专题37 圆锥曲线重点常考题型之轨迹方程（4大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题37 圆锥曲线重点常考题型之轨迹方程 【题型归纳目录】 题型一：直译法 题型二：定义法 题型三：相关点法（代入法） 题型四：点差法 【知识点梳理】 求动点的轨迹方程 一、直译法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法． 二、定义法 若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法． 三、相关点法（代入法） 有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式． 【典型例题】 题型一：直译法 【典例1-1】（2002年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； 【变式1-1】（2005年普通高等学校招生考试数学试题（江苏卷））如图所示，圆与圆的半径都是1，，过动点分别作圆、圆的切线（为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 【变式1-3】已知点是平面直角坐标系上异于的任意一点，过点作直线及的平行线，分别交轴于两点，且，则点的轨迹方程为 ． 题型二：定义法 【典例2-1】（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（重庆卷））已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 . 【典例2-2】（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（北京））矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上． （I）求边所在直线的方程； （II）求矩形外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程． 【变式2-1】如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选题）一动圆与都相切，则动圆圆心的轨迹方程可能情形是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【变式2-4】（2025·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 题型三：相关点法（代入法） 【典例3-1】（2001年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ． 【典例3-2】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式3-1】（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷））设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高三·甘肃白银·期末）已知曲线，点，从上任取一点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知曲线，从上任取一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型四：点差法 【典例4-1】（2025·高三·贵州黔东南·期末）已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·高三·山西·期末）在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为 . 【变式4-1】已知椭圆. (1)求斜率为的平行弦中点的轨迹方程; (2)若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程; (3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【变式4-2】已知椭圆，过点的动直线交椭圆于两点，求线段的中点的轨迹方程． 【强化测试】 1．（2025·陕西宝鸡·二模）已知动点满足等式，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（   ）． A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·全国·模拟预测）若点为坐标原点，点为曲线上任意一点，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江·一模）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高三·河北张家口·开学考试）已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁·一模）已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·高三·广西南宁·开学考试）已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·湖南·模拟预测）已知点，点，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·高三·江西·开学考试）已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·广西梧州·模拟预测）若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 16．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 17．（2025·浙江温州·一模）动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 18．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 20．（2025·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 21．（2025·高三·河北唐山·开学考试）已知，动点，若以线段为直径的圆与圆：外切，则动点的轨迹方程为 . 22．（2025·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 23．已知直角的斜边为AB，且，，则直角顶点C的轨迹方程为 ，直角边BC的中点M的轨迹方程为 ． 24．在平面直角坐标系中，动点N到定点的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为 . 25．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和的连线的斜率之积等于9，则点的轨迹方程为 ． 26．（2025·高三·湖南长沙·期末）已知长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程是 . 27．已知分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点，则动点的轨迹方程是 . 28．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 29．平面内，已知两点，及动点，若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为 ． 30．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 31．已知圆，圆，动圆与、都外切.求圆心的轨迹方程. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题37 圆锥曲线重点常考题型之轨迹方程 【题型归纳目录】 题型一：直译法 题型二：定义法 题型三：相关点法（代入法） 题型四：点差法 【知识点梳理】 求动点的轨迹方程 一、直译法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法． 二、定义法 若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法． 三、相关点法（代入法） 有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式． 【典型例题】 题型一：直译法 【典例1-1】（2002年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则到两坐标轴距离相等，即，即. 