专题36 圆锥曲线基础过关小题（9大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题36 圆锥曲线基础过关小题 【题型归纳目录】 题型一：椭圆的定义及标准方程 题型二：椭圆的性质 题型三：双曲线的定义及标准方程 题型四：双曲线的性质 题型五：抛物线的定义及标准方程 题型六：抛物线的性质 题型七：离心率问题 题型八：焦点三角形问题 题型九：直线与圆锥曲线的位置关系 【知识点梳理】 一．椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注明：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在. 二．椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长短轴长 长轴长短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 点和椭圆 的关系 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，,, 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 三、双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为 . 注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支. （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线. （3）时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用. 四、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质. 标准方程 图形 y x B1 B2 F2 A2 A1 F1 B1 F1 x y A1 F2 B2 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、 虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共渐近线的双曲线方程 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，. 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数. 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 五、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线. 注若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点. 六、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 标准方程 y x O F l y x O F l F y x O l 图形 y x O F l 对称轴 轴 轴 顶点 原点 焦点坐标 准线方程 三、抛物线中常用的结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）. （2）在抛物线上. （3）在抛物线外. 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，. 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大. 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）. （2）. （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为. 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）. （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）. 【典型例题】 题型一：椭圆的定义及标准方程 【典例1-1】（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 【典例1-2】（2025·陕西西安·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆的几何性质，因为，可得， 所以，，则，所以椭圆的方程为. 故选：A. 【变式1-1】（2025·海南·三模）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由对称性可知，正方形的四个顶点必在直线上，由于椭圆在y轴上的两顶点间的距离为2， 所以正方形的边长只能为1，因此点在上，代入的方程得，解得， 故，所以的焦距为. 故选：B 【变式1-2】（2025·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（为椭圆的半焦距）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图：,故， ，故， 故，解得， 由于， 故，故，故椭圆方程为， 故选：B 题型二：椭圆的性质 【典例2-1】（2025·河南·一模）椭圆的焦距为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】由题意得，，故， ∴椭圆的焦距为2. 故选：B. 【典例2-2】（2025·宁夏吴忠·一模）椭圆的一个焦点是，那么（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为椭圆的一个焦点是， 所以，，， 则，解得， 故选：A. 【变式2-1】（多选题）（2025·云南·一模）定义“相似椭圆”：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆为相似椭圆.已知椭圆，为相似椭圆，且，则（    ） A． B．两椭圆的长轴长之比为 C．两椭圆的短轴长之比为 D．两椭圆的焦距之比为 【答案】ABD 【解析】由题意可得，即， 所以， 所以， 所以，故A正确； 对于B，两椭圆的长轴长之比为，故B正确； 对于C，两椭圆的短轴长之比为，故C错误； 对于D，两椭圆的焦距之比为，故D正确. 故选：ABD. 【变式2-2】（多选题）（2025·河南·模拟预测）已知椭圆，则（    ） A．的取值范围为 B．若的焦点在轴上，则 C．若，则的焦距为6 D．若，则的离心率为 【答案】CD 【解析】由题设，可得，A错； 若的焦点在轴上，则，可得，B错； 若，则的焦距为，C对； 若，则的离心率为，D对. 故选：CD 题型三：双曲线的定义及标准方程 【典例3-1】（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D． 【典例3-2】（2025·北京·模拟预测）双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【答案】A 【解析】由题意知双曲线：，焦距为10， 故，则， 由，，得或， 结合，则M在双曲线左支上， 由于，故， 故选：A 【变式3-1】（2025·辽宁·一模）已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则， 则由得：， 化简得：， 即点的轨迹是， 故选：C 题型四：双曲线的性质 【典例4-1】（多选题）（2025·新疆乌鲁木齐·一模）关于双曲线，下列说法正确的有（    ） A．实轴长为16 B．焦点坐标为， C．离心率为 D．渐近线方程为 【答案】ABC 【解析】因为，所以， 则，化简得，则， 对于A，则实轴长为，故A正确， 对于B，焦点坐标为，，故B正确， 对于C，离心率为，故C正确， 对于D，渐近线方程为，故D错误. 故选：ABC 【典例4-2】（2025·高三·上海·开学考试）下列关于双曲线的性质表述错误的是（   ） A．焦距为 B．实轴长为4 C．两渐近线夹角为 D．