程为. （2）设，，由得， 因为， 所以，， 所以 ， 所以， 解得或. 【变式6-2】（2025·高三·上海静安·期末）已知双曲线：，点的坐标为 ． (1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长； (2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围． 【解析】（1）直线的方程为． 由方程组得． 设,则， ． （2）设点，则点的坐标为． ，， ． 因为，所以． 【强化测试】 1．（2025·山西运城·模拟预测）已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上． (1)求抛物线C的方程； (2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点． 【解析】（1）P点坐标代入抛物线方程得4＝2p， ∴p＝2， ∴抛物线方程为y2＝4x． （2）证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t， 所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0， ，同理：， 由题意：， ∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)， ∴y1y2＝4， ∴﹣4t＝4， ∴t＝﹣1， 故直线AB恒过定点(﹣1，0)． 2．（2025·全国·二模）在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点． (1)证明：MN⊥x轴． (2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）设，由， 所以切线MA的斜率为， 因此切线MA的方程为： ， M为直线y＝x－2上一动点，设， 因此有， 同理可得：，因此是方程的两个根， 所以， 因为N为AB的中点，所以，因此MN⊥x轴； （2）因为， 所以， 所以直线AB：y－(2t2－t＋2)＝2t(x－t)， 即y－2＝2t， 所以直线AB过定点． 3．（2025·黑龙江大庆·一模）已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标． 【解析】（1）由得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意. 所以直线斜率存在，设直线的方程为. 设、， 由得， 所以，.   因为， 所以， 即，整理得 化简得， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知抛物线：的焦点是椭圆的一个焦点. （1）求抛物线的方程； （2）设，，为抛物线上的不同三点，点，且.求证：直线过定点. 【解析】（1）因为椭圆的焦点为， 依题意，，，所以： （2）设直线的方程为，与抛物线联立得， 设，， 则， 由，则，即， 所以 即， 整理得到， 所以， 化简得即， 解得或. 当时，直线的方程为，即为，即直线过定点； 当时，直线的方程为，即为，即直线过定点，此时与点重合，故应舍去， 所以直线过定点. 5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 【解析】（1）依题意得： ，即，解得 ，解得 椭圆的方程为 （2）如图所示： 设，中点为， 所以 则 又两点在椭圆上，可得， 两式相减可得，整理得 ，①. 过点斜率为的直线为. 因为在直线上，故，② 联立①②，解得 所以中点坐标为. 6．（2025·陕西西安·三模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程． 【解析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得． 所以． 又，所以，解得． 所以． 所以椭圆的标准方程为． （2）设，， 由，得． 则，． 因为线段中点的横坐标为， 所以． 解得，即，经检验符合题意． 所以直线l的方程为． 7．（2025·广东·二模）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 【解析】（1）椭圆的焦点为，故， 由双曲线的渐近线为，故，故， 故双曲线方程为：. （2）设，的中点为， 因为在直线，故， 而，，故， 故， 由题设可知的中点不为原点，故，所以， 故直线的斜率为. 此时， 由可得，整理得到：， 当即或， 即当或时，直线存在且斜率为1. 8．（2025·湖南·模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 【解析】（1）由焦点可知， 又一条渐近线方程为 所以， 由可得 ,解得，， 故双曲线的标准方程为 （2）设，AB中点的坐标为 则①，②， ②①得：， 即，又， 所以， 所以直线的方程为，即 9．（2025·高二·湖北·期末）已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【解析】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. 10．（2025·全国·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 【解析】（1）因为且，所以焦点，即，， 所以， 根据双曲线的定义有，所以， 所以双曲线. （2）根据题意过的直线斜率为0显然不满足题意，可设过的直线为， 由， 当时，有， 设，则由韦达定理有， 所以， 因为，所以，即点和点到直线的距离相等， 则有，解得， 所以， 11．（2025·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，且当，时，． (1)求抛物线的方程； (2)若，求面积的最小值． 