故选：D 【典例1-2】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； 【解析】（1）设,则，两边同平方化简得， 故. 【变式1-1】（2005年普通高等学校招生考试数学试题（江苏卷））如图所示，圆与圆的半径都是1，，过动点分别作圆、圆的切线（为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程． 【解析】以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设点. 由已知，得. 因为两圆的半径均为1，所以， 则，即， 所以点的轨迹方程为（或）. 【变式1-2】在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设点， 由已知得，整理得， 所以点P的轨迹方程为． 故答案为：. 【变式1-3】已知点是平面直角坐标系上异于的任意一点，过点作直线及的平行线，分别交轴于两点，且，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】根据题意，设点的坐标为，则过点与直线平行的直线为， 令，得点的纵坐标．同理，过点与直线平行的直线为， 令，得点的纵坐标． 因为，所以， 所以，化简得， 由得，所以点的轨迹方程为． 故答案为： 题型二：定义法 【典例2-1】（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（重庆卷））已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 . 【答案】． 【解析】由题意，在线段的垂直平分线上，则， 所以，又， 所以在以为焦点，长轴长为2的椭圆上， ，，，则， 所以轨迹方程为． 故答案为：． 【典例2-2】（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（北京））矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上． （I）求边所在直线的方程； （II）求矩形外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程． 【解析】（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为． 又因为点在直线上， 所以边所在直线的方程为． ． （II）由解得点的坐标为， 因为矩形两条对角线的交点为． 所以为矩形外接圆的圆心． 又． 从而矩形外接圆的方程为． （III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切， 所以， 即． 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支． 因为实半轴长，半焦距． 所以虚半轴长． 从而动圆的圆心的轨迹方程为 【变式2-1】如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设炮弹爆炸点P的坐标为，则， 所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支． 因为，所以．又， 所以， 故炮弹爆炸点的轨迹方程为． 故选：B． 【变式2-2】（多选题）一动圆与都相切，则动圆圆心的轨迹方程可能情形是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意得，圆方程可化为，故，圆半径， 圆方程可化为，故，圆半径， ∴两圆的圆心距， 由得两圆相离，设动圆的半径为，圆心. ①如图1，当动圆与圆外切，与圆内切时，，故， 根据双曲线的定义，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，其中，故， ∴点的轨迹方程为，选项D正确. ②如图2，当动圆与圆内切，与圆外切时，，故， 此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，结合①可知点的轨迹方程为，选项C正确. ③如图3，当动圆与圆均外切时，，故， 此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，其中，故， ∴点的轨迹方程为，选项A正确. ④如图4，当动圆与圆均内切时，，故， 此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，结合③可知点的轨迹方程为，选项B错误. 故选：ACD. 【变式2-3】（2025·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】依题意，， 则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆， 由，得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式2-4】（2025·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 题型三：相关点法（代入法） 【典例3-1】（2001年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，， 则，即， 又，则， 整理得， 即点M的轨迹方程为. 故答案为： 【典例3-2】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【解析】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 【变式3-1】（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷））设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得：，设， 因为，所以， 解得：， 因为，所以 所以， 因为， 所以， 即. 故选：D 【变式3-2】（2025·高三·甘肃白银·期末）已知曲线，点，从上任取一点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 因为点在曲线上，所以， 即，故点的轨迹方程为． 故选:D． 【变式3-3】已知曲线，从上任取一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，依题意可知 即 因为点在曲线上，所以， 即， 故选：A. 题型四：点差法 【典例4-1】（2025·高三·贵州黔东南·期末）已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 【典例4-2】（2025·高三·山西·期末）在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】因为点，在椭圆：上，所以， 两式相加可得，即， 又因为直线，的斜率之积为，所以，可得， 所以， 设中点为，则，， 所以，即， 即中点的轨迹方程为， 故答案为： 【变式4-1】已知椭圆. (1)求斜率为的平行弦中点的轨迹方程; (2)若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程; (3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【解析】（1）设弦的两端点为，线段的中点为， 则有，. 两式作差，得. 因为，，， 代入后求得　①. 所以，所以. 联立可得，或 故所求的轨迹方程为（） （2）由①式，得. 又因为，所以-. 整理得， 联立可得或， 故所求的轨迹方程为（）. （3）由①式，得弦所在的直线的斜率， 又，所以 所以其方程为，即. 【变式4-2】已知椭圆，过点的动直线交椭圆于两点，求线段的中点的轨迹方程． 【解析】由题意，直线l的方程斜率显然存在， 所以设直线l的方程为，，，， 由，消去得， 由，得， 因为，所以    ①， 所以②， 所以当时，，，，从而得③， 将③代入②，得． 因为，所以． 又因为，所以； 当时，，，中点M与原点重合，也满足， 所以点的轨迹方程为． 【强化测试】 1．（2025·陕西宝鸡·二模）已知动点满足等式，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为动点满足等式， 所以表示点A到点的距离之和为8，且， 所以点A的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中：， 所以椭圆的方程是， 故选：D 2．（2025·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，设点，由， 可得，即得点的轨迹方程为. 故选：A. 