离心率为 【答案】B 【解析】由题意得，，，焦距为，A正确； 实轴长为，B错误； 渐近线方程为，设渐近线的倾斜角为，则， ， 由 两渐近线夹角为，C正确； 离心率为，D正确， 故选：B. 【变式4-1】（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为再结合双曲线方程可解出，再利用三角形面积公式可求出结果.设点，则①． 又， ②． 由①②得， 即， ， 故选B． 【变式4-2】（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由． ， 又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上， ，故选A． 【变式4-3】（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 【答案】 【解析】对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得； 故答案为： 【变式4-4】（2020年北京市高考数学试卷）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 ． 【答案】 【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为，即， 所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为. 故答案为：；. 题型五：抛物线的定义及标准方程 【典例5-1】（2025·北京石景山·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的准线方程为， 又点在上且，则，所以， 即，故A错误，C正确； 又，所以，所以，故B、D错误. 故选：C 【典例5-2】（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为若，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】由抛物线的定义知：又， ∴为等边三角形，，故, 故 故选：C. 【变式5-1】（2023年北京高考数学真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 【变式5-2】（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D． 【变式5-3】（2025·陕西商洛·三模）已知为抛物线上一点，为的焦点，点到轴的距离为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于抛物线，，可得， 设点，则，因为点到轴的距离为，即， 由抛物线的定义可得. 故选：B. 题型六：抛物线的性质 【典例6-1】（2025·河南焦作·二模）如图，曲线是抛物线的一部分，且曲线关于轴对称，，则点到的焦点的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由抛物线的标准方程可知：焦点为，又，则点， 所以点到的焦点的距离为. 故选：C. 【典例6-2】（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，点为线段的中点，若点的横坐标为，，则（） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】根据抛物线定义，点到焦点的距离分别等于它们到准线的距离， 设，则， 由于为中点，所以， 又因为， 代入得，解得， 故选：. 【变式6-1】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线与抛物线交于两点，且， 根据抛物线的对称性可以确定，所以， 代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为， 故选：B. 题型七：离心率问题 【典例7-1】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 【典例7-2】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，因此，而，所以. 故选：A 【变式7-1】（2019年北京市高考数学试卷（文科））已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a= A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【解析】∴ ， 解得 ， 故选D. 【变式7-2】（2019年北京市高考数学试卷（理科））已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则 A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b 【答案】B 【解析】椭圆的离心率,化简得, 故选B. 【变式7-3】（2019年浙江省高考数学试卷）渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c 则该双曲线的离心率为 e， 故选C． 【变式7-4】（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A．2sin40° B．2cos40° C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得， ，故选D． 【变式7-5】（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】 【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 【变式7-6】（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 【答案】 【解析】过且斜率为的直线，渐近线， 联立，得，由，得 而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率. 故答案为：． 【变式7-7】（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 【答案】2（满足皆可） 【解析】，所以C的渐近线方程为, 结合渐近线的特点，只需，即， 可满足条件“直线与C无公共点” 所以， 又因为，所以， 故答案为：2（满足皆可） 【变式7-8】（2020年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是 . 【答案】 【解析】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为： 【变式7-9】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为 ． 【答案】 【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上， 因为其一条渐近线为， 所以，. 故答案为： 【变式7-10】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 . 【答案】2 【解析】联立，解得，所以. 依题可得，，，即，变形得，, 因此，双曲线的离心率为. 故答案为：． 题型八：焦点三角形问题 【典例8-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于两点，且，则（    ） A． B． C．12 D．