【解析】（1）当，时，直线的解析式为． 设，，联立消去并整理得， ，， ，解得． ， ， 整理得，解得（舍负）， 抛物线的方程为． （2）由（1）知，，设，，联立 消去并整理得，，， ，． ，， 即， 整理得． 将，，代入上式得． 又，，且， 解得或． 点到直线的距离， ， 的面积． 又或， 当时，的面积最小，且最小面积为． 12．（2025·西藏昌都·一模）已知椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为 (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上是否存在一点使得？若存在求的面积，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为， ，， ， 椭圆的标准方程为：； （2）假设椭圆上存在点，使得， 则， 即， 联立，得：，此方程无解． 椭圆上不存在点，使得． 13．（2025·重庆·模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，当时，点M的横坐标为2. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当的面积取最小值时，求直线的方程. 【解析】（1）设，由题知时，，故抛物线方程为； （2）设，联立抛物线方程得，∴，，而，， 所以， 当且仅当时等号成立，故直线的方程为． 14．（2025·高二·辽宁丹东·期末）已知，是椭圆的焦点，，且过点. (1)求C的方程； (2)若点P在C上，，求的面积. 【解析】（1）因为是椭圆短半轴的一个顶点，则， 又，则， 由，则， 所以C的方程为. （2）如下图所示： 根据椭圆的定义及可得 ① ② 联立①②得， 则的面积为， 因为的面积是的面积为， 所以的面积为2. 15．（2025·高三·全国·阶段练习）已知定点，点为圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线与直线交于点． （1）设点的轨迹为曲线，求曲线的方程； （2）若过点且不与轴重合的直线与（1）中曲线交于，两点，当取最大值时，求的面积． 【解析】（1）依题意有． 即点轨迹是以，为焦点的椭圆． 故点的轨迹方程为． （2）设方程为，，，，， 得，，． ，当时取最大值14． 此时，∴，， ． 16．（2025·云南红河·一模）已知焦点在轴的椭圆的方程为：，､分别为椭圆的左右顶点，为的上顶点，. （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积. 【解析】（1）由题意得，，， 则，， 由得：，即， 所以C的方程为：. （2）设，，根据对称性只需考虑情形， 此时，，， 由已知得：，直线的方程为， 所以，； 因为，所以，将代入C的方程， 解得：或. 由直线的方程得：或， 所以点P，Q的坐标分别为，或，. ①当时，直线的方程为， 点到直线的距离为 的面积为； ②当时，直线的方程为， 点到直线的距离为， 的面积为； 综上所述，的面积为. 17．（2025·高三·山西晋城·期末）在平面内，动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3． (1)求动点M的轨迹方程； (2)若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且(O为坐标原点)，求的最小值． 【解析】（1）由题意， 动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3， ∴， 整理化简可得：即， ∴动点M的轨迹方程为： （2）由题意及（1）得， 在中，直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且(O为坐标原点)， ∴各直线存在斜率且不为0， 可设直线的方程为，直线的方程为， 由可得， 所以， 同理可得， 又由且，可得， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时，即等号成立， 所以的最小值为． 18．（2025·江苏盐城·三模）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 【解析】（1）由题设可知，解得 则：． （2）设点M的横坐标为 当直线斜率不存在时，则直线： 易知点到轴的距离为﹔ 当直线斜率存在时，设：，，， 联立，整理得， ， 整理得 联立，整理得， 则，则，即 则，即 ∴此时点到轴的距离大于2； 综上所述，点到轴的最小距离为2． 19．（2025·广东梅州·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程： (2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 【解析】（1）由椭圆的离心率为，可得， 可得，设椭圆的方程为：，， 又因为椭圆经过点，所以， 解得， 所以椭圆的方程为：； （2）设与直线平行的直线的方程为， 联立，整理可得：， ，可得，则， 所以直线到直线的距离． 所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为． 20．（2025·高三·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 【解析】（1）因为椭圆的左焦点坐标为， 所以右焦点坐标为. 又椭圆经过点， 所以. 所以椭圆的方程为. （2）①当直线中有一条直线的斜率不存在时，. ②当直线的斜率存在且不为0时， 设直线的方程， 由，得， 则， . 设直线的方程为，同理得， 所以， 设，则， 则， 所以时，有最小值. 综上，的最小值是. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$