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，由轴于点，且，得，则， 又点是曲线上的任意一点，因此， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 4．（2025·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆可化为，圆心，半径为. 圆可化为，圆心，半径为. 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示： 由题意得，三点共线，三点共线，，， ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 5．（2025·全国·模拟预测）若点为坐标原点，点为曲线上任意一点，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，因为，所以， 即，又点为曲线上任意一点， 所以，即，即点的轨迹方程为． 故选：B． 6．（2025·浙江·一模）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，依题意，，化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 7．（2025·高三·河北张家口·开学考试）已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则直线的斜率为，直线的斜率为， 依据题意可知，，化简得：， 因为直线、的斜率存在，所以， 所以， 故选：A. 8．（2025·辽宁·一模）已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则， 则由得：， 化简得：， 即点的轨迹是， 故选：C 9．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则由已知得 化简得， 故选：C． 10．（2025·高三·广西南宁·开学考试）已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设动点， 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：B 11．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，因在曲线上， 故即， 故选：A. 12．（2025·湖南·模拟预测）已知点，点，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设动点 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：D 13．（2025·高三·江西·开学考试）已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点、、， 由， 所以，，可得， 因为正方形的面积为，即，即， 整理可得，因此，动点的轨迹方程为. 故选：C. 14．（2025·广西梧州·模拟预测）若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为，圆的圆心为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以的中点满足直线方程，解得， 过点的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为， 所以解得：， 故选：C． 15．（2025·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为， 若圆与圆外切，则，， 可得； 若圆与圆内切，则，， 可得； 综上所述：， 可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：B. 16．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【解析】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 17．（2025·浙江温州·一模）动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得，平方化简可得， 进而得， 故选:A 18．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆N：的圆心为，半径为，且 设动圆的半径为，则，即. 即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为， 虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上， 故动圆圆心P的轨迹方程是 故选：A 19．（2025·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 20．（2025·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立抛物线方程，得，， 设，则， 设线段中点，则， 即，故线段中点的轨迹方程为，即， 故答案为： 21．（2025·高三·河北唐山·开学考试）已知，动点，若以线段为直径的圆与圆：外切，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由题意，设，则线段的中点， 以线段为直径的圆的半径为， 因为以线段的圆与圆外切，所以且， 即， 所以， 所以的轨迹是以，为焦点靠近的双曲线的一支， 且，解得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为：. 22．（2025·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 23．已知直角的斜边为AB，且，，则直角顶点C的轨迹方程为 ，直角边BC的中点M的轨迹方程为 ． 【答案】 且； 且 【解析】设AB中点为D，则，由直角三角形的性质知，， 由圆的定义知，动点C的轨迹是以为圆心，2为半径长的圆． 所以直角顶点C的轨迹方程为且． 设点，点，由，M是线段BC的中点， 得且，，于是有，． 由（1）知，点C在圆且上运动， 将代入该方程得，即且． 故答案为：且；且． 24．在平面直角坐标系中，动点N到定点的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为 . 【答案】或 【解析】设为轨迹上任意点，则两边平方， 得， 所以动点N的轨迹方程为或. 故答案为：或. 25．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和的连线的斜率之积等于9，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，由已知得， 整理得， 所以点P的轨迹方程为． 故答案为： 26．（2025·高三·湖南长沙·期末）已知长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设线段的中点， 若不与原点重合时，则是直角三角形，且为直角，则,即的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆， 方程为， 若有一个是原点，同样满足， 故线段的中点的轨迹方程是：. 故答案为： 27．已知分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设，，则，则在， 故，或， 根据， 故，进而可得， 即， 故答案为： 28．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，，， 则，，， 因为， 则， 又因为，则，即， 可得，即． 故点的轨迹方程是． 故答案为：. 29．平面内，已知两点，及动点，若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得， 化简，得点的轨迹方程为. 故答案为： 30．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得， 化简，得点的轨迹方程为. 故答案为： 31．已知圆，圆，动圆与、都外切.求圆心的轨迹方程. 【解析】设圆的半径为，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆、圆都外切， 则，， 所以，， 所以，点的轨迹是以点、为焦点的双曲线的右支， 设双曲线的标准方程为，则， 可得，，则， 所以，， 所以，圆心的轨迹方程为. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$