8 【答案】D 【解析】抛物线的焦点为，准线为， 由抛物线定义可知， 因为，所以为等边三角形， 故，， 所以， 设准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D 【典例8-2】（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 【变式8-1】（2025·广东·模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】 由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 题型九：直线与圆锥曲线的位置关系 【典例9-1】（2024年北京高考数学真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 【典例9-2】（2023年天津高考数学真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【答案】 【解析】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 【变式9-1】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 【答案】 【解析】双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【变式9-2】（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ． 【答案】 【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为， 又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为： 代入抛物线方程消去y并化简得， 解法一：解得    所以 解法二： 设，则, 过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示. 故答案为： 【变式9-3】（2025·云南玉溪·二模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，B两点，点M为线段的中点，若点M的横坐标为p，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】设，由题设知，则，得. 故选：C 【强化测试】 1．（2025·天津·一模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】①当时，由，则， 由，则，所以， 即，由，，则， 化简可得，由，则； ②当时，由，则， 由，则，所以， 即，由，，则， 由，则方程不成立. 故选：D. 2．（2025·广东广州·一模）已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设. ∵点在双曲线上，，即. 又双曲线的两条渐近线分别为和， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为： ， ，即. 又，，，. 故选：D. 3．（2025·安徽合肥·二模）已知双曲线，过顶点作的一条渐近线的垂线，交轴于点，且，则的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】不妨令渐近线方程为，顶点为， 则过顶点与渐近线垂直的直线的方程为 ， 令，得，则， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 故选：. 4．（2025·山东·模拟预测）已知直线与双曲线相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设由对称性有， 由， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 5．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程消去y后整理为， 有， 整理可得，由，有， 可得． 故选:B． 6．（2025·山西太原·一模）已知的三条边长分别为3，4，5，的两个顶点是椭圆的焦点，其另一个顶点在椭圆上，则的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知的三条边长分别为，，，因为，所以是直角三角形. 设的两个顶点为椭圆的焦点，另一个顶点在椭圆上. 情况一：若焦距，则椭圆上一点到两焦点距离之和. 此时离心率. 情况二：若焦距，则椭圆上一点到两焦点距离之和. 此时离心率. 情况三：若焦距，则椭圆上一点到两焦点距离之和. 此时离心率. 所以椭圆的离心率的最大值为. 故选：C. 7．（2025·黑龙江·一模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为．若是的焦距的倍，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的半焦距为c，而，又， 则，整理得，因此， 所以的离心率为. 故选：B 8．（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则， 所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 9．（2025·青海海南·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】C 【解析】点P在双曲线右支上， 由双曲线的定义可得， 又，两式联立得. 又， 所以，即为直角三角形， 所以. 故选：C 10．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，以为圆心的圆经过点，且与轴正半轴交于点，若线段的中点在上，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，由题知圆的半径为，且，得为等边三角形， 则，设线段的中点为，则，且， 因为点在上，所以得， 即，即的离心率为. 故选：A. 11．（2025·山东潍坊·一模）若双曲线的焦距是其实轴长的2倍，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：，所以， 则，所以的渐近线方程为. 故选：B. 12．（2025·陕西汉中·二模）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则以线段为直径的圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线，令，可得，即直线过点； 抛物线的焦点，所以，解得， 所以抛物线，由，消去整理得， 设，，显然，则， 所以，则以线段为直径的圆的面积. 故选：C 13．（2025·江苏南通·一模）若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线的准线方程为， 圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以，截圆所得的弦长为， 故选：A. 14．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】依题意，抛物线中，，点到准线的距离， 故点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和为： ， 当且仅当A,P,F三点共线时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 15．（2025·新疆喀什·二模）已知椭圆E：与矩形的四条边都相切，若该矩形关于坐标轴对称，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，不妨设， 则，且， 即，则. 故选：A 16．（2025·河南开封·二模）已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的半焦距为，由题意，圆的圆心在坐标原点，半径， 点即双曲线的左右两焦点，故有①， 且因为圆的直径，可得，则有②， 将①式两边取平方，， 解得，故的面积为. 故选：B. 17．（2025·陕西渭南·二模）已知直线，圆和抛物线，则（    ） A．直线过抛物线的焦点 B．直线与圆相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．圆与抛物线的公共弦长为 【答案】B 【解析】对于A：抛物线的焦点为代入直线得，所以直线过抛物线的焦点，当时，直线不过抛物线线的焦点，故A错误； 对于B：直线，令得，将代入圆有， 所以点在圆的内部，所以直线与圆相交，故B正确； 对于C：直线的定点为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交弦长为，当时，，故C错误； 对于D：由或（舍去）当时，， 所以圆与抛物线的公共弦长为，故D错误， 故选：B. 18．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，为坐标原点，则（   ） A．直线的倾斜角为 B．的方程为 C． D．在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】由点在抛物线上，得，， 对于A，直线的斜率，因此直线的倾斜角为，A正确； 对于B，抛物线的准线方程为，B错误； 对于C，为焦点，则，C正确； 对于D，由，求导得，则在点处的切线斜率为， 切线方程为，即，D正确. 故选：ACD 19．（多选题）（2025·甘肃·一模）已知双曲线方程为，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率是 C．双曲线的虚轴长是8 D．双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6 【答案】CD 【解析】因为双曲线，得：， 对于A：双曲线的渐近线方程为，故A错误； 对于B：离心率为，故B错误； 对于C：双曲线的虚轴长是，故C正确； 对于D：双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为，故D正确. 故选：CD 20．（多选题）（2025·河北邢台·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（    ） A． B．的虚轴长为 C． D．的一条渐近线的斜率为 【答案】AB 【解析】由，知，，， 由，得，即，， 所以的虚轴长为，故A，B正确，C错误； 由的渐近线方程为，得两条渐近线的斜率分别为，，故D错误． 故选：AB． 21．（多选题）（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】当椭圆的焦点在轴时，，即， 此时，解得． 当椭圆的焦点在轴时，，即， 此时，解得． 故选：AB. 22．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知双曲线 和 ，其中，且，则（    ） A．与有相同的实轴 B．与有相同的焦距 C．与有相同的渐近线 D．与有相同的离心率 【答案】BC 【解析】对于选项A，双曲线的实轴在轴上， 双曲线的实轴在轴上，所以选项A错误， 对于选项B，因为双曲线和的焦距均为，所以选项B正确， 对于选项C，双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，所以选项C正确， 对于选项D，双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为， 因为，所以，故选项D错误， 故选：BC. 23．（多选题）（2025·江苏南通·模拟预测）已知方程，则下列说法中正确的有（   ） A．方程可表示圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆 C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 【答案】BCD 【解析】由题方程即， 对于A，若方程表示圆，则，无解， 所以方程不可以表示圆，故A错误； 对于B，若方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，故B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的双曲线， 则，故C正确； 对于D，当方程即表示椭圆时， 因为，所以该椭圆为焦点在轴上的椭圆， 则，所以椭圆的焦距为； 当方程表示焦点在x轴上的双曲线时， ； 当方程表示焦点在y轴上的双曲线时， ，不符合； 所以当方程表示双曲线时焦距为.故D正确. 故选：BCD. 24．（2025·海南海口·模拟预测）设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，已知直线交轴于点，且的面积为8，则该抛物线的方程为 . 【答案】 【解析】根据题意作出如图所示的图象： 其中，，为双曲线的准线，且准线方程为，，， 设，则，. 在中，为的中点，则为的中点，即，， ∵的面积为8， ∴，即，又， ∴，解得， ∴该抛物线的方程为. 故答案为：. 25．（2025·福建莆田·二模）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是 m． 【答案】 【解析】如图：以拱桥顶点为原点，建立如图坐标系. 设抛物线方程为：，由题意，抛物线过点. 所以，所以抛物线方程为：. 水面上升，则，此时或. 所以水面宽度为：. 故答案为： 26．（2025·吉林延边·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为 . 【答案】/ 【解析】由椭圆方程可得，得， 因为是上一点，所以， 因为的周长为10， 所以，得， 所以的离心率为. 故答案为： 27．（2025·北京平谷·一模）抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等，则 . 【答案】/0.5 【解析】抛物线焦点在轴上，且焦点，故抛物线的对称轴为轴， 抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等， 由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等， 所以，若轴，则垂足为点，即， 故答案为： 28．（2025·辽宁·一模）已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则 . 【答案】2 【解析】由焦半径公式得，点到抛物线的焦点的距离，解得. 故答案为：2 29．（2025·河北秦皇岛·一模）已知双曲线：的实轴长为4，若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则双曲线C的焦距为 . 【答案】 【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 因为两条渐近线互相垂直，所以，得， 因为实轴长为4，，即，所以， 又，则，则双曲线C的焦距为， 故答案为： 30．（2025·辽宁葫芦岛·一模）若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】易知双曲线的一条渐近线的斜率为， 依题意可得，所以 所以双曲线离心率，又， 可知双曲线离心率的取值范围是. 故答案为： 31．（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线上，点在此抛物线上，为抛物线的焦点，则 ． 【答案】5 【解析】点在此抛物线上，解得，所以． 故答案为：5 32．（2025·湖北武汉·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】 【解析】当时，由，则；当时，由，则， 由题意可得为椭圆的顶点， 则椭圆的方程为，所以， 可得，所以离心率. 故答案为：. 33．（2025·高三·江苏镇江·开学考试）抛物线上一点M到其焦点的距离为3，则点M到坐标原点的距离为 . 【答案】 【解析】设，由抛物线可得， 抛物线上点到焦点的距离等于3， ，解得， ， 点M到坐标原点的距离为 故答案为： 34．（2025·高三·全国·开学考试）已知过点且斜率为3的直线与双曲线交于A，B两点在第一象限，若，则双曲线C的离心率为 . 【答案】2 【解析】设，，易知直线AB的方程为，即， 将其代入双曲线C的方程，整理得， 所以， 由，得，代入上式得，，， 联立可解得，所以 故答案为： 35．（2025·浙江·一模）双曲线（，）的左、右焦点为，，P为双曲线上一点，且满足轴，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【解析】因为轴，所以为通径的一半，故， 在中，因为，所以， 所以，即，可得. 故答案为：. 36．（2025·高三·湖南·开学考试）椭圆的焦距为4，则 . 【答案】8 【解析】当时，椭圆的焦距为，得，不符合题意； 当时，椭圆的焦距为，得，符合题意. 故答案为：. 37．（2025·高三·江西·开学考试）已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】抛物线的准线为，设，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 38．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的一个动点，点的坐标是，则的最小值为 . 【答案】5 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 过作垂直于准线，垂足为，交抛物线于点，过点作垂直于准线，垂足为， 因此，当且仅当共线时取等号， 所以的最小值为5. 故答案为：5 39．（2025·高三·安徽·开学考试）已知抛物线 的顶点、焦点分别为 ，则以线段 为直径的圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】由题意可知，故圆心为，半径为1， 所以圆的方程为， 故答案为： 40．（2025·河南郑州·一模）已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为 . 【答案】12 【解析】由双曲线，得，，， 设其左右焦点为，， 则由双曲线的定义，得， 可设，则有(舍去或12， 故P在左支上，P到另一个焦点的距离为12. 故答案为： 41．（2025·高二·江西南昌·期末）已知抛物线C：的焦点为F，P在C上，若以为直径的圆与x轴相切于点，则 . 【答案】2 【解析】由题意得，设，的中点为，则. 因为以为直径的圆与轴相切于点， 则，即，解得，则， 所以 故答案为：2 42．（2025·黑龙江·模拟预测）直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则 【答案】 【解析】由双曲线，则渐近线方程为，由直线可得，， 所以， 故答案为：. 43．（2025·高三·北京昌平·期末）已知抛物线的焦点为 ，点在抛物线上，且，则点的纵坐标为 ；点为坐标原点，的面积为 ． 【答案】 【解析】由抛物线方程可知：焦点，准线方程为：， 设.∵点在抛物线上， ∴，，解得，. . 故答案为：. 44．（2025·全国·一模）若直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是 ． 【答案】 【解析】由于直线恒过定点，所以直线不可能与双曲线相切．要满足有且只有一个交点，直线必须平行于双曲线的渐近线，渐近线方程为，所以， 解得 故答案为： 45．（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 . 【答案】 【解析】因为点在双曲线右支上，且， 则，又， 在中，由余弦定理可得，， 所以. 故答案为：. 46．（2025·甘肃·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到轴的距离为，则 ． 【答案】 【解析】抛物线的准线方程为， 因为点到轴的距离为，所以点到准线的距离为， 由抛物线定义可得． 故答案为：. 47．（2025·高三·山东滨州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与准线交于两点，且，设直线的斜率为，则 ． 【答案】 【解析】 如图，由可知，，设准线与轴交于点， 因以为圆心的圆与准线交于两点，则, 又，则, 设点，则，解得， 当，则，故，于是. 故答案为：. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题36 圆锥曲线基础过关小题 【题型归纳目录】 题型一：椭圆的定义及标准方程 题型二：椭圆的性质 题型三：双曲线的定义及标准方程 题型四：双曲线的性质 题型五：抛物线的定义及标准方程 题型六：抛物线的性质 题型七：离心率问题 题型八：焦点三角形问题 题型九：直线与圆锥曲线的位置关系 【知识点梳理】 一．椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注明：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在. 二．椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长短轴长 长轴长短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 点和椭圆 的关系 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，,, 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 三、双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为 . 注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支. （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线. （3）时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用. 四、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质. 标准方程 图形 y x B1 B2 F2 A2 A1 F1 B1 F1 x y A1 F2 B2 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、 虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共渐近线的双曲线方程 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，. 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数. 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 五、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线. 注若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点. 六、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 标准方程 y x O F l y x O F l F y x O l 图形 y x O F l 对称轴 轴 轴 顶点 原点 焦点坐标 准线方程 三、抛物线中常用的结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）. （2）在抛物线上. （3）在抛物线外. 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，. 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大. 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）. （2）. （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为. 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）. （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）. 【典型例题】 题型一：椭圆的定义及标准方程 【典例1-1】（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·陕西西安·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·海南·三模）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为（   ） A．2 B． C． D． 【变式1-2】（2025·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（为椭圆的半焦距）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 题型二：椭圆的性质 【典例2-1】（2025·河南·一模）椭圆的焦距为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【典例2-2】（2025·宁夏吴忠·一模）椭圆的一个焦点是，那么（    ） A．1 B． C． D． 【变式2-1】（多选题）（2025·云南·一模）定义“相似椭圆”：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆为相似椭圆.已知椭圆，为相似椭圆，且，则（    ） A． B．两椭圆的长轴长之比为 C．两椭圆的短轴长之比为 D．两椭圆的焦距之比为 【变式2-2】（多选题）（2025·河南·模拟预测）已知椭圆，则（    ） A．的取值范围为 B．若的焦点在轴上，则 C．若，则的焦距为6 D．若，则的离心率为 题型三：双曲线的定义及标准方程 【典例3-1】（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·北京·模拟预测）双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【变式3-1】（2025·辽宁·一模）已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 题型四：双曲线的性质 【典例4-1】（多选题）（2025·新疆乌鲁木齐·一模）关于双曲线，下列说法正确的有（    ） A．实轴长为16 B．焦点坐标为， C．离心率为 D．渐近线方程为 【典例4-2】（2025·高三·上海·开学考试）下列关于双曲线的性质表述错误的是（   ） A．焦距为 B．实轴长为4 C．两渐近线夹角为 D．离心率为 【变式4-1】（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 A． B． C． D． 【变式4-3】（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 【变式4-4】（2020年北京市高考数学试卷）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 ． 题型五：抛物线的定义及标准方程 【典例5-1】（2025·北京石景山·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为若，则（    ） A． B． C．4 D． 【变式5-1】（2023年北京高考数学真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式5-2】（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式5-3】（2025·陕西商洛·三模）已知为抛物线上一点，为的焦点，点到轴的距离为，则（   ） A． B． C． D． 题型六：抛物线的性质 【典例6-1】（2025·河南焦作·二模）如图，曲线是抛物线的一部分，且曲线关于轴对称，，则点到的焦点的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例6-2】（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，点为线段的中点，若点的横坐标为，，则（） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式6-1】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型七：离心率问题 【典例7-1】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【典例7-2】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2019年北京市高考数学试卷（文科））已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a= A． B．4 C．2 D． 【变式7-2】（2019年北京市高考数学试卷（理科））已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则 A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b 【变式7-3】（2019年浙江省高考数学试卷）渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ） A． B．1 C． D．2 【变式7-4】（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A．2sin40° B．2cos40° C． D． 【变式7-5】（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【变式7-6】（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 【变式7-7】（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 【变式7-8】（2020年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是 . 【变式7-9】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为 ． 【变式7-10】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 . 题型八：焦点三角形问题 【典例8-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于两点，且，则（    ） A． B． C．12 D．8 【典例8-2】（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式8-1】（2025·广东·模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 题型九：直线与圆锥曲线的位置关系 【典例9-1】（2024年北京高考数学真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【典例9-2】（2023年天津高考数学真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【变式9-1】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 【变式9-2】（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ． 【变式9-3】（2025·云南玉溪·二模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，B两点，点M为线段的中点，若点M的横坐标为p，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【强化测试】 1．（2025·天津·一模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 2．（2025·广东广州·一模）已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 3．（2025·安徽合肥·二模）已知双曲线，过顶点作的一条渐近线的垂线，交轴于点，且，则的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 4．（2025·山东·模拟预测）已知直线与双曲线相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山西太原·一模）已知的三条边长分别为3，4，5，的两个顶点是椭圆的焦点，其另一个顶点在椭圆上，则的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江·一模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为．若是的焦距的倍，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2025·青海海南·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 10．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，以为圆心的圆经过点，且与轴正半轴交于点，若线段的中点在上，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山东潍坊·一模）若双曲线的焦距是其实轴长的2倍，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·陕西汉中·二模）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则以线段为直径的圆的面积为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·江苏南通·一模）若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 15．（2025·新疆喀什·二模）已知椭圆E：与矩形的四条边都相切，若该矩形关于坐标轴对称，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·河南开封·二模）已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·陕西渭南·二模）已知直线，圆和抛物线，则（    ） A．直线过抛物线的焦点 B．直线与圆相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．圆与抛物线的公共弦长为 18．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，为坐标原点，则（   ） A．直线的倾斜角为 B．的方程为 C． D．在点处的切线方程为 19．（多选题）（2025·甘肃·一模）已知双曲线方程为，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率是 C．双曲线的虚轴长是8 D．双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6 20．（多选题）（2025·河北邢台·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（    ） A． B．的虚轴长为 C． D．的一条渐近线的斜率为 21．（多选题）（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 22．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知双曲线 和 ，其中，且，则（    ） A．与有相同的实轴 B．与有相同的焦距 C．与有相同的渐近线 D．与有相同的离心率 23．（多选题）（2025·江苏南通·模拟预测）已知方程，则下列说法中正确的有（   ） A．方程可表示圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆 C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 24．（2025·海南海口·模拟预测）设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，已知直线交轴于点，且的面积为8，则该抛物线的方程为 . 25．（2025·福建莆田·二模）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是 m． 26．（2025·吉林延边·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为 . 27．（2025·北京平谷·一模）抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等，则 . 28．（2025·辽宁·一模）已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则 . 29．（2025·河北秦皇岛·一模）已知双曲线：的实轴长为4，若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则双曲线C的焦距为 . 30．（2025·辽宁葫芦岛·一模）若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是 ． 31．（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线上，点在此抛物线上，为抛物线的焦点，则 ． 32．（2025·湖北武汉·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为 ． 33．（2025·高三·江苏镇江·开学考试）抛物线上一点M到其焦点的距离为3，则点M到坐标原点的距离为 . 34．（2025·高三·全国·开学考试）已知过点且斜率为3的直线与双曲线交于A，B两点在第一象限，若，则双曲线C的离心率为 . 35．（2025·浙江·一模）双曲线（，）的左、右焦点为，，P为双曲线上一点，且满足轴，，则双曲线的离心率为 . 36．（2025·高三·湖南·开学考试）椭圆的焦距为4，则 . 37．（2025·高三·江西·开学考试）已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 . 38．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的一个动点，点的坐标是，则的最小值为 . 39．（2025·高三·安徽·开学考试）已知抛物线 的顶点、焦点分别为 ，则以线段 为直径的圆的标准方程为 . 40．（2025·河南郑州·一模）已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为 . 41．（2025·高二·江西南昌·期末）已知抛物线C：的焦点为F，P在C上，若以为直径的圆与x轴相切于点，则 . 42．（2025·黑龙江·模拟预测）直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则 43．（2025·高三·北京昌平·期末）已知抛物线的焦点为 ，点在抛物线上，且，则点的纵坐标为 ；点为坐标原点，的面积为 ． 44．（2025·全国·一模）若直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是 ． 45．（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 . 46．（2025·甘肃·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到轴的距离为，则 ． 47．（2025·高三·山东滨州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与准线交于两点，且，设直线的斜率为